Một số ứng dụng của phương trình vi phân

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành tốt đề tài này, trước tiên em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu
sắc tới các thầy cô trong khoa Toán – trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã
động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện đề tài. Đặc biệt, em xin
chân thành cảm ơn thầy Trần Văn Bằng đã tạo điều kiện tốt nhất và chỉ bảo
tận tình để em có thể hoàn thành đề tài luận văn này
Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong đề
tài không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được những ý
kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn trong khoa.
Em xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên
Cao Thị Thanh Huệ

1


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy Trần
Văn Bằng cùng với sự cố gắng của bản thân em. Trong quá trình nghiên cứu
và thực hiện khóa luận em có tham khảo tài liệu của một số tác giả ( đã nêu
trong mục tài liệu tham khảo ).
Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên
cứu của bản thân em không trùng với kết quả của các tác giả khác.Nếu em sai
em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Sinh viên
Cao Thị Thanh Huệ


MỤC LỤC

Trang
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
MỞ ĐẦU

2

Chƣơng 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
A. Một số khái niệm

3

1. Cấp của phương trình vi phân

3

2. Phương trình vi phân thường

3

B. Một số dạng phƣơng trình vi phân

3

1. Phương trình tuyến tính

3

2. Phương trình vi phân cấp một

3

3. Phương trình thuần nhất cấp một

5

4. Phương trình vi phân toàn phần

5

5. Phương trình tuyến tính cấp một

6

6. Phương trình tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng

6

7. Phương trình không thuần nhất. Phương pháp hệ số bất định

6

Chƣơng 2. ỨNG DỤNG
A. Một số ứng dụng trong vật lý

9

1. Vận tốc thoát khỏi Trái Đất

9

2. Vật thể rơi

11

3. Dao động lò xo

11

4. Dao động không tắt dần

13

5. Sự cộng hưởng

15

6. Dao động tắt dần

16


7. Con lắc đơn

18

8. Định luật Newton và chuyển động của hành tinh

19

9. Lực xuyên tâm và định luật II Kepler

21

10. Định luật I Kepler

22

11. Định luật III Kepler

24

12. Bài toán quỹ đạo

26

B. Một số ứng dụng trong hóa học và kinh tế

33

1. Định luật làm lạnh Newton

33

2. Sự chuyển đổi các hóa chất đơn giản

35

3. Tăng trưởng logictic và giá cả hàng hóa

36

KẾT LUẬN

41

TÀI LIỆU THAM KHẢO

42


LỜI NÓI ĐẦU
Sự phát triển của toán học tuy có những bước thăng trầm ở từng thời
điểm lịch sử, song những kết quả mà nó đạt được rự rỡ nhất là vào thế kỷ XX,
do sự phát triển của ngành Giải tích toán học.
Với sự ra đời của ngành Giải tích toán học, đặc biệt là giải tích hàm thì
những bài toán trong thực tế cuộc sống, vật lý, khoa học, kĩ thuật, … được
giải quyết nhanh gọn và chính xác.
Ngành Giải tích toán học nghiên cứu nhiều kĩnh vực như: các lớp hàm
liên tục, khả vi, khả tích, phương trình vi phân, …. Mỗi lĩnh vực đều có tầm
quan trọng riêng trong việc nghiên cứu và ứng dụng. Trong đó phương trình
vi phân là một phần cơ bản của Giải tích. Có thể nghiên cứu từng phần để
thấy được cái hay của môn học này và trong thực tế cũng như trong các môn
khoa học khác phương trình vi phân có nhiều ứng dụng như: giải bài toán dao
động lò xo, con lắc đơn, định luật Newton….
Xuất phát từ nhận thức trên và long ham mê môn học, em mạnh dạn
chọn đề tài: “ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN”
để
thực hiện khoá luận tốt nghiệp của mình. Khoá luận bao gồm các nội dung:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Ứng dụng.


CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
A. MỘT SỐ KHÁI NIỆM
1. Cấp của phƣơng trình vi phân
Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm xuất hiện
trong phương trình.
Ví dụ
2

là phương trình cấp 2

d y
dy 3



2
 y 0
2
dx
dx
 

2. Phƣơng trình vi phân thƣờng
Phương trình
F  x, y, y ',...y n

 

0

được gọi là phương trình vi phân thường cấp n.
B. MỘT SỐ DẠNG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
1. Phƣơng trình tuyến tính
Một phương trình vi phân thường cấp n được gọi là tuyến tính nếu nó
có thể được viết dưới dạng

d ny
d nn 1 y

1
... 
b0 x  n b1
bn1 x 
 x
dx

dx

dy

 bn x y R x  .

dx

2. Phƣơng trình vi phân cấp một
2.1 Định nghĩa
Phương trình vi phân cấp một có dạng tổng quát

F x, y, y '0

(2.1)


trong đó hàm F xác định trong miền D R3 .
Hoặc từ (2.1) ta giải ra được


y '  f x, y 
ta được phương trình vi phân cấp một đã giải ra đạo hàm.
Ta cũng có thể viết phương trình vi phân đã giải ra đạo hàm dưới dạng đối
xứng
M x, y  dx N x, y dy 0.
2.2 Cách giải
Ta sẽ dùng phương pháp tách biến
- Đưa phương trình vi phân cấp một về dạng
(2.2)

Ax  dx B x  dy
0
trong đó A x 
và

B

y 

là các hàm lần lượt chỉ phụ thuộc x và y.

