Hệ thống hóa kiến thức toán 6

HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC
TOÁN 6


Mục lục
I

SỐ HỌC

7

1 ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC VỀ SỐ TỰ NHIÊN
1.1 Mở đầu về tập hợp . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Khái niệm tập hợp . . . . . . . . . . .
1.1.2 Số phần tử của tập hợp . . . . . . . .
1.1.3 Tập hợp con . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Hai tập hợp bằng nhau . . . . . . . . .
1.1.5 Tập hợp giao hay giao của hai tập hợp
1.2 Tập hợp các số tự nhiên. Ghi số tự nhên . . .
1.2.1 Tập hợp các số tự nhiên kí hiệu là N .
1.2.2 Biểu diễn số tự nhiên trên tia số . . . .
1.2.3 Thứ tự trong tập hơp các số tự nhiên .
1.2.4 Ghi số tự nhiên trong hệ thập phân . .
1.2.5 Số La Mã . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Phép cộng và phép nhân . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Tổng và tích . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Tính chất của phép cộng và phép nhân
1.4 Phép trừ và phép chia . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Phép trừ hai số tự nhiên . . . . . . . .
1.4.2 Phép chia và phép chia có dư . . . . .
1.5 Lũy thừa với số mũ tự nhiên . . . . . . . . . .

1.5.1 Phép nâng lên lũy thừa . . . . . . . . .
1.5.2 Nhân hai lũy thừa cùng cơ số . . . . .
1.5.3 Chia hai lũy thừa cùng cơ số . . . . . .
1.6 Thứ tự thực hiện phép tính . . . . . . . . . .
1.6.1 Biểu thức không có dấu ngoặc . . . . .
1.6.2 Biểu thức có dấu ngoặc . . . . . . . . .
1.7 Tính chất của phép chia hết . . . . . . . . . .
1.7.1 Kí hiệu phép chia hết . . . . . . . . . .
1.7.2 Tính chất của phép chia hết . . . . . .
2

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

8
8
8
9
9
9
9
10
10
10
10
11
11
11
11
12
13
13
13
14
14
14
14
14
15
15
15
15

15


1.8

Dấu hiệu chia hết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1 Dấu hiệu chia hết cho 2 . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.2 Dấu hiệu chia hết cho 5 . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.3 Dấu hiệu chia hết cho 9 . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.4 Dấu hiệu chia hết cho 3 . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Số nguyên tố. Hợp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.1 Ước và bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.2 Số nguyên tố. Hợp số . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.3 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố . . . . . . . .
1.10 Ước chung và bội chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.1 Ước chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.2 Ước chung lớn nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.3 Cách tìm ước chung lớn nhất của a và b . . . . . . .
1.10.4 Cách tìm ước chung của nhiều số bằng tập hợp các ước
của ước chung lớn nhất của chúng . . . . . . . . . . .
1.10.5 Bội chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.6 Bội chung nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.7 Cách tìm bội chung nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . .
1.10.8 Tìm tập hợp bội chung của hai hay nhiều số qua bội
chung nhỏ nhất của chúng . . . . . . . . . . . . . . .
2 SỐ NGUYÊN
2.1 Tập hợp số nguyên . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Trục số . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Thứ tự trong tập hợp số nguyên . . . .

2.1.4 Giá trị tuyệt đối của một số nguyên . .
2.2 Phép cộng các số nguyên . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Quy tắc cộng số nguyên . . . . . . . .
2.2.2 Tính chất của phép cộng các số nguyên
2.3 Phép trừ hai số nguyên . . . . . . . . . . . . .
2.4 Quy tắc dấu ngoặc và quy tắc chuyển vế . . .
2.4.1 Quy tắc dấu ngoặc . . . . . . . . . . .
2.4.2 Tổng đại số . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Quy tắc chuyển vế . . . . . . . . . . .
2.5 Phép nhân các số nguyên . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Tích hai số nguyên . . . . . . . . . . .
2.5.2 Quy tắc nhân hai số nguyên . . . . . .
2.5.3 Tính chất của phép nhân . . . . . . . .
2.6 Bội và ước các số nguyên . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Bội và ước của một số nguyên . . . . .
3

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

16
16
16
16
16
16
16
17
17
17
17
18
18

.
.
.
.

