Môđun Noether và môđun Artin

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

lời cảm ơn
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện khóa luận: “Môđun Noether và môđun
Artin” cùng với sự cố gắng, nỗ lực của bản thân, em đã nhận được sự hướng dẫn và
giúp đỡ tận tình của Thạc Sỹ Nguyễn Thị Kiều Nga, đồng thời em cũng nhận được
sự giúp đỡ, động viên của các thầy cô giáo và của các bạn sinh viên khoa Toán
Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn-Thạc Sỹ Nguyễn Thị
Kiều Nga đã giúp đỡ và hướng dẫn tận tình để em hoàn thành tốt khóa luận của
mình.
Em xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáo và
các bạn sinh viên trong khoa đã tạo điều kiện, giúp đỡ em hoàn thành khóa luận
này.
Do thời gian và năng lực bản thân còn hạn chế. Hơn nữa do lần đầu tiên làm
quen với công tác nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏi những thiếu sót. Em
rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của thầy cô và các bạn để khóa
luận của em được hoàn thiện hơn
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2010
Sinh viên

Đào Thị Huê

Đào Thị Huê

1

Lớp K32G Toán

Lời Cam Đoan
Khóa luận của em được hoàn thành sau một thời gian miệt mài nghiên cứu
cùng với sự giúp đỡ tận tình của cô giáo- Thạc Sỹ Nguyễn Thị Kiều Nga. Trong quá
trình làm khóa luận em có tham khảo một số tài liệu như đã nêu ở mục tài liệu tham
khảo
Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu khoa học của riêng
em và nó không trùng với kết quả của bất kỳ tác giả nào khác
Hà Nội, tháng 05 năm 2010
Sinh viên
Đào Thị Huê


Mục Lục
Lời mở đầu..................................................................................................1
Chương 1: Môđun..................................................................................... 2
1.1. Môđun, môđun con, điều kiện tương đương với môđun con.........................2
1.2. Môđun thương....................................................................................................... 6
1.3. Tổng trực tiếp, tích trực tiếp, hạng tử trực tiếp của các môđun.............................8
1.4. Tập sinh, tập độc lập và phụ thuộc tuyến tính, cơ sở của môđun, môđun hữu
hạn sinh............................................................................................................... 10
1.5. Định nghĩa đồng cấu môđun, điều kiện tương đương.......................................... 11
Chương 2: Dãy khớp................................................................................ 16
2.1. Định nghĩa dãy khớp, dãy khớp ngắn, điều kiện tương đương.....................16
2.2. Một số tính chất dãy khớp............................................................................ 17
2.3. Dãy khớp ngắn chẻ ra................................................................................... 18
Chương 3: Môđun Noether Và Môđun Artin......................................... 20
3.1. Iđêan trên vành giao hoán............................................................................. 20
3.2. Môđun Noether............................................................................................. 25
3.3. Môđun Artin................................................................................................. 34

3.4. Sự phân tích nguyên sơ của môđun Noether................................................ 41
3.5. Mối quan hệ giữa môđun Noether và môđun Artin...................................... 47
3.6. Một số bài tập............................................................................................... 52
Kết luận............................................................................................................... 58
Tài liệu tham khảo............................................................................................... 59


