Tối ưu của các hàm lồi toàn cục

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
KHOA TOÁN
****************

NGUYEN TH± HÀ

TOI ƯU CÚA CÁC HÀM LOI TOÀN CUC

KHOÁ LU¾N TOT NGHIfiP ĐAI HOC
Chuyên ngành: Giái Tích

Ngưòi hưóng dan khoa hoc
ThS. Nguyen Văn Tuyên

Hà N®i - 2013



LèI CÁM ƠN

Em xin đưoc gúi lòi cám ơn tói các thay cô giáo trưòng Đai hoc
Sư pham Hà N®i 2, các thay cô giáo khoa Toán đã giúp đõ em trong quá
trình hoc t¾p tai trưòng và tao đieu ki¾n cho em hoàn thành khoá lu¾n.
Đ¾c bi¾t em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói thay giáo Nguyen
Văn Tuyên đã t¾n tình giúp đõ em trong suot quá trình hoc t¾p, nghiên
cúu và hoàn thành khoá lu¾n này.
Là sinh viên lan đau tiên nghiên cúu khoa hoc nên không tránh
khói nhung thieu sót và han che. Kính mong nh¾n đưoc sn đóng góp ý
kien cna các thay giáo, cô giáo và toàn the ban đoc đe khoá lu¾n đưoc
hoàn thi¾n hơn.
Em xin chân thành cám ơn !

Hà N®i, tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Nguyen Th% Hà

ii


LèI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan dưói sn hưóng dan cna thay giáo Nguyen Văn
Tuyên khoá lu¾n cna em đưoc hoàn thành không trùng vói bat kì công
trình khoa hoc nào khác.
Trong khi thnc hi¾n khoá lu¾n em đã sú dung và tham kháo các
thành tnu cna các nhà khoa hoc vói lòng biet ơn trân trong.

Hà N®i, tháng 5 năm 2013
Sinh Viên
Nguyen Th% Hà

4


Mnc lnc

Má đau

1

Má đau

1

1 M®t so kien thNc chuan b%

4

1.1. M®t so kien thúc cơ só ve giái tích loi . . . . . . . . . . .

4

1.1.1. T¾p loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2. Hình chieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.3. Các đ%nh lý tách................................................................11
1.1.4. Nón................................................................................. 12
1.1.5. Hàm loi................................................................................14
1.1.6. Hàm loi khá vi............................................................... 15
1.1.7. Dưói vi phân..................................................................18
1.2. Các đieu ki¾n toi ưu cho bài toán toi ưu trơn có ràng bu®c 21
1.2.1. Các đieu ki¾n cho bài toán toi ưu không có ràng
bu®c....................................................................................21
1.2.2. Các đieu ki¾n cho bài toán toi ưu có ràng bu®c

.

22


2 Toi ưu hoá cúa các hàm loi toàn cnc

35

2.1. M®t so phiên bán loi toàn cuc..................................................35
2.2. Cnc tieu...................................................................................42
2.3. Tính chat đ%nh tính cna ρ(C, c)....................................................44
2.4. Cnc đai....................................................................................... 51
2.5. Ưóc lưong cna ρ(E)...................................................................54
Tài li¾u tham kháo

69


Má đau

1. Lý do chon đe tài
Các hàm loi có nhung tính chat tot cho cá bài toán cnc tieu và
bài toán cnc đai. Tương tn các tính chat đã đưoc đưa ra, ó đây chúng
ta xét các hàm có hình dáng đ%a phương “xau" nhưng chúng là các hàm
loi toàn cuc theo nghĩa là chúng có tính chat “loi” trên các b® ba điem
thang hàng. Chúng ta biet rang, các giá thiet trong các bài toán toi ưu
thưòng đưoc thiet l¾p dưói hai dang cơ bán:
(a) T¾p chap nh¾n đưoc C là m®t t¾p con loi cna không gian
Minkowski E (hay m®t không gian đ%nh chuan thnc huu han chieu);
(b) Hàm muc tiêu ϕ là hàm loi, nghĩa là ϕ là m®t hàm lay giá tr% thnc trên

C sao cho
ϕ(y) ≤ λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(z)

(0.1)

vói moi
x, z ∈ C vói x ƒ= z, 0 < λ < 1,

y = λx + (1 − λ)z.