18
18
19
19

. 19

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

20
20
20

20
21
21
21
21
22
22
23
23
23
23
23
23
23
24
24
24


2.6.2

Tính chất của phép chia hết . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 PHÂN SỐ
3.1 Mở rộng khái niệm phân số . . . . . . . . . . .
3.1.1 Phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Chú ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Phân số bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Tính chất cơ bản của phân số . . . . . . . . . .
3.4 Rút gọn phân số . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.1 Cách rút gọn phân số . . . . . . . . . . .
3.4.2 Phân số tối giản . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Quy đồng mẫu nhiều phân số . . . . . . . . . .
3.5.1 Các bước thực hiện . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Chú ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 So sánh hai phân số . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 So sánh hai phân số cùng mẫu . . . . . .
3.6.2 So sánh hai phân số không cùng mẫu . .
3.6.3 Một số cách so sánh khác . . . . . . . .
3.7 Phép cộng phân số . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Cộng hai phân số cùng mẫu . . . . . . .
3.7.2 Cộng hai phân số không cùng mẫu . . .
3.7.3 Tính chất cơ bản của phép cộng phân số
3.8 Phép trừ phân số . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.1 Số đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.2 Phép trừ phân số . . . . . . . . . . . . .
3.8.3 Quy tắc thực hành . . . . . . . . . . . .
3.9 Phép nhân phân số . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9.1 Quy tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9.2 Tính chất cơ bản của phép nhân phân số
3.10 Phép chia phân số . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10.1 Số nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . .
3.10.2 Quy tắc chia phân số . . . . . . . . . . .
3.11 Hỗn số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11.1 Hỗn số . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11.2 Cách đổi phân số ra hỗn số và ngược lại
3.11.3 Thực hiện các phép tính có hỗn số . . .
3.12 Phân số thập phân - Số thập phân - Phần trăm
3.12.1 Phân số thập phân . . . . . . . . . . . .
3.12.2 Số thập phân . . . . . . . . . . . . . . .

3.12.3 Phân trăm . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.13 Tìm giá trị phân số của một số cho trước . . . .
4

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

26
27
27
27
27
27
28
28
28
28
28
28
29
29

29
29
30
30
30
30
31
31
31
31
31
31
32
32
32
32
33
33
33
33
34
34
34
34
34


3.14 Tìm một số biết giá trị một phân số của nó
3.15 Tìm tỉ số phân trăm của hai số . . . . . . .
3.15.1 Tỉ số của hai số . . . . . . . . . . . .

3.15.2 Tỉ số phân trăm của hai số . . . . . .
3.16 Các loại biểu đồ phần trăm . . . . . . . . .

II

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.

HÌNH HỌC

34
35
35
35
35

36

4 ĐOẠN THẲNG
4.1 Điểm, đường thẳng, ba điểm thẳng hàng . . . . . . .
4.1.1 Mặt phẳng, điểm, đường thẳng . . . . . . . .
4.1.2 Quan hệ liên thuộc của điểm và đường thẳng .
4.1.3 Ba điểm thẳng hàng . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Đường thẳng đi qua hai điểm . . . . . . . . .
4.1.5 Quan hệ giữa hai đường thẳng . . . . . . . . .
4.2 Tia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Tia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Hai tia đối nhau . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Đoạn thẳng. Độ dài đoạn thẳng. Trung điểm . . . . .
4.3.1 Đoạn thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Độ dài đoạn thẳng . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 So sánh hai đoạn thẳng . . . . . . . . . . . . .
4.3.4 Tính chất cộng của độ dài đoạn thẳng . . . .

4.3.5 Vẽ đoạn thẳng trên một tia khi biết độ dài . .
4.3.6 Trung điểm của đoạn thẳng . . . . . . . . . .
5 GÓC
5.1 Nửa mặt phẳng . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Mặt phẳng . . . . . . . . . . .
5.1.2 Nửa mặt phẳng . . . . . . . .
5.2 Góc . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Góc . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Số đo góc . . . . . . . . . . .
5.3 Tia, tia nằm giữa hai tia . . . . . . .
5.4 Tia phân giác của góc . . . . . . . .
5.4.1 Tia phân giác của góc . . . .
5.4.2 Cách vẽ tia phân giác của một
5.5 Đường tròn . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Đường tròn và hình tròn . . .

