TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I
2 KHOA TOÁN
TRAN TH± VÂN
SU ON бNH CUA MJLS RèI RAC
KHÓA LU¾N T6T NGHIfiP ĐAI H6C
Chuyên ngành: Toán
Hà N®i - 2013
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I
2 KHOA TOÁN
TRAN TH± VÂN
SU ON бNH CUA MJLS RèI RAC
KHÓA LU¾N T6T NGHIfiP ĐAI H6C
Chuyên ngành: Toán
Ngưòi hưóng dan khoa hoc:
Th.s NGUYEN TRUNG DŨNG
Hà N®i - 2013
LèI CÃM ƠN
Lòi đau tiên cúa khóa lu¾n này em xin gúi lòi cám ơn sâu sac tói
thay giáo hưóng dan Th.s Nguyen Trung Dũng. Thay đã giao đe tài "SN on đ
%nh cúa h¾ MJLS rèi rac" cho em và t¾n tình hưóng dan em trong quá trình
hoàn thành khóa lu¾n này. Nhân d%p này em xin gúi lòi cám ơn cúa mình tói
toàn b® các thay cô giáo trong khoa Toán đã giáng day và giúp đõ chúng em
trong suot quá trình hoc t¾p tai khoa.
Đong thòi, tôi xin cám ơn các ban trong lóp K35A Toán đã nhi¾t
tình giúp đõ tôi trong quá trình hoc t¾p tai lóp.
Hà N®i, Ngày 16 tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Tran Th% Vân
LèI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan:
Khóa lu¾n tot nghi¾p là ket quá cúa sn no lnc tn bán thân và sn
hưóng dan t¾n tình cúa thay giáo hưóng dan: Th.s Nguyen Trung Dũng.
N®i dung khóa lu¾n không trùng l¾p vói bat kì công trình nghiên cúu
nào đã công bo.
Hà N®i, Ngày 16 tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Tran Th% Vân
2
LèI NÓI ĐAU
Mô hình toán hoc là bài toán đau tiên g¾p phái đoi vói ngưòi làm đieu
khien. Bat cú đoi tưong thnc te nào đeu có the mô tá các thu®c tính cúa nó
bang các phương trình toán hoc. Úng vói moi đoi tưong khác nhau lai có nhung
thu®c tính khác nhau, dan tói phương pháp mô hình toán hoc và phương trình
toán hoc mô tá nó cũng khác nhau. Các phương trình toán có the là tuyen tính,
phi tuyen, liên tnc, hay ròi rac.
Vói các đoi tưong khi mà có sn thay đoi đ®t ng®t nào đó, mô hình cúa đoi
tưong cũng thay đoi theo thì ta can có m®t t¾p hop các mô hình mô tá các trang
thái tương úng và cách thúc chuyen đoi giua các mô hình. Trên thnc te, ta
không biet chính xác khi nào xáy ra chuyen mô hình cũng như chuyen sang mô
hình nào. Ta chí có the đưa ra xác suat ve quá trình đó. Trong lu¾n văn này,
em đi tìm hieu ve lóp các đoi tưong như v¾y, ví dn như: h¾ thong kinh te, h¾
thong đieu khien máy bay, h¾ thong đieu khien robot... Các h¾ thong này đưoc
mô hình bang t¾p các mô hình tuyen tính gián đoan cùng vói vi¾c mô tá quá trình
chuyen mô hình tuân theo quy lu¾t cúa xích Markov. Nhung h¾ thong như v¾y
thưòng đưoc goi là h¾ thong tuyen tính bưóc nháy (MJLS).
Tiep theo cúa vi¾c mô hình hóa h¾ thong, chúng ta phái đi kháo sát sn on
đ%nh cúa h¾ thong. Đieu này đưoc thnc hi¾n dna trên nhung phân tích đoi vói
các mô hình cúa nó. Như v¾y vai trò cúa vi¾c mô hình hóa và kiem tra sn on đ
%nh cúa h¾ thong là vô cùng quan trong. 6 đây, em trình bày lu¾n văn t¾p
trung vào van đe chúng minh sn on đ%nh cúa h¾ thong MJLS. Lu¾n văn bao
gom các phan sau:
Chương 1: Kien thúc cơ só. Trình bày ve các kien thúc toán hoc liên quan như
quá trình Markov, m®t so bat đang thúc ma tr¾n tuyen tính, lý thuyet ve
h¾ tuyen tính nháy vói thòi gian ròi rac (MJLS).