(0.2)

Chúng ta cũng biet rang, tính loi là giá thiet rat huu ích cho cá
bài toán cnc tieu và bài toán cnc đai:
(P1) Moi điem cnc tieu đ%a phương cna m®t hàm loi là m®t điem
cnc tieu toàn cuc.
(P2) Neu m®t hàm loi đat cnc đai thì nó phái đat đưoc tai các
điem cnc biên cna mien huu hi¾u.

7


Moi tính chat (P1) và (P2) g¾p nhung khó khăn trong vi¾c tìm giá
tr% cnc tr% cna các hàm và nó là cơ só cna các thu¾t toán tìm các giá tr%
xap xí toi ưu và các điem thu®c C đe các hàm đat cnc tr%. Tuy nhiên,
trong các thu¾t toán đưoc đưa ra dưòng như giá thiet (a) luôn đưoc thóa
mãn. Trong khi đó, giá thiet (b) như là m®t sn han che trong thnc te. Vì
v¾y ngưòi ta đưa ra ý tưóng loi hóa các hàm muc tiêu tương tn như vi¾c
tuyen tính hóa hay đơn đi¾u hóa. Vi¾c toàn cuc hóa các tính chat quan
trong cna hàm so là cnc kì quan trong trong bài toán toi ưu. Các ket

quá hay các lưoc đo toán hoc, đ¾c bi¾t khi nó áp dung cho thnc hành
đòi hói thu¾t toán phái h®i tu nhanh và đn gan giá tr% toi ưu.
Vói các lý do như trên, đưoc sn đ%nh hưóng cna thay hưóng dan
em đã chon đe tài “Toi ưu cúa các hàm loi toàn cnc” đe hoàn thành
khóa lu¾n Tot nghi¾p Đai hoc.
Khóa lu¾n đưoc bo cuc như sau:
Chương 1. Trình bày các kien thúc cơ só cna Giái tích loi như: T¾p
loi, hàm loi, dưói vi phân cna hàm loi, các đieu ki¾n cnc tr%, ...
Chương 2. Trình bày ve van đe toi ưu hóa cna các hàm loi toàn
cuc. Các ket quá cna chương này trình bày m®t cách chi tiet các ket quá
có trong [17].

2. Mnc đích nghiên cNu
Nghiên cúu các van đe ve toi ưu hoá cna các hàm loi toàn cuc.


3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Nghiên cúu các van đe cơ bán cna Giái tích loi như: T¾p loi, hàm
loi, dưói vi phân cna hàm loi, các đieu ki¾n cnc tr%, ...
Nghiên cúu các van đe ve toi ưu hoá cna các hàm loi toàn cuc.

4. Phương pháp nghiên cNu
Tra cúu, tong hop và phân tích tài li¾u theo sn hưóng dan cna thay
giáo hưóng dan đe hoàn thành muc tiêu đe ra.


Chương 1
M®t so kien thNc chuan b%
1.1.
1.1.1.

M®t so kien thNc cơ sá ve giái tích loi
T¾p loi
Khái ni¾m t¾p loi là khái ni¾m quan trong trong lý thuyet toi ưu.

T¾p loi là t¾p mà khi lay 2 điem bat kì cna t¾p thì đoan thang noi 2
điem đó cũng nam trong t¾p đó.
Đ%nh nghĩa 1.1. T¾p X ⊂ Rn đưoc goi là t¾p loi neu vói moi x1, x1 ∈ X
và vói moi t ∈ (0; 1) thì: (1 − t)x1 + tx2 ∈ X.
n
Bo đe 1.1. Cho I là m®t t¾p
T bat kì. Neu các t¾p Xi ⊂ R , vói i ∈ I,
là các t¾p loi thì t¾p X = i∈I Xi là t¾p loi.

Chúng minh. Ta xét 2 trưòng hop:
T
+Neu X = i∈I Xi = ∅ thì X là t¾p loi tam thưòng.
T
T
+Neu X = i∈I Xi ƒ= ∅, ta có: ∀x, y ∈ i∈I Xi, ∀t ∈ (0; 1), suy
ra x, y ∈ Xi, ∀i ∈ I. Khi đó, (1 − t)x + ty ∈ Xi, ∀i ∈ I, suy ra (1
− t)x + ty ∈ T
i∈I Xi, ∀i ∈ I. V¾y X là t¾p loi.


Bo đe 1.2. Cho X, Y là t¾p loi trong Rn và các so thnc λ, µ. Khi đó,
λX + µY là t¾p loi.
Chúng minh. Lay tùy ý x, y ∈ λX + µY , vói moi t ∈ (0; 1). Suy ra,
x = λx1 + µy1( vói x1 ∈ X, y1 ∈ Y )
y = λx2 + µy2( vói x2 ∈ X, y2 ∈ Y )

Khi đó
(1 − t)x + ty
= (1 − t)(λx1 + µy1) + t(λx2 + µy2)
= λ((1 − t)x1 + tx2) + µ((1 − t)y1 + ty2)
Do X, Y là các t¾p loi nên λ((1 − t)x1 + tx2) ∈ λX và µ((1 − t)y1 + ty2)
∈
µY . Suy ra, λ((1 − t)x1 + tx2) + µ((1 − t)y1 + ty2) ∈ λX + µY
hay
(1 − t)x + ty ∈ λX + µY . V¾y λX + µY là t¾p loi.
Đ%nh nghĩa 1.2. M®t điem x đưoc goi là to hop loi cna các điem
x1, x2, ..., xm, neu ton tai các so thnc không âm α1, α2, ..., αm sao cho
x = α1x1 + α2x2 + ... + αmxm
và
α1 + α2 + ... + αm = 1.
Đ%nh nghĩa 1.3. Bao loi cna X ( kí hi¾u: convX) là giao cna tat cá các
t¾p loi chúa X.
Bo đe 1.3. Bao loi cúa X là t¾p hop các to hop loi cúa các điem thu®c
X.
m

m


convX = {x | x =

.

αixi, xi ∈ X, α ≥ 0,

N}.

i=1

i=1

.

αi = 1, m ∈


Chúng minh. Xét t¾p Y là to hop loi cna tat cá các điem thu®c X. Neu
y1 ∈ Y, y2 ∈ Y , khi đó:
y1 = α1x1 + α2x2 + ... +
α m x m , y 2 = β1 z 1 + β2 z 2 +
... + βl zl ,
trong đó, x1, ..., xm, z1, ..., zm ∈ X, các h¾ so α, β là các h¾ so không
âm
và
l
. m
.
αi = 1,
βi = 1.
i=1

i=1

Do đó, vói moi t ∈ (0; 1) thì
m

l

.

(1 − t)y1 + ty2 = (1 − t)αixi +
i=1

.

tβizi

i=1

là m®t to hop loi cna các điem x1, ..., xm, z1, ..., zm. Do đó, t¾p Y là
t¾p loi. Rõ ràng, Y ⊃ X. Vì v¾y,
convX ⊂ Y
M¾t khác, neu y ∈ Y thì y là m®t to hop loi cna tat cá các điem thu®c
X và phái đưoc chúa trong moi t¾p loi chúa X. Do đó, convX ⊃ Y . Đen
đây ta hoàn thành đieu phái chúng minh.
Bo đe 1.4. (Đ%nh lý Carathéodory) Neu X ⊂ Rn thì moi phan tú
cúa convX là to hop loi cúa không quá (n + 1) điem thu®c X.
Chúng minh. Cho x là m®t to hop loi cna m > n + 1 điem thu®c X.
Ta se chí ra rang m có the b% giám giá tr% đi m®t đơn v%. Neu αj = 0
vói m®t vài j thì ta có the xóa điem thú j đó và thnc hi¾n. Vì v¾y,
cho tat cá αi > 0. Vì m > n + 1, ton tai các so γ1, γ2, ...., γm không
đong thòi bang 0, do đó:
. 1.
γ1 x
1

+ γ2

.