5

. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
góc
. . .
. . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

37
37
37
37
38
38
39
39
39
40
40
40
41
41
42
42
42

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

44
44
44
44
45
45
46
46
46
46
47
47
47


5.6

5.5.2 Cung va dây
Tam giác . . . . . .
5.6.1 Tam giác . .
5.6.2 Điều kiện để

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
vẽ được tam giác

6

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

48
48
48
49


Phần I
SỐ HỌC

7


Chương 1
ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC VỀ SỐ

TỰ NHIÊN
♦♦♦
1.1

Mở đầu về tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Tập hợp các số tự nhiên. Ghi số tự nhên . . . . . 10

1.3

Phép cộng và phép nhân . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4

Phép trừ và phép chia

1.5

Lũy thừa với số mũ tự nhiên . . . . . . . . . . . . . 14

1.6

Thứ tự thực hiện phép tính . . . . . . . . . . . . . 14

1.7

Tính chất của phép chia hết . . . . . . . . . . . . . 15

1.8

Dấu hiệu chia hết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.9

Số nguyên tố. Hợp số . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

. . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.10 Ước chung và bội chung

1.1
1.1.1

8

. . . . . . . . . . . . . . . 17

Mở đầu về tập hợp
Khái niệm tập hợp

• Tập hợp là khái niệm gốc của Toán học, nó được hình dung qua các ví
dụ. Người ta nói tập hợp các chữ số, tập hợp các đội viên của liên đội
thiếu niên trường Sao Mai...Người ta thường dùng các chữ cái in hoa
A, B, C...X, Y, Z để đặt tên cho các tập hợp
8


• Phần tử của tập hợp là cá thể tham gia tạo nên tập hợp đó

• Kí hiệu a ∈ A để nói a là một phần tử của A hay a thuộc A. Khi viết
a∈
/ A để nói a không phải là phần tử của A hay a không thuộc A.
• Thường có hai cách xác định một tập hợp là:
– Liệt kê các phần tử của tập hợp (mỗi phần tử được liệt kê một
lần thứ tự liệt kê tùy ý)
– Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp

1.1.2

Số phần tử của tập hợp

Một tập hợp có thể có một phần tử, hai phần tử, nhiều phân tử. Tập hợp
gọi là có vô số phần tử khi không thể đếm hết số phần tử của nó. Một tập
hợp có một số rất lớn các phân tử đến hàng chục tỉ cũng không phải là có
vô số phân tử
Tập hợp không có phân tử nào gọi là tập hợp rỗng, kí hiệu là ∅
Ghi chú: Tập hợp {0} có một phần tử là số không và nó không phải là tập
hợp rỗng

1.1.3

Tập hợp con

Mỗi phần tử của A là một phần tử của B. Ta bảo A là tập con của B, kí
hiệu là A ⊂ B hoặc B ⊃ A. Ta còn bảo B chứa A hoặc A được chứa trong
B
Ghi chú: Cho A là một tập hợp tùy ý thì: ∅ ⊂ A và A ⊂ A tập hợp ∅ là một
tập hợp con của một tập hợp bất kì, một tập hợp A là tập hợp con của chính
nó.

1.1.4

Hai tập hợp bằng nhau

Tập hợp A bằng B kí hiệu là A = B nếu mỗi phân tử của A là mỗi phần tử
của B và đảo lại mỗi phân tử của B là một phần tử của A, tức là A ⊂ B và
B⊂A

1.1.5

Tập hợp giao hay giao của hai tập hợp

Ta thấy C gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B. Ta bảo C là tập hợp
giao của A và B nói gọi là giao của A và B, kí hiệu là C = A ∩ B

9


1.2

Tập hợp các số tự nhiên. Ghi số tự nhên

1.2.1

Tập hợp các số tự nhiên kí hiệu là N
N = {0; 1; 2; 3; 4; ...}

Tập hợp các số tự nhiên khác 0 kí hiệu là N∗
N∗ = {1; 2; 3; 4; ...}

1.2.2

Biểu diễn số tự nhiên trên tia số
0

1

2

3

4

5

Dùng thước thẳng bắt đầu từ điểm 0 vạch thẳng từ trái sang phải. Lấy một
đoạn thẳng làm đơn vị đo. Đầu từ 0 đặt liên tiếp đoạn thẳng đơn vị ta có
một tia số
Muốn biểu diễn số tự nhiên a ta lấy trên tia số điểm cách 0 khoảng cách a
đơn vị đã chọn. Điểm biểu diễn số tự nhiên a gọi là điểm a

1.2.3

Thứ tự trong tập hơp các số tự nhiên

• Cho hai số tự nhiên khác không thì có một số nhỏ hơn số kia. Trên tia
số điểm biểu diễn số nhỏ ở bên trái điểm biểu diễn số lớn. Số a nhỏ
hơn số b kí hiệu là a < b, khi đó ta cũng nói rằng b lớn hơn a và kí hiệu
b>a