Lời Nói Đầu
Đại số là một ngành chiếm vị trí quan trọng trong toán học. Nó góp phần
thúc đẩy sự phát triển của toán học hiện đại. Ngày nay nhu cầu học hỏi toán học nói
chung và môn Đại số nói riêng của sinh viên khoa Toán ngày càng tăng. Tuy nhiên
để đi sâu nghiên cứu môn Đại số thì cần có sự hiểu biết một cách sâu sắc về cấu trúc
đại số
Ngày nay người ta coi đối tượng chủ yếu của Đại số là các cấu trúc đại số
như: nhóm, vành, trường, môđun, … Trong đó môđun là một trong những khái
niệm quan trọng nhất của Đại số hiện đại
Chính vì thế em mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: “Môđun Noether và
môđun Artin” với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn Đại
số và bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học
Nội dung khóa luận gồm ba chương:
Chương 1: Trình bày những khái niệm và tính chất cơ bản của môđun như:
môđun con, môđun thương, tổng trực tiếp, tích trực tiếp, hạng tử trực tiếp của các
môđun, đồng cấu môđun,…
Chương 2: Trình bày những khái niệm và tính chất cơ bản của dãy khớp như:
dãy khớp, dãy khớp ngắn, dãy khớp ngắn chẻ ra,…
Chương 3: Trình bày những khái niệm và tính chất cơ bản của môđun
Noether và môđun Artin
Trong quá trình thực hiện đề tài ngoài sự nỗ lực của bản thân, em còn nhận
được sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của Thạc Sỹ Nguyễn Thị Kiều Nga và sự quan
tâm, giúp đỡ của các thầy cô giáo trong khoa Toán. Em xin gửi lời cảm ơn chân

thành đến các thầy, các cô
Mặc dù có cố gắng song do hạn chế về thời gian cũng như về kiến thức, tài
liệu… Vì vậy em mong nhận được sự quan tâm, góp ý của thầy cô và các bạn.
Hà Nội, tháng 05, năm 2010
Sinh Viên
Đào Thị Huê


Chương 1: Môđun
1.1. Môđun, môđun con, điều kiện tương đương với môđun con
1.1.1. Môđun
a) Định nghĩa
Cho R là vành có đơn vị 1, một nhóm Abel cộng M được gọi là một Rmôđun trái, hay còn gọi là môđun trái trên R nếu tồn tại một ánh xạ
R× M→ M
(α , x)  αx

(gọi là phép nhân vơí vô hướng) sao cho các điều kiện sau thỏa mãn:

i) (α + β )x =
ii)

α x+ β x

α (x + y) = α x + α y

iii) (αβ )x =
iv) 1x = x

α (β x)

( tính chất Unitar)

với các phần tử tuỳ ý

α, β

∈R và x,y ∈M

Tương tự, ta cũng có một định nghĩa cho R - môđun phải là một nhóm Abel cộng
M cùng với ánh xạ
M× R→ M
( x, α )  xα

Thoả mãn các điều kiện
:

i) x(α + β ) = xα + xβ
ii) (x + y)α = xα + yα
iii) x(αβ ) = ( xα ) β
iv) x1 = x
với các phần tử tuỳ ý α,

β

∈R và x, y ∈M

Nhận x ét:
• Các môđun trái và môđun phải trên R chỉ khác nhau ở một điểm khi tích

αβ “tác động” trên các môđun này thì α “tác động” trước, hay β “tác động” trước


Vì vậy, nếu R là vành giao hoán thì khái niệm môđun trái trùng với khái niệm
môđun phải.
Sau đây, chỉ xét các R môđun trái, và gọi chúng là các R-môđun
• Nếu R là một trường thì một R-môđun còn gọi là một không gian
Vectơ, mỗi phần tử của nó là một vectơ thường ký hiệu là x, y ,...
Như vậy, khái niệm môđun là khái niệm tổng quát của khái niệm không gian vectơ.
a) Ví Dụ
Ví Dụ 1:
Mỗi nhóm Abel cộng M là một Z-môđun
Thật vậy, với mọi x thuộc M, n thuộc Z, ta có:

 x + ... + x



nÕun > 0
nÕun = 0

n

nx
= 0
(−x) + ...
+ (−x)
 
n


nÕun < 0

Suy ra, nx ∈M
Do đó, ánh xạ
:

Z× M→ M
(n, x)  nx

xác định và thoả mãn bốn điều kiện của tích vô hướng
Nhận x ét
Ví dụ trên chứng tỏ lý thuyết môđun bao gồm lý thuyết nhóm Abel
Ví dụ 2:
Cho trường số thực R, M là tập hợp các véctơ gốc O trong mặt phẳng, thì M
là R-môđun
Thật vậy, tổng của hai vectơ trong M được xác định theo quy tắc hình bình hành


OA + OB = OC

A

Với OA, OB, OC

C

∈ M

+ Phép cộng các véctơ có tính chất kết hợp, giao hoán

O

B


+ Phần tử đơn vị là 0
+ Với mọi OA ∈M thì tồn tại vectơ đối là - OA
∈ M Suy ra , ( M, + ) là nhóm Abel

Với mọi OA , α ∈ R thì α OA là vectơ vị tự của OA qua phép vị tự tâm O , tỷ
số α
Suy ra, α OA ∈M
Bằng hình học sơ cấp ta chứng minh được tích vô hướng xác định ở trên thoả mãn
bốn điều kiện trong định nghĩa
Vậy M là một R -môđun, hay M là một không gian vectơ trên R
Ví dụ 3:
Cho R là vành có đơn vị ,

Rn = R ×...× R

xác định phép cộng và nhân vô hướng như sau :

(a1,...,an ) + (b1,...,bn ) = (a1 + b1,...,an + bn )

α
n

(a1,..., a n ) = (α a1 ,...,α a

)

n
với α ∈1 R, (a
,...,a
),(b ,...,b )∈ R
n
1

n

n

Khi đó R là R-môđun
Ví dụ 4:
Mọi vành có đơn vị là một môđun chính nó
Nhận x ét
Ví dụ trên chứng tỏ lý thuyết môđun bao gồm lý thuyết vành
Ví dụ 5:
Cho R là vành, M là R-môđun, X là tập bất kỳ khác φ
Ký
hiệu

A = {f : X
→ M:f

Trên A xác định phép toán:

là ánh xạ

}

∀ f, g ∈ A ta có: f + g: X → M


sao cho:
∀x ∈X : (f + g)(x) = f (x) + g(x)

Thì (A, +) là nhóm Abel với phần tử đơn vị là ánh xạ

θ :X→ M
x0


Tích vô hướng
của

f ∈ A với xác định như sau:
α ∈ R
R× A→ A
(α , f ) 

α f

Trong đó:

αf : X

→ M
x  (αf )(x) = α. f (x)

Khi đó A là Rmôđun
Ví dụ 6:
Mỗi iđêan trái của vành R là một R-môđun. Đặc biệt, mỗi iđêan của R là một
R-môđun và bản thân R cũng là một R-môđun
1.1.2. Môđun con
a) Định nghĩa
Cho M là R-môđun,

N ⊂ M , N gọi là R-môđun con của môđun M

nếu N là
R-môđun với hai phép toán cảm sinh
b) Điều kiện tương đương với môđun con
Cho M là R-môđun, N ⊂ M. Khi đó các điều kiện sau là tương
đương:
i) N là R-môđun con của M
ii) ∀x, y ∈ N, α ∈ R : x + y ∈ N, αx ∈ N
iii) ∀α, β ∈ R,∀x, y ∈ N : αx + βy ∈ N
c) Ví dụ
Ví dụ 1:
Cho M là R-môđun thì M luôn có hai môđun con tầm thường là
môđun con không {0} và M
Ví dụ 2:


Mọi nhóm Abel cộng M là Z-môđun thì các môđun con của M chính là các
nhóm con của M
Ví dụ 3:
Mọi vành có đơn vị R là R-môđun thì các iđêan trái của R là các môđun con

của R


Ví dụ 4:
Cho R-môđun M và x là một phần tử của M. Khi đó tập hợp

{ax : a ∈

Rx =

R

}

là một môđun con của M
Ví dụ 5:
Cho R là một vành giao hoán, khi đó vành đa thức R[x,y] là một R-môđun
nhận R[x] làm một R-môđun của nó.
d) Tính chất
• Giao của một họ tuỳ ý các môđun con của M là một môđun con của M
Nhận x ét:
+ Hợp của một họ bất kỳ các môđun con của M nói chung không là một
môđun con của M
+ Nếu M là R-môđun, (N i )

là các môđun con của M thoả mãn:

i∈I

∀i, j ∈ I, ∃k ∈ I :

Ni ⊂ N k , N j ⊂ N k

thì ∪
N là R-môđun
i
i∈I

• Cho M là R-môđun, S ⊂ M thì giao của tất cả các môđun con của
M chứa
S là một môđun con của M chứa S (đó là môđun con bé nhất của M chứa S ) gọi là
môđun con của M sinh bởi S. Ký hiệu :

S

+ Ta gọi S là tập sinh của M
+ Nếu S =M thì S là tập sinh của M
+ Nếu S hữu hạn,

S = {S1,..., Sn} thì
 n

S =  ∑αi Si : αi ∈ R, Si ∈ S 
 i=1


và gọi là môđun hữu hạn
sinh
Đặc biệt,

S
=

hì

{s } t { s }

S =

s =

={α s :

gọi là môđun xyclic

α ∈ R}

1.2. Môđun thương
1.2.1. Xây dựng Môđun thương
Cho M Là R-môđun, N là môđun con của M. Khi đó:


M

N=

{x +

N:x∈ M

}

là một nhóm Abel với phép
cộng:
(x + N ) + ( y + N ) = x + y + N

Trên M

xác định phép nhân vô hướng như sau :

N
∀α
∈ R,
∀x + N
∈ M
N


thì α (x + N ) = αx + N
Thì phép nhân vô hướng thoả mãn các điều kiện của tích vô hướng
Do
đó,

M

N

là R-môđun, gọi là môđun thương của môđun M theo môđun con N

Định nghĩa:

Cho N là một môđun con của một R-môđun M. Khi đó R-môđun M N như
vừa xây dựng ở trên được gọi là môđun thương của M theo N . Phần tử x+N của
M

N

thường được ký hiệu là x , và được gọi là ảnh của x trong M N

Nhận x ét:
ax + by
= ax + by

với ∀a, b ∈ R, ∀x, y ∈ M . Và nếu P là một
môđun con của M

chứa N thì R-môđun thương P

là một R-môđun con của M N

N

1.2.2. Ví dụ
Ví dụ 1:
M là R-môđun thì

và M là các môđun con của M. Suy ra, tồn tại

{0}

các môđun thương

M

{0}

=

{x + {0}: ∀x

=

{x : ∀x

∈ M

}

∈ M}

= M
M

M

=

{x +

=

{M }

M : ∀x ∈ M

}

Ví dụ
2:
Mọi vành có đơn vị R là R-môđun, I là iđêan của R thì I là môđun con của R


Suy ra, tồn tại môđun
thương

R =
I

{x +

I : ∀x ∈ R}

Với phép toán cộng và nhân vô hướng xác định như sau:
(x + I ) + ( y + I ) = x + y + I

α (x + I ) = α x + I
Chú ý:
Vành thương không là môđun thương
Thật vậy, trong vành thương, phép nhân xác định bởi:
(x + I )( y + I ) = xy + I
x + I là một lớp

ghép,

∃α :

α

= x+ I

Ví dụ 3:
Nếu R là trường thì một môđun trên R là các không gian vectơ, các không
gian con là các không gian vectơ con, do đó, môđun thương là các không gian vectơ
thương.
1.3. Tổng trực tiếp, tích trực tiếp, hạng tử trực tiếp của các môđun
1.3.1. Tích trực tiếp và tổng trực tiếp
a) Tích trực tiếp
Cho M i

