Ứng dụng đa thức

khóa luận tốt nghiệp

Thân Thị Thu Hà

Trƣờng đại học sƣ phạm hà nội 2
Khoa: toán
*********************

Thân thị thu hà

ỨNG DỤNG ĐA THỨC

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên nghành : Đại số

Hà nội - 2009

ứng dụng đa thức

-1-


Trƣờng đại học sƣ phạm hà nội 2
Khoa: toán
*********************

Thân thị thu hà

ỨNG DỤNG ĐA THỨC

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành :Đại số

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:
Giảng viên chính : VƢƠNG THÔNG

Hà nội - 2009

ứng dụng đa thức

-2-


Lời cảm ơn
Sau một thời gian hăng say và miệt mài nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ
tận tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên khoá luận của em đã hoàn
thành. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy Vƣơng ThôngTổ trƣởng tổ Đại số đã chỉ bảo, giúp đỡ em trong quá trình thực hiện và hoàn
thành khoá luận.
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô giáo trong
khoa Toán, các thầy cô trong tổ Đại số trực tiếp giảng dạy đã tạo điều kiện
thuận lợi cho em trong quá trình em làm khoá luận.
Khoá luận của em đã hoàn thành song cũng không tránh khỏi những thiếu
xót, hạn chế. Em rất mong nhận được sự đóng góp chân tình, những ý kiến
phản hồi của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khoá luận của em được
hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà nội, tháng 05 năm 2009
Sinh viên
Thân Thị Thu Hà

ứng dụng đa thức

-3-


Lời nói đầu
Đa thức chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong toán học, không những
là đối tượng nghiên cứu chủ yếu của đại số mà còn là phương tiện hữu hiệu
của giải tích.Bên cạnh đó lý thuyết đa thức còn phục vụ cho chương trình toán
phổ thông, toán cao cấp, toán ứng dụng.
Với những ứng dụng đó ngày nay tài liệu về đa thức cũng khá nhiều và đi
sâu vào nhiều dạng toán, các dạng toán được phân loại rõ ràng và có hệ
thống.Song những vấn đề về đa thức chưa đưa ra được phương pháp giải một
cách chi tiết và tường minh.
Với những lí do trên em chọn đề tài “ ứng dụng đa thức” để làm khoá
luận tốt nghiệp
Khoá luận bao gồm nội dung:
Chương 1: Những kiến thức liên quan
Chương 2: ứng dụng đa thức một ẩn
Chương 3: ứng dụng đa thức nhiều ẩn
Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu và khả năng của bản thân
còn nhiều hạn chế nên khoá luận không tránh khỏi những thiếu xót. Kính
mong các thầy cô giáo và các bạn sinh viên nhận xét và đóng góp ý kiến để
khoá luận của em được hoàn thiện hơn.
Hà nội, tháng 05 năm 2009
Sinh viên
Thân Thị Thu Hà


Mục lục

Lời nói đầu: ……………………………………………………………… 1
MỤC LỤC …………………………………………………………….. 2
Chương 1: Những kiến thức liên quan ………………………………… 3
1.1. Vành đa thức một ẩn …………….………………………………...

3

1.2. Đa thức với hệ số nguyên …………………………………………

10

1.3. Vành đa thức nhiều ẩn ……………………………………………

13

Chương 2: ứng dụng đa thức một ẩn ………………………………

16

2.1. ỨNG DỤNG 1: Một số bài toán chia hết …………………………

16

2.2 ỨNG DỤNG 2: GIải toán phương trình bậc hai ……………………

19

2.3.ỨNG DỤNG 3: GIải phương trình căn thức …………………...……

22

2.4.ỨNG DỤNG 4: Tâm giá trị của các biểu thức đối xứng đối với các
nghiệm của đa thức …………………………………………

24

2.5. ứng dụng 5: Nghiệm của đa thức hệ số đối xứng..............................

29

2.6.ỨNG DỤNG 6: Tâm điểm cố định của họ đồ thị hàm số…..……

32

Chương 3: Ứng dụng đa thức nhiều ẩn ………………………………….. 35
3.1. Ứng dụng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử ……………………

35

3.2. ỨNG DỤNG 2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình đối xứng

38

3.3. ỨNG DỤNG 3: Giải hệ phương trình ….....………………………

45

3.4. ỨNG DỤNG 4: CHứng minh hằng đẳng thức….…………………

47

3.5. ỨNG DỤNG 5:CHứng minh bất đẳng thức …….....………………

51

3.6. ỨNG DỤNG 6: TRục căn thức ở mẫu ………......…………………

54

KẾT LUẬN ……………………………………………………………

58

TàI LIỆU THAM KHẢO ………………………………………………

59


Chƣơng 1 : những kiến thức liên quan
Đ1. vành đa thức 1 ẩn
1. Xây dựng vành đa thức 1 ẩn
Giả sử A là 1 vành giao hoán, có đơn vị.Gọi K là tập hợp các dãy:
K=
∈

{( a

0

, a1 ,..., an ,...) | ai

Α, ∀i

= 0 hầu hết

= 0,1, ...; ai

}

Trên K ta định nghĩa 2 phép toán cộng và nhân như sau
+ (a0 , a1 ,..., an ,...) + (b0 , b1 ,..., bn ,...) = (a0 + b0 ,..., an
+ bn ,...)
+ (a0 , a1 ,..., ak ,...).(b0 , b1 ,..., bk ,...) = (c0 , c1 ,..., ck ,...)
Với
c
k

, k = 0,1, 2...
∑
ab
i+ j=i
k
j
Khi đó (K,+,.) lập thành 1 vành giao hoán có đơn vị
=

Xét ánh xạ :

f:A→

K

a  (a, 0,...,...)
+ f là 1 đơn cấu và bảo toàn tổng,tích

f (a + b) = (a + b, 0,...) = (a,
0,...) + (b, 0,...) =

f (a) f (b)
+

f (a.b) = (a.b, 0,...) = (a, 0,...) f (a) f (b)
(b, 0,...) =


Nếu f (a)
=

f (b) ⇔ (a, 0,...) = (b, 0,...)
⇔ a= b

+Do f là đơn cấu nên ta thể đồng nhất mỗi phần tử a với ảnh
∈ A

f (a) của nó trong K và có thể coi A là một vành con của K
KH:

x = (0,1, 0,...) gọi là 1 ẩn

Khi đó ta có x 2 = (0, 0,1, 0, ...)
…

x n = (0, ..., 0 ,1, 0, ...)


n

là các dãy ( a 0 , a 1 ,…, a n ,…) trong đó các

Vì các phần tử của K
a
⊂ A
&a
i

= 0 hầu hết trừ 1 số hữu hạn nên ta có thể giả sử n
i

an+1 =

= ... = 0 . Khi đó mỗi phần tử trong K
có thể

là số lớn nhất để an+2
viết :

a
a
(

0,

,…,
1

a

n

,0,…)= (

0

a

,0 ,…)+ (0,

a

1

,…)+ (0,0,

2

a

,…)+…+

(0,…,0,

n

,0,…)

a
=( a 0 ,0 ,…)(1,0 ,…)+ (0,

a1

,…)(0,1,0…)+…+ ( a n ,0,…)(0,…,1,0,…)

n

= a0 + a x + ...+ a x
1
n
Gọi K là vành đa thức ẩn x lấy hệ tử trên A hay vành đa thức một ẩn x trên

[]

A KH: K = A x

+Ta thường KH các phần tử của K là f (x), g(x)... Và được viết
n

f (x) = a x + a
n

Trong đó các

x

n−1

a , i = 0, n i

n− 1
1

+... + a x + a
0


a x

i

là các hệ tử của đa thức
: các hệ tử thứ i của đa thức

i
a
0

a
n

: hạng tử tự do

: hệ tử cao nhất


2. Các tính chất của đa thức
2.1.Bậc của đa thức
Cho

f (x)
= a x

n

n

x

+ a

( a ≠ 0, n >
0)

+ ... + a
x+ a

n−1
n−1

n

0

n

n

+ f ( x) = 0 :Ta f (x) là đa thức không có bậc hoặc bậc là - ∞
nói
+ f (x) ≠ 0 :
Cho

f (x) ∈ A [ x ] ,

n được gọi là f (x) .

bậc của

KH là n = deg f (x)
Tính chất

f (x) ≠ deg
g(x) thì

1/Nếu

deg

f (x)

+

g(x) ≠ 0 và

deg( f (x) + g(x)) = max{deg f (x), deg g(x)}
Nếu

f (x) = deg
g(x) và

deg

f (x) +
g(x)

≠

0 thì

deg( f (x) + g(x)) ≤ max{deg f (x) + deg g(x)}
2/Nếu f

(x).g(x)

≠ 0 thì deg( f (x).g(x)) ≤ deg f (x) + deg g(x)

2.2. Phép chia đa thức
2.2.1. Phép chia có dƣ
Định lí:
Cho vành đa
thức

A [ x ] , A _trường. f (x) , g(x) ∈ g(x) ≠ 0
,
∀
A[x]

∃! g(x) , r(x)

f (x) = g(x) f (x) +
r(x) với

∈ A[x]

sao
cho

phép dư của phép
chia

f (x) cho g( x)

r(x) ≠ ⇒
0
r(x) = 0

⇒

thì

deg f (x) < deg g(x)

f (x)  g(x)

r(x) là


2.2.2. phép chia hết
Định nghĩa:
Ta nói rằng đa thức

q(x) ∈

A[x]
KH:

f (x) chia hết cho g(x) nếu tồn tại một đa thức q(x) ,

sao
cho

f (x)

f (x) = g(x) . q(x)

g(x)



Một số tính chất:
i/ Nếu

f (x)  g(x) thì

ii/ Với f ( x) g ( x) ,
∀α

deg f (x) ≥ deg g(x)

≠ 0

. f ( x) g ( x)

thì

iii/ f (x) g(x) g(x) f (x)

,

thì
iiii/ Nếu f (x) g(x), i = 1,
n và
i
thì:

α

f (x) =

q (x),
q

1

α.g( x), α ≠ 0

(x),...,
q
2

(x) là những đa thức bất kì
n

[ f1 (x)q1 (x) f2 (x)q2 (x) + ... + fn (x)qn (x)] g(x)
+

Lƣợc đồ Hoocner

n
n −1
f (x) = a1x + a1x
+ ... + an −1x
A[x] :
+ an , α ∈ A
trong
f
(x)
x
A[x]
cho
Giả sử thương của phép chia
−α

∈
Cho f (x)


là :
n−1
n−2
q(x) = b0 xb+ b1x + ... + , b
n−1
∈
A
i
Khi đó ta biểu diễn :
n
n −1
a x + ax
+ ...
+ a
x
+ a
0
1
n−1
n

, i = 0, n −1
i

= f (x)(x −

+ ... + b

So sánh các hệ tử của các luỹ thừa giống nhau của
bảng

α ) + (b x
0

x

n −1
)

n−1

trong hệ thức trên ta có


α

ao

a1

………….

an

bo = ao

b1 = ao
+ αbo

…………..

r = ao
+ αbn

2.3. Nghiệm của đa thức
Định nghĩa:

Ch f (x) ∈ A [ x ] , deg f f (x) =
o
a
(x) ≥ 1 ,

n

+ a x + ... + a x .
0

1

n

Phần tử α được gọi là nghiệm của đa thức nếu
f (α )
=a
0

n
α

+ aα
+ ...
+ a
1

∈
thứ f (x)
c
A[x]

α ∈ A là

.Giả sử A
_trường,

nghiệm của đa

n

tron
g

⇔ f
(x) (x
−α )

[]

A x .

* Công thức Viét:
Cho

+... + a
và
n−1
x
0
1
n−1
(x
)(x
f (x) = a −
α −

f (x)
= a x

n

0

Với α ,...,

,α

1

2

α



1

1

α

1

)...(x −
2

n

a
= −
a

+ ...
+

α α
2

n

là đa thức bất kì

n

là các nghiệm của đa thức


α
+

x+ a

+ a

1

n

α )





α

0

+

α
α

α
1

+ ... +

2

1



1

3

1

n

2

2

k
+1

...

α α
α
2

n

3

...

α

α



1


+

α
α α α



...


...
+ ...

