Xác suất thiệt hại trong mô hình rủi ro

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
KHOA TOÁN

Tran Th% Hien

XÁC SUAT THIfiT HAI TRONG MÔ HÌNH RUI
RO

KHÓA LU¾N T6T NGHIfiP ĐAI
H6C
Ngành: Toán - Úng dnng.
Mã so:

Hà N®i 2013



TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
KHOA TOÁN

Tran Th% Hien

XÁC SUAT THIfiT HAI TRONG MÔ HÌNH RUI
RO

KHÓA LU¾N T6T NGHIfiP ĐAI
H6C
Ngành: Toán - Úng dnng.
Mã so:

Ngưèi hưéng dan:

ThS. Nguyen Trung Dũng
Hà N®i 2013


LèI CÃM ƠN
Trưóc khi trình bày n®i dung chính cúa khóa lu¾n, em xin bày tó
lòng biet ơn sâu sac tói Thac sy Nguyen Trung Dũng ngưòi đã t¾n tình
hưóng dan đe em có the hoàn thành khóa lu¾n này.
Em cũng xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói toàn the các thay cô
giáo trong khoa Toán-úng dnng, Đai hoc Sư Pham Hà N®i đã day báo em
t¾n tình trong suot quá trình hoc t¾p tai khoa.
Nhân d%p này em cũng xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia đình,
ban bè đã luôn bên em, co vũ, đ®ng viên, giúp đõ em trong suot quá trình
hoc t¾p và thnc hi¾n khóa lu¾n tot nghi¾p.
Hà N®i, ngày 29 tháng 05 năm
2013
Sinh viên

Tran Th% Hien


Mnc lnc
Chương 1. Kien thNc cơ bán...............................................................6
1.1. Thèi điem Markov....................................................................6
1.2. Quá trình Martingale..................................................................9
1.3. Quá trình Possion......................................................................10
1.3.1. Quá trình đem.............................................................................10
1.3.2. Quá trình Possion........................................................................11

Chương 2. Xác suat thi¾t hai trong mô hình rúi ro..........................12
2.1. Bài toán thi¾t hai...........................................................................12
2.1.1. Bài toán "thi¾t hai" đoi vói m®t công ty báo hiem..................12
2.1.2. Xác suat thi¾t hai........................................................................15

2.2. Áp dnng phương pháp martingale đe ưéc lưeng xác suat thi¾t
hai.
Đ%nh lý Cramer-Lundberg........................................................17
2.2.1. Ta đ¾t lai bài toán......................................................................17
2.2.2. Các giá thiet cúa đ%nh lý Cramer-Lundberg.............................18
2.2.3. Phát bieu đ%nh lý.............................................................................19
2.2.4. Chúng minh đ%nh lý Cramer-Lundberg....................................19

2.3. Bài toán thi¾t hai đoi véi quá trình rúi ro véi gia so phn thu®c.
23
2.3.1. Ket quá chính...............................................................................23
2.3.2. Ví dn.............................................................................................32

2


LèI Me ĐAU
M®t công trình rat sóm cúa Filip Lundberg trong m®t lu¾n án tien
sĩ noi tieng ó đai hoc Uppsala (Thny Đien) năm 1903 đã đưa đen vi¾c
sáng l¾p ra lý thuyet rúi ro tài chính. Lundberg đã nh¾n ra rang các quá
trình Poisson phái là các công cn trung tâm trong mô hình ve báo hiem
tài chính. Bang m®t phép bien đoi thòi gian thích hop, ông đã có the han
che van đe vào vi¾c phân tích các quá trình Poisson thuan nhat. Sn phát
hi¾n cúa ông cũng như vi¾c Bachelier tìm ra chuyen đ®ng Brown vào
năm 1900, là nen táng then chot cho vi¾c xây dnng các mô hình toán