• Quan hệ thứ tự giữa các số có tính chất bắc cầu nghĩa là:
a < b và b < c thì a < c
hoặc
a > b và b > c thì a > c
Ghi chú: Kí hiệu a ≥ b để chỉ a > b hoặc a = b
• Tập hợp N có số nhỏ nhất là 0 và không có số lớn nhất. Tập hợp N∗ có
số nhỏ nhất là 1 và không có số lớn nhất.
• Nếu giữa hai số tự nhiên a và b không có số tự nhiên nào khác và a < b
thì a là số liên trước b và b là số liến sau a
10


1.2.4

Ghi số tự nhiên trong hệ thập phân

Để ghi số trong hệ thập phân người ta dùng mười chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
và giá trị của mỗi chữ số trong một số thay đổi theo vị trí của nó theo quy
tắc mười đơn vị ở một hàng làm thành một đơn vị ở hàng liền trước
Ghi chú: Để ghi một số tự nhiên nào đó không cụ thể chẳng hạng một số có
bốn chữ số ghi trong hệ thập phân ta viết abcd ta phải hiểu a, b, c, d là thay
cho các chữ số nào đó trong mười chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 và điều kiện
chữ số đầu tiên a = 0. Nếu viết abcd không cần dấu gạch ngang − bên trên
thì đây có nghĩa là a × b × c × d mà a, b, c, d là các số nào đó

1.2.5

Số La Mã

Ngày nay trong một số trường hợp người ta cũng sử dụng cách ghi số tự

nhiên của người cổ La Mã. Người ta dùng bảy chữ số mà giá trị và kí hiệu
tương ứng của chúng trong hệ thấp phân như sau:
Kí hiệu chữ số La Mã
Giá trị tương ứng trong hệ thập phân

I V
1 5

X L
C
D
M
10 50 100 500 1000

Trong cách ghi của người La Mã các chữ số không thay đổi theo vị trí các
chữ số có giá trị lớn ghi trước các chữ số có giá trị nhỏ hơn.
Trong một số các chữ số V, L, D không ghi quá một lần, các chữ số M, C, X, I
không ghi quá ba lần. Giá trị của một số bằng tổng các thành phần của nó.
Riêng có sáu số đặc biệt là IV = 4, IX = 9, XL = 40, XC = 90, CD =
400, CM = 900 có chữ số giá trị nhỏ đứng trước làm giảm giá trị của chữ số
giá trị lớn đứng liền sau.

1.3
1.3.1

Phép cộng và phép nhân
Tổng và tích

• Số tự nhiên a cộng với số tự nhiên b được số tự nhiên c được kí hiệu
là: a + b = c. Các số a và b gọi là các số hạng còn c gọi là tổng

• Số tự nhiên a nhân với số tự nhiên b được số tự nhiên d kí hiệu là
a × b = d hoặc a.b = d. Các số a và b gọi là các thừa số còn d gọi là
tích
Ghi chú: Trong một số mà các chữ số đều bằng các chữ hoặc chỉ có một thừa
số bằng số thì ta có thể không dùng dấu phép tính nhân

11


1.3.2

Tính chất của phép cộng và phép nhân

• Tính chất giao hoán
– Khi đổi chổ các số hạng trong một tổng thì tổng không đổi
a+b=b+a
– Khi đổi chổ các thừa số trong một tích thì tích không đổi
a.b = b.a
• Tính chất kết hợp
– Muốn cộng một tổng của hai số với một số thứ ba ta có thể cộng
số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba
(a + b) + c = a + (b + c)
– Muốn nhân một tích của hai số với số thứ ba ta có thể nhân số
thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba
(a.b).c = a.(b.c)
• Cộng một số 0 nhân một số với 1
– Tổng của một số với 0 bằng chính số đó
a+0=0+a=a
– Tích của một số với 1 bằng chính số đó
1.a = a.1 = a

• Tính chất phân phôi của phép nhân đối với phép cộng: Muốn nhân
một số với một tổng ta có thể nhân số đó với từng số hạng của tổng
rồi cộng các kết quả lại
a.(b + c) = a.b + a.c

12


Ghi chú: Các tính chất nêu trên đây của tổng tích hai số có thể mở rộng cho
tổng tích của nhiều số
a+b+c+d=d+b+a+c
= b + a + d + c = ...
a.b.c.d = c.b.a.d
= d.a.c.b = ...
(a + b) + c + d = a + (b + c) + d
= (a + b) + (c + d) = ....
(a.b)c.d = a.(b.c).d
= a.(b.c.d)
a.(b + c + d) = a.b + a.c + a.d

1.4

Phép trừ và phép chia

1.4.1

Phép trừ hai số tự nhiên

Số tự nhiên a trừ số tự nhiên b được số tự nhiên ckí hiệu là
a−b=c

a gọi là số bị trừ, b gọi là số trừ, c gọi là hiệu. Điều kiện để có hiệu a − b là
a≥b
số trừ + hiệu = số bị trừ

1.4.2

Phép chia và phép chia có dư

• Phép chia hết Cho hai số tự nhiên a và b trong đó b = 0 nếu có số tự
nhiên x sao cho b.x = a thì ta nói a chia hết cho b và kí hiệu
a:b=x
a là số bị chia, b là số chia, x là thương
• Phép chia dư Cho hai số tự nhiên a và b trong đó b = 0 ta luôn tìm
được hai số tự q vá r duy nhất sao cho
a = b.q + r, trong đó 0 ≤ r < b
Nếu r = 0 ta có phép chia hết
Nếu r = 0 ta có phép chia có dư. Số a là số bị chia, b là số chia, q là
thương, r là số dư
13


• Ứng dụng: Ta có thể biểu diễn một số tự nhiên a dưới dạng một phép
chia có dư như:
a = 3k + r,
a = 5t + r,

1.5
1.5.1

k ∈ N,

t ∈ N,

r ∈ {0, 1, 2}
r ∈ {0, 1, 2, 3, 4}

Lũy thừa với số mũ tự nhiên
Phép nâng lên lũy thừa

Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau mỗi thừa số
bằng a kí hiệu
n=0
an = a.a...a
n thừa số

a gọi là cơ số, n gọi là số mũ Phép nhân nhiều thừa số bằng nhau gọi
là phép nâng lên lũy thừa
Ghi chú : Quy ước a1 = a
a2 còn gọi là a bình phương hay bình phương của a
a3 còn gọi là a lập phương hay lập phương của a

1.5.2

Nhân hai lũy thừa cùng cơ số
am .an = am+n

1.5.3

Chia hai lũy thừa cùng cơ số

Với m ≥ n và a = 0 ta có am : an = am−n

Ghi chú: Quy ước a0 = 1
Ứng dụng: Mỗi số tự nhiên ghi trong hệ thập phân đều là tổng các lũy
thừa của 10
Ghi chú: Với n ∈ N∗ thì 10n = 1 00..0
n chữ số 0

1.6

Thứ tự thực hiện phép tính

Các số được nối với nhau bởi một số phép tính (trong các phép cộng
trừ nhân chia nâng lên lũy thừa) và một số dấu ngoặc (ngoặc (), ngoặc
14


vuông [], ngoặc nhọn {}) gọi là biểu thức. Các phép tính trong một
biểu thức cần được thực hiện theo một thứ tự nghiêm ngặt

1.6.1

Biểu thức không có dấu ngoặc

– Nếu biểu thức chỉ có các phép cộng trừ hoặc nhân chia ta thực
hiện theo thứ tự từ trái sang phải
– Nếu biểu thức có các phép tính cộng trừ nhân chia và phép nâng
lên lũy thừa cần thực hiện nâng lên lũy thừa trước rồi nhân và
chia cuối cùng đến cộng và trừ

1.6.2

Biểu thức có dấu ngoặc

Nếu biểu thức có cả ngoặc tròn (), ngoặc vuông [], ngoặc nhọn {} ta
thực hiện các phép tính trong ngoặc tròn trước rồi đến ngoặc vuông
cuối cùng đến ngoặc nhọn

1.7
1.7.1

Tính chất của phép chia hết
Kí hiệu phép chia hết

Cho a, b, ∈ N, b = 0 nếu có số k ∈ N sao cho a = b.k thì ta bảo a chia hết
.
cho b, kí hiệu a .. b

1.7.2

Tính chất của phép chia hết

• Nếu tất cả các số hạng của một tổng cùng chia hết cho một số = 0 thì
tổng chia hết cho số đó
.
.
.
.
a .. m, b .. m, và c .. m ⇒ (a + b + c) .. m
• Nếu số bị trừ và số trừ cùng chia hết cho một số = 0 thì hiệu chia hết
cho số đó
.

.
.
a ≥ b, a .. m, b .. m ⇒ (a − b) .. m
• Nếu trong một tổng chỉ có một số hạng không chia hết cho một số còn
các số hạng khác cùng chia hết cho số đó thì tổng cũng không chia hết
cho số đó
15


• Nếu số bị trừ chia hết cho một số, số trừ không chia hết cho số đó hoặc
số bị trừ không chia hết cho một số còn số trừ chia hết cho số đó thì
hiệu không chia hết cho số đó

1.8

Dấu hiệu chia hết

1.8.1

Dấu hiệu chia hết cho 2

Các số có chữ số tận cùng thuộc {0, 2, 4, 6, 8} thì chia hết cho 2 và chỉ những
số đó mới chia hết cho 2

1.8.2

Dấu hiệu chia hết cho 5

Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số đó
mới chia hết cho 5

1.8.3

Dấu hiệu chia hết cho 9

Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số
đó mới chia hết cho 9

1.8.4

Dấu hiệu chia hết cho 3

Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những số
đó mới chia hết cho 3

1.9

Số nguyên tố. Hợp số

1.9.1

Ước và bội

• Cho a, b ∈ N nếu a chia hết cho b ta nói b là ước của a hay a là bội của
b. Tập hợp tất cả các ước của số a kí hiệu là U (a), tập hợp các bội
của a kí hiệu là B(a). Tổng quát tập hợp B(a) = {a.k, k ∈ N}
• Cách tìm Ư (a) và B(b)
– Để tìm các ước của a ta thử chia a lần lược cho 1, 2, 3, ..., a để xem
a chia hết cho số nào thì số đó là ước của a
– Để tìm các bội của a ta nhân a lân lược với 0, 1, 2, 2, ...

Ghi chú:
16


• Số 1 là ước của số tự nhiên a bất kì
• Số tự nhiên a = 0 là ước của chính số a
• Số không là bội của mọi số tự nhiên
• Không có số nào là ước của số 0

1.9.2

Số nguyên tố. Hợp số

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn một chỉ có hai ước là một và chính nó
Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 có nhiều hơn hai ước
Bảng các số nguyên tố nhỏ hơn 100
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 39
41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

1.9.3

Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

• Viết một số dưới dạng tích các thừa số nguyên tố gọi là phân tích số
đó ra thừa số nguyên tố
• Cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố: Để phân tích số tự nhiên
a > 1 ra thừa số nguyên tố ta dùng bảng các số nguyên tố. Chia a lần
lược cho các số nguyên tố trong bảng từ số nhỏ đến số lớn
Ghi chú: Mọi số tự nhiên là hợp số điều phân tích ra được thừa số nguyên
tố. Dù phân tích ra bằng cách nào thì cũng được một kết quả (có thể khác

nhau về thứ tự các thừa số)

1.10

Ước chung và bội chung

1.10.1

Ước chung

Số tự nhiên x là ước của số tự nhiên a đồng thời là ước của số tự nhiên b gọi
là ước chung của a và b. Tổng quát: Ước chung của hai hay nhiều số là ước
của tất cả các số đó. Kí hiệu ƯC(a, b) là tất cả các ước chung của a và b thì
.
.
ƯC(a, b) = {x ∈ N∗ |a .. x, b .. x}
Ta có ƯC(a, b) = ƯC(a) ∩ ƯC(b)
.
.
.
Tương tự ta có ƯC(a, b, c) = {x ∈ N∗ |a .. x, b .. x, c .. x}
17


1.10.2

Ước chung lớn nhất

Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các
ước chung của chúng.

Ước chung lớn nhất của a, b kí hiệu là ƯCLN (a, b) hay (a, b) nếu không sợ
nhầm lẫn. ƯCLN (a, b) bằng số lớn nhất trong tập hợp ƯC(a, b).
Kí hiệu ƯCLN (a, b, c) chỉ ước chung lớn nhất của ba số a, b, c. Nếu ƯCLN (a, b) =
1 thì ta bảo a, b nguyên tố cùng nhau

1.10.3

Cách tìm ước chung lớn nhất của a và b

1. Phân tích a và b ra thừa số nguyên tố
2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung
3. Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất. Tích
đó là ƯCLN phải tìm
Tương tự như vậy để tìm ước chung lớn nhất của a, b, c ta cũng phân tích
a, b, c ra thừa số nguyên tố rồi lập tích các thừa số nguyên tố chung lấy với
số mũ nhỏ nhất
Ghi chú: Nếu a chia hết cho b thì ước chung lớn nhất của a, b là b

1.10.4

Cách tìm ước chung của nhiều số bằng tập hợp
các ước của ước chung lớn nhất của chúng
ƯC(a, b) = Ư(ƯCLN (a, b))