- Tích phân hai vế phương trình (2.2) ta được tích phân tổng quát của (2.2)
Ax  dx B y  dy C .
2.3 Ví dụ
2y

Giải phương trình
2x dx


Ta có tích phân tổng quát

1
x2


hay
ln 1x
Do đó

dy 0 .

1 y 2

dyC
2x
dx 2 y
1
1



y2
x2

2

ln 1y
C ,

2

1x 1y
C ';
2

2


C
0
là tích phân tổng quát của phương trình.

C ' eC


3. Phƣơng trình thuần nhất cấp một
3.1 Định nghĩa
Phương trình

(3.1)

M x, y dx N x, y
dy 0
được gọi là phương trình thuần nhất nếu M x, y 
và
thuần nhất cùng bậc.

N x,
y

là những hàm

Cách giải
- Đưa (3.1) về dạng

dy

 y 

g
dx
 x 

0 .

- Đặt y vx , phương trình (3.2) trở
thành
dv
v g
x
 v  0.

dx

(3.2)

(3.3)

- Giải (3.3) bằng phương pháp tách biến.
4. Phƣơng trình vi phân toàn phần
4.1 Định nghĩa
Phương trình
M x, y dx N x, y dy 0

F x,
được gọi là phương trình vi phân toàn phần nếu tồn tại hàm
y
sao cho
dF x, y M x, y dx N x, y .
4.2 Cách giải
x
F
Xác định
M

(4.1)
khả vi


v
à

F


N
y

Từ một trong hai phương trình trên ta tìm F rồi cho F thoả mãn phương trình
còn lại ta tìm được nghiệm tổng quát của (4.1) là





F x, y C.


5. Phƣơng trình tuyến tính cấp một
5.1. Định nghĩa
Phương trình tuyến tính cấp một có dạng
(5.1)

dy

P x y
 Q x dx

5.2. Cách giải
- Đưa phương trình về dạng (5.1) .
- Tìm thừa số tích phân

exp Pdx

- Nhân cả hai vế của (5.1) với thừa số tích phân.
- Giải phương trình vi phân toàn phần.
5.3. Nghiệm tổng quát
Giả sử v là thừa số tích phân của phương trình. Khi đó nghiệm
tổng quát của phương trình là
y v

1

1

vQdx Cv

6. Phƣơng trình tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng
Dạng tổng quát
a0 y

n

y
trong đó a0 , a1,...,
an
Giả sử y1, y2 ,...,
yn

a

n1

... an1 y
' an y 0

1

là các số thực.
là hệ nghiệm cơ bản của phương trình (6.1) khi đó
y c1 y1 c2 y2 ... cn yn

là nghiệm tổng quát của phương trình (6.1).
7. Phƣơng trình không thuần nhất. Phƣơng pháp hệ số bất định
7.1. Phƣơng trình không thuần
nhất. Dạng tổng quát

(6.1)


a0 y

n

 a1
y

n1

... an1 y
'an y R x

 

(7.1)

Giả sử y là nghiệm riêng của (7.1) và y là nghiêm của phương trình thuần
c
p


nhất tương ứng. Khi đó y y p
yc
(7.1)

là nghiệm tổng quát của phương trình

7.2. Phƣơng pháp hệ số bất định
 Trƣờng hợp 1.
Hàm
mũ

R x  có dạng một đa thức cấp m nhân với hàm

 

m

R x  b0
x

m1

 b1
x

 

x

... bm1x bm e

trong đó b0 , b1 ,..., bm , là các hằng số. Ta kí hiệu
Pm x  
b0 x

b ...
bm1x
m1
x
bm
1

(7.3)

m

- không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng

n
a n a a
1


... a
F

0

1

n1

0

n

tức F 0 . Khi đó ta tìm nghiệm riêng của (7.1) dưới dạng
y* x Q m



(7.4)

xe
x

trong đó Qm 
x

là một đa thức cấp m với các hệ số ta cần xác định
Qm x 
d0 x

Để xác định các hệ số d0 ,
d1,...dm
thừa số

e x

m

d

... dm .

xm1 1
ta thay (7.4) vào (7.3) và sau khi giản ước


ta đồng hệ của các lũy thừa cùng bậc của x ở hai vế.
nhất các số
- là nghiệm
k  k 1của phương trình đặc trưng. Khi đó
bội

F '... F k
1
 0; F k 0
F

Trong trường hợp này ta không thể tìm nghiệm riêng

y* 
x

(7.5)

dưới dạng (7.4)

vì F 0 không cho phép ta xác định d0 ,d1,...,dm . Ta tìm nghiệm
các hệ số
riêng *
y x dưới
dạng

y*

x x
Q
Để xác định các hệ số d0 ,
d1,...,dm

m
k


xe
x

ta làm như phần trước.

(7.6)

 Trƣờng hợp 2.
Hàm

R
x

có dạng

R x e

x

x 

trong đó
1

Pm x  , P
nhất

2

 x  là

 P1  x cosxP 2  x  sin

m

các đa thức của x bậc không quá m và ít

một trong hai đa thức trên có bậc bằng m . Có thể một trong hai là hằng số
hoặc đồng nhất bằng 0.
Ta viết lại R x  dưới dạng
i  x
1
m
R x 
P  x  e
P

 2

x  e

i  x

Trong đó   
 
P 1 x  , P 2 x là các đa thức bậc m .
m

- Nếu



không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì ta tìm



i
nghiệm riêng *
y x dưới dạng
Q1xcos x

y* x2


Q x sin x e x
m
1

trong đó Qm
- Nếu

m

x,Q2xlà các đa thức cấp m




i

(7.7)


với các hệ số ta cần xác định.

là nghiệm bội k  k 1 của phương trình đặc trưng thì ta

tìm

nghiệm riêng *
y x  dưới dạng

y*
x


k
x
1
Q x

cos x2
Q 
x  sin 
xe x

(7.8)


m
Để xác định các hệ số của
(7.1) như trương hợp 1.

1
m

Q

x

m

 2 

x,Q 



*
ta thay y x  vào phương
trình


CHƢƠNG 2 : ỨNG DỤNG
Nhiều bài toán trong thực tế cuộc sống, vật lý, hóa hoc,... sau khi được
toán học hóa đã dẫn đến phương trình vi phân. Sau đây chúng ta sẽ xét một số
bài toán như vậy.
A. Một số ứng dụng trong vật lý
1. Vận tốc thoát khỏi trái đất
Nhiều bài toán vật lý dẫn đến phương trình vi phân cấp một. Xét bài toán
xác định vận tốc của hạt chuyển động theo hướng xuyên tâm đi ra xa trái đất
và bị tác động chỉ bởi lực hấp dẫn của trái đất. Giả sử vận tốc ban đầu theo
hướng xuyên tâm sao cho chuyển động của hạt diễn ra trên toàn bộ đường đi
qua tâm của trái đất.
Theo định luật hấp dẫn của Newton thì gia tốc của hạt tỷ lệ nghịch với
bình phương khoảng cách từ hạt tới tâm trái đất. Giả sử r là biến khoảng cách
và R là bán kính trái đất. Nếu t biểu diễn thời gian, v là vận tốc của hạt, a là

gia tốc và k là hằng số tỷ lệ trong định luật Newton thì ta có
dv
k
a  
dt
r2
Gia tốc là âm vì vận tốc giảm.Vì thế hằng số k là dương. Khi r  thì
R
a g , gia tốc của trọng lực ở bề mặt trái đất. Như vậy
k

g 
R2
từ đó
2

gR
a 
(1.1)
r2
Chúng ta sẽ biểu diễn gia tốc qua vận tốc và khoảng cách. Ta có
dr
dv và v  , do đó
a  dt
dt


dv
dr dv
a  

dv dt
v
dt dr
dr

Từ (1.1) và (1.2) ta có

gR2
v  2 .
dr
r
dv

(1.2)

(1.3)

Tập hợp nghiệm của (1.3) là
2gR 2
v  r  C.
2

Giả sử hạt rời bề mặt trái đất với vận tốc
do đó ta có

2

C v 0 2gR .

v0 . Khi đó v  khi r

R ,
v0

Như vậy, một hạt chuyển động theo hướng xuyên tâm đi ra xa trái đất
với vận tốc ban đầu v0 sẽ chuyển động với vận tốc v được xác định bởi
phương trình
2gR 2
2
v  r v 
2gR.
2

(1.4)

0

Phương trình (1.4) cho phép ta xác định một hạt sẽ thoát khỏi trái đất.
Ở bề mặt trái đất, r R , vận tốc là dương, v v0 . Từ (1.4) ta thấy
vận tốc của hạt sẽ dương nếu và chỉ nếu
2

2

v0 2gR 0 .

v0 2gR
Mặt khác, nếu 0
thì sẽ có một giá trị tới hạn của r làm cho vế
phải của (1.4) bằng 0. Nghĩa là, hạt sẽ dừng lại, vận tốc sẽ thay đổi từ dương
sang âm và hạt sẽ quay trở lại trái đất.

Một hạt chuyển động từ trái đất với vận tốc ban đầu v0 mà v0  2gR
sẽ thoát khỏi trái đất. Do đó mức tối thiểu của vận tốc chiếu là


ve 

2gR


được gọi là vận tốc thoát.
Như vậy, bằng việc tìm tập hợp nghiệm của phương trình vi phân (1.3)
ta xác định được phương trình vận tốc của hạt chuyển động theo hướng xuyên
tâm đi ra xa trái đất, từ đó xác định được vận tốc thoát của hạt.
2. Vật thể rơi
Một vật thể rơi từ một độ cao ở thời điểm

t 0 .
Nếu

h  t là độ cao



của vật ở thời điểm t , gia tốc a  t và vận tốc v t thì ta có mối liên hệ giữa



a,v,h



dv

a t 
Đối với một vật thể rơi thì

dh

và v t 
dt
dt

.

a  t là hằng số và bằng với g 9,8 (m/s).



Kết hợp các phương trình vi phân trên ta được
d 2h
dt

g .

2

Từ đó ta có

dh

gt v .

0

dt
Do đó
ht



1

2

gt v t h .
0

0

2
Phương trình trên biểu diễn độ cao của một vật rơi từ độ cao ban đầu h với
0
vận tốc ban đầu v0 .
3. Dao động lò xo
Xét một lò xo bằng thép gắn với một vật đỡ và được treo xuống. Trong
giới hạn đàn hồi lò xo sẽ tuân theo định luật Hooke. Nếu lò xo bị kéo dãn
hoặc bị nén thì độ biến dạng của lò xo sẽ tỷ lệ với lực tác dụng lên nó và khi


lực thôi tác dụng thì lò xo sẽ trở về vị trí ban đầu. Nếu lực có độ lớn Q
lb,
độ giãn của lò xo là C ft thì ta có

Q kC ,
k=
const
(3.1)
Giả sử một vật B nặng w
đến điểm cân bằng (hình 1a) . lb

đựơc gắn vào cuối của lò xo và được đưa

Khi vật nặng B di chuyển từ vị trí cân bằng E thì chuyển động của B sẽ
được xác định bởi một phương trình vi phân với các điều kiện ban đầu.
Giả sử t là thời gian đo bằng giây được tính ngay khi chuyển động
bắt đầu. Giả sử x đo bằng feet là khoảng cách đo theo hướng dương từ điểm
cân bằng (hình 1). Giả sử chuyển động của B diễn ra hoàn toàn trên đường
thẳng đứng, do đó vận tốc và gia tốc được xác định bởi đạo hàm cấp 1 và cấp
2 của x đối với t .
Thêm nữa, do lực cản của môi trường trong đó chuyển động diễn ra
hoặc do ma sát thì sẽ có một lực cản tác dụng lên B là



bx ' t , trong đó b
hằng số.

là

1a

1b
Hình 1

Trọng lượng của lò xo không đáng kể so với trọng lượng của B, vì thế
ta lấy khối lượng của B chia cho g , hằng số gia tốc trọng trường. Nếu ngoài
các lực trên không có lực nào tác dụng lên vật thì độ dịch chuyển x phải thoả
mãn phương trình
w
g

x ''t bx t  kx t 0 .

(3.2)

Giả sử thêm rằng, lực theo phương thẳng đứng, do chuyển động của giá
hoặc sự xuất hiện của từ trường tác động mạnh trên hệ thống. Lực cưỡng bức
sẽ phụ thuộc vào thời gian và chúng ta sử dụng F  t để biểu thị gia tốc mà nó



truyền tới trọng lượng của vật. Khi đó lực cưỡng bức là w F t và
phương
trình (3.2) viết lại thành
g
w
x ''t bx '  t kx t
w
 F  t .
g
g
Tại thời điểm t 0 , giả sử vật rời được một

khoảng

x0 từ vị trí cân bằng

và vận tốc ban đầu v0 . Bài toán xác định vị trí của vật B ở thời điểm t bất kỳ
trở thành việc giải phương trình vi phân với các giá trị ban đầu
w
x ''t bx '  t kx t
w
 F t  ,t 0
g
g

(3.3)

điều kiện ban đầu x
x '  0v0 .
0v0
Viết lại (3.3)
và
x ''t

2x 't
2 x t  F t 

(3.4)
bg
trong đó 2

w

và

2

kg
w.



4. Dao động không tắt dần
Xét phương trình vi phân (3.4)
x ''t

2x 't 2 x t F t 