α+ α

α
α

+ ... + α
=2

n−k

a n
= (−1)
a

0

n−k + 2 n

n

n−1 n

a k
= (−1)

a

0

a

α

a0
k


2.4.Đa thức bất khả quy
Định nghĩa:
Đa thức bất khả
quy

f (x) trên một miền nguyên A là một đa thức khác 0,

không khả nghịch và không có ước thực sự trong

A [ x ] . Nghĩa

f (x) là

là
phần tử bất khả quy của
vành

A[x] .

Định lí:
-Mọi đa thức bậc nhất đều bất khả quy trên mọi trường số.
-Một đa thức bất khả quy trên C ⇔

là đa thức bậc nhất.

-Một đa thức bất khả quy trên R ⇔
nhất,bậc hai(với

là đa thức bậc

∆ < 0 ).
*Tiêu chuẩn Aiden-stainer
Giả sử

n

+ a x + ... + a x ∈ Z

f (x) =
a
0

1

∃p
∈ P sao
cho

n




p

|
i = 0, n −1

an



p|

ai




2
p | ao
Khi đó

[x], n ≥

1


f (x) là

quy trong

Q [ x]

bất khả
*Đa thức không bất khả quy
Cho L
⊂

R . Đa thức P(x) ∈ L(x) được gọi là không bất khả quy
trong

L( x) nếu tồn tại các đa
thức

Q(x) ∈ L(x) & S(x) ∈ L(x) .Với bậc
lớn

hơn một sao cho P(x) = Q(x).S (x)


Đ2. đa thức với hệ số nguyên
1.Định nghĩa:
Đa
thức

được gọi là đa thức nguyên bản nếu các hệ số của nó

f (x)

∈ Z

[x]

nguyên tố cùng nhau.
2.Tính chất:
*Bổ đề Gauss: Tích của hai đa thức nguyên bản là một đa thức nguyên bản.
* Khái niệm nguyên tố cùng nhau
Định
nghĩa:

P(x), Q(x) nguyên tố cùng nhau nếu UCLN của chúng là một

đa thức hằng số hay (P(x), Q(x)) = 1
Định lí: Điều kiện cần và đủ để 2 đa thức P(x), Q(x) nguyên tố cùng nhau là
tồn tại cặp đa thức U (x),V (x) sao cho :
U (x)P(x) + V (x)Q(x) = 1
Các tính chất:
1/ Nếu P(x), Q(x),
R(x)

là những đa thức sao cho

(P(x), Q( x))
⇒ R(x) P(x)
=1
R(x)Q(x) P(x)
2/ Nếu (P(x), Q(x)) = 1 thì tồn tại U
(x),V (x)
U (x)P(x) + V (x)Q(x)

= 1

degU ( x)
≤ deg
Q( x)


sao cho
Và

degV ( x) ≤ deg P( x)

3/ Nếu (P(x), Q(x)) = 1 , (P(x), R(x)) = 1 thì (P(x), Q(x),
R(x)) = 1


4/

P( x)Q( x)
P( x) R( x)
(R( x), R( x))
=1

⇒

P( x)Q( x)R( x)

3.Đa thức đồng dƣ
Định nghĩa:
Cho ϕ(x) là đa thức khác không. Ta nói rằng những đa thức P(x), Q(x)

là
đồng dư theo môđun đa thức ϕ(x)
nếu

P( x) − Q( x) ϕ ( x)

Nế P(x), Q(x) đồng dư theo môđun ϕ(x) thì ta kí hiệu :
u
P(x) ≡ Q(x)(mod ϕ( x))
Định lí:
Cho ϕ(x) là đa thức khác không. Chứng minh rằng
nếu
đa thức
thì

P(x) và Q(x) là hai

P(x) ≡ Q(x)(mod ϕ(x)) tương đương và Q(x) cùng một đa
P(x)

thức dư khi chia cho ϕ(x)
Chứng minh
Nếu P(x) =
ϕ(x)S

(x) + R (x), deg R (x) < degϕ(x)
1

Q(x) =
ϕ(x)S

2

Thì

1

(x) + (x), deg
R
R
2

1

(x) < deg ϕ( x)
2


P(x
)
−Q
(x)