1.10.5

Bội chung

Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó. Kí hiệu BC(a, b)
là tập hợp tất cả các bội chung của a, b. BC(a, b, c) là tập hợp tất cả các bội

chung của a, b, c
Ta có:
.
.
BC(a, b) = {x ∈ N|x .. a và x .. b}
BC(a, b) = B(a) ∩ B(b)
.
.
.
BC(a, b, c) = {x ∈ N|x .. a, x .. b và x .. c}
BC(a, b, c) = B(a) ∩ B(b) ∩ B(c)

18


1.10.6

Bội chung nhỏ nhất

Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số khác 0 nhỏ nhất trong tập
hợp các bội chung của các số đó
Kí hiệu:
Bội chung nhỏ nhất a, b là BCN N (a, b)
Bội chung nhỏ nhất a, b, c là BCN N (a, b, c)
BCN N (a, b) là số nhỏ nhất khác 0 của tập BC(a, b)
BCN N (a, b, c) là số nhỏ nhất khác 0 của tập BC(a, b, c)

1.10.7

Cách tìm bội chung nhỏ nhất

Muốn tìm bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số lớn hơn một ta thực hiện
1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng
3. Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất

1.10.8

Tìm tập hợp bội chung của hai hay nhiều số qua
bội chung nhỏ nhất của chúng

Ta có mỗi bội chung của nhiều số là một bội của bội chung nhỏ nhất của
chúng
BC(a, b) = B(BCN N (a, b))
BC(a, b, c) = B(BCN N (a, b, c))

19


Chương 2
SỐ NGUYÊN
♦♦♦

2.1
2.1.1

2.1

Tập hợp số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2

Phép cộng các số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3

Phép trừ hai số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4

Quy tắc dấu ngoặc và quy tắc chuyển vế . . . . . 23

2.5

Phép nhân các số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.6

Bội và ước các số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . 24

Tập hợp số nguyên
Số nguyên

Các số:−1, −2, −3, ... là các số nguyên âm. Các số +1, +2, +3, ... là các số
nguyên dương
Thường người ta bỏ các dấu + trước các số nguyên dương. Số 0 hợp với các
số nguyên âm nguyên dương tạo thành tấp hợp số nguyên, kí hiệu là Z
..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...

2.1.2

Trục số

Lấy một đường thẳng chọn một điểm làm gốc ghi số 0 và một đoạn thẳng
làm đơn vị dài của trục. Phân chia đường thẳng kể từ gốc 0 thành những

20


đoạn thẳng bằng nhau bằng đoạn thẳng đơn vị và chọn chiều từ trái sang
phải làm chiều dương ta có một trục số
−3

−2

−1

0

1

2

3

Điểm trên trục số cách 0 ba đơn vị biểu diễn số nguyên −3, điểm cách 0 năm
đơn vị về bên phải biểu diễn số nguyên +5. Làm tương tự ta có thể biểu diễn
các số nguyên trên trục số
Điểm trên trục số biểu diễn số nguyên a gọi là điểm a

2.1.3

Thứ tự trong tập hợp số nguyên

• Trong hai số nguyên khác nhau có một số nhỏ hơn số kia. Trên trục số
điểm a nằm bên trái điểm b thì số nguyên a nhỏ hơn số nguyên b, kí
hiệu a < b, khi đó ta cũng nói b lớn hơn a và viết b > a
• Nếu a < b và giữa a và b không có số nguyên nào ta bảo a là số liền
trước b, còn b là số liền sau a
• Ta thấy thứ tự trong tập hợp Z có tính chất bắc cầu, nghĩa là các số
nguyên a, b, c mà
a > b và b > c a > c
a < b và b < c a < c
Từ đó suy ra:
– Một số nguyên dương bất kì lớn hơn mọi số nguyên âm
– Mỗi số nguyên âm thì nhỏ hơn mọi số nguyên dương

2.1.4

Giá trị tuyệt đối của một số nguyên

Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyết đối của số
nguyên a, kí hiệu là |a|

2.2
2.2.1

Phép cộng các số nguyên
Quy tắc cộng số nguyên

• Để cộng hai số nguyên cùng dấu ta cộng hai giá trị tuyệt đối của chúng
rồi đặt trước kết quả dấu chung của chúng

21


• Để cộng hai số nguyên trái dấu ta lấy giá trị tuyệt đối lớn trừ cho giá
trị tuyệt đối nhỏ rồi đặt trước hiệu của số nguyên có giá trị tuyệt đối
lớn
Ghi chú: Tương tự như đối với các số tự nhiên, với a, b, c là các số nguyên
mà a + b = c ta gọi a, b là các số hạng, c là tổng

