SKKN Một số kinh nghiệm giải phương trình vô tỉ

A. Đặt vấn đề
I. Mở đầu :
Trong quá trình phát triển, xã hội luôn đề ra những yêu cầu
mới cho sự nghiệp đào tạo con ngời .Chính vì vậy mà dạy toán
không ngừng đợc bổ xung và đổi mới để đáp ứng với sự ra đời
của nó và sự đòi hỏi của xã hội .Vì vậy mỗi ngời giáo viên nói
chung phải luôn luôn tìm tòi, sáng tạo, đổi mới phơng pháp dạy
học để đáp ứng với chủ trơng đổi mới của Đảng và Nhà nớc đặt
ra.
Trong chơng trình môn toán ở các lớp THCS kiến thức về phơng trình vô tỷ không nhiều , song lại rất quan trọng. đó là
những tiền đề cơ bản để học sinh tiếp tục học lên ở THPT.
Khi giải toán về phơng trình vô tỷ đòi hỏi học sinh nắm
vững các kiến thức cơ bản về căn thức, phơng trình, hệ phơng
trình, các phép biến đổi đại số ... Học sinh biết vận dụng linh
hoạt, sáng tạo các kiến thức, kỹ năng từ đơn giản đến phức tạp.
Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỷ giúp học sinh
phát triển t duy, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo trong
giải toán. Đồng thời giáo dục t tởng, ý thức, thái độ, lòng say mê học
toán cho học sinh.
II. thực trạng của vấn đề nghiên cứu
1. Thực trạng :

1


Phơng trình vô tỷ là loại toán mà học sinh THCS coi là loại
toán khó, nhiều học sinh không biết giải phơng trình vô tỷ nh thế
nào? có những phơng pháp nào?
Các bài toán về phơng trình vô tỷ là một dạng toán hay và
khó, có nhiều trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10
THPT. Tuy nhiên, các tài liệu viết về vấn đề này rất hạn chế hoặc

cha hệ thống thành các phơng pháp nhất định gây nhiều khó
khăn trong việc học tập của học sinh, cũng nh trong công tác tự bồi
dỡng của giáo viên.
Mặt khác, việc tìm hiểu các phơng pháp giải phơng trình
vô tỷ hiện nay còn ít giáo viên nghiên cứu.
*Kết quả của thực trạng.
Sau khi dạy xong chơng I : Căn bậc hai căn bậc ba trong chơng trình Đại Số 9 , tôi tiến hành kiểm tra 1 tiết để khảo sát chất
lợng của học sinh về kỹ năng giải một số dạng toán về phơng trình
vô tỷ với nội dung nh sau :
Giải các phơng trình sau:
a) x x 1 13
b)

x 1 3 x 2

c)

x 2 x 1 x 2 x 1 2

d)

3x 2 18 x 28 4 x 2 24 x 45 5 x 2 6 x

e)

x 4 6 x x 2 10 x 27

f)

1

2 x

2



1
2
x

Lớp

Kết quả

2


Số
HS
9A
9B

25
26

Giỏi
SL
0
2

%
0
7,7

Khá
SL
2
6

%
8
23,1

Trung
bình
SL
%
13
52
13
50

Yếu
SL
10
5

%
40
19,2

2. Từ thực trạng trên việc nghiên cứu Một số phơng
pháp giải phơng trình vô tỷ là rất thiết thực : Nhằm giúp
giáo viên nắm vững nội dung và xác định đợc phơng pháp giảng
dạy phần này đạt hiệu quả, giúp học sinh có định hớng đúng cho
lời giải một bài toán về phơng trình vô tỷ, góp phần nâng cao
chất lợng dạy và học, đặc biệt là chất lợng học sinh giỏi và giáo
viên giỏi ở các trờng THCS.
B. Giải quyết vấn đề
I. Các giải pháp thực hiện.
1. Đối với giáo viên :
- Đa ra định nghĩa về phơng trình vô tỷ , đờng lối chung
về giải phơng trình vô tỷ
- Chia ra các dạng phơng trình vô tỷ và phơng pháp giải tổng
quát cho từng dạng , lấy ví dụ cụ thể minh hoạ cho từng dạng , lu ý
cho học sinh những sai lầm có thể mắc phải .
2. Đối với học sinh :
- Để giải phơng trình vô tỷ thành thạo thì các kiến thức sau
cần nắm vững: Các phép biến đổi căn thức ; Các phép biến đổi
biểu thức đại số; Các kiến thức và phơng pháp giải các phơng
trình và hệ phơng trình ; Các kiến thức về bất đẳng thức...
3


- Biết nhận dạng các dạng phơng trình vô tỷ, nắm vững cách
giải tổng quát cho từng dạng
II. Các biện pháp để tổ chức thực hiện
1- Định nghĩa phơng trình vô tỷ .
Phơng trình vô tỷ là phơng trình đại số trong đó ít nhất
một số hạng là biểu thức vô tỷ đối với ẩn số ( tức là ẩn số nằm

trong dấu căn ).
Trong chơng trình THCS, ta thờng gặp những phơng trình
vô tỷ mà chứa ẩn số trong các biểu thức dới dấu căn bậc hai.
2- Đờng lối chung .
- Tìm miền xác định của phơng trình .
- Khử căn đa về phơng trình đại số.
- Giải phơng trình đại số .
- Nhận định kết quả và trả lời.
3- Các phơng pháp và ví dụ.
3.1. Các dạng phơng trình vô tỷ giải bằng phơng pháp
nâng lên luỹ thừa.
Dạng 1:

f x

g x

Sơ đồ cách giải :
g(x) 0


f (x) [g(x)]2

/k : f(x) 0
f (x) g(x)

Ví dụ : Giải phơng trình

x 1

Điều kiện :

4

x 1

1


x 1 0
x 1

x 1 0

Với điều kiện trên, 2 vế không âm, bình phơng 2 vế của
(1) ta đợc phơng trình tơng đơng:
x 1 x 2 2 x 1


x2 - 3x = 0

x = 0 hoặc x = 3.

Đối chiếu với điều kiện trên ta thấy chỉ có x = 3 thoả mãn
Vậy phơng trình có 1 nghiệm x = 3
* Nhận xét: Khi giải phơng trình dạng trên , học sinh thờng
hay mắc sai lầm là không đặt điều kiện cho g ( x) 0 .
Chẳng hạn, ở ví dụ 1 nếu không đặt điều kiện
thì khi giải phơng trình x2 - 3x = 0

x 1 0

học sinh sẽ trả lời là phơng

trình có 2 nghiệm là: x1 = 0 ; x2 = 3, nhng thay x= 0 vào phơng
trình (1) thì vế phải bằng 1 ; vế trái bằng -1.
Sở dĩ có sai lầm trên vì học sinh cha nắm chắc tính chất
của luỹ thừa bậc hai :
Dạng 2:

f x

g x

h x

- Tìm điều kiện để phơng trình có nghĩa :
f x 0

g x 0.

g x 0
- Biến đổi 2 vế của phơng trình không âm ( với phơng
trình chứa căn bậc hai ) ta bình phơng 2 vế để đợc phơng

5


trình tơng đơng. Sau đó đa phơng trình về dạng đã biết cách
giải.

Ví dụ : Giải phơng trình :

x3 5 x2 .

Chuyển vế :

x3

1x 2 5

Điều kiện :
x 3 0
x 2

x 2 0

Hai vế không âm, bình phơng hai vế ta đợc:
x 3 x 2 2

x 3 x 2

2 x2 x 6
x2 x 6

25

24 2 x
12 x

x 12

Bình phơng 2 vế ta có :
x

2

+ x - 6 = 144 - 24 x + x2
25 x 150

x=6

( thoả mãn )

Vậy phơng trình có 1 nghiệm x = 6.
f x g x h x

Dạng 3:

Cách giải tơng tự nh dạng 2.
Ví dụ : Giải phơng trình :
Chuyển vế:

x 1 x 7 12 x
x 1 12 x x 7

Điều kiện:
x 1 0

12 x 0 7 x 12
x 7 0

Hai vế không âm. Bình phơng hai vế ta đợc:
x 1 12 x x 7 2 12 x x 7

6


2 x 2 19 x 84 x 4

Do 7 x 12 , 2 vế không âm. Bình phơng 2 vế ta đợc:
- 4x2 + 76x-336 = x2 -8x + 16
5x2 -84x + 352 =0
x1

44
; x2 =8
5

( Thoả mãn )

Vậy phơng trình có 2 nghiệm
x1

44
; x 2 8
5

f x g x h x k x

Dạng 4:

Cách giải tơng tự dạng 3.
Ví dụ : Giải phơng trình . x x 1 x 4 x 9 0
Chuyển vế : x x 9 x 1 x 4
Điều kiện : x 0
Bình phơng 2 vế ta đợc:
x x 9 2 x 2 9 x x 1 x 4 2 x 2 5x 4
4 2 x 2 9 x 2 x 2 5 x 4
2 x2 9 x x2 5 x 4

Bình phơng 2 vế ta đợc:
4 4 x 2 9x x 2 9 x x 2 5x 4
x2 9x x

(x 0 )

Bình phơng 2 vế ta đợc:
x

2

+9x = x2



9x = 0

x=0

( Thoả mãn ).

Vậy phơng trình có một nghiệm x = 0.
7


*Nhận xét : Khi giải phơng trình vô tỷ ta cần chú ý đến
việc tìm miền xác định của phơng trình .
Sau khi biến đổi 2 vế của phơng trình không âm ( Với phơng trình chứa căn bậc 2 ) ta bình phơng 2 vế để đợc phơng
trình tơng đơng .
Nếu bớc khử căn vừa rồi cha khử hết đợc các căn thức bậc hai
chứa ẩn, ta tiếp tục chuyển vế và đặt điều kiện để bình phơng tiếp.
Thực hiện các phép biến đổi tơng đơng để đa phơng
trình về dạng phơng trình quen thuộc ( bậc nhất hoặc bậc hai ).
Giải phơng trình trung gian rồi nhận định kết quả và trả
lời về số nghiệm của phơng trình đầu.
Tuy nhiên với những phơng trình chỉ có ẩn số nằm trong
dấu căn bậc 2, tức là phơng trình có dạng:
a f x

b g x c

( a,b,c là hệ số )

ngoài cách giải nêu trên ta còn có thể khử căn bằng cách nhân 2
vế của phơng trình với biểu thức liên hợp của vế trái .
Ví dụ : Giải phơng trình

x2 x 1 x x 1 2

2
1 3
Ta thấy x x 1 x 0
2 4
2

(1)

x

x R

Vậy miền xác định :

Nhân hai vế của phơng trình với :
x 2 x 1 x 2 x 1 ta đợc phơng trình tơng đơng:
x 2 x 1 x 2 x 1 2



x2 x 1 x2 x 1

x x2 x 1 x2 x 1

8

(2)

Cộng vế theo vế phơng trình (1) và (2) ta có phơng trình
tơng đơng :
2 x 2 x 1 2 x





4 x 2 x 1 2 x 2
3 x 2 0


x 0

2 x 0
x 2

Vậy phơng trình đã cho có nghiệm kép x1 =x2 =0
3.2. Các dạng phơng trình vô tỷ giải bằng phơng pháp
đặt ẩn phụ.
* Với những phơng trình vô tỷ có dạng đặc biệt.
af x b f x c 0

Dùng phép biến đổi sau:
Đặt f x t 0
Ta đa phơng trình về dạng phơng trình bậc 2 :
at 2 bt c 0

Ví dụ : Giải phơng trình 2 x 2 3 x 2 x 2 3 x 9 33
2 x 2 3 x 9 2 x 2 3x 9 42 0
9
2 3
2
Đặt điều kiện : 2 x 3x 9 2 x x


2

2

3 63
2
x 0
4 16


Đặt :

2 x 2 3x 9 y 0

ta có

y2 +y -42 =0
Giải phơng trình đợc :
y1 = 6

( thoả mãn)

y2 = -7 ( loại )

9

2

x


2 x 2 3x 9 6
2 x 2 3x 9 36
2 x 2 3x 27 0
Giải phơng trình đợc :
x1 3; x 2

9
2

Vậy phơng trình có nghiệm là :
x1 3; x 2

9
2

* Đối với phơng trình có dạng :
f x h x n f x h x g x

ta dùng phép biến đổi sau :
Đặt t

f x h x

Ví dụ : Giải phơng trình
x 1 x 2 2 x 2 x 2 13 2 x
x 1 x 2 2

Đặt điều kiện :

x 1 x 2

13
2 x
2


t : x 1 x 2 t 0
t2 x 1 x 2 2

x 1 x 2

2 x 1 x 2 t2 2x 1
Phơng trình (1) có dạng :
t2 + t- 2x + 1 = 13 -2x


t2 + t - 12 = 0

Giải phơng trình đợc :
t1 = 3 ( thoả mãn )

10

13 2 x

(1)


t2 = -4 ( loại )
Với t = 3 x 1 x 2 3.
Hai vế không âm, bình phơng 2 vế ta đợc :
2x 1 2 x2 x 2 9
2 x2 x 2 10 2x
x2 x 2 5 x ( x 5)
Bình phơng 2 vế ta đợc :
x 2- x- 2 = 25 -10x + x2



9x

= 27

x =3 ( thoả mãn )

Vậy phơng trình có một nghiệm x =3.
Chú ý : Khi giải phơng trình vô tỷ bằng phơng pháp đặt
ẩn dụ , ta cần hớng dẫn học sinh đặt điều kiện cho ẩn dụ. Số
nghiệm của phơng trình đầu phụ thuộc vào số nghiêm phơng
trình bậc hai trung gian và điều kiện có nghĩa của phơng trình

đầu .
+ Nếu phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm thì phơng trình đầu vô nghiệm.
+ Nếu phơng trình bậc hai trung gian có nghiệm nhng
nghiệm đó không thuộc miền xác định của phơng trình đầu
thì phơng trình đầu vô nghiệm.
+ Trái lại, nếu các nghiệm số tìm đợc của phơng trình bậc
hai trung gian làm cho các ẩn số của phơng trình đầu thuộc miền
xác định của nó thì phơng trình đã cho có nghiệm.
3.3. Các dạng phơng trình vô tỷ giải bằng phơng pháp
đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
11


Ví dụ : Giải phơng trình

x 1 4 4

x 1 x 1 6 x 1 9 1

(1)

Điều kiện : x 1.

1

2

x 1 2

x 1 2





2

x 1 3 1

x 1 3 1

Nếu 1 x 5 ta có phơng trình :
2 x 1 3 x 1 1
2 x 1 4
x 1 2
x 1 4
x5

Không thuộc khoảng đang xét .
Nếu 5 x 10 ta có phơng trình :
x 1 2 3 x 1 1
0x 0
Nghiệm của phơng trình là : 5 x 10
Nếu x 10 ta có phơng trình :
x 1 2 x 1 3 1

2 x 1 6
x 1 3
x-1 =9
x=10

( thoả mãn ).

Vậy phơng trình có nghiệm :
5 x 10

3.4. Các dạng phơng trình vô tỷ giải bằng phơng pháp
bất đẳng thức :
12


Dạng 1: Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau, khi đó
phơng trình vô nghiệm.
Ví dụ : Giải phơng trình : x 1 5 x 1 3x 2
Điều kiện để phơng trình có nghĩa là x 1 . Với điều kiện
này thì x 5 x do đó

x 1 5 x 1 suy ra vế trái của phơng trình là

số âm, còn vế phải không âm.
Vậy phơng trình vô nghiệm.
Dạng 2 : Sử dụng tính đối nghịch ở 2 vế :
Ví dụ : Giải phơng trