Phương trình vi phân cấp hai trong mặt phẳng pha

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
KHOA TOÁN

ĐÀO TH± HÃI

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CAP HAI
TRONG M¾T PHANG PHA

KHÓA LU¾N T6T NGHIfiP ĐAI H6C
Chuyên ngành: Giái tích

Ngưèi hưéng dan khoa
hoc TS. TRAN VĂN
BANG

Hà N®i 14- 5- 2013


LèI CÃM ƠN
Em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói thay giáo TS. Tran Văn Bang Ngưòi thay đã trnc tiep t¾n tình hưóng dan và giúp đõ em hoàn thành
bài khóa lu¾n cúa mình. Đong thòi em xin chân thành cám ơn các thay
cô trong to Giái tích và các thay cô trong khoa Toán - Trưòng Đai hoc Sư
pham Hà N®i 2, Ban chú nhi¾m khoa Toán đã tao đieu ki¾n cho em
hoàn thành tot bài khóa lu¾n này.
Trong khuôn kho có han cúa m®t bài khóa lu¾n, do đieu ki¾n thòi
gian, do trình đ® có han và cũng là lan đau tiên nghiên cúu khoa hoc
cho nên không tránh khói nhung han che, thieu sót nhat đ%nh. Vì v¾y,
em kính mong nh¾n đưoc nhung góp ý cúa các thay cô và các ban.
Em xin chân thành cám ơn !
Hà N®i, ngày 14 tháng 05 năm
2013

Sinh viên

ĐÀO TH± HÃI


LèI CAM ĐOAN
Khóa lu¾n này là ket quá nghiên cúu cúa bán thân em dưói sn hưóng
dan t¾n tình cúa TS. Tran Văn Bang.
Trong khi nghiên cúu hoàn thành đe tài nghiên cúu này em đã tham
kháo m®t so tài li¾u đã ghi trong phan tài li¾u tham kháo.
Em xin khang đ%nh ket quá cúa đe tài “Phương trình vi phân
cap hai trong m¾t phang pha” không có sn trùng l¾p vói ket
quá cúa các đe tài khác.

Hà N®i, ngày 14 tháng 05 năm
2013
Sinh viên

Đào Th% Hái


Mnc lnc
Mé đau....................................................................................................1
Chương 1. Phương trình vi phân cap hai.............................................2
1.1. Phương trình khuyet.....................................................................3
1.2. Phương trình tuyen tính...............................................................4
1.3. Phương trình tuyen tính có h¾ so không đoi..............................5
1.4. Phương trình Euler.......................................................................7
Chương 2. Phương trình vi phân cap hai trong m¾t phang pha . . .

8

2.1. Lưoc đo pha cúa phương trình con lac đơn................................8
2.2. Phương trình autonom trong m¾t phang pha.........................12
2.3. Mô hình cơ hoc cúa h¾ đ®ng lnc báo toàn x¨ = f (x)..............24
2.4. Dao đ®ng tat dan tuyen tính......................................................33
2.5. Giám toc phi tuyen: chu trình giói han......................................37
2.6. M®t so úng dnng.........................................................................46
2.7. H¾ báo toàn phn thu®c tham so...............................................52
2.8. Bieu dien đo th% các nghi¾m...............................................................55
Ket lu¾n................................................................................................57
Tài li¾u tham kháo...............................................................................58


Me ĐAU
Phương trình vi phân là m®t phương trình toán hoc nham bieu dien
moi quan h¾ giua m®t hàm chưa biet (m®t ho¾c nhieu bien) vói đao hàm
cúa nó (có b¾c khác nhau). Phương trình vi phân xuat hi¾n trên cơ só phát
trien cúa khoa hoc kĩ thu¾t và nhung yêu cau đòi hói cúa thnc te. Do
v¾y vi¾c nghiên cúu phương trình vi phân có ý nghĩa quan trong. Trên
thnc te so phương trình vi phân nói chung, so phương trình vi phân cap
hai nói riêng giái đưoc không nhieu (xem m®t so lóp phương trình vi
phân cap hai giái đưoc trong Chương 1). Do v¾y chúng ta phái có m®t
hưóng mói đe nghiên cúu phương trình vi phân, đó là hưóng nghiên cúu
đ%nh tính cúa phương trình vi phân. Nghiên cúu đ%nh tính phương trình
vi phân là tìm cách suy ra các đ¾c trưng quan trong cúa các nghi¾m cúa
phương trình vi phân mà không can giái chúng. M®t trong nhung công
cn hình hoc đe nghiên cúu đ%nh tính là m¾t phang pha. Qua m¾t
phang pha ta nh¾n đưoc các tính chat quan trong như: điem cân bang,
tính tăng vô han, tính on đ%nh và m®t so ket quá khác.

Vói mong muon đưoc tìm hieu sâu hơn ve phương trình vi phân cap hai
hay cn the hơn là sú dnng m¾t phang pha nghiên cúu đ%nh tính
phương trình vi phân cap hai, em đã manh dan chon đe tài: "Phương
trình vi phân cap hai trong m¾t phang pha". N®i dung đe c¾p trong
khóa lu¾n đưoc trình bày trong hai chương:
Chương 1 trình bày các khái ni¾m cơ bán ve phương trình vi phân cap
hai và m®t so lóp phương trình vi phân cap hai giái đưoc ho¾c ha cap
đưoc. Chương 2 trình bày ve khái ni¾m m¾t phang pha và cách sú dnng
m¾t phang pha đe nghiên cúu đ%nh tính cúa phương trình vi phân cap hai.
Do là lan đau thnc t¾p nghiên cúu, thòi gian có han và năng lnc bán
thân còn han che nên chac chan bài nghiên cúu này khó tránh khói
nhung thieu sót. Em rat mong nh¾n đưoc sn đóng góp ý kien cúa thay
cô và ban đoc đe đe tài này hoàn chính và đat ket quá cao hơn.
1


Chương 1

Phương trình vi phân cap
hai
Phương trình vi phân cap hai là phương trình có dang
F(x, y, yr, yrr) = 0.

(1.1)

ó đây x là bien đ®c l¾p, y(x) là hàm chưa biet và yr(x), yrr(x) là các đao
hàm cúa nó.
Neu giái đưoc phương trình (1.1) đoi vói yrr, nó có dang
yrr = f (x, y, yr).

(1.2)

Đ%nh lý 1.1. (Sn ton tai và duy nhat nghi¾m). Cho phương trình (1.2)
∂f
∂ f (x, y, yr) liên tnc trong m®t mien D nào
Neu f (x, y,
r
(x,
y,
y
)
∂ y đó
yr),
và
∂y
r
trong R3 và neu (x0, y0, 0yr ) là m®t điem liên tnc thu®c D thì trong m®t
lân c¾n
nào đó cúa điem x = x0, ton tai m®t nghi¾m duy nhat y = y(x) cúa
phương trình (1.2) thóa mãn các đieu ki¾n
y|x=x0 = y0, yr|x=x0 = yr .
0

(1.3)


Bài toán tìm nghi¾m cúa phương trình (1.2) thóa mãn đieu ki¾n
(1.3) đưoc goi là bài toán Cauchy cúa phương trình (1.2).
Nghi¾m tong quát cúa phương trình (1.2) là hàm y = ϕ(x,C1,C2), trong
đó

C1,C2 là các hang so tùy ý thóa mãn đieu ki¾n sau:
(i) Nó thóa mãn phương trình (1.2) vói moi C1,C2,
(ii) Vói moi (x0, y0, yr ) ó đó các đieu ki¾n cúa đ%nh lý ton tai và duy
0
nhat nghi¾m đưoc thóa mãn, có the tìm đưoc các giá tr% xác đ
%nh C1 =
0
0
0
C0
1 ,C2 = C2 sao cho hàm so y = ϕ(x,C1 ,C2 ) thóa mãn
y|x=x0 = y0, yr|x=x0 = yr .
0

H¾ thúc Φ(x, y,C1,C2) = 0 xác đ%nh nghi¾m tong quát cúa phương
trình (1.2) dưói dang an đưoc goi là tích phân tong quát cúa nó.
Nghi¾m riêng cúa phương trình (1.2) là m®t hàm so y = ϕ(x,C 0 ,C0 )
nh¾n
1

2

đưoc bang cách cho C1,C2 trong nghi¾m tong quát các giá tr% xác đ%nh
0
0
C0 0
1 ,C2 . H¾ thúc Φ(x, y,C1 ,C2 ) = 0 đưoc goi là tích phân riêng.

1.1. Phương trình khuyet
(i) Phương trình khuyet y : F(x, yr, yrr) = 0

Đ¾t p = yr, ta tìm đưoc F(x, p, pr) = 0 đó là phương trình cap m®t đoi
vói p.
(ii) Phương trình khuyet x : F(y, yr, yrr) = 0
d
dp dp
p , do đó ta xem p là tham so
=
Đ¾t p = yr, Ta có yrr dx
dy
= p chưa
=
dy
dy
dx
dp
trình vi phân cap m®t đoi
biet cúa y. Phương trình tró thành F(y, p,
vói p.
p
d
y


) = 0. Đó cũng là m®t phương
(iii) Phương trình khuyet y, yr : F(x, yrr) = 0
Đ¾t yr = p, ta đưoc F(x, pr) = 0 đó là phương trình cap m®t đoi vói p.


1.2. Phương trình tuyen tính
Đó là phương trình vi phân có dang

yrr + p(x)yr + q(x)y = f (x)

(1.4)

trong đó p(x), q(x), f (x) là nhung hàm so liên tnc. Phương trình đưoc
goi là thuan nhat neu f (x) ≡ 0, không là thuan nhat neu f (x) ƒ≡ 0.
(i) Phương trình vi phân tuyen tính thuan nhat
yrr + p(x)yr + q(x)y = 0

(1.5)

Đ%nh lý 1.2. Neu y1(x) và y2(x) là hai nghi¾m cúa phương trình (1.5)
thì C1y1(x) + C2y2(x), trong đó C1, C2 là hai hang so, cũng là nghi¾m
cúa phương trình đó.
Đ%nh nghĩa 1.1. Hai hàm so y1(x) và y2(x) đưoc goi là đ®c l¾p tuyen
tính
y2(x)
trên đoan [a, b] neu tí
ƒ= hang so trên đoan đó. Trái lai hai hàm
y1(x này
so
)
đưoc goi là phn thu®c tuyen tính.
Đ%nh nghĩa 1.2. Cho hàm so y1(x) và y2 (x), đ%nh thúc
..y y .
. 1
2 ..
= y1yr2 − y2 yr1
. r
.

r
.y
.
y
1
2
đưoc goi đ%nh thúc Wronsky cúa y1(x), y2(x) và đưoc kí hi¾u là W (y1,
y2).
Đ%nh lý 1.3. Neu hai hàm so y1(x) và y2(x) phn thu®c tuyen tính trên
đoan
[a, b] thì W (y1, y2) = 0 trên đoan đó.
Đ%nh lý 1.4. Neu W (y1, y2) cúa hai nghi¾m y1(x), y2(x) cúa phương
trình tuyen tính thuan nhat (1.5) khác không tai moi giá tr% x = x0 nào
đó cúa đoan [a, b], trên đó các h¾ so p(x), q(x) liên tnc, thì nó khác
không vói moi x trên đó.


Đ%nh lý 1.5. Neu các nghi¾m y1(x), y2(x) cúa phương trình (1.5) là đ®c
l¾p tuyen tính trên đoan [a, b], thì W (y1, y2) khác không tai moi điem
cúa đoan đó .
Đ%nh lý 1.6. Neu y1(x), y2(x) là hai nghi¾m đ®c l¾p tuyen tính cúa
phương trình (1.5) thì nghi¾m tong quát cúa (1.5) là
y = C1y1(x) + C2y2(x),

(1.6)

trong đó C1, C2 là nhung hang so tùy ý.
Đ%nh lý 1.7. Neu đã biet m®t nghi¾m riêng y1(x) ƒ= 0 cúa phương trình
(1.5) ta có the tìm m®t nghi¾m riêng y2(x) cúa phương trình đó, đ®c
l¾p tuyen tính vói y1(x), có dang y2(x) = y1(x)u(x).

(ii) Phương trình vi phân tuyen tính không thuan nhat
yrr + p(x)yr + q(x)y = f (x)

(1.7)

Đ%nh lý 1.8. Nghi¾m tong quát cúa phương trình không thuan nhat
(1.7) bang tong nghi¾m cúa nghi¾m tong quát cúa phương trình thuan
nhat tương úng (1.5) vói m®t nghi¾m riêng nào đó cúa phương trình
không thuan nhat (1.7).
Đ%nh lý 1.9. (Nguyên lí chong nghi¾m). Cho phương trình
yrr + p(x)yr + q(x)y = f1(x) + f2(x).
Neu y1(x) là m®t nghi¾m riêng cúa yrr + p(x)yr + q(x)y = f1(x), y2(x)
là m®t nghi¾m riêng cúa yrr + p(x)yr + q(x)y = f2(x) thì y = y1(x) +
y2(x) là m®t nghi¾m riêng cúa phương trình đã cho.

1.3. Phương trình tuyen tính có h¾ so không đoi
(i) Phương trình thuan nhat
yrr + pyr + qy = 0

(1.8)


trong đó p, q là các hang so và
2

k + pk + q = 0

(1.9)

đưoc goi là phương trình đ¾c trưng cúa phương trình (1.8).

Neu (1.9) có hai nghi¾m thnc phân bi¾t k1, k2 thì nghi¾m tong quát cúa
(1.8) là: y = (C1ek1x + C2ek2x).
Neu (1.9) có nghi¾m kép k1 = k2 thì nghi¾m tong quát cúa (1.8) là:
y = (C1 + C2x)ek1x.
Neu (1.9) có nghi¾m
phúc


k = α + iβ
1
k = α − iβ
2

thì nghi¾m tong quát cúa (1.8) là: y = eαx(C1 cos βx + C2 sin β x).
(ii) Phương trình không thuan nhat
yrr + pyr + qy = f (x)

(1.10)

trong đó p, q là các hang so. Như phan trưóc ta đã biet phương trình
(1.10) có nghi¾m tong quát: y = y¯ + y∗ , vói


y¯ là nghi¾m tong quát cúa phương trình (1.8)
 ∗
y là nghi¾m riêng cúa phương trình (1.10)
Ví dn 1.1. Giái phương trình yrr + 3yr − 4y = x
Phương trình đ¾c trưng k2 + 3k − 4 = 0 có hai nghi¾m k = 1, k = −4.
V¾y nghi¾m tong quát cúa phương trình thuan nhat tương úng là
y = C1ex + C2e−4x.

Ve phái cúa phương trình có dang eαx P1 (x), trong đó α = 0, P1 (x) = x.
α = 0 không là nghi¾m cúa phương trình đ¾c trưng, v¾y ta tìm nghi¾m
riêng


cúa phương trình có dang Y = Ax + B.
The vào phương trình trên, ta đưoc −4Ax + 3A − 4B = x
1
3
x
3
⇒ −4A = 1, 3A − 4B = 0 ⇒ A = − , B = −
⇒Y=− −
.
4
16
4 16
Nghi¾m tong quát phái tìm là
x
3
x
−4x
y = C1 e + C 2 e
−− .
4 16

1.4. Phương trình Euler
Phương trình Euler có dang
2

x yrr + axyr + by = 0
ta đoi bien


x = et , x > 0
x = −et , x < 0

đ¾t x = et ⇒ t = lnx
⇒

1


 r
y x = ytr t = t yr
x1
1
1
1
 r r
y x x = − 2 ytr + (ytrrt ) = 2 (ytrrt − ytr )
x
x
x
x
thay vào (1.11) ta thu đưoc
d2y

dy

+ (a − 1)
+ by = 0
d2t
dt
là phương trình tuyen tính vói h¾ so không đoi.

(1.11)


Chương 2

Phương trình vi phân cap
hai trong m¾t phang pha
Trưóc het ta giói thi¾u khái ni¾m m¾t phang pha thông qua m®t
phương trình cn the đó là phương trình dao đ®ng cúa con lac đơn.

2.1. Lưec đo pha cúa phương trình con lac đơn
Con lac đơn (xem Hình 2.1) bao gom m®t phan tú P khoi lưong m đưoc
treo vào m®t điem co đ%nh O bói m®t soi dây hay thanh mánh có đ®
dài a, dao đ®ng trong m¾t phang đúng. Neu bó qua ma sát và súc cán
thì phương trình chuyen đ®ng cúa con lac đưoc viet là:
2

x¨ + ω sinx = 0,

(2.1)

trong đó, x là góc nghiêng cúa dây so vói phương thang đúng, g là gia toc
trong trưòng và ω 2 = g/a.

Chúng ta chuyen phương trình (2.1) ve dang có chúa x˙ và x như sau:
x¨ = dx˙
dt
=

dx˙
dx
dx dt
d 1

(2.2)

2

=

( x˙ )
dx 2
Sn bieu dien đó cúa x¨ đưoc goi là sn bien đoi năng lưong. Phương trình
(2.1)
d 1
khi đó có dang
( x˙2 ) + ω 2 sinx = 0.
dx
là:
2

Hình 2.1: Con lac đơn vói đ® d%ch chuyen góc x.
Lay tích phân phương trình theo bien x, ta đưoc:

1
2

2

2

x˙ − ω cosx = C,

(2.3)

trong đó, C là m®t hang so tùy ý. Chú ý rang, phương trình này bieu dien
lu¾t báo toàn năng lưeng trong moi chuyen đ®ng vì neu ta nhân
1
phương trình (2.3) vói ma2 thì ta đưoc:− ma2 x˙2 mga.cosx = E,
2
trong đó, E là m®t hang so tùy ý. Phương trình này có dang:
E= đ®ng năng cúa P+ the năng cúa P


và moi giá tr% riêng cúa E tương úng vói m®t chuyen đ®ng tn do riêng.
Ta bieu dien x˙ theo x tù (2.3) :
√
1
2
x˙ = ± 2(C + ω cosx) 2 .

(2.4)

Đây là m®t phương trình vi phân cap 1 đoi vói x(t). Phương trình này
không giái đưoc qua các hàm sơ cap cơ bán (xem [5]), nhưng ta se chí ra
rang ta có the nh¾n đưoc các đ¾c tính cơ bán cúa nghi¾m tù phương trình
(2.4) mà
không can phái giái nó.
Ta đưa ra m®t bien mói y, đưoc xác đ%nh như sau:
x˙ = y.
Khi đó phương trình (2.4) tró thành:
√
1
2
y = ± 2(C + ω cosx) 2 .

(2.5a)

(2.5b)

Trong h¾ toa đ® Đecac Oxy, goi là m®t m¾t phang pha, ta ve ho các
đưòng cong cúa (2.5b) vói các giá tr% khác nhau cúa C. Ta đưoc Hình
2.2. Nó đưoc goi là lưoc đo pha cúa bài toán, và các đưòng cong đưoc goi
là các quy đao pha (hay đưèng cong pha). Moi đưòng cong pha đưoc xác
đ%nh bói m®t
giá tr% cúa C. Các đưòng cong pha đi qua (−π, 0) và (π, 0), úng vói C =
ω2;
các đưòng bên trong các đưòng đó úng vói −ω2 < C < ω 2 ; còn các
đưòng bên ngoài thì úng vói C > ω 2 . Phương trình (2.5b) cho thay sn
tuan hoàn vói chu kì 2π theo x và đưoc chí ra trên Hình 2.2.

Hình 2.2: Lưoc đo pha cho phương trình con lac đơn (2.1).
Moi c¾p giá tr% (x, y) hay (x, x˙), tương úng vói m®t điem P trên

lưoc đo đưoc goi là m®t trang thái cúa h¾. Moi trang thái cung cap m®t


v¾n toc góc x˙ = y tai moi góc nghiêng x cn the, và các giá tr% này là
nhung thú ta có


the nh¾n đưoc khi quan sát con lac dao đ®ng ó bat cú thòi điem nào.
Moi trang thái đã cho se cho ta m®t c¾p đieu ki¾n ban đau cho phương
trình vi phân (2.1). Do v¾y, moi trang thái đã cho se xác đ%nh tat cá các
trang thái sau đó; là các điem nam trên đưòng cong pha đi qua điem
P(x, y); vói (x, y)
là trang thái ban đau đó.
Hưéng, theo đó các quy đao pha di chuyen theo chieu tăng dan theo
thòi gian như Hình 2.2. Theo (2.5a), khi y > 0, thì x˙ > 0 , do đó x phái
tăng khi t tăng. Vì v¾y, hưóng quy đao luôn luôn là tù trái sang phái
trong núa m¾t phang trên. Tương tn, hưóng luôn là tù phái sang trái
trong núa m¾t phang dưói. Toàn b® Hình 2.2 là lưoc đo pha cúa
phương trình (2.1).
M¾c dù không xuat hi¾n bien thòi gian trong bieu dien m¾t phang
pha, nhưng chúng ta van có the xác đ%nh m®t so đ¾c trưng v¾t lý
trong chuyen đ®ng có the cúa con lac tù Hình 2.2. Bieu hi¾n đau tiên có
the thay là trang thái cân bang v¾t lý cúa con lac. Rõ ràng là khi con lac
treo không dao đ®ng
thì x = x˙ = 0, tương úng vói điem goc trong Hình 2.2. Hàm theo bien
0,
thòi
gian x(t) = 0 là m®t nghi¾m hang cúa phương trình (2.1), úng vói nó
đưòng cong pha suy bien thành t¾p m®t điem.
Neu con lac treo bói m®t thanh nhe thì có the có v% trí cân bang thú

hai, nó đưoc cân bang tai điem khi thanh thang đúng. Đó là trang thái x
= π, x˙ = 0, úng vói m®t nghi¾m hang khác cúa (2.1), nó đưoc the
hi¾n bói điem A trên lưoc đo pha. Van đieu ki¾n v¾t lý đó còn đưoc
mô tá bói trang thái x = −π, x˙ = 0, và đưoc bieu dien bói điem B.
Tương tn như v¾y các trang thái x = nπ, x˙ = 0, vói n là so nguyên bat
kì; mô tá m®t trong hai trang thái cân bang trên. Thnc te, Hình 2.2 chí là
m®t phan cúa lưoc đo pha, và chúng còn đưoc l¾p đi l¾p lai tuan hoàn
theo thòi gian, do v¾y ta se không có tương úng 1 − 1 giua trang thái v¾t
lý cúa con lac vói m®t điem trên lưoc đo pha.


Do các điem O, A, B bieu dien các trang thái cân bang v¾t lý, nên
chúng đưoc goi là các điem cân bang cúa lưoc đo pha.
Bây giò chúng ta xét ho các đưòng cong kín bao quanh điem goc trên


Hình 2.2. Các đưòng cong này cho thay dao đ®ng tuan hoàn, theo đó con
lac dao đ®ng qua lai quanh phương doc. Biên đ® dao đ®ng là giá tr% lón
nhat cúa x đat đưoc trên đưòng cong. Đoi vói các biên đ® đú nhó, các
đưòng cong đai di¾n cho các nghi¾m “biên đ®” nhó cúa phương trình con
lac (2.1).
Lúc này ta có the lay xap xí sin x ≈ x, và (2.1) đưoc xap xí bói phương
trình x¨ + ω 2 x = 0, có nghi¾m là x(t) = Acos ωt + Bsin ωt, tương úng
vói các đưòng cong pha
x2 +

y

2

= hang so.

ω2
Do đó các đưòng cong pha gan giong elip ó trong mien biên đ® nhó.
Các đưòng cong pha lưon sóng ó phía trên và phía dưói cúa Hình 2.2,
trên đó x˙ có dau không đoi, và x liên tnc tăng ho¾c giám, tương úng vói
các chuyen đ®ng quay tít cúa con lac. Sn tăng giám cúa x˙ chú yeu là do
lnc hap dan, nên trên các quy đao pha có x˙ rat lón thì tác đ®ng đó là
không đáng ke nên các đưòng cong pha gan vói các đưòng thang song
song vói trnc x.
Tiep theo, ta kháo sát tính on đ%nh cúa hai trang thái cân bang đien
hình tương úng vói điem O và A. Neu trang thái ban đau đưoc d%ch m®t
chút khói O, thì nó thu®c vào m®t trong các đưòng cong kín gan đó và
con lac dao đ®ng vói biên đ® nhó quanh O. Do đó ta nói O là cân bang
on đ%nh. Neu trang thái ban đau d%ch khói A m®t chút (lên trên v% trí
cân bang), thì ngay l¾p túc nó rơi vào m®t quy đao pha mang trang thái
ra xa trang thái cân bang tai A, thành m®t dao đ®ng lón hay m®t dao
đ®ng quay tít (xem Hình 2.3). Do đó, điem cân bang này đưoc goi là
không on đ%nh.

2.2. Phương trình autonom trong m¾t phang pha


Phương trình vi phân cap hai tong
x¨ = f (x, x˙, t) vói đieu ki¾n
quát:
đau
x(t0 ) và x˙(t0 ), là m®t ví dn ve m®t h¾ đ®ng l?c. Sn tien hóa hay các
trang thái tương lai cúa h¾ đưoc cho bói x(t) và x˙(t). Nói chung, các h¾
đ®ng lnc

Hình 2.3: Điem cân bang không on đ%nh cúa con lac: chuyen trang thái ban
đau đen C.

là các bài toán giá tr% ban đau đưoc đieu khien bói các phương trình vi
phân thưòng, hay phương trình đao hàm riêng, ho¾c phương trình sai
phân. 6 đây ta chú yeu xét h¾ phi tuyen đieu khien bói m®t phương trình vi
phân thưòng. Phương trình trên có the đưoc hieu như m®t phương trình
chuyen đ®ng cúa m®t h¾ cơ hoc; trong đó, x bieu th% đ® d%ch chuyen
cúa phan tú có khoi
lưong đơn v%, x x¨ lan lưot bieu dien v¾n toc và gia toc cúa nó, f là lnc
˙,
tác đ®ng (ngoai lnc), do đó phương trình này thưòng là bieu dien đ%nh
lu¾t chuyen đ®ng cúa Newton:
Gia toc = Lnc tác đ®ng trên m®t đơn v% khoi lưong.
M®t h¾ cơ hoc goi là cân bang neu như trang thái không thay đoi
theo thòi gian. Do đó, m®t trang thái cân bang tương úng vói m®t
nghi¾m hang cúa phương trình vi phân, và ngưoc lai. M®t nghi¾m
hang có x˙, x¨ đong thòi bang không. Chú ý rang chí x˙ = 0 thì chưa đú đe
xác đ%nh m®t h¾ cân bang: chang han con lac dao đ®ng và dùng khi
đ® l¾ch góc lón nhat, nhưng nó hien nhiên không phái là m®t trang
thái cân bang. Các nghi¾m hang đó chính là nghi¾m hang (neu có) cúa
phương trình f(x, 0, t) = 0.


Ta phân bi¾t giua hai loai phương trình vi phân:


(1) Loai autonom, úng vói f không phn thu®c tưòng minh vào t;

(2) Loai không autonom úng vói f phn thu®c tưòng minh vào t.
M®t phương trình không autonom tiêu bieu mô tá dao đ®ng tat dan
tuyen tính vói m®t ngoai lnc đieu hòa
x¨ + kx˙ + ωo 2 x = F cos ωt,
trong đó, f (x, x˙, t) = −kx˙ − ω0 2 x + F cos ωt. H¾ này không có các
trang thái cân bang. Các trang thái cân bang thưòng không đưoc gan
vói các phương trình không autonom, m¾c dù chúng có the xuat hi¾n,
chang han trong phương trình Mathieu
x¨ + (α + β cos x) = 0,
có trang thái cân bang tai x = 0, x˙ = 0.
Trong chương này, ta se chí đe c¾p tói các h¾ autonom, đưoc cho bói
phương trình vi phân
x¨ = f (x, x˙),

(2.6)

trong đó t vang m¾t ó ve phái cúa phương trình. Đe nh¾n đưoc bieu
dien trong m¾t phang pha, ta đ¾t

x˙ = y
y˙ = f (x, y).

(2.7)

Đây là m®t h¾ phương trình cap m®t, tương đương vói (2.6).
Trang thái cúa h¾ tai m®t thòi điem t0 bao gom c¾p so (x(t0 ),
x˙(t0 )), nó có the coi như c¾p đieu ki¾n ban đau cho phương trình vi phân
thưòng (2.6). Vì v¾y, trang thái đau se xác đ%nh tat cá các trang thái sau
(hay trưóc) cúa chuyen đ®ng riêng tn do.

Trong m¾t phang pha vói các trnc x và y, trang thái tai m®t thòi điem
t0 bao gom c¾p so (x(t0), y(t0)), các giá tr% x, y này, tương úng vói m®t
điem P trong m¾t phang pha, cho ta m®t đieu ki¾n ban đau cho h¾
phương trình vi
phân cap m®t (2.7), và vì v¾y xác đ%nh tat cá các trang thái, qua đó h¾
thnc hi¾n trong m®t chuyen đ®ng riêng. Các trang thái tiep theo cho bói
phương trình tham so
x = x(t), y = y(t),

(2.8)

vach ra m®t đưòng cong qua điem đau P : (x(t0 ), x˙(t0 )), goi là đưèng
cong pha hay quy đao pha.
Hưéng cúa các quy đao pha nh¾n đưoc tù quan h¾ (2.7). Khi y > 0
thì x˙ > 0, do đó x tăng theo thòi gian; và khi y < 0, x giám theo thòi
gian. Vì v¾y, các hưóng se tù trái sang phái ó núa trên cúa m¾t phang
pha, và tù phái sang trái ó núa dưói cúa m¾t phang pha.
Đe có đưoc moi liên h¾ giua x và t xác đ%nh các đưòng cong pha, ta khú
tham so t nhò (2.7) và công thúc:
y˙
x˙

=

dy
dx

.

Khi đó, phương trình vi phân xác đ%nh đưèng cong pha là:
dy
dx
=

f (x, y)
.
y

(2.9)

M®t đưòng cong pha riêng đưoc xác đ%nh bang cách yêu cau đi qua
m®t điem cn the P : (x, y), tương úng vói trang thái ban đau (x0, y0),
trong đó
y0 = y(x0).

(2.10)

M®t hình ve đay đú ve các đưòng cong pha bao gom các mũi tên
chí hưóng tao thành lưec đo pha. Bien thòi gian t không xuat hi¾n trên
lưoc đo đó.