là một họ các R-môđun, i ∈I. Trên tập
= {(xi )
: xi ∈ M i

∏M
i∈I

}

i

i∈I

Xác định hai phép toán cộng và nhân vô hướng như sau:
(xi )i∈I + (
yi )i∈I

= (xi + yi )i∈I

α (xi )i∈I = (αxi )i∈I
Với

(xi ) i∈I
;(yi
i∈I

∈

∏

i∈I


Mi ;α ∈ R

Khi đó, ∏

}i∈I

M i là R-môđun và gọi là tích trực tiếp của họ môđun {M i

i∈I

b) Tổng trực tiếp
(xi )i∈I ∈ ∏ M i gọi là có giá x hầu hết bằng 0
i

hữu hạn nếu
i∈I


Đặt

⊕ M i = {(xi
)i∈I : (xi )i∈I i∈I

có giá hữu hạn

}

Với phép cộng và nhân vô hướng như trên. Khi đó

⊕

Mi

là R-môđun và gọi là tổng

i∈I

trực tiếp của họ các môđun

{M

i

}i∈I

Nhận x ét:
Nếu họ chỉ số I hữu hạn
tiếp như nhau

I=

{1,...,n} thì khái niệm tổng trực tiếp và

tích trực

c) Định lý:
chỉ
khi

Cho M là R-môđun, A, B là các môđun con của M. khi đó, M ≅ A ⊕ B
khi và
M = A + B, A ∩ B =

Nhận x ét M = A + B, A
Nếu ∩ B =

{0} thì

{0}

A+ B≅ A⊕ B

Do đó thường không phân biệt hai khái niệm này
(tức
Tổng quát
Giả
sử

A ⊕ B = A + B, A
∩ B=

M1 ,...,M n là các môđun con của R-môđun M sao cho:
M = M 1 + ...
và M i ∩
+ Mn
∑ Mj
i≠ j

Khi
đó,

{0})

n

M ≅

⊕
Mi

i=1

1.3.2. Hạng tử trực tiếp
a) Định nghĩa

=

{0}


Cho N là môđun con của R-môđun M. Ta nói N là hạng tử trực tiếp của M
khi và chỉ khi tồn tại một môđun con P của M sao
cho

M= N⊕ P

Khi đó ta cũng nói P là một môđun con phụ của N trong M
b) Ví dụ
• Nếu M là không gian vectơ hữu hạn chiều thì mọi không gian con của M đều có
một không gian phụ
• Z là Z-môđun. Các môđun con của Z chính là nZ
Giả sử, nZ là một môđun con của
Z,

n≠ 0


Mọi môđun con khác không của Z có dạng
pZ, Ta có:

np ∈ nZ
np

nZ ∩ pZ

Suy
ra,

≠ {0} vì

p≠ 0

∈ pZ np ≠ 0, np
∈ nZ ∩ pZ

Vậy mọi môđun con khác 0 của Z đều không là hạng tử trực tiếp của Z
1.4. Tập sinh, tập độc lập và phụ thuộc tuyến tính, cơ sở của môđun, môđun hữu
hạn sinh
1.4.1. Tập sinh của môđun, môđun hữu hạn sinh
Cho M là R-môđun,

S ⊂ M , giao của tất cả các môđun của M chứa S

là một
môđun con của M chứa S (đó là môđun con bé nhất của M chứa S ) gọi là môđun
con của M sinh bởi tập S và ký hiệu là S
+ Nếu S =M thì nói S là tập sinh của M
+ Nếu S =M và S hữu hạn thì nói M là hữu hạn sinh
Giả
sử

S= {S1,...,Sn

} thì


∈ R

∑αS i
:α i
 i=1
n


M=

1.4.2. Tập độc lập và phụ thuộc tuyến tính
• Một tổ hợp tuyến tính các phần tử của S là một
tổng

(as

∑∈
as s

s∈S

trong

R)