2.

x
1

+ ... + γm


.

x

m.

1

= 0.

(1.1)


Đ¾t τ =
min{αi

γ
i

: γi > 0}. Chú ý rang τ đưoc đ%nh nghĩa tot vì m®t vài
γj > 0, neu tong cna chúng bang 0. Đ¾t α¯ i = αi −
τ γi, i = 1, 2, ..., m. Tù

i=
1

(1.1)
ta cói=α¯ i = 1 và α¯ ixi = x. Tù cách đ¾t cna τ
.
m
1.m
, ít nhat có
m®t α¯ j = 0 và ta có the xóa điem thú j đó. Cú
tiep tuc quá trình trên, ta có the giám giá tr% cna m
tói n + 1.
Bo đe 1.5. Neu X ⊂ Rn là t¾p loi thì khi đó intX và
X cũng là các t¾p loi.
Chúng minh. Cho B là m®t hình cau đơn v%. Neu x1
∈ intX, x2 ∈ intX, khi đó, ta có the tìm ε > 0 sao
cho x1 + εB ⊂ X và x2 + εB ⊂ X. Do đó, (1 − t)x1
+ tx2 + εB ⊂ X vói t ∈ (0; 1). Vì v¾y, (1 − t)x1 +
tx2 ∈ intX. Đe chúng minh phan 2 cna bo đe, ta cho
xk → x và yk → y vói xk ∈ X và yk ∈ X. Khi đó,
dãy cna các điem
(1 − t)xk + tyk
đưoc chúa trong X và h®i tu tói (1 − t)x + ty ∈ X.
1.1.2.

Hình chieu

Cho m®t t¾p loi, đóng V ⊂ Rn và x ∈ Rn. Ta
nói điem trong V
gan nhat đoi vói điem x là hình chieu cna x trên V và
kí hi¾u là: ΠV (x).
ΠV (x) = {z ∈ V | "z − x" = inf "y − x"}.
y∈V


(Ta nói
điem z ∈ V
đưoc goi là
điem gan nhat
đoi vói x hay
z là hình
chieu cna x
trên V neu "z
− x" = inf "y
− x").

y∈V

Đ%nh lý 1.1.
Cho V ⊂ Rn
là t¾p loi,
đóng và khác
rong. Khi đó,
vói moi x ∈
Rn, ton tai
duy nhat điem

hình chieu
cúa x trên V .


Chúng minh. Đ¾t µ = inf "y − x" . Vì V ƒ= ∅ nên 0 ≤ µ < +∞.
Lay
y∈V

{yk ⊂ V } sao cho yk − x → µ. Rõ ràng {yk} là dãy b% ch¾n. Khi đó,
j
j
j
k
}
là
dãy
con
cna
{y
}
sao
cho
lim
ton tai
= z. Vì
} ⊂ V và
k
y
{yk
{yk

j→∞
yk − x = µ = inf "y − x"
V là t¾p đóng nên z ∈ V .
"z − x" =
lim
k→∞

y∈V

Suy ra z là hình chieu cna x trên V .
Giá sú z1, z2 là hình chieu cna x trên V (z1, z2 ∈ ΠV (x)). Chon
z¯
= + ta có z¯ ∈ V . Khi đó,
z2
z1

2

2

1

2

2

2

"z1 − z2 " = µ − "z − x"

4
suy ra z1 = z2. V¾y đ%nh lý đã đưoc chúng minh.

Bo đe 1.6. Giá sú V ⊂ Rn là m®t t¾p loi, đóng, khác rong và x ∈ Rn.
Khi đó, z = ΠV (x) khi và chs khi z ∈ V, (v − z, x − z) ≤ 0 ∀v ∈ V.
Chúng minh. Giá sú z = ΠV (x) và z ∈ V, v ∈ V . Đ¾t:
w(α) = αv + (1 − α)z, α ∈ [0; 1], w(α) ∈ V.
Do z = ΠV (x), suy ra
"w(α) − x" ≥ "z − x" , ∀α ∈ [0; 1]
"w(α) −
x"

hay là

Ta có:

"w(α) −
x"

2

, ∀α ∈ [0; 1].