Chương 2: Sn on đ%nh cúa MJLS. Trình bày ve h¾ thong MJLS và phân tích sn
on đ%nh cúa h¾ thong và các ví dn minh hoa.
Tuy đã có nhieu co gang nhưng do thòi gian và khá năng có han nên các
van đe trong khóa lu¾n van chưa đưoc trình bày sâu sac và không the tránh khói
có nhung sai sót trong cách trình bày. Mong đưoc sn góp ý xây dnng cúa thay
cô và các ban. Em xin chân thành cám ơn!
Mnc lnc
Chương 1. KIEN THÚC CƠ Se.............................................................5
1.1. Quá trình Markov..................................................................................5
1.1.1. Xích Markov................................................................................................. 5
1.1.2. Xác suat chuyen trang thái..........................................................................7
1.1.3. Ma tr¾n xác suat chuyen............................................................................8
1.1.4. Phương trình Chapman-Kolmogorov.........................................................9
1.2. H¾ tuyen tính nháy véi thèi gian rèi rac(MJLS ).................................11
1.2.1. H¾ MJLS ròi rac........................................................................................11
1.2.2. M®t so đ%nh nghĩa..................................................................................11
1.3. M®t so bat đang thNc ma tr¾n tuyen tính.............................................12
1.3.1. Bo đe Schur...............................................................................................12
1.3.2. Bat đang thúc ma tr¾n tuyen tính............................................................13
Chương 2. CÁC TIÊU CHUAN ON бNH THEO MOMENT CAP 2 . .
15
2.1. Các tiêu chuan on đ%nh
15
2.2. Các ví dn minh hoa:............................................................................32
KET LU¾N........................................................................38
Tài li¾u tham kháo........................................................................39
4
Chương 1
KIEN THÚC CƠ Se
1.1.
Quá trình Markov
Đau the ký XX, A. A. Markov (14 / 6 / 1856 - 20 / 7 / 1922) - nhà Toán hoc
và V¾t lý noi tieng ngưòi Nga đã đưa ra m®t mô hình toán hoc đe mô tá
chuyen đ®ng cúa các phân tú chat lóng trong m®t bình kín. Ve sau mô hình
này đưoc phát trien và sú dnng trong nhieu lĩnh vnc khác nhau như cơ hoc,
sinh hoc, y hoc, kinh te, ... và đưoc mang tên là: Quá trình Markov. Trong nhung
năm gan đây, quá trình Markov đưoc úng dnng rat nhieu trong thương
nghi¾p, tin hoc, vien thông, .... Xích Markov là trưòng hop riêng cúa quá trình
Markov (khi ta có the đánh so đưoc các trang thái).
1.1.1.
Xích Markov
Đ%nh nghĩa 1.1.1. Đ%nh nghĩa xích Markov
Kí hi¾u X (t) là v% trí cúa h¾ tai thòi điem t. E là t¾p gom các giá tr% cúa
X (t). E đưoc goi là không gian trang thái cúa X (t). Ta nói rang X (t) có tính
Markov neu:
P{X (tn+1) = j|X (t0) = i0, ..., X (tn−1) = in−1, X (tn) = i}
= P{X (tn+1) = j|X (tn) = i}
vói bat kỳ t0 < t1 < t2 < ... < tn < tn+1 < ... và i0, i1, ..., in−1, i, j ∈ E.
Neu X (t) có tính Markov và E đem đưoc thì X (t) đưoc goi là xích Markov.
Vói t = 0, 1, 2 ... thì ta có khái ni¾m xích Markov vói thòi gian ròi rac.
Vói t ∈ [0, +∞) thì ta có khái ni¾m xích Markov vói thòi gian liên tnc.
Ví dn 1.1.
Cho ξ0, ξ1, ..., ξn, ... là dãy bien ngau nhiên (đai lưong ngau nhiên) ròi rac,
đ®c l¾p, Ek là t¾p các giá tr% cúa ξk, Ek huu han hay đem đưoc (k = 0, 1, 2...,
n, ...).
∞
Đ¾t E =
[
Ek, rõ ràng E là t¾p không quá đem đưoc. Khi đó, ta thay:
k=0
P{ξn+1 = j|ξ0 = i0, ..., ξn−1 = in−1, ξn = i}
= P{ξn+1 = j}
= P{ξn+1 = j|ξn = i}
= p(n, i, n + 1, j)
vói i0 ∈ E0, i1 ∈ E1 , ..., in−1 ∈ En−1, i ∈ En, j ∈ En+1
Như the (ξn; n = 0, 1, 2...) là xích Markov.
Ví dn 1.2.
Cho ξ0, η1 , ..., ηn, ... là dãy bien ngau nhiên (đai lưong ngau nhiên) ròi rac,
đ®c l¾p, nh¾n các giá tr% là nhung so nguyên.
Đ¾t Xn = ξ0 + η1 + η2 + ... + ηn. Ta có:
P{Xn+1 = j|ξ0 = i0, X1 = i1, ..., Xn−1 = in−1, Xn = i}
= P{Xn + ηn+1 = j|ξ0 = i0, η1 = i1 − i0 , ηn = i − in−1 }
= P{ηn+1 = j − i|ξ0 = i0, η1 = i1 − i0 , ηn = i − in−1 }
= P{ηn+1 = j − i}
và
P{Xn+1 = j|Xn = i}
= P{Xn + ηn+1 = j|ξ0 + η1 + η2 + ... + ηn = i}
= P{ηn+1 = j − i|ξ0 + η1 + η2 + ... + ηn = i}
= P{ηn+1 = j − i}
V¾y (Xn; n = 1, 2, ...) là xích Markov.
1.1.2.
Xác suat chuyen trang thái
Đ¾t p(s, i,t, j) = P{X (t) = j|X (s) = i}, (s < t) là xác suat có đieu ki¾n
đe h¾ tai thòi điem s ó trang thái i, đen thòi điem t chuyen sang trang thái j.
Do đó ta goi p(s, i,t, j) là xác suat chuyen trang thái cúa h¾.
Neu xác suat chuyen chí phn thu®c vào (t − s), túc là p(s, i,t, j) = p(s + h,
i,t +
h, j) thì ta nói h¾ thuan nhat theo thòi gian.
Nh¾n xét
1. Các xích Markov ó ví dn 1 và 2 ó trên không thuan nhat.
2. Neu trong ví dn 1 cho ξ0, ξ1, ..., ξn, ... là dãy bien ngau nhiên ròi rac,
đ®c l¾p và cùng phân phoi xác suat thì (ξn; n = 0, 1, ...) là xích
Markov thuan nhat và ngưoc lai.
3. Neu trong ví dn 2 cho η1, η2 , ..., ηn, ... là dãy bien ngau nhiên ròi rac,
đ®c l¾p và cùng phân phoi xác suat thì (Xn, n = 1, 2, ...) là xích
Markov thuan nhat. Th¾t v¾y, bang l¾p lu¾n như trên ta có:
P{Xn+h = j|Xn = i}
= P{ηn+1 + ηn+2 + ... + ηn+h = j − i}
= P{η2 + η3 + ... + ηh+1 = j − i}
= P{Xh+1 = j|X1 = i}
vói moi n = 1, 2, ...; h = 1, 2, ...; i, j ∈ E ⊂ N
1.1.3.
Ma tr¾n xác suat chuyen
Giá sú (Ω, A, P) là không gian xác suat; Xn : Ω → E là bien ngau nhiên
nh¾n giá tr% trong t¾p đem đưoc E. E là không gian trang thái, các phan tú
cúa nó đưoc kí hi¾u là i, j, k ... ( có chí so ho¾c không). Khi đó, tính Markov
và tính thuan nhat
cúa (Xn ) có nghĩa là:
pi j = P(Xn+1 = j|Xn = i)
= P(Xn+1 = j|X0 = i0, ..., Xn−1 = in−1, Xn = i)
không phn thu®c vào n.