đó as = 0 hầu hết trừ một số hữu hạn (một tổng như vậy gọi là một tổng có giá
hữu
hạn)
• Cho M là R-môđun, S ⊂ M , nếu mọi x thuộc M đều có thể viết dưới
dạng


một tổ hợp tuyến tính các phần tử của S
x=

∑a
s∈S

s

s

(as ∈ R)

thì nói x biểu thị tuyến tính qua các phần tử của S
Nhận x ét:
Cho M là R-môđun,

S ⊂ M , S là tập sinh của M khi và chỉ khi mọi

phần tử
của M đều biểu thị tuyến tính qua các phần tử của S

Tập con S của M được gọi là độc lập tuyến tính nếu:

∑a
s∈S

s

s = 0 thì

as = 0, ∀s ∈ S

Nhận x ét
Nếu S là tập độc lập tuyến tính của M thì:

∑a
∑(a

Suy

s

s
s
∈
S

−

s=

∑b

s

s

s∈S

bs )s = 0

ra,

s∈S

as = bs
,∀s∈
S

Suy
ra,

Do đó,nếu ∀x ∈ M , x biểu thị tuyến tính qua các phần tử của S thì biểu
diễn đó là duy nhất
Đặc biệt không có phần tử nào của S có thể biểt thị tuyến tính qua các phần tử còn
lại của S
• Tập

S ⊂ M gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nó không độc lập

tuyến tính,

tức tồn tại một tổ hợp tuyến tính

∑a

s

s = 0 . Trong đó không

phải mọi

as = 0 .

Nếu

s∈S

tập S độc lập tuyến tính (phụ thuộc tuyến tính ) thì ta cũng nói các phần tử của S
độc lập tuyến tính ( phụ thuộc tuyến tính)
• M là R-môđun, tuyến

S ⊂ M , S gọi là cơ sở của M nếu S là tập sinh và

độc lập

tính .
Ví dụ:

+ R là vành có đơn vị 1, R là R-môđun thì {1} là cơ sở của R
+ R là vành có đơn vị.

n

R = R
×...× R thì

n

R là R-môđun,
,...,en

{e 1

} là cơ sở


của

n
R với ei = (0,...,0,1,0...,0) khi đó
{e1 ,...,en

+ Z n là Z-môđun, n>1, n

∈ N,
Zn

mọi x ∈ Z n , nx
= 0 mà

} gọi là cơ sở chính tắc

không có tập độc lập tuyến tính nào vì

n≠ 0

1.5. Định nghĩa đồng cấu môđun, điều kiện tương đương
1.5.1. Định nghĩa


Cho M, N là các R-môđun, ánh xạ f : M
→
N

gọi là một đồng cấu môđun

hay R-đồng cấu (còn gọi là ánh xạ tuyến tính) nếu f thoả mãn hai tính chất sau:
i) f (x

+ y) =

f (x) + f ( y),∀x, y ∈ M

ii) f (ax) = af (x),∀a ∈ R,∀x ∈ M
+ Nếu một đồng cấu f là một đơn ánh, toàn ánh, song ánh, thì nó tương ứng
được gọi là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu.
+
Nếu
+ Kí
hiệu:

f (M ) =

viết là θ
ker
f

{ON }thì f được gọi là đồng cấu không và thường đựơc

= f
(0)

−1

Im f = f (M )
co ker f = N

gọi là hạt nhân (hạch) của f

gọi là ảnh của f
gọi là đối hạch của f

Im f
coimf

= M

gọi là đối ảnh của f

ker f

+ Một đồng cấu từ M vào M gọi là một tự đồng cấu của M

+ Hai R-môđun M và N được gọi là đẳng cấu, và viết là
một đẳng cấu R-môđun từ M đến N

M ≅ N , nếu tồn

tại

Nhận x ét:
Cho R-đồng cấu

f : M → N . Khi đó f là đồng cấu không khi và

chỉ khi
ker f = M , và f là một toàn cấu khi và

chỉ khi
1.5.2. Điều kiện tương đương
khi

Im f = N