 ϕ(x) ⇔ R (x) (x) ϕ(x)
− R
1
2
(x)
⇔ R (x) = R
1

2

Vì deg(R (x) − (x)) < deg ϕ(x)
R
1

2

Tính chất
1/ ∀P(x), P(x) ≡ P(x)(modϕ (x))
2/ P(x) và Q(x) bất kì, nếu P(x) ≡ Q(x)(mod ϕ(x)) thì Q(x) ≡
P(x)(mod ϕ(x))


3/ ∀P(x), Q(x),
R(x), nếu

P(x) ≡ Q(x)(mod ϕ (x)) và
P(x) ≡ R(x)(mod ϕ(x))

Q(x) ≡ R(x)
(mod ϕ(x)) thì
4 / ∀P(x), Q(x),
R(x),

P(x) ≡ Q(x)(modϕ(x)) thì

P(x)R(x) ≡ Q(x)R(x)(mod ϕ(x))
5/ P (x), P (x),..., P (x), Q

(x),...Q
1

2

n

1

n

(x) và
u

1

(x),
u

2

(x),...,
u

(x), nếu
n

P (x) ≡ Q (x)(modϕ(x)), thì u (x)P (x) +... (x)P (x) ≡
i = 1, n
+ u

i

i

1

u (x)Q (x) +... (x)
+ u
Q
1

1

1

n

n

(x)(mod ϕ(x))

n

n

6/ P(x), Q(x), R(x) bất kì,
nếu

P(x) + Q(x) ≡ R(x)(mod ϕ(x)) thì

P(x) ≡ R(x) − Q(x)(mod ϕ( x))
7/ P (x), P (x),...,

P

1

2

u (x),
u
1

2

(x),...,
u

n

n

(x),
Q

1

(x),
Q

2
n

n

(x), nếu P (x) ≡ Q (x)(modϕ(x)), thì
i = 1, n
i

P (x).P (x)...P (x) ≡ Q
(x).Q
1

2

(x )... (x ) và
Q

1

2

i

(x)...
Q

(x)(mod ϕ(x))
n

8/ P(x) , Q(x)


bất kì ,

∀n ∈ nếu

P(x) ≡ Q(x)
(modϕ(x)) thì
9/ P(x) ,
Q(x)

n
n
P (x) ≡ Q (x)(mod ϕ (x))

bất kì và F (x) ,
nếu

P(x) ≡ Q(x)(modϕ(x)) thì

F(P(x)) ≡ F(Q(x))(mod ϕ(x))


Đ3. Vành đa thức nhiều ẩn
1.Định nghĩa:

x

Xây dựng vành đa thức nhiều

ẩn
Giả sử

A[

x
2

1,

,

x
,...,

n

] bằng quy nạp.

A là vành giao hoán có đơn vị. Đặt
A =
A[x
1

] : vành đa thức
1

ẩn

A =

A[x
2

x1 lấy hệ tử trên A

] : vành đa thức
2

x2 lấy hệ tử trên A

ẩn

1

…

A =
A
n

[x ] : vành đa thức ẩn

xn

x x
,...,

Khi đó ta gọi vành A



x,
x
1

n−1

=
A

x

n−1

1



n

∂

2

n

n



,

lấy hệ tử trên A

là vành đa thức n ẩn

,..., x
2

n

Mỗi phần tử của
vành

A[x , ,...,
x
x
1

g(x ,
x
1

2
n

,...,
x

2

] kí hiệu
n

là

) ;…gọi là các đa thức n
ẩn

f (x ,
x

,..., x ) ;

1

x,
x
1

2

n

,..., x lấy hệ tử trên A
2

n

Bằng quy nạp ta cũng có
mọi

f (x ,
x
1

nhất dưới
dạng

,...,
x

f (x ,
x
1

trong
đó

)= cx
a
...x 1n

2
n

c ∈ A, i
=
1, n ,

i

1

1

2

,...,
x

a11 a12
x

2

n

) ∈ đều biểu diễn duy
A[x]

a a
a
+... + c x m1 x m 2 ...x mn

n

m

1

2

a ∈ , j = 1, n
i

(ai1, ai 2 ,...ain ) ≠ (a j1 , a j 2 ,...,a jn ),i ≠ j

n