P = (pi j ) đưoc goi là ma tr¾n xác suat chuyen sau 1 bưóc.
pi j là xác suat có đieu ki¾n đe h¾ tai thòi điem n (hi¾n tai) ó trang thái i
chuyen sang trang thái j tai thòi điem n + 1 (tương lai).
(n
pi j = P(Xn+m = j|Xm = i)
)
= P(Xn = j|X0 = i)
Neu đ¾t các bien co A = (Xn+1 = j), B = (Xn = i),C = (X0 = i0, ..., Xn−1
= in−1)
thì tính Markov có nghĩa là P(A|B) = P(A|BC). Tù đó suy ra
P(AC|B)
=
P(ABC)
P(B)
=
P(BC).P(A|BC)
P(B)
=
P(B).P(C|B).P(A|B)
P(B)
= P(C|B).P(A|B)
túc là quá khú và tương lai là đ®c l¾p vói nhau khi cho trưóc hi¾n tai.
Chú ý:
Tù công thúc xác suat đay đú ta suy ra ma tr¾n P = (pi j ) có tính chat:
0 ≤ pi j ≤ 1, ∀i, j ∈ E; ∑ pi j = 1
j∈E
Ma tr¾n có tính chat như the đưoc goi là ma tr¾n ngau nhiên.
Xác suat chuyen sau n bưóc đưoc đ%nh nghĩa theo công thúc:
(n
pi j = P(Xn+m = j|Xm = i) = P(Xn = j|X0 = i).
)
Đây là xác suat đe h¾ tai thòi điem ban đau ó trang thái i, sau n bưóc
chuyen sang trang thái j.
(1)
Rõ ràng pi
j
= pi j .
Quy
ưéc
.1
(0)
pi j
=
neu i = j
0
neu i =ƒ
j
(n)
Đ¾t P(n) = p . Ta đ%nh nghĩa P(n) là ma tr¾n xác suat chuyen sau n bưóc.
i
j
1.1.4.
Phương trình Chapman-Kolmogorov
Tù công thúc xác suat đay đú và tù tính Markov ta có ∀ n = 0, 1, 2...
(n+1)
p
ij
=
∑
k∈E
(n)
pik pk j
(1.1.1)
(n+1)
pi j
Tong quát
=
(n
pik pk j
(1.1.2)
k∈E )
∀n, m = 0, 1, 2, ... có
)p
(n+m)
p
=
ij
∑
k∈E
(n
ik
(m)
pk j
(1.1.3)
(1.1.1) đưoc goi là phương trình
ngưoc. (1.1.2) đưoc goi là phương
trình thu¾n.
(1.1.3) đưoc goi là phương trình Chapman - Kolmogorov.
Giái thích:
Đe chúng minh(1.1.1) ta l¾p lu¾n như sau:
H¾ xuat phát tù trang thái i, sau n + 1 bưóc chuyen sang trang thái j là ket
quá cúa vi¾c h¾ xuat phát tù trang thái i, sau 1 bưóc chuyen sang trang thái k
nào đó; the roi h¾ xuat phát tù trang thái k, sau n bưóc tiep theo chuyen sang
trang thái j. Vì v¾y, tù công thúc xác suat đay đú và tính Markov ta suy ra
(1.1.1). Th¾t v¾y, theo công thúc xác suat đay đú ta có:
(n+1
pi j
= P(Xn+1 = j|X0 = i)
)
=
∑ P(Xn+1 = j|X0 = i, X1 = k).P(X1 = k, X0 = i)
k∈E
=
∑ P(Xn+1 = j|X1 = k)P(X1 = k, X0 = i) (do tính Markov)
k∈E
= k∈E
∑ pik
kj
(do tính thuan nhat)
Đieu này chúng minh (1.1.1).
Các công thúc (1.1.2), (1.1.3) đưoc chúng minh tương tn.
Các phương trình trên có dang ma tr¾n như sau:
P(n+1) = P.P(n)
P(n+1) = P(n).P
11
P(n+m) = P(n).P(m)
Tù đó suy ra:
P(n) = Pn
1.2.
H¾ tuyen tính nháy véi thèi gian rèi rac(MJLS )
1.2.1.
H¾ MJLS rèi rac
Xét h¾ có dang
sau:
xk+1 = H(σk)xk,
x0 ∈ R n
(1.2.4)
trong đó {σk} là xích Markov thuan nhat huu han trang thái. Giá sú không
gian trang thái N = {1, 2, 3, ..., N}, ma tr¾n xác suat chuyen P = (pi j )N×N
và phân phoi
ban đau p = (p 1, p2, p3, ..., pN ).
Giá sú P{σ0 = i} = 1. Vói σk = i thì H(i) ∈ {H1, H2 , ..., HN}
Khi đó, h¾ (1.2.4) đưoc goi là h¾ tuyen tính nháy vói thòi gian ròi rac hay
MJLS ròi rac.
1.2.2.
M®t so đ%nh nghĩa
Đ%nh nghĩa 1.2.1.
H¾ (1.2.4) đưoc goi là on đ%nh σ- moment mũ (exponentially σ- moment
stable) neu ∀x0 ∈ Rx, ton tai các hang so α, β > 0 đ®c l¾p vói x0 sao cho:
E{||xk(x0, w)||δ } ≤ α.||x0||δ .e−βk,
k ≥ 0.
Đ%nh nghĩa 1.2.2.
H¾ (1.2.4) đưoc goi là on đ%nh σ- moment ngau nhiên (stochastically σmoment stable) neu ∀x0 ∈ Rx, thì:
∞
∑ E{||xk(x0, w)||δ } < ∞
k=0
1.3.
M®t so bat đang thNc ma tr¾n tuyen tính
1.3.1.
Bo đe Schur
Đ%nh nghĩa 1.3.1. Ngh%ch đáo suy r®ng
Ngh%ch đáo suy r®ng cúa m®t ma tr¾n A ∈ B(Cn, Cm) là ma tr¾n đơn tr% A+
∈
B(Cn, Cm) sao cho:
1. AA+A = A
2. A+AA+ = A+.
3. (AA+)∗ = AA+.
4. (A+A)∗ = A+A.
Bo đe 1.3.1. Bo đe Schur
Xét ma tr¾n Hermit Q
Q=
Q12 .
. Q11
Q22
Q 12
∗
1. Q > 0 neu và chí
neu
.
Q22 > 0
Q11 − Q12 Q−1 Q∗ > 0
22
ho¾
c
.
12
Q11 >
0
Q−1
11 Q12 > 0
Q22
2. Q ≥ 0 neu và chí neu
− Q∗
12
Q22 ≥ 0
Q12
= Q12
12
+
Q
22
22
Q11 − Q12 Q+ Q∗ ≥ 0
22
ho¾
c
13
12
Q11 ≥ 0
Q12 =
Q+
11 12
Q11
+
Q22 − Q∗12 Q11
Q12 ≥ 0
1.3.2.
Bat đang thNc ma tr¾n tuyen tính
Bo đe 1.3.2.
Cho ma tr¾n A ≥ 0, và m®t vecto x > 0 thóa mãn αx ≤ Ax ≤ βx cho α, β
dương, thì α ≤ ρ(A) ≤ β. Neu αx < Ax, thì α < ρ(A). Neu Ax < β x, thì ρ(A)
< β.
Bo đe 1.3.3.
1. Neu A và B là các ma tr¾n xác đ%nh dương thì ton tai ma tr¾n không suy
bien T sao cho T T AT = I và T T BT là ma tr¾n chéo hóa đưoc. (T T là
ma tr¾n chuyen v% cúa T ).
2. Neu A, B, A−B là các ma tr¾n xác đ%nh dương, thì ton tai m®t ma tr¾n
không suy bien T sao cho T T (A − B)T = I − Λ(BA−1), trong đó Λ(X )
kí hi¾u ma tr¾n chéo hóa đưoc, ma tr¾n có các phan tú trên đưòng chéo
chính là các giá tr% riêng cúa ma tr¾n X.
3. Neu A, B, A − B là các ma tr¾n xác đ%nh dương, thì
0 < λmin(BA−1) ≤ λ (BA−1) ≤ λmax(BA−1) < 1,
λmin(BA−1)xT Ax ≤ xT Bx ≤ λmax(BA−1)xT Ax, ∀x ∈
Rn
Chúng minh.
1. Tù A > 0, ton tai ma tr¾n không suy bien T1 sao cho A = T T T1. Vì T −T
BT −1 >
1
1
1
1
1
T
0, ton
tai m®t ma tr¾n chéo hóa đưoc T2 thóa mãn T T T2 = I và T T (T −T
−1
BT )T2
2
chéo hóa đưoc. Lay T = T1
chéo hóa đưoc.
−1
2
T2 không suy bien, ta có T T AT = I và T BT
2. Lay T là ma tr¾n thóa mãn đieu ki¾n ó trên, thì ta có:
T T (A − B)T = I − T T (T −T BT −1 )T2
2
T
Tù T = T
nghĩa pho
2
−1
T
, ta có σ (T BT
2
−1
1
−1
1
) = σ (BA ), trong đó σ (X ) đ%nh
1
cúa ma tr¾n X . Th¾t v¾y, sú dnng tính chat cúa phép bien đoi tương
đương ta có:
σ (T −T BT −1 ) = σ (T T (T −T BT −1 )T −T )
1
= σ (BT
−1
T
1
−T
1
1
1
T
) = σ (B(T T1 )
1
1
−1
1
) = σ (BA−1).
3. Theo chúng minh trên, ton tai m®t ma tr¾n không suy bien T sao cho:
T T (A − B)T = I − Λ(BA−1).
Tù A − B > 0 do đó 1 −σ (BA−1) > 0, ..., λmax(BA−1) < 1.
De dàng chí ra rang bói vì B > 0 nên λmin(BA−1) > 0
Vói moi x ƒ= 0, ta có:
xT Bx
(T1x)T (T1 −T BT1 −1 )(T1 x)
=
xT Ax
(T x)T (T x)
1
1
Ta có:
λmin (T −T BT T )
≤
Vì σ (T
1
−T
T
1
1
−1
BT ) = σ (BA
1
xT
Bx
xT Ax
), ta có:
≤ λmax (T −T BT −T ).
1
1
xT
≤ λmin(BA−1)
Bx
xT
Ax
Đieu này dan đen bat đang thúc can chúng minh.
λmin(BA−1)
≤
Chương 2
CÁC TIÊU CHUAN ON
бNH THEO MOMENT CAP
2
2.1.
Các tiêu chuan on đ%nh
Trong chương này, chúng ta se nghiên cúu sn on đ%nh theo moment cap 2
(hay on đ%nh bình phương trung bình) cúa h¾ (1.2.4). 6 đây, chúng ta sú dnng
phương pháp Lyapunov thú hai đe nghiên cúu sn on đ%nh.
Đ%nh lý 2.1.1.
Giá sú {σk} là m®t xích Markov thuan nhat, huu han trang thái vói ma tr¾n
xác suat chuyen P. Khi đó, h¾ (1.2.4) là on đ%nh moment cap 2 mũ neu và chí
neu vói Q(1), Q(2), ..., Q(N) là các ma tr¾n dương cho trưóc ton tai các ma
tr¾n xác đ%nh dương P(1), P(2), ..., P(N) sao cho:
N
∑ pi j
j=1
i
P( j)H(i) − P(i) = −Q(i), i = 1, N.
(2.1.1)
Chúng minh.
ChNng minh đieu ki¾n đú
Xét hàm Lyapunov V (xk, σk) =kxT .P(σk)xk
Vì P( j) dương vói j = 1, N nên V (., .) luôn
dương. Ta đ%nh nghĩa:
∆V (xk, σk) = V (xk+1, σk+1) −V (xk, σk)
= xT H T (σk).P(σk+1)H(σk)xk − xT P(σk)xk
k
k
.