hoc ve tài chính. Sau đó, Harald Cramer và trưòng phái Stockholm đã
phát trien các ý tưóng cúa Lundberg và đóng góp vào vi¾c hình thành
nên lý thuyet các quá trình ngau nhiên trong toán hoc. Vói các ket quá
đó, Cramer đã đóng góp m®t cách đáng ke vào cá lý thuyen báo hiem
lan lý thuyet xác suat và thong kê toán hoc. Mô hình toán hoc đau tiên
trong nhung đóng góp đó là mô hình Cramer-Lundberg, đưoc mô tá ó
khóa lu¾n này.
Và m®t trưòng hop mó r®ng cúa mô hình Cramer-Lundberg là
nghiên cúu xác suat thi¾t hai đoi vói quá trình rúi ro, trong đó các so
tien chi trá là dãy các bien ngau nhiên phn thu®c và khoáng thòi gian
giua hai lan đòi trá cũng là dãy bien ngau nhiên phn thu®c. Mô hình vói
các dãy bien ngau nhiên phn thu®c yeu là phù hop vói thnc te hơn so
vói mô hình dãy bien ngau nhiên đ®c l¾p.
Khóa lu¾n t¾p trung làm rõ cơ só toán hoc cúa lý thuyet rúi ro nói
chung và úng dnng vào báo hiem tài chính nói riêng.
Bo cnc cúa khóa lu¾n bao gom 2 chương:
• Chương 1 cúa khóa lu¾n trình bày các khái ni¾m, tóm tat m®t so
ket quá đ%nh lý trong xác suat, quá trình martingale liên tnc.
• Chương 2 cúa khóa lu¾n t¾p trung trình bày ý tưóng: các khái
ni¾m và giá thiet yêu cau cúa bài toán và n®i dung cơ bán cúa đ
%nh lý


Cramer-Lundberg giái bài toán thi¾t hai. Cuoi chương là m®t
trưòng hop mó r®ng cúa bài toán.
Do thòi gian thnc hi¾n khóa lu¾n không nhieu, kien thúc còn han che
nên khi làm khóa lu¾n không tránh khói nhung han che và sai sót. Tác
giá mong nh¾n đưoc sn góp ý và nhung ý kien phán bi¾n cúa quý thay
cô và ban đoc. Xin chân thành cám ơn!
Hà N®i, ngày 29 tháng 05 năm

2013
Sinh viên

Tran Th% Hien.

4


LèI CAM ĐOAN.
Tôi xin cam đoan:
Khóa lu¾n tot nghi¾p là ket quá cúa sn no lnc tn bán thân và sn
hưóng dan t¾n tình cúa thay hưóng dan : ThS. Nguyen Trung Dũng .
N®i dung khóa lu¾n không trùng l¾p vói bat kì công trình nghiên
cúu nào đã công bo.
Hà N®i, ngày 29 tháng 05 năm
2013
Sinh viên

Tran Th% Hien


Chương 1

Kien thNc cơ bán.
1.1.

Thèi điem Markov.

• Cho (Ω, A , P) là không gian xác suat đay đú, túc là A chúa tat
cá các t¾p có xác suat 0 ( t¾p N có xác suat 0 , neu ton tai A ∈ A

sao cho P(A) = 0 và N ⊂ A ).
• {An, n ∈ T} là dãy các σ -trưòng không giám cúa A , và moi At
và moi At chúa tat cá các t¾p có xác suat 0.
Đ%nh nghĩa 1.1. Giá sú τ : Ω → [0, ∞] là bien ngau nhiên ( có the lay
giá tr% ∞ ). Ta nói rang τ là thòi điem Markov ( đoi vói {A , n ∈ N} ),
neu
{ω : τ(ω) ≤ t} ∈ At

∀t ∈ T.

Neu thêm vào đó P(τ < ∞) = 1, thì τ đưoc goi là thòi điem dùng.
Ta đ¾t Aτ là lóp gom tat cá các t¾p con A cúa Ω sao cho:
A ∈ A∞ và A ∩ (τ ≤ t) ∈ At . Như v¾y, Aτ gom các bien co quan sát
đưoc
tính đen thòi điem τ. Khi đó, de dàng thay rang Aτ là σ -trưòng con cúa
trưòng A .

