Phương pháp phần tử hữu hạn và ứng dụng

Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự cố gắng của bản thân, đặc biệt
là sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh đã
giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu để em có thể hoàn thành khóa luận.
Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc và lòng biết ơn chân thành nhất
tới thầy Khuất Văn Ninh, cũng như sự quan tâm, chỉ bảo, góp ý kiến của thầy
giáo, cô giáo trong tổ hình học, các thầy cô giáo trong khoa Toán đã giúp đỡ em
hoàn thành khóa luận tốt nghiệp.
Do điều kiện có hạn và kinh nghiệm cũng như kiến thức của bản thân em
còn nhiều hạn chế cho nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Kính
mong các thầy cô giáo cùng bạn đọc nhận xét và góp ý kiến để em rút kinh
nghiệm và có thể hoàn thiện, phát triển khóa luận về sau này.
Một lần nữa, em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc và lời chúc sức khỏe đến
các thầy giáo, cô giáo và toàn thể bạn đọc.
Hà Nội, tháng 6 năm 2013
Tác giả

Trần Thanh Khuê

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán


LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan khóa luận này được hoàn thành do sự nỗ lực tìm hiểu,

nghiên cứu của bản thân, cùng với sự chỉ bảo, giúp đỡ tận tình của thầy giáo
PGS.TS Khuất Văn Ninh cũng như các thầy giáo, cô giáo trong tổ Giải tích
của khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Khóa luận này không trùng với kết quả của các tác giả khác. Nếu trùng
em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Em rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn
đọc để khóa luận ngày càng hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2013
Tác giả

Trần Thanh Khuê



MỤC LỤC
MỞ ĐẦU............................................................................................................... 1
Chương 1: Tổng quan về các phương pháp xấp xỉ khác nhau................................1
Chương 2: Phương pháp phần tử hữu hạn.............................................................5
2.1. Tổng quan về phương pháp phần tử hữu hạn.................................................. 5
2.2. Phần tử hữu hạn............................................................................................ 22
2.3. Xấp xỉ bằng phần tử hữu hạn........................................................................ 23
2.4. Các dạng phần tử cơ bản thường dùng.......................................................... 24
2.4.1. Phần tử một chiều...................................................................................... 24
2.4.2. Phần tử hai chiều....................................................................................... 25
2.4.3. Phần tử ba chiều........................................................................................25
2.5. Xấp xỉ trên phần tử tham chiếu..................................................................... 27
2.5.1. Định lý....................................................................................................... 27
2.5.2. Phần tử tham chiếu.................................................................................... 27
2.5.3. Về phép biến đổi hình hoc giữa phần tử tham chiếu và phần tử thực........29
2.6. Xây dựng các hàm N(£˜ ) và N(£˜ )..............................................34

2.6.1. Phương pháp tổng quát.............................................................................. 34
2.6.2. Tính chất của các hàm N(£˜ ) và N(£˜ )............................................38
Chương 3: Ứng dụng của phương pháp phần tử hữu hạn vào bài toán kỹ thuật 40
3.1. Tính chất cơ học tổng quát của bài toán đàn nhớt......................................... 40
3.2. Về một phương pháp giải bài toán đàn nhớt tuvến tính đẳng nhiệt...............44
3.2.1 Nguyên lý tương ứng.................................................................................. 44
3.2.2. Phát biểu bài toán biên đàn nhớt tuyến tính............................................... 45
3.2.3. Bài toán đàn hồi kết hợp............................................................................ 45
3.3. Giải bài toán đàn nhớt tuyến tính bằng phương pháp phần tử hữu hạn.........46
KẾT LUẬN......................................................................................................... 51
TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................... 52



MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Giai đoạn phát triển hiện nay của cơ học các môi trường liên tục liên hệ
chặt chẽ với sự hoàn thiện các phương pháp tính toán và việc sử dụng rộng rãi
máy tính điện tử. Quá trình giải quyết các bài toán kỹ thuật thường dẫn tới kết
cục phải giải các phương trình vi phân, các phương trình tích phân hoặc các
phương trình đại số. Tuy nhiên, cần nhấn mạnh rằng, việc hoàn thiện các
phương pháp tính về phương diện Toán học không hoàn toàn đồng nhất với việc
hoàn thiện các phương pháp tính trong Cơ học các môi trường liên tục. Sở dĩ
như vậy là vì việc nghiên cứu hoàn thiện các phương pháp tính thuộc lĩnh vực
Cơ học các môi trường liên tục không những bao gồm nghiên cứu hoàn thiện
cách giải về mặt Toán học mà còn có cả việc nghiên cứu hoàn thiện mô hình
tính toán, cũng như hoàn thiện cách đặt bài toàn dựa vào những khái niệm Vật lý
và yêu cầu kỹ thuật sao cho bài toán vừa đơn giản, vừa phản ánh với thực tiễn.
Người ta thường hay sử dụng rộng rãi các phương pháp biến phân làm công cụ
để hoàn thiện các phương pháp tính trong cơ học các môi trường iên tục. Trong

số đó, Phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp sai biến phân hiệu
quả được ứng dụng rộng rãi trong mọi lĩnh vực của Cơ học các môi trường liên
tục như cơ học kết cấu, động lực học và ổn định công trình, lý thuyết đàn hồi, lý
thuyết dẻo, lý thuyết từ biến, cơ học chất lỏng và chất khí, cơ học đất,…
Phương pháp phần tử hữu hạn được xem như một công cụ vạn năng, tiện
lợi và được ứng dụng rộng rãi trong ngành xây dựng cơ bản, giao thông, thủy
lợi, chế tạo máy móc, chế tạo tàu thủy,chế tạo máy bay,…
Phương pháp phần tử hữu hạn được sử dụng đặc biệt tiện lợi để giải các
bài toán ổn định và động lực học công trình. Cần chú ý rằng, sử dụng máy tính
điện tử để tính kết cấu phức tạp theo phương pháp phần tử hữu hạn không những
Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

1


Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

2


làm phát triển nhảy vọt các phương pháp tính rời rạc hóa khi ta thay thế các hệ
liên tục bằng các mô hình rời rạc, mà còn có thể tạo ra hiệu quả ngược lại, tức là
cho phép lập được các phương trình vi phân xuất phát từ việc khảo sát các hệ rời
rạc. Nhờ đó tạo ra khả năng cho ta đơn giản hóa các bài toán hai chiều, ba chiều
về các bài toán một chiều.
Với mong muốn được tìm hiểu những kiến thức cơ bản nhất về phương
pháp phần tử hữu hạn và những ứng dụng khác nhau của phương pháp để giải
quyết một số bài toán kỹ thuật như trên, tôi đã lựa chọn đề tài nghiên cứu:
“Phương pháp phần tử hữu hạn và ứng dụng”.

2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu: “Phương pháp phần tử hữu hạn và ứng dụng” trên
cơ sở đó nhằm nghiên cứu những vấn đề cơ bản nhất của phương pháp phần tử
hữu hạn, áp dụng phương pháp để giải quyết một số bài toán kỹ thuật khác nhau.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu về phần tử hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn.
- Cách giải một số bài toán kỹ thuật bằng phương pháp phần tử hữu hạn.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Thu thập, tìm kiếm tài liệu.
- Nghiên cứu tài liệu.
- Phân tích, tổng hợp kiến thức.
- Thống kê toán học.

5. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, lời cảm ơn, kết luận thì luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Tổng quan về các phương pháp xấp xỉ khác nhau
Chương 2: Phương pháp phần tử hữu hạn
Chương 3: Ứng dụng của phương pháp phần tử hữu hạn vào bài toán kỹ thuật

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

2


Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

2

Chương 1
Tổng quan về các phương pháp xấp xỉ khác nhau
Cho X và Y là các không gian tuyến tính và T:X → Y là toán tử phi tuyến
(không nhất thiết phải tuyến tính). Cho hàm ƒ ∈ Y, giả sử rằng ta cần tìm u ∈
X sao cho:
Tu = ƒ

(1.1)

Đây là dạng tổng quát của phương trình toán tử trong các không gian.
Theo khuôn khổ chung đó, những gì ta có thể nói về phương trình toán tử
(1.1) là nó có lời giải duy nhất khi và chỉ khi toán tử T là khả nghịch và trong
trường hợp này lời giải duy nhất là u = T–1ƒ. Ngược lại, phương trình (1.1)
có thể không có lời giải. Do đó, ta có một vài câu hỏi như với những điều
kiện nào thì phương trình này là giải được (điều kiện giải được) và nếu như
vậy thì đó có phải là lời giải duy nhất (điều kiện duy nhất) và hơn thế nữa,
nếu không xét đến tính duy nhất hay không thì làm thế nào tìm ra nghiệm
(điều kiện tính toán). Rõ ràng, để trả lời các câu hỏi như vậy, ta cần mô tả
chính xác hơn về phương trình, chẳng hạn như một số điều kiện bổ sung nếu
cần.
Trong trường hợp đó, việc tìm cách giải cho phương trình (1.1) là rất khó
khăn hoặc thậm chí là không có lời giải, người ta nghĩ tới việc tìm lời giải gần
đúng (xấp xỉ) của nó. Điều này là có thể, tuy nhiên vấn đề đặt ra là tìm xấp xỉ tốt
nhất.
Xét phương trình (1.1), nếu cả hai không gian X và Y đều là các không gian
tuyến tính vô hạn chiều thì lời giải tốt nhất sẽ được xác định, và phương pháp
tiếp cận chung để tìm xấp xỉ tốt nhất như sau: Đầu tiên chúng ta chọn một dãy
các không gian con tuyến tính {X n } của X và một dãy các không gian con
tuyến
tính {Yn } của Y, chọn hai ánh xạ liên kết Pn : X → X n và Q n : Y → Yn tương

ứng.
Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

1


Sau đó, ta dùng ánh xạ Q n : Y → Yn để xác định dãy toán tử Tn : X n → Yn bởi:
Tn = Q n T | X n

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

(1.2)

1


Giả sử toán tử bất kì A được xác định trong không gian tuyến tính Z bất kì.
Kí hiệu: A| ZO là hạn chế của A trên tập con ZO của Z. Cuối cùng, ta sử dụng
Tn un = Q n ƒ, un ∈ X n ,n = 1,2,…

(1.3)

như là một dãy các phương trình toán tử xấp xỉ với phương trình toán tử chính
xác (1.1). Nếu có thuật toán tìm được dãy nghiệm {un } của phương trình toán
tử (1.3) thì ta gọi nó là thuật toán xấp xỉ cho phương trình toán tử (1.1), và kí
hiệu
nó bởi Γn = {X n ,Pn ;Yn ,Q n }.
Để việc xác định thuật toán xấp xỉ được hữu ích và hiệu quả, một số câu hỏi
quan trọng phải được giải quyết:
(1) Phương trình xấp xỉ (1.3) có một nghiệm (duy nhất) với mỗi n hay

không?
(2) Nếu mỗi phương trình của (1.3) có một nghiệm un thì dãy nghiệm {un }
có hội tụ tới điểm đó hay không?
(3) Nếu dãy nghiệm {un } hội tụ tới một điểm cho trước thì giới hạn của nó
có là nghiệm (duy nhất) của phương trình (1.1) không?
Câu trả lời cho ba câu hỏi này dẫn đến lời giải xấp xỉ của phương trình toán tử
(1.1). Để chính xác hơn ta đưa ra các định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.1. Trong không gian tuyến tính X, chuẩn của nó kí kiệu là: ∥.∥X .
s

Một dãy un ∈ X được gọi là hội tụ mạnh tới u ∈ X, kí hiệu là un → u hoặc đơn
giản là un → u, nếu
lim ∥ un − u ∥X = 0

n→ œ

w

Một dãy un ∈ X được gọi là hội tụ yếu tới u ∈ X, kí hiệu là un → u nếu
liml(un − u) = 0 , ∀l ∈ X

∗

n→ œ

Trong đó X ∗ là không gian liên hợp của X.
Định nghĩa 1.2. Phương trình toán tử (1.1) được gọi là xấp xỉ duy nhất mạnh
(hoặc yếu) theo thuật toán xấp xỉ Γn nếu tồn tại một số nguyên N > 0 sao cho
Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

2


Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

3


phương trình toán tử (1.3) có nghiệm duy nhất un ∈ Xn với mỗi n ≥ N, và dãy
{un } hội tụ mạnh (hoặc yếu) tới u ∈ X , trong đó u là nghiệm duy nhất
của phương trình (1.1).
Định nghĩa 1.3. Phương trình toán tử (1.1) được gọi là xấp xỉ mạnh (hoặc yếu)
theo thuật toán xấp xỉ Γn nếu tồn tại một số nguyên N > 0 sao cho phương
trình
toán tử (1.3) có nghiệm un ∈ X n với mỗi n ≥ N, và dãy {un } có một dãy con
hội tụ mạnh (hoặc yếu) tới u ∈ X, trong đó u là nghiệm duy nhất của phương
trình (1.1).
Rõ ràng để xác định rõ nghiệm xấp xỉ và sự hội tụ (mạnh hay yếu) của
dãy các nghiệm xấp xỉ thì bốn phần tử trong thuật toán xấp xỉ Γn = {Xn ,Pn
;Yn ,Q n } phải đáp ứng một số điều kiện nhất định. Ví dụ như một điều kiện
cần thiết là:
¯œ¯ ¯ ¯
† Xn = X

(1.4)

n=1

Điều kiện này chứng tỏ rằng tập hợp các dãy {X n } là trù mật trong X.
Với thuật toán xấp xỉ tốt nhất, các toán tử Pn và Q n được nói đến ở trên

là toán tử tuyến tính. Nếu Pn : X → X n và Q n : Y → Yn là các toán tử chiếu
tuyến
tính thì thuật toán xấp xỉ tương ứng sẽ đem lại một phương pháp chiếu được gọi
là thuật toán hình chiếu xấp xỉ.
Đặc biệt, theo các điều kiện khác của toán tử T và của bốn phần tử trong
thuật toán Γn = {X n ,Pn ;Yn ,Q n }, ta có sự phân loại sau:
i.