= xT
k
.x .
k
H T (σk).P(σk+1)H(σk) − P(σK )
Ta có:
E{∆V (xk, σk)|xk = x, σk = i}
= xT E{H T (σk)P(σk+1)H(σk) − P(σk )|σk = i}x
.
T
=x H
(i)
N
∑ P(σk+1 = j|σk = i).P(
T
=x H
(i)
T
=x
j=1
N
∑
.
pi j.P( H(i)x − xT P(i)x
j)
j=1
.
T
H(i)x − xT P(i)x
j)
.
T
.
.
T
H
(i)
N
∑ pi j.P(
.
.
H(i)x − P(i) x
j)
j=1
.
T
=x
N
∑ pi j H
T
.
(i)P( j)H(i)
x = −xT Q(i)x
− P(i)
j=1
Đ¾t
µ1 = Min{λmin[Q( j)P( j)−1] : 1 ≤ j ≤ N}
µ2 = Max{λmax[Q( j)P( j)−1] : 1 ≤ j ≤ N}
(2.1.2)
Tù (2.1.1) ta có P( j) > Q( j), j = 1, N, vì v¾y tù bo đe (1.3.3) ta thu
đưoc
0 < µ1 ≤ µ2 < 1.
Tù (2.1.2) ta có:
E{∆V (xk+1, σk+1)|xk = x, σk = i} ≤ −µ1xT P(i)x = −µ1V (x, i), i ∈ N
Túc là:
E{V (xk+1, σk+1)|xk = x, σk = i} ≤ (1 − µ1)V (x, i)
Đieu này kéo theo:
E{V (xk+1, σk+1)} ≤ (1 − µ1)E{V (xk, σk)}
Đ¾t:
λ1 = Min{λmin(P( j)) : j ∈ N }
λ2 = Max{λmax(P( j)) : j ∈ N }
Ta có: 0 < λ1 ≤ λ2 và tù (2.1.3) ta có:
E||xk||2 ≤
E{V (xk,
σk)}
λ1
λ2
≤
E(||x0||2)(1 − µ1)k.
1
λ
Đieu này kéo theo h¾ (1.2.4) on đ%nh moment cap 2 mũ.
ChNng minh đieu ki¾n can
Vói các ma tr¾n dương cho trưóc Q( j), j ∈ N ta đ%nh nghĩa:
Φ(m, k) = H(σm−1)H(σm−2)...H(σk), m > k
l
P ˜k =
l
∑
T
(m, k)Q(σk)Φ(m, k), k ≥ 0, l ≤ k
Φ
m=k
ν1 = Min{λmin(Q( j)) : j ∈ N}
(2.1.3)
ν2 = Max{λmax(Q( j)) : j ∈ N }
Trưóc het ta chúng tó vói moi k
∞
∞
P˜k =
T
∑
(m, k)Q(σm)Φ(m, k)
Φ
m=k
là m®t phan tú cúa L2(Ω, F, P). Giá sú (1.2.4) on đ%nh moment cap 2 mũ
túc là ton tai 0 < α < 1 và β > 0 sao cho:
E{||xm||2} = E{||Φ(m, k)xk||2} ≤ β ||xk ||2 α m−k , m > k.
Khi đó ta có:
E{||P˜l ||2 } =
sup
E{xT (P˜l )T P˜l x}
k
k
k
||x||=1
.
.2
˜
l
sup E{x Pk x}
=
T
||x||=1
.
=
sup Ex
||x||=1 T
.
≤
l
∑
ν22
l
∑
.2
Φ (m, k).Q(σk)Φ(m, k)x
T
m=k
.2
E{(Φ(m, k)x) Φ(m, k)x}
T
m=
k
≤ ν2B2
2
≤
.
l
||x||2
∑ αm−k
.2
m=
k
ν 2 B 2||x||
2
< +∞.
1 −α
Đieu này kéo theo Pk ˜∞ ∈ (Ω, F, P).
L2
Đ%nh nghĩa:
∞
Khi
đó ta
có:
∞
T
P˜k = P˜k =
∑Φ
m=k
(m, k)Q(σm)Φ(m, k), k ≥ 0.
P˜k = H T (σk )P˜k+1 H(σk ) + Q(σk ), k ≥ 0