Phương trình loại Elliptic

Đại học sư phạm Hà Nội 2

1

Khoá luận tốt nghiệp

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Phương trình loại Elliptic

Người hướng dẫn: TS. Trần Văn Bằng
Sinh viên:
Vũ Thị Mai
Khoa:
Toán
Khóa :
2006-2010

Vũ Thị Mai

K32B-Khoa Toán


Lời cảm ơn
Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn
chân thành tới các thầy giáo và cô giáo trong khoa Toán Học – Trường
Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo trong suốt thời
gian tôi theo học tại khoa và trong thời gian làm khóa luận.
Đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T.S Trần Văn Bằng –
Giảng viên khoa Tóan Học - Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, người
trực tiếp hướng dẫn tôi, luôn tận tâm chỉ bảo và định hướng cho tôi trong

suốt quá trình làm khóa luận để tôi có được kết quả như ngày hôm nay.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bản
thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu
sót rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các bạn sinh
viên và bạn đọc.
Hà Nội, tháng 4 năm 2010
Sinh viên
Vũ Thị Mai


Mục lục
Nội dung
Mở đầu
Chương 1
Những kiến thức chuấn bị
1. niệm tổng quát
Các khái
2. phương trình Vật Lí-Toán
Một số
3. phương trình tuyến tính cấp 2 Phương trình chính tắc
Phân loại
Bài toán Côsi

Trang
4

5
7
9
13

16

4.
Chương 2
Phương trình loại Elliptic
19
Thiết lập1.phương trình
30
Phương2.trình Laplace. Hàm điều hòa.
34
Tính duy3.nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm của bài toán biên.
Một số ví dụ về hàm Green
Phương pháp tách biến Fourier giải bài toán biên Bài toán Dichlet trong miền bị chặn
Bài toán Dirichlet trong miền không bị chặn
40
Bài toán4.Newman
57
5.
62
6.
60
7.
72
8.
73
74
Kết luận
Tài liệu tham khảo

Mở đầu
Toán học là một môn khoa học gắn liền với thực tiễn. Sự phát triển của
Toán học được đánh dấu bởi những ứng dụng của Toán học vào việc giải
quyết các bài toán thực tiễn. Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường
gặp rất nhiều bài toán liên quan đến phương trình vi phân đạo hàm riêng.
Ra đời từ những năm 60, phương trình đạo hàm riêng đã nhanh chóng
khẳng định được vị trí và tầm quan trọng của mình trong khoa học nói
chung và Toán học nói riêng. Đặc biệt phương trình đạo hàm riêng loại
Elliptic có ứng dụng rất lớn trong khoa học và trong thực tiễn.
Chúng ta biết rằng, việc nghiên cứu tính chất định tính và việc tìm
nghiệm của phương trình đạo hàm riêng loại Elliptic rất khó khăn và
phức tạp. Với khả năng ứng dụng rộng rãi trong khoa học và trong thực
tiễn, vì vậy các nhà Toán học đã tập trung nghiên cứu và tìm được nhiều
phương pháp để giải các bài toán về phươg trình đạo hàm riêng loại
Elliptic
Được sự hướng dẫn tận tình của T.S Trần Văn Bằng cùng với lòng
yêu thích môn này em xin mạnh dạn nghiên cứu đề tài :Phương trình
loại Elliptic
Khoá luận gồm 2 phần
*Chương 1 :
*Chương 2:

Những kiến thức chuẩn bị
Phương trình Elliptic


Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị
Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính
§1: Các khái niệm tổng quát
1. Một phương trình liên hệ giữa ẩn hàm u ( x1 , x2 ,..., xn ) , các biến độc

( x1 , x2 ,...,
xn )
lập

và các đạo hàm riêng của nó được gọi là phương trình

vi phân đạo hàm riêng. Nó có dạng:
k

∂u

∂ u
∂u
k
k
F  x1 ,..., xn ,u, ,..., ∂
x ,..., ∂x ...∂x,... = 0
1

∂x

1

n

1

n



n

trong đó F là hàm nào đó của các đối số của nó.
2. Cấp cao nhất của u có mặt trong phương trình được gọi là cấp của
phương trình .
Ví dụ: Phương trình đạo hàm riêng cấp 1 có dạng:


∂u 

∂u
F  x1,..., xn ,u, ,..., ∂
x  =0
∂x

1

n

(1.1)



Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 của hàm 2 biến có dạng:
2

2

2

F  x, y,u,
∂u ∂u
u 0
, , ∂ u, ∂ , u ∂ =
2
∂x
∂
2
y ∂x∂y
∂y
∂x


3. Phương trình đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính nếu như nó tuyến
tính đối với ẩn hàm và tất cả các đạo hàm riêng của nó:
Ví dụ


∂
2
2
a ( x, ∂ 2
∂
∂ + d ( x, y ) + e ( x, y ) u
+ 2b(
+ c ( x,
∂u
u

u
u
∂y
y)
x, y )
y)
∂
∂x
2
∂
∂x
y
∂y
x2
+ f ( x, y )u = g ( x, y )
Đây là phương trình tuyến tính cấp 2.


4. Phương trình đạo hàm riêng được gọi là á tuyến tính nếu như nó tuyến
tính với mọi đạo hàm cấp cao nhất của ẩn hàm.
Ví dụ
a ( x, y,u,ux ,u y ∂ + 2b ( x, y,u,u ,u ∂ + c ( x, y,u,u ,u ∂ u
x
y
x
y
u
u
2
)

∂y
)
)
∂
∂x
2
∂y
x
2

+d

( x, y,u,u

x

2

,u y ) = 0

ux ,
Đây là phương trình á tuyến tính cấp 2 trong đó u y

2

là kí hiệu của

∂u ∂u
,
.

∂x ∂y
5. Giả sử F xác định trong miền G của không gian 2n+1 chiều. Hàm
u = u ( x1, x2
,..., xn )

liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp 1 của nó

trong miền D của không gian n chiều được gọi là nghiệm của phương
trình (1.1) trong D nếu :
a.

Với mọi ( x1, x2 ,..., xn
)∈ D

thì



∂u 

∂u
 x1 ,..., xn ,u ( x1,..., xn ) ,,...,


 ∈G
∂xn 

∂x1
b.

Khi thay u = u ( x1, x2
,..., xn )

trên D

vào (1.1) thì ta được đồng nhất thức


6. Bài toán Côsi: Tìm nghiệm u = Φ ( x1 , x2 ,..., xn ) của phương trình
(1.1)
sao cho khi
x

thì u =
=
0
x , x ,..., x
1

1

ϕ ( x ) trong đó ϕ là một hàm cho
1

2

n

trước. Ở đây ta cũng có thể thay vai trò x1 bằng một trong các biến còn
lại.

§2: Một số phương trình Vật lí-Toán
1. Phương trình truyền nhiệt
Giả sử
Ω⊂
3
R

là vật thể với biên trơn. Gọi u ( x,t ) = u ( x1, x2 ,t ) là

nhiệt độ tại thời điểm t (t>0).
Theo các định lí vật lí trong mốt số điều kiện nhất định (
Ω -đẳng hướng, u ( x,t ) ∈C 2.1 ( Ω×[0,T ]),... ).
u(x,t) thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng cấp 2 sau:
∂u3
∂


∂u f (x,t)
k(x) 

+

∂t i=1
∂xi 

∂xi 

C(x) ρ(x)

=∑

(2.1)

Trong đó C(x) -nhiệt dung riêng của Ω tại x

ρ(x) -khối lượng riêng
k(x) -hệ số truyền nhiệt trong Ω của x
f (x,t) -hệ số nguồn nhiệt riêng của x tại thời điểm t.
Đặc biệt khi C(x) ρ (x k(x) là các hằng số c,
,
ρ,k
),
2

thành

∂ u
∂u =3 ε
f (x,t)
∂t
∑ ∂x 2
+
i=1

i

k
Với ε =
c ρ là hệ số khuếch tán.

n

Kí hiệu:

2

∂u

thì (2.1) trở


∆u
=

∑
x

2

i=1

n=3 ta có phương trình

∂
i

∂u

= ε

f (x,t)

(2.2)

.∆u +
∂t
Phương trình (2.2) được gọi là phương trình truyền nhiệt
∗ Các điều kiện bổ sung:
. Điều kiện ban đầu
. Điều kiện biên

u(x,0) = với ∀x ∈Ω

ϕ0

(2.3)


+ Thứ nhất

ϕ

(x,t)
∈Ω ×[
0,T]