2

≥ "z −
2
x"

= (α(v − z) + z − x, α(v − z) + z − x)

2

2


= α2 "v −
z"
2

+ 2α (v − z, z − x) + "z − x"

≥ "z − x" , ∀α ∈ [0; 1].


Suy ra α2 "v − z"
2

+ 2α (v − z, z − x) + "z − ≥ 0, ∀α ∈ [0; 1].
2
Vói α . Cho
2
x"
2
∈ [0; α →
1] : (v 0+
− z, x suy
− z)
ra
≤ 1α
"v −

z"
(v − z, x − z) ≤ 0.
Ngưoc lai, giá
sú rang z ∈ V và
(v − z, x − z) ≤
0, ∀v ∈ V. Suy ra,
vói v = ΠV (x) thì
(ΠV
(x)
−
z, x
−
z)
≤0
(1.2)
Theo chúng minh ó
phan thu¾n ta có:
(v
−
Π
V

(x
),
x
−
Π
V

(
x
)
)
≤
0
,
∀
v

" ≤ 20.
Π
V

(
x
)
−
z
"

∈

Nh¾n xét: Neu V là
m®t đa tap tuyen tính, túc là
V
vói moi x, y ∈
(z −
ΠV (x),
x − ΠV

(x)) ≤
0.
(1.3)

s

V , vói moi α, β ∈ R suy
ra αx + βy ∈ V , thì vói
moi v ∈ V , w = 2ΠV (x)
− v ∈ V. Ta có:

C®ng theo ve cna
(1.2) và (1.3), ta
đưoc:
(

(v − ΠV
(x), x −
ΠV (x)) ≤
0, ∀v ∈ V
(1.4)

V

(v
−
à
z,
Π
(S

−
u
zy
≤
ra
0
S
u
y

r V¾y
a ΠV
(x) =
z.

(w − ΠV (x), x
− ΠV (x)) ≤ 0.
(ΠV (x) − v, x
− ΠV (x)) ≤ 0,


hay
là

(v − ΠV (x), x − ΠV (x)) ≥ 0.

(1.5)

Tù (1.4) và (1.5) ta có: (v − ΠV (x), x − ΠV (x))
= 0, suy ra:

v − ΠV (x) ⊥ x − ΠV (x).
Đ%nh lý 1.2. Giá sú V ⊂ Rn là m®t t¾p loi,
đóng và khác rong. Khi đó, vói moi x, y ∈ Rn ta
có: "ΠV (x) − ΠV (y)" ≤ "x − y".
Chúng minh. Tù bo đe 1.6 ta có:
(ΠV (y) − ΠV (x), x − ΠV (x)) ≤
0,
(1.6)
(ΠV (x) − ΠV (y), y − ΠV (y)) ≤
0.
(1.7)
C®ng theo ve cna (1.6) và (1.7) ta có:
(ΠV (x) − ΠV (y), (ΠV (x) − ΠV (y)) + (y
− x)) ≤ 0
(1.8)
Ta
có:

2

⇒ "ΠV (x) − ΠV (y)" + (ΠV (x) − ΠV (y),
y − x) ≤ 0.
1
2

0≤
2

=

2
− x)"
1

1
2

2

"ΠV (x) −

ΠV (y)" +

"(ΠV (x) − ΠV (y)) + (y

+ (ΠV (x) − ΠV (y), y
"y − − x) .

2
x"

Tù (1.8)


1

)≥0

2

1

2

x" .

2

Đen đây đ%nh lý đưoc chúng minh.

2

≤+ −
"""
( yΠ
V

Π−
(
( x)
x−
"
Π
V

(
y)
"
1
2

2

⇒− )
( "
"
Π
V

(
x
)
−
Π
V

(
y

⇒ "ΠV (x) − ΠV (y)" ≤ "y −

2


1.1.3.

Các đ%nh lý tách

Đ%nh lý 1.3. Giá sú X ⊂ Rn là m®t t¾p loi, đóng, khác rong và x ∈/
X.
Khi đó, ton tai y ∈ Rn, y ƒ= 0 và ε > 0.

(y, v) ≤ (y, x) − ε, ∀v ∈ X.
Chúng minh. Goi z = ΠV (x) theo Bo đe 1.6, ta có (x − z, v − z) ≤
0, ∀v ∈ X. Đ¾t y = x − z suy ra (y, v − z) ≤ 0, ∀v ∈ X. Khi đó
2

(y, v) ≤ (y, z) = (y, x − y) = (y, x) − "y" .
(y, v) ≤ (y, x) − ε,

Suy ra
2

vói ε =
"y"

. Do x ∈/ X, suy ra y ƒ= 0 v¾y ε > 0.

Đ%nh lý 1.4. Cho X ⊂ Rn là t¾p loi, khác rong, x ∈/ X. Khi đó, ton
tai
y ∈ Rn, y ƒ= 0 sao cho
(y, v) ≤ (y, x) , ∀v ∈ X.
Chúng minh. Lay (xk) ⊂

X¯ , xk → x khi k → ∞.Vói moi xk ton tai

Rn
yk ƒ= 0, εk > 0:

.

.

.
.
.
.
y k , v ≤ y k , x k − εk ≤ y k , x k
. k . . k k.
⇒ y ,v < y ,x .

Do yk ƒ= 0, ∀k, nên ta coi y k = 1. Do B(0; 1) là t¾p compact trong Rn
nên (yk) ⊂ B(0; 1). Suy ra ton tai dãy con (ykl ) ⊂ (yk) sao cho: lim ykl
=
l→∞


.
. .
.
y ∈ B(0; 1). Tù ykl , v < ykl , xkl vói moi l và tích vô hưóng là
m®t
hàm liên tuc theo 2 bien nên cho l → ∞ ta đưoc: (y, v) ≤ (y, x) , ∀v ∈
X,
vói "y" = 1.


Đ%nh lý 1.5. Giá sú X1, X2 ⊂ Rn là các t¾p loi. Neu X1 ∩ X2 = ∅ thì
khi đó ton tai y ƒ= 0, y ∈ Rn sao cho:
.
.
.
.

y, x1 ≤ y, x2 , ∀x1 ∈ X1, x2 ∈ X2.
Chúng minh. Đ¾t:
X = X1 − X2 = {x = x1 − x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X2}.
Do X1 ∩ X2 = ∅ nên 0

X. Tù X1, X2 là hai t¾p loi, suy ra X là t¾p

∈/
loi. Theo Đ%nh lý 1.4 ta có:
(y, v) ≤ 0, ∀v ∈ X
.
.
⇒ y, x1 − x2 ≤ 0, ∀x1 ∈ X1, x2 ∈ X2
.
.
.
.
⇒ y, x1 ≤ y, x2 , ∀x1 ∈ X1, x2 ∈ X2.

Đ%nh lý 1.6. Cho X1, X2 ⊂ Rn là hai t¾p con loi đóng và X1 b% ch¾n.
Neu X1 ∩ X2 = ∅ thì ton tai y ∈ Rn, y ƒ= 0 và ε > 0 sao cho:
.
.
.
.
1
2
y, x ≤ y, x − ε, ∀x1 ∈ X1, x2 ∈ X2.
Chúng minh. Tù X1, X2 là các t¾p đóng và X1 b% ch¾n, suy ra X =
X1 − X2 là t¾p đóng và X là t¾p loi. Do 0 ∈/ X, theo đ%nh lý 1.3 ton

tai y ƒ= 0, ε > 0 sao cho (y, v) ≤ −ε, ∀v ∈ X.Suy ra:
.
.
y, x1 − x2 ≤ −ε, ∀x1 ∈ X1, x2 ∈ X2,
.
.
.
.
Do đó y, x1 ≤ y, x2 − ε, ∀x1 ∈ X1, x2 ∈ X2.
1.1.4.

Nón

Đ%nh nghĩa 1.4. M®t t¾p K ⊂ Rn đưoc goi là nón neu vói moi x ∈
K, và vói moi α > 0 ta có: αx ∈ K. K đưoc goi là nón loi neu K là
m®t nón và là m®t t¾p loi.