6


Ví dn 1.1. Neu τ(ω) ≡ t(∈ T ), ho¾c bang ∞, thì hien nhiên τ là thòi
điem
Markov.
Ví dn 1.2. Giá sú Xt ∈ [0, ∞] là quá trình ngau nhiên liên tnc, và F là
t¾p đóng cúa R. Đ¾t

inf{t : X ∈ F} neu ton tai t như the
t
F
τ := 

∞
neu Xt ∈/ F ∀t ∈ [0, ∞).
Khi đó, τF là thòi điem Markov đoi vói {σ≤t , t ∈ [0, ∞)}.
Th¾t v¾y, đ¾t G = R/F. Khi đó, G là t¾p mó, do đó ton tai các t¾p
đóngKn
S
sao cho G = n Kn. Ta có:
{τF ≤ t} =

\

[

{Xs ∈/ Kn } =

n s
\

[

{Xr ∈/ Kn } ∈ At

n s
trong đó r là so huu tí.
Ví dn 1.3. Giá sú Xt , A , t ∈ [0, ∞] là quá trình ngau nhiên liên tnc phái,
ho
{A , t ∈ [0, ∞)} liên tnc phái, và G là t¾p mó cúa R. Đ¾t


τG :=  inf{t : Xt ∈ G} neu ton tai t như the
∞
neu Xt ∈/ G ∀t ∈ [0, ∞).
Khi đó, τG là thòi điem Markov đoi vói {At , t ∈ [0, ∞)}.
Th¾y v¾y, đ¾t F = R/G. Do F đóng, và do tính liên tnc phái cúa quy
dao, ta có
\

\

{τG ≤ t} = {Xs ∈ F} = {Xr ∈ F} ∈ At
s
r
trong đó r là các so huu tý. Suy
ra
{τG < t} ∈ At .


Do đó, tù tính chat 2 kéo theo τ là thòi điem Markov.


Tính chat 1.1. Giá sú τ là thòi điem Markov. Khi đó:
{τ < t} ∈ At , {τ = t} ∈ At .
Th¾t v¾y ta
thay:

{τ < t}
=

∞
[

1
{τ ≤ t − } ∈ At ,
k

k=1

vì rang {τ ≤ t − 1 } ∈
A
k

1

⊂ At , Ngoài ra,

t− k

{τ = t} = {τ ≤ t}\{τ < t} ∈ At
Can lưu ý rang, nói chung tù đieu ki¾n {τ < t} ∈ At không suy ra đưoc τ
là
thòi điem Markov. Tuy nhiên ta có:
Tính chat 1.2. Neu ho {At , t ∈ [0, ∞)} liên tnc phái, τ là bien ngau
nhiên nh¾n giá tr% trong [0, ∞] sao cho {τ < t} ∈ At vói moi t ∈ [0,
∞), thì τ là thòi
điem Markov.
Th¾t v¾y, vì {τ < t} ∈ At , nên
{τ ≤ t} =

\

{τ < t + ε} ∈

ε>0

\

At+ε .

ε>0

Suy
ra
{τ ≤ t} ∈

\

ε>0

At+ε =HA

+

.

Tính chat 1.3. Neu τ1, τ2 là các thòi điem Markov, thì τ1 ∧ τ2 = min(τ1,
τ2), τ1 ∨ τ2 = max(τ1, τ2) và τ1 + τ2 là các thòi điem Markov.
Th¾t v¾y, chúng minh suy ra tù:

{τ1 ∧ τ2 ≤ t} = {τ1 ≤ t} ∪ {τ1 ≤ t}.
{τ1 ∨ τ2 ≤ t} = {τ1 ≤ t} ∩ {τ1 ≤ t}.
{τ1 + τ2 ≤ t} = {τ1 = 0, τ2 = t} ∪ {τ1 = t, τ2 = 0}∪

trong đó a, b là các so húu tý.

∪
8


[



a+b<
t
a,b>0

[{τ1 < a} ∩ {τ2 < b}]


9



.


1.2.

Quá trình Martingale.

Đ%nh nghĩa 1.2. Giá sú (Ω, A , P) là không gian xác suat. Quá trình X =
{Xt , A , t ∈ T }, đưoc goi là:
• matingale dưói ( đoi vói {At , t ∈ T }), neu: (i) {Xt , A , t ∈ T} là
quá trình tương thích;
(ii) E|Xt | < ∞, ∀t ∈ T;
(iii) vói s ≤ t, s, t ∈ T
E(Xt |As ) ≥ Xs,

P − hau chac chan.

• matingale trên ( đoi vói {At , t ∈ T }), neu các đieu ki¾n (i), (ii)
đưoc thnc hi¾n và (iiir) vói s ≤ t, s, t ∈ T
E(Xt |As ) ≤ Xs,

P − hau chac chan

• matingale ( đoi vói {At , t ∈ T }), neu các đieu ki¾n (i), (ii) đưoc
thnc hi¾n và (iiirr) vói s ≤ t, s, t ∈ T
E(Xt |As ) = Xs,

P − hau chac chan

Ví dn 1.4. Giá sú X là bien ngau nhiên nào đó có E|X| < ∞ và At , t ∈ T
là ho σ -trưòng con không giám cúa A . Khi đó,
Xt = E(X |At )
là matingale đoi vói At , t ∈ T . Th¾t v¾y, vì As ∈ At ta có
Xs = E(X|As ) = E(E(X |At )|As )E(Xt |
As ).

Ví dn 1.5. Neu X = {Xt , A , t ∈ T} là matingale và g là hàm loi vói E|g(Xt
)| <
∞, t ∈ T , thì {g(Xt ), At , t ∈ T} là matingale dưói. Th¾t v¾y, theo bat
đang thúc Jensen vói s ≤ t ta có:
g(Xs) = g(E(Xt |As )) ≤ E(g(Xt )|As).


Ví dn 1.6. Tương tn ta có: Neu X = {Xt , A , t ∈ T} là matingale dưói
và
g là hàm loi không giám vói E|g(Xt )| < ∞.t ∈ T , thì {g(Xt ), At , t ∈ T}
là
matingale dưói.
Ví dn 1.7. Neu X = {Xt , A , t ∈ T} là quá trình có so gia đ®c l¾p sao
cho:
E(Xt − Xs ) = 0, ∀s, t ∈ T.
thì X là matingale (đoi vói ho σ -trưòng tn nhiên At = σ
X

≤
t

). Th¾t v¾y, do Xs

đ®c l¾p vói so ra Xt − Xs, s < t, nên Xt − Xs đ®c l¾p vói As. Hơn nua,
hien
nhiên Xs là As-đo đưoc. Vì v¾y
E(Xt |As ) = E(Xt − Xs |As ) + E(Xs|As)
= E(Xt − Xs ) + Xs = Xs.
Đ%nh lý Optinal sampling theorem 1.1. Neu Xt là m®t quá trình
matingale và t là m®t quá trình dùng, thì khi đó ta có:

EXτ = EX0

1.3.

Quá trình Possion.

1.3.1.

Quá trình đem.

M®t quá trình ngau nhiên (Nt , t ≥ 0) đưoc goi là m®t quá trình
đem ( hay là quá trình điem) neu Nt bieu th% tong so lan m®t bien co
nào đó xáy ra cho đen thòi điem t. V¾y m®t quá trình đem là m®t quá
trình vói thòi gian liên
tnc, lay giá tr% nguyên dương và có bưóc nháy tai các thòi điem ngau
nhiên
T0, T1, T2, . . . sao cho T0 = 0, 0 ≤ T1 ≤ T2 ≤ . . . ,
lim TN = ∞.
n→∞

10


Khi đó ta viet:

n

Nt = 
∞

neu

t ∈ [Tn, Tn+1], n ≥ 0

neu

t = ∞.

11


ho¾c

1.3.2.

Nt
=

∞

∑ n · I[Tn,Tn+1].
n=0

Quá trình Possion.

Cho quá trình đem {Nt , t ≥ 0} đưoc goi là quá trình Poisson neu :
(i). N0 = 0 ;
(ii). {Nt , t ≥ 0} có so gia đ®c l¾p ;
(iii). So bien co xáy ra trong bat kỳ khoáng thòi gian nào có đ® dài t là
m®t bien ngau nhiên có phân phoi Possion vói trung bình là λt (λ < 0)

Đieu đó có nghĩa là, vói moi s, t ≥ 0 ta có:
[λ (t)]n
n = 0, 1, . . .
P{Nt+s − Ns = n} = e−λt ·
n!
Tù đó ta có E(Nt ) = λt. So λ > 0 đưoc goi là cưòng đ® cúa quá trình
Pois- son.


Chương 2

Xác suat thi¾t hai trong mô
hình rúi ro
2.1.

Bài toán thi¾t hai.

2.1.1.

Bài toán "thi¾t hai" đoi véi m®t công ty báo hiem.

• Thu¾t ngu.
Thu¾t ngu tài chính tieng anh "claim" có nghĩa là m®t quyen,
m®t quyen đòi hói, m®t yêu cau ve m®t phương di¾n nào đó
trong tài chính; quyen đoi vói tài sán kí thác ó ngân hàng, quyen
giu v¾t the chap cúa ngưòi chú tín dnng, quyen đòi chi trá,quyen
só hưu tài sán. Quyen chon (Option) tù các tài sán cơ só trong
m®t th% trưòng tài chính cũng là m®t loai "claim". Đó là
contingent claim, thnc chat là m®t tài sán phát sinh (derivative).
Trong ngành báo hiem thì "claim" có nghĩa là quyen đòi chi trá,

quyen đòi boi thưòng. Còn claim size thì là so tien đòi trá, so tien
đòi boi thưòng báo hiem.

12


Đ%nh nghĩa 2.1. Hãy Trưóng tưong m®t công ty báo hiem phát hành
loai giay chúng tù báo hiem ve m®t van đe tài chính nào đó. Khách
hàng là

13


nhung ngưòi mua nhung chúng tù đó. Công ty báo hiem, vói so von ban
đau là u, thu đưoc cúa khách hàng m®t so tien mua báo hiem vói toc đ®
c. Tai thòi điem t, công ty phái trá m®t so tien báo hiem tong c®ng là
S(t) cho
khách hàng có nhu cau đòi hói phái trá tien báo hiem ( tien boi thưòng
báo hiem ). Qũy von cúa công ty như v¾y là Ut = u + ct − S(t). Qũy von
thưòng
dương thì công ty mói có lãi. Neu Ut < 0 thì có sn co " thi¾t hai ".
Thông thưòng, đoi vói mô hình bài toán thi¾t hai, ngưòi ta thưòng có giá
thiet như sau:
a. Đoi vói quá trình so tien đòi trá.
Các so tien đòi trá (Xk)k∈N là các bien ngau nhiên đ®c l¾p cùng phân
phoi đoi vói hàm phân phoi chung là µ = E(X1) và phương sai chung là
σ 2 = Var(X1 )
b. Thòi điem đen cúa các yêu cau đòi trá.
Các yêu cau đòi trá xáy ra tai các thòi điem ngau nhiên T0 = 0, T1, T2, . .
.

sao cho: 0 < T1 < T2 < . . . hau chac chan.
c. Quá trình các yêu cau đen.
So các yêu cau N(t) trong khoáng thòi gian [0, t] đưoc đ%nh nghĩa bói
N(t) = sup{n ≥ 1 : Tn < t},

t ≥ 0.

trong đó quy ưóc sup 0/ = 0.
d. Khoáng cách thòi gian giu hai yêu cau liên
tiep. Các bien ngau nhiên
Y1 = T1,Y2 = T2 − T1, . . . ,Yk = Tk − Tk−1 , h = 2, 3, . . . (2.1.1)
đưoc giá thiet là cùng phân phoi mũ vói kỳ vong huu han chung là EY1 =
λ
.
e. Các dãy bien ngau nhiên (Xk ) (Yk ) đưoc giá thiet là đ®c l¾p vói
nhau. Vói các giá thiet như (a) − −(e) trên, ta có mô hình CramerLundberg. Neu ta thay đieu ki¾n (d) bói đieu ki¾n (dr ) sau đây:
d’ Các khoáng cách thòi gian Yk xác đ%nh bói (2.1.1) là đ®c l¾p cùng

1

1
phân phoi, vói kỳ vong huu han chung
λ là . Thì ta có m®t mô hình đoi
mói.

Chú ý 2.1.

1. M®t h¾ quá cúa đ%nh lý trên là: N(t) là m®t quá trình

Poisson thuan nhat vói cưòng đ® λ > 0. Do đó:
P{N(t) = k} =
e−λt

(λt)k
k!

,

k = 0, 1, 2, . . .

2. Mô hình đoi mói thnc ra là sn mó r®ng nhe cúa mô hình CramreLundberg đoi vói quá trình đem đoi mói. Quá trình đem đoi mói thì
tong quát hơn quá trình Poisson đe mô tá các yêu cau đen.
• Quá trình chi trá tong c®ng (S(t))t≥0 đưoc đ%nh nghĩa
bói:


N(t)


S(t) =

i=1

(2.1.2)

∑ Xi

neu N(t) > 0,


 0 neu N(t) = 0.

Thnc te, S(t) chính là tong so tien mà công ty phái trá cho khách
hàng cho tói thòi điem t.

• Phân phoi xác suat cúa S(t).
S(t) là m®t quá trình ngau nhiên đ%nh nghĩa bói (2.1.2). Vói
nhung đieu ki¾n đã nêu (a) − −(e) ó trên, ta có the thay rang
hàm phân phoi
xác suat Gt (x) cúa S(t) đưoc cho bói
G(t(x)) = P(S(t)
≤ x)
∞
=
(λt)
∑e
n=0

−λt

n!

n

Fn∗(x),
x

0,
t

≥

0,

(2.1.3)

≥

n

trong đó F

n∗

(x) = P(∑ Xi ≤ x) là tích ch¾p n-lan cúa các hàm

phân
i=1

phoi chung F cúa các bien ngau nhiên Xi.
Ta quy ưóc tích ch¾p 0-lan cúa m®t hàm phân phoi tong quát H
là đưoc cho bói

14


H

0∗

0
(x) =1

15

neu
neu

x≥0
x < 0.


• Quá trình rúi ro.
Quá trình rúi ro là m®t quá trình ngau nhiên {U (t), t ≥ 0} xác đ
%nh
bói
U (t) = u + ct − S(t)

(2.1.4)

trong đó u là so von ban đau cúa công ty báo hiem, c là phí báo
hiem, túc là so tien khách hàng phái đóng cho công ty báo hiem
trong m®t đơn v% thòi gian, và S(t) là so tien mà công ty phái
tra cho khách hàng tính cho đen thòi điem t, đ%nh bói (2.1.2)

2.1.2.

Xác suat thi¾t hai.

Đ%nh nghĩa 2.2. (a) Xác suat thi¾t hai trong thòi gian huu han, ký hi¾u là

ψ(u, t) đưoc đ%nh nghĩa bói:
vói m®t t nào đó ≤ T }, 0 < T < ∞, u ≥ 0.

ψ(u, T ) = P{U (t) < 0

ψ(u, T ) cũng đưoc goi là xác suat thi¾t hai vói chân tròi huu han.
(b) Xác thi¾t hai trong thòi gian vô han là ψ(u) đưoc đ%nh nghĩa bói:
ψ(u) = ψ(u, ∞),

u ≥ 0.

ψ(u, T ) cũng đưoc goi là xác suat thi¾t hai vói chân tròi vô han.
(c) Thòi điem thi¾t hai τ(T ) là m®t thòi điem ngau nhiên đưoc đ%nh
nghĩa bói:
τ(T ) = inf{t : 0 ≤ t ≤ T,U (t) < 0}.
Ta quy ưóc inf 0/ = ∞. Ta thưòng viet τ = τ(∞) cho trưòng hop thòi
điem thi¾t hai vói chân tròi vô han.
Ta có ket quá sau đây.
Bo đe 2.1. Đoi vói mô hình đoi mói thì
EU (t) = u + ct − µEN(t).

(2.1.5)

Và đoi vói mô hình Cramer-Lundberg thì
EU (t) = u + ct −λ µt.

(2.1.6)


Chúng minh:

Vì EU (t) = u + ct − µES(t) và
∞

E[S(t)|N(t) = k]P(N(t) = k)
∑
k=0

ES(t)
=
=
=

∞

N(t)

∞

k

k=1
∞

i=1

E[ ∑ Xi|N(t) = k]P(N(t) = k)
∑
i=1
k=1

∑ E(∑ Xi)P(N(t) = k)

=µ

.

kP(N(t) = k)
∑
k=1

= µEN(t)
nên ta suy ra tù h¾ tù h¾ thúc (2.1.5). Còn neu N(t) là m®t quá trình
Poisson thuan nhat ( trưòng hop mô hình Cramer-Lundberg) thì vì EN(t)
= λt cho nên ta suy ra h¾ thúc (2.1.6). Đó là đieu phái chúng minh.
Q
Chú ý 2.2. Theo bo đe trên, trong trưòng hop mô hình đoi mói thì theo
(2.1.5), khi t → ∞ ta có :
EU (t) = u + (c−λ µ)t(1 + 0(1))
= u + ( − 1)λ µt(1 + 0(1)).
)Do

đó

báo

E U (t
t

λ
µ

c

→ c − λ µ, cho nên m®t đieu ki¾n hien nhiên đe công ty

hiem có loi nhu¾n là c − λ µ là phái dương: c − λ µ > 0, kéo theo sn ki¾n
là
(U (t)) là m®t quá trình có đ® d%ch chuyen là dương vói t lón.
Đ¾t
c
− 1 > 0.
(2.1.7)
λµ
và goi là đ® an toàn tương đoi. Như trên đã nói đieu ki¾n đe công ty
báo hien có loi nhu¾n thnc sn là ρ > 0. Đ® an toàn tương đoi có the hieu
là phí suat rúi ro.
ρ=

16


2.2.

Áp dnng phương pháp martingale đe ưéc
lưeng xác suat thi¾t hai.
Đ%nh lý Cramer-Lundberg.

2.2.1.

Ta đ¾t lai bài toán.

Giá thú dien bien cúa quy von cúa công ty bao hiem U = (Ut )y≥0 là
m®t quá trình ngau nhiên trong m®t không gian xác suat cơ bán (Ω, A ,
P), von ban đau là U0 = u > 0, phí báo hiem mà các khách hàng phái
đóng liên tnc theo thòi gian vói toc đ® không đoi là c > 0, và các yêu cau
đòi hói báo hiem đen tai nhung thòi điem ngau nhiên T0, T2, . . . (0 =
T0 < T1 < T2 < . . .), trong đó so tien mà công ty báo hiem phái trá cho
khách hàng tai các thòi điem đó là m®t dãy bien ngau nhiên không âm
X1, X2 , . . . (quy ưóc X0 = 0).
V¾y quy von Ut cúa công ty báo hiem tai thòi điem t se là :

trong
đó

Ut = u + ct − St

(2.2.8)

∑ XiI(Ti≤t).

(2.2.9)

St =

i≥1

6 đây ký hi¾u IA là hàm chí tiêu cúa bien co A. Trong đó hàm xác đ%nh
trên
Ω và chí lay hai giá tr% 0 và 1,sao cho


IA(ω) = 1 neu ω ∈ A,
0 vói ω ∈/ A.
Như v¾y ITi≤t là hàm chí tiêu cúa bien ngau nhiên A = {ω : Ti (ω) ≤ t},
tú là
ITi≤t (ω) = 
1
0

neu Ti (ω) ≤ t,
vói Ti (ω) > t.

Ta ký hi¾u τ = τ(ω) = inf{t : Ut (ω) ≤ 0} là thòi điem đau tiên mà quy
von