∂Ω

=

ϕ1 (x,t)

+ Thứ hai

ϕ

u
t

=

(2.4)

(2.5)

2

∂Ω

Khái niệm: Bài toán tìm nghiệm của phương trình đạo hàm riêng
(2.2) thỏa mãn 2 điều kiện bổ sung: điều kiện ban đầu (2.3) và điều kiện
biên (2.4) hoặc (2.5) được gọi là bài toán biên ban đầu thứ nhất (thứ hai)
đối với phương trình truyền nhiệt.
1. Phương trình Laplace, Poison
Trong phương trình truyền nhiệt, nếu nhiệt độ được giữ ổn định
(không phụ thuộc vào thời gian t) thì u(x)

cho chúng ta phân bố nhiệt

dừng của Ω . Và khi đó (2.2) có

dạng:
∆u =

f (x)

x ∈Ω

(2.6)

(2.6) được gọi là phương trình Poisson
f (x) = 0
⇒ ∆u
= 0

-phương trình Laplace

Hàm u
thỏa mãn ∆u = 0 được gọi là hàm điều hòa
2
∈C (Ω)
∗ Các điều kiện bổ sung:
. Điều kiện biên thứ nhất (Dirichlet)
. Điều kiên biên thứ hai (Newman)

u
u


∂Ω

∂Ω

=

ϕ0

= ϕ1



. Điều
kiện
biên
thứ
3(hỗn
hợp)
α u + =ψ 2 α 2
∂u 
+ β ≠ 0
β
|

 ∂Ω
∂γ

2. Phương trình truyền sóng
Nhiều phương trình dao động (truyền sóng) có dạng:
f (x,t)
∂ 2u
=

∆
∂t 2 2
a u
+


* Các điều kiện bổ sung:

= ϕ0
u(x,0)
. Điều kiện ban đầu:
u
∂
(x,0) = ϕ1
t

∂
f
∂2 u
=2
(x,t) ∈ R ×[0,T ]
a ∆u (x,t)
+
2
∂t


Với n=1:

Đây là phương trình mô tả sự dao động của sợi dây

. Điều kiện biên
Sợi dây hữu hạn

x ∈[0, L]

u(0,t) = u(L,t) = 0∀t ∈[0,T ]
Sợi dây nửa vô hạn
u(0,t)
=0

x ∈[0, +∞]

và điều kiện về dáng điệu khi x →+∞

Sợi dây vô
hạn điệu khi x
→

x
∈(−
∞,
+∞)

thì điều kiện biên là điều kiện về dáng

±∞
Khi n=2 thì phương trình mô tả dao động của màng mỏng:
2
 ∂2u ∂2u f (x, y,t)
∂ u

2
 =
+
+ a
∂t

2


2
∂x


∂y

2





§3: Phân loại phương trình tuyến tính cấp 2
Phương trình chính tắc


1. Phân loại phương trình tuyến tính cấp 2 trong trường hợp 2 biến
Xét phương trình tuyến tính cấp 2 với các hệ số thực:
a(x, y)U xx + 2b(x, y)U xy + c(x, y)U yy + F(x,
y,u,ux ,u y ) = 0
Xét 1 điểm (x0 , y0 cố định. Phương trình (*) tại điểm

)
(x0 , y0 được gọi là:
)

(*)


a. Thuộc loại Elliptic nếu như tại điểm đó ∆ = b2 − ac <0.
b. Thuộc loại hypebonic nếu như tại điểm đó ∆ = b2 − ac >0.
c. Thuộc loại parabonic nếu như tại điểm đó ∆ = b2 − ac =0.
Nếu phương trình (*) tại mọi điểm trong miền G đều thuộc cùng một
loại thì ta nói rằng phương trình ấy thuộc loại đó trong miền G
2. Phương trình chính tắc
Nhận xét : Loại của phương trình (*) không thay đổi qua các phép đổi
biến không suy biến.
Chứng minh
Giả sử có phép đổi biến
ξ =
ξ (x, y)

η
=η(x,
y)

D(x, y)
với

D(ξ

, η)

ξx ηx
=

≠ 0

ξy ηy

U x = U ξξ x

Khi đó ta có

+Uηηx U y
= U ξξ y
+Uηη y

Từ đó

= )2
U
(

U
xx

ξ

ξξ

U = )2

(ξ
U
yy

ξξ

y

+ 2ξ
η U

x

+ 2ξ
η U
y y

ξη

x x

+ )2
U
(

η

ξη

+ )2

U
(

η

y
yy

x
xx

+
U

ξ

ηη

U xy = ξ xξ yUξξ + (ξ xη y +

+
U

ξ

ηη

+ U
ξ

+ U
ξ

η xx

η

η yy

ξ yηx )Uξη
+ ηxη yUηη +Uξξ xy +Uηηxy
thay vào (*) ta được:

η

a1 (ξ ,
η )Uξξ
+ 2b1
(ξ ,η )


Uξη + c1 (ξ ,η )Uηη + M (ξ,η,u,uξ ,uη )
= 0
(**)
2
 a = aξ 2
+ cξ
+ 2bξ ξ
1
x

x y
y

Với
(3.1)
b1 = aξ xη x + b(ξ xη y
+ ξ yηx ) +
cξ yη y2

2
c = aη
+ cη
+ 2bη η
x
x y
y
2 1
2
b
(b −
−
 D(
2 ξ , η) 
a c− =
ac)(ξ η
ξ
η )2 = (b2 − ac)
Ta có
1

1 1

x
x

y

y



D(c, y)


Suy ra nếu (*) thuộc loại phương trình nào thì (**) cũng thuộc loại
tương ứng tại điểm đó
Xét phương trình vi phân
2

2

a(dy) + 2bdxdy + c(dx) = 0
2

⇒ a( y ')
+ 2by '+ c = 0

(3.2)

Từ (3.1) ta thấy nếu chọn (ξ , là nghiệm của phương trình đạo hàm

0
η0 )
riêng

2

a1 = c1
Khi đó ở (3.1) có = 0

az
+ cz
+ 2bz z = 0
x

x y

2

(3.3)

y

Bổ đề: Hàm z = z(x, là nghiệm của phương trình đạo hàm riêng (3.3)
khi và chỉ khi y)
là tích phân tổng quát của phương trình vi phân
z(x, y)
(3.2).
=c
Do đó ta có cách đổi biến số sau:
a. Nếu ∆ = b2 − ac >0 thì (3.2) có 2 nghiệm

−b ± ∆
y'= a
Giải 2 phương trình ta có:
φ1 (x, y)
= c1

φ2 (x, y) = c2
Thay vào (*) ta được
Uξη = N

(ξ ,η,u,uξ ,uη )

ξ = φ (x, y)
1

từ đó đặt 
η = φ2 (x, y)


Đây là phương trình chính tắc của phương trình loại Hypebonic
Đặt

α = ξ −η

thì phương trình có dạng
β
=

ξ +

η
Uαα

− U ββ

= N1(α, β ,u,uα ,uβ )

Đây là phương trình chính tắc thứ hai của phương trình loại Hypebonic


b. Nếu ∆ = b2 − ac =0
(3.2) có một nghiệm

b
y'= −
⇒
ξ = φ(x, y)
φ(x, y)
= ca
D(ξ ,η)
≠ 0
Đặt 
sao cho
D(x,
y)
η
=η(x,
y)
Thay vào (*) ta được
Uξξ

= N (ξ ,η,u,uξ ,uη )

Đây là phương trình chính tắc của phương trình loại Parabonic
c. Nếu ∆ = b2 − ac <0
2

(3.2) có 2 nghiệm phức

b ± i∆
y'= a

Tích phân ta được φ(x, y) ± iϕ (x, y) = c
Đặt

ξ = φ(x, y)

η = ϕ(x, y)

Thay vào (*) ta được
Uξξ +Uηη = N(ξ,η,u,uξ ,uη )
Đây là phương trình chính tắc của phương trình loại Elliptic
3. Phương trình đạo hàm riêng cấp 2 của hàm n biến
Phương trình đạo hàm riêng cấp 2 của hàm n biến có dạng:
n

∑

n

ai + a(x)u
(x)U
+ g(x)
j
xx
+ ∑a i (x)U x
= 0
i, j=1
aij(x) = aji (x)
Giả sử


i j
i

i=1

Đặt A = A(x) =[aij (x)]n×n là ma trận thực, đối xứng cấp n
Tại x cố định A có n giá trị thực
Gọi n , n , n0 lần lượt là số giá trị dương, âm, bằng 0
+
−
Định nghĩa: phương trình (*) được goi là thuộc loại:


. Elliptic tại x nếu ( (n+
= n−

hoặc n− = n )

. Hypebonic tại x nếu (n+ = n
−1 và

n− =1
hoặc

. Parabonic tại x nếu (n0 =1, n = n
+
−1 hoặc
Dạng chính tắc:
Ta dùng phương pháp đổi biến
ξ1 = ξ1
(x1 ,..., xn )

ξ2 = ξ2
(x1 ,..., xn )

...

 ξn = ξn

(x1 ,..., xn )

n+ =1 n− = n −1)
và

n0 =1, n− = n −1)

ξ = ξ (x)
∂ξ1  ∂ξn

∂x
∂x
1

Dξ
Dx

1

=

∂ξ1  ∂ξn
∂x
∂x
n

n

Rồi dùng phương pháp như trên để sy ra phương trình dạng chính tắc
đối với từng loại

&4: Bài toán Côsi
1. Bài toán Côsi. Định lí Kovalepskaia
Giả sử Ω là miền nào đó trong không gian R

n

Xét trong Ω phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2
2
n

n
∂u
∂u
+ a(x f (x)
(4.1)
+∑
∑ aij
)u
(x)
ai (x)
=
∂x ∂x
i=1∂x
i,
i
j
i
j=1

Trong đó


aij ,ai ,a, f
là các hàm

phức đủ trơn

Nếu n=1 và a11 ≠ 0 thì (4.1) còn được viết dưới dạng
u ''+ b(t)u '+
c(t)u =

f
(t)

t=
x1

(4.2)

Bài toán tìm nghiệm của phương trình (4.2) tỏa mãn điều kiện ban đầu
0

u(t ) = u0 ,u '(t0 ) = u1 là bài toán Côsi trong phương trình vi phân
thường
Mổ rộng sang phương trình đạo hàm riêng ta làm như sau:


Tách 1 biến trong các biến (x1,..., xn ) giả sử là xn
Đặt t = xn
Trong vật lí, t -thời gian, x'
= (x1,...,
xn )

là các tọa độ không gian

Giả sử trên mặt phẳng và trong lận cận điểm x' = (x0 ,...,
0
x )
0

điều kiện ban đầu
∂u
ut
= u0 (x
=t 0

t
=t

1

cho các

n−1

= u1 (x ')

0

');

∂t
Bài toán tìm nghiệm của phương trình (4.1) trong một lân cận nào đó
0

0

0

của x = (x1 ,...,

xn−1,t )
Côsi.

0

với các điều kiện (4.3) được gọi là các bài toán

Định lí Kovalepskaia:
Giả sử phương trình (4.1) viết được dưới dạng:
2
2
2
∂
n
∂
n
∂
n−1
u
∂u
−
−
u
u
1

1

∂
2

t = ∑ bij
(x)
∂x ∂x
i, j=1

i
j
j=1

+ ∑ bin (x)
x
+ ∑ b∂i (x)
∂t
i, ∂x
i, j=1
i

+ b(x)u
(4.4)
+ h(x)
i

Giả sử bij ,bin ,bi ,b,h là các hàm giải tích trong lân cận của điểm x0
còn u j , j = 0,1 là các hàm giải tích trong 1 lân cận của x' . Khi đó
điểm
0
bài toán Côsi (4.3) (4.4) có nghiệm giải tích trong một lân cận nào đó
của điểm x0 và là nghiệm duy nhất trong lớp các hàm giải tích.
2. Bài toán Côsi tổng quát

Giả sử trong miền Ω cho mặt (n-1) chiều đủ trơn S và tại mỗi
điểm của mặt cho một đường cong  nào đó không tiếp xúc với mặt
S, biến thiên đủ trơn trên mặt S.
Bài toán tìm nghiệm của phương trình (4.1) trong một lân cận nào đó
của S sao cho :


u S = u0 (x)
u


S

= u1 ( x )

ở đó u0 ,u1 là các hàm đã cho trên mặt S, được gọi là hàm toán Coossi
tổng quát của phương trình (4.1).
Các hàm u0 ,u1 được gọi là các dữ kiện biên Côsi
S được gọi là mặt Côsi