2.2.2

Tính chất của phép cộng các số nguyên

• Tính chất giao hoán: với mọi a, b ∈ Z ta có:
a+b=b+a
• Tính chất kết hợp: với a, b, c ∈ Z thì:
(a + b) + c = a + (b + c)
• Cộng với số 0: với mọi a ∈ Z thì
a+0=0+a=a
• Cộng với số đối:
Hai số có cùng giá trị tuyệt đối có khác nhau là hai số đối nhau. Số đối
của a kí hiệu là −a, vì a là số đối của −a nên −(−a) = a. Tổng của
hai số đối nhau thì bằng 0
a + (−a) = 0
Đảo lại nếu tổng hai số nguyên bằng 0 thì chúng là hai số đối nhau
a + b = 0 thì a = −b, b = −a

2.3

Phép trừ hai số nguyên

Muốn trừ số nguyên a cho số nguyên b ta cộng số nguyên a với số đối của số
nguyên b
a − b = a + (−b)
Ghi chú: a − b như thường lệ gọi là hiệu của a trừ b. Số a là số bị trừ, b là
số trừ. Trong tập hợp N để có hiệu a − b phải có điều kiện a ≥ b, còn trong
Z thì với mọi a, b ∈ Z ta đều có hiệu (a − b) ∈ Z
22


2.4
2.4.1

Quy tắc dấu ngoặc và quy tắc chuyển vế
Quy tắc dấu ngoặc

• Khi bỏ dấu ngoặc có dấu − đằng trước ta phải đổi dấu tất cả các số
hạng trong ngoặc
• Khi bỏ dấu ngoặc có dấu + đằng trước ta giữ nguyên dấu tất cả các
số hạng trong ngoặc

2.4.2

Tổng đại số

Một dãy các phép toán cộng trừ các số nguyên là một tổng đại số
• Trong một tổng đại số ta có thể đổi chổ một cách tùy ý các số hạng

kèm theo dấu của chúng
• Trong một tổng đại số ta có thể đặt thêm dấu ngoặc để nhóm một cách
tùy ý các số hạng với điều kiện nếu trước dấu ngoặc là dấu − thì phải
đổi dấu các số hạng trong dấu ngoặc

2.4.3

Quy tắc chuyển vế

Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức ta phải
đổi dấu số hạng đó. Với mọi a, b, c, d ∈ Z thì:
a+b−c=d⇒a−c=d−b

2.5
2.5.1

Phép nhân các số nguyên
Tích hai số nguyên

Số nguyên a nhân với số nguyên b được số nguyên c được kí hiệu là
a × b = c hoặc a.b = c
Các số a, b gọi là các thừa số, c gọi là tích

2.5.2

Quy tắc nhân hai số nguyên

• a.0 = 0.a = 0

23

• Nếu a, b là hai số nguyên cùng dấu thì:
a.b = |a|.|b|
• Nếu a, b là hai số nguyên khác dấu thì:
a.b = −(|a|.|b|)
Từ quy tắc nhân suy ra:
• Nếu a.b = 0 thì a = 0 hoặc b = 0
• Khi đổi dấu một thừa số thì tích đổi dấu. Khi đổi dấu hai thừa số thì
tích không thay đổi

2.5.3

Tính chất của phép nhân

Cho a, b, c ∈ Z thì:
a.b = b.a
(a.b).c = a.(b.c)
a.1 = 1.a = a
a.(b + c) = a.b + a.c
Ghi chú : Các tính chất của phép cộng các số nguyên cũng giống như các tính
chất của phép cộng, phép nhân các số tự nhiên

2.6
2.6.1

Bội và ước các số nguyên
Bội và ước của một số nguyên

Cho a, b ∈ Z trong đó b = 0. Nếu có số nguyên q sao cho a = b.q thì ta nói a

chia hết cho b

2.6.2

Tính chất của phép chia hết

• Tính chất bắc cầu: Với a, b, c ∈ Z nếu a chia hết cho b và b chia hết cho
c thì a chia hết cho c
.
.
.
a .. b và b .. c ⇒ a .. c

24


• Tính chất chia hết của bội: Với a, b ∈ Z nếu a chia hết cho b thì mọi
bội của a chia hết cho b
.
.
a .. b ⇒ ma .. b

∀m ∈ Z

• Tính chất chia hết của tổng, hiệu: Với a, b, c ∈ Z nếu a chia hết cho c
và b chia hết cho c thì tổng a + b và hiệu a − b đều chia hết cho c
.
.
.
.

a .. c và b .. c ⇒ (a + b) .. c và (a − b) .. c

25