Nếu X = Y và X n = Yn với mọi n = 1,2,… thì phương pháp chiếu được
gọi là phương pháp Galerkin.

ii.

Nếu Γ là toán tử tích phân hoặc vi phân và Xn là không gian của những
hàm trơn thì cho ta phương pháp phần tử hữu hạn.


iii.

Nếu X và Y là không gian các hàm xác định trong Ω ⊂ ℝ m và
Q n : Y → Yn là toán tử nội suy xác định bởi


n

(Q n y)(x ) = ) y(xi)ƒ i(x)
i=1

Trong đó x,x1 ,… ,xn ∈ Ω ,y(x) ∈ Y và {ƒ 1,… ,ƒ n } là một cơ sở
của Yn , khi đó phương trình toán tử xấp xỉ (1.3) trở thành:

n

n

) Tun |s=siƒ i(x) = ) ƒ|s=siƒ i(x)
i=1

i=1

Với mọi x ∈ Ω, điều này tương đương với:
Tun |s=si = ƒ|s=si, i = 1,2,… ,n.

(1.5)

Đây là phương pháp Collocation.
iv.

Nếu X và Y là không gian Hilbert với tích vô hướng 〈∙,∙〉 và
X n = sgan {$ 1 ,… ,$ n },
Yn = sgan {ƒ 1 ,… ,ƒ n } tương ứng, và Pn và Q n đều là toán tử
chiếu trực giao, khi đó phương trình toán tử xấp xỉ (1.3) tương
đương với:
〈 Tun − ƒ,ƒ i〉= 0, i = 1,2,… ,n.
Đây là phương pháp Galerkin-Petrov. Đặc biệt, nếu ƒ

(1.6)
i

= M $ i, i

= 1,2,… ,với toán tử tuyến tính M : X → Y được chọn thích hợp thì
đây là
phương pháp moment. Mặt khác, nếu T:X → Y là toán tử tuyến tính
và ƒ

i

= T$ i, i = 1,2,… ,thì nó là phương pháp bình phương tối

thiểu, ví dụ trong trường hợp này các điều kiện trong (1.6) cùng
tương đương với tối
thiểu
min

u n ∈Xn

Hơn nữa, nếu X = Y và ƒ
pháp Bubnov-Galerkin.

i

∥ Tun − ƒ ∥F

= $ i,i = 1,2,… ,thì nó trở thành phương



Chương 2
Phương pháp phần tử hữu hạn
2.1. Tổng quan về phương pháp phần tử hữu hạn.

Phương pháp phần tử hữu hạn tương tự như phương pháp Rayleigh-Ritz để
tìm nghiệm xấp xỉ cho những bài toán giá trị biên. Ban đầu, nó được dùng trong
các ngành kỹ thuật, nhưng bây giờ nó còn được sử dụng để tìm nghiệm xấp xỉ
cho những phương trình vi phân đạo hàm riêng trong các lĩnh vực của toán ứng
dụng.
Một ưu thế của phương pháp phần tử hữu hạn so với phương pháp sai phân
hữu hạn là điều kiện biên của bài toán được xử lý tương đối dễ dàng. Nhiều bài
toán vật lý có điều kiện biên liên quan đến đạo hàm và dạng biên không đều.
Điều kiện biên của loại này khó xử lý nếu sử dụng kỹ thuật của phương pháp sai
phân hữu hạn bởi mỗi điều kiện biên liên quan đến một đạo hàm phải được xấp
xỉ bằng tỉ sai phân tại những điểm lưới và dạng biên không đều làm cho việc đặt
các điểm lưới khó khăn. Phương pháp phần tử hữu hạn bao gồm điều kiện biên
là những tích phân trong một phiếm hàm được cực tiểu hóa, vì vậy thủ tục xây
dựng những điều kiện biên của bài toán là độc lập.
Ở đây, chúng ta xét phương trình vi phân đạo hàm riêng
&
&u
&
&u
&x
+

(g(x,y)

&x

)

&y

(q(x,y)

&y

) + r(x,y)u(x,y) = ƒ(x,y)

(2.1)

với (x,y) ∈ Ð , trong đó Ð là miền phẳng với biên S.
Điều kiện biên:
u(x,y) = g (x,y)

(2.2)

được đặt trên khúc S1 của biên. Trên đoạn còn lại của biên, S2 , nghiệm u(x,y)
cần tìm thỏa mãn:



&
g(x,y) (x,y)cos81 +
&x q(x,y)
&y

&

(x,y)cos82 + g1 (x,y)u(x,y) =
g2 (x,y)
(2.3)

Trong đó 81 và 82 là các góc định hướng của pháp tuyến ngoài với biên tại
điểm (x,y). (xem hình 2.1)

y

2

Pháp tuyến
tuyến
Pháp

1

Tiếp tuyến
Tiếp tuyến

x

Hình 2.1

Những bài toán vật lý trong các lĩnh vực cơ học vật rắn và tính đàn hồi có
liên quan đến những phương trình vi phân đạo hàm riêng tương tự như phương
trình (2.1). Nghiệm để bài toán loại này cực tiểu hóa một phiếm hàm nhất định
trên một lớp hàm được xác định bởi bài toán.
Giả sử g,q,r và ƒ là những hàm liên tục trên Ð ∪ S, g và q có đạo hàm
riêng cấp một liên tục, g liên tục trên S1, g1 và g2 liên tục trên S2. Giả
sử, thêm rằng, g(x,y) > 0,q(x,y) > 0, r(x,y) ≤ 0 và g1 (x,y) > 0 thì
nghiệm duy nhất của phương trình (2.1) cực tiểu hóa phiếm hàm sau:

2
2
2
1
I[w ] = fl { [g(x,y)(&w) + q(x,y)(&w) − r(x,y)w ]
2
&x
&y

1

Ð

+ ƒ(x,y)w } dxdy + ƒ {– g2
(x,y)w +

2

g1 (x,y)
w

2

}dS

(2.4)

S2

I[w ]xác định trên tập tất cả các hàm khả vi cấp hai liên tục w thỏa mãn phương
trình (2.2) trên S1. Phương pháp phần tử hữu hạn lấy xấp xỉ nghiệm này bằng
cách cực tiểu hóa phiếm hàm Itrên một lớp nhỏ hơn.
Bước đầu tiên là chia miền đã cho ra thành một số hữu hạn các miền nhỏ,
hay còn gọi là các phần tử, theo một quy định, hoặc là thành các hình chữ nhật
hoặc các tam giác. (xem hình 2.2)

Hình 2.2
Tập hợp các hàm dùng cho xấp xỉ là tập hợp các đa thức xác định trên các
miền con bậc cố định với x và y. Phép xấp xỉ đòi hỏi những đa thức đó được
ghép lại với nhau thành một hình để kết quả hàm số là liên tục khả tích hoặc đạo
hàm bậc nhất hoặc bậc hai liên tục trên miền nguyên. Những đa thức kiểu tuyến
tính theo x và y:


$ (x,y) = a + bx + cy


thường được sử dụng với các phần tử tam giác, trong khi đa thức kiểu song
tuyến tính của x và y:
$ (x,y) = a + bx + cy +
dxy
được sử dụng với các phần tử hình chữ nhật.
Ở đây, chúng ta giả sử rằng miền Ð được chia nhỏ thành những phần tử
tam giác. Tập hợp các tam giác được kí hiệu là D, và các đỉnh của những tam
giác này được gọi là các điểm nút. Phương pháp tìm xấp xỉ cho bởi công thức:
m

$ (x,y) = ) yi$ i(x,y)
i=1

trong đó $ 1, $ 2, …, $m là những mẩu đa thức tuyến tính độc lập tuyến
tính và y1 , y2 , …, ym là các hằng số. Một vài hằng số này như yn+ 1 ,
yn+ 2 , …, ym dùng để đảm bảo điều kiện biên, $ (x,y) = g (x,y), thỏa
mãn trên S1 , những hằng số
còn lại y1 , y2 , …, yn để cực tiểu hóa phiếm hàm I[∑i=m yi$ i].
1

Từ phương trình (2.4), phiếm hàm có dạng:
m

I[$ ] = I[) yi$ i]
i=1
m

1

= fl ( {g(x,y)[)
2
yi
Ð

2

&$

m

(x,y) + q(x,y)[)
] yi

&x

i

i=1

i

2

(x,y)]

&y

i=1
2

m

&$

m

− r(x,y)[) yi $ i(x,y)] } + ƒ(x,y)) yi $ i(x,y)) dxdy
i=1

i=1
m

+ ƒ {– g2 (x,y)) yi $ i(x,y)

i=1

S2

1

m

2