BÀI GIẢNG: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH (tóm lượt kiến thức)

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
Khoa Toán - ĐHSP - ĐHĐN

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

1 / 66


Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 1.1
Cho U , V là 2 không gian vector trên trường K. Ánh xạ
T : U → V được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu:
i. T (u + v) = T (u) + T (v), ∀u, v ∈ U
ii. T (ku) = kT (u), ∀k ∈ K , ∀u ∈ U .

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

2 / 66


Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Chú ý 1.1
Hai điều kiện i,ii trên có thể thay thế bởi điều kiện:
T (au + bv) = aT (u) + bT (v), ∀a, b ∈ K , ∀u, v ∈ U .

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

3 / 66


Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Chú ý 1.1
Hai điều kiện i,ii trên có thể thay thế bởi điều kiện:
T (au + bv) = aT (u) + bT (v), ∀a, b ∈ K , ∀u, v ∈ U .
Trong trường hợp U = V thì ánh xạ tuyến tính gọi là
phép biến đổi tuyến tính.

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

3 / 66


Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Chú ý 1.1
Hai điều kiện i,ii trên có thể thay thế bởi điều kiện:
T (au + bv) = aT (u) + bT (v), ∀a, b ∈ K , ∀u, v ∈ U .
Trong trường hợp U = V thì ánh xạ tuyến tính gọi là
phép biến đổi tuyến tính.
Để đơn giản ta viết T(u)=Tu.

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

3 / 66


Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Ví dụ 1.1
Cho T : R → R xác định bởi Tx = ax, với a là hằng số
cho trước là ánh xạ tuyến tính.

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

4 / 66


Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Ví dụ 1.1
Cho T : R → R xác định bởi Tx = ax, với a là hằng số
cho trước là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

4 / 66


Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Ví dụ 1.1
Cho T : R → R xác định bởi Tx = ax, với a là hằng số
cho trước là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:

T (x + y) = a(x + y) = ax + ay = Tx + Ty.

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

4 / 66


Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Ví dụ 1.1
Cho T : R → R xác định bởi Tx = ax, với a là hằng số
cho trước là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T (x + y) = a(x + y) = ax + ay = Tx + Ty.
T (kx) = a(kx) = k(ax) = kTx.

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

4 / 66


Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Ví dụ 1.2
Cho T : P2 [t] → P1 [t] xác định bởi Tp(t) = p (t), là ánh
xạ tuyến tính.

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

5 / 66


Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Ví dụ 1.2
Cho T : P2 [t] → P1 [t] xác định bởi Tp(t) = p (t), là ánh
xạ tuyến tính.
Thật vậy:

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

5 / 66

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Ví dụ 1.2
Cho T : P2 [t] → P1 [t] xác định bởi Tp(t) = p (t), là ánh
xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T [p(t) + q(t)] = [p(t) + q(t)] = p (t) + q (t) =
Tp(t) + Tq(t).

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

5 / 66


Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Ví dụ 1.2
Cho T : P2 [t] → P1 [t] xác định bởi Tp(t) = p (t), là ánh
xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T [p(t) + q(t)] = [p(t) + q(t)] = p (t) + q (t) =
Tp(t) + Tq(t).
Tkp(t) = [kp(t)] = k.p (t) = kTp(t).

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

5 / 66


Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Ví dụ 1.3
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu = T (x, y) = (x + 3y, 2x − y), là ánh xạ tuyến tính.

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

6 / 66


Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Ví dụ 1.3
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu = T (x, y) = (x + 3y, 2x − y), là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

6 / 66


Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Ví dụ 1.3
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu = T (x, y) = (x + 3y, 2x − y), là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T (u1 + u2 ) = T (x1 + x2 , y1 + y2 )

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

6 / 66


Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Ví dụ 1.3
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu = T (x, y) = (x + 3y, 2x − y), là ánh xạ tuyến tính.

Thật vậy:
T (u1 + u2 ) = T (x1 + x2 , y1 + y2 )
= ((x1 + x2 ) + 3(y1 + y2 ), 2(x1 + x2 ) − (y1 + y2 ))

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

6 / 66


Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Ví dụ 1.3
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu = T (x, y) = (x + 3y, 2x − y), là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T (u1 + u2 ) = T (x1 + x2 , y1 + y2 )
= ((x1 + x2 ) + 3(y1 + y2 ), 2(x1 + x2 ) − (y1 + y2 ))
= (x1 + 3y1 + x2 + 3y2 , 2x1 − y1 + 2x2 − y2 )

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

6 / 66

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Ví dụ 1.3
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu = T (x, y) = (x + 3y, 2x − y), là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T (u1 + u2 ) = T (x1 + x2 , y1 + y2 )
= ((x1 + x2 ) + 3(y1 + y2 ), 2(x1 + x2 ) − (y1 + y2 ))
= (x1 + 3y1 + x2 + 3y2 , 2x1 − y1 + 2x2 − y2 )
= (x1 + 3y1 , 2x1 − y1 ) + (x2 + 3y2 , 2x2 − y2 )

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

6 / 66


Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Ví dụ 1.3
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu = T (x, y) = (x + 3y, 2x − y), là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T (u1 + u2 ) = T (x1 + x2 , y1 + y2 )
= ((x1 + x2 ) + 3(y1 + y2 ), 2(x1 + x2 ) − (y1 + y2 ))

= (x1 + 3y1 + x2 + 3y2 , 2x1 − y1 + 2x2 − y2 )
= (x1 + 3y1 , 2x1 − y1 ) + (x2 + 3y2 , 2x2 − y2 )
= Tu1 + Tu2 .
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

6 / 66


Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Ví dụ 1.4
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu = T (x, y) = (x + 3y, 2x − y), là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T (ku) = T (kx, ky)

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

7 / 66


Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Ví dụ 1.4
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu = T (x, y) = (x + 3y, 2x − y), là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T (ku) = T (kx, ky)
= (kx + 3ky, 2kx − ky)

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

7 / 66


Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Ví dụ 1.4
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu = T (x, y) = (x + 3y, 2x − y), là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T (ku) = T (kx, ky)
= (kx + 3ky, 2kx − ky)
= k(x + 3y, 2x − y) = kTu

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

7 / 66


Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Bài tập
Các ánh xạ sau có là ánh xạ tuyến tính không? vì sao?

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

8 / 66


Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Bài tập
Các ánh xạ sau có là ánh xạ tuyến tính không? vì sao?
T : R2 → R xác định bởi Tu = T (x, y) = 2x + 5y.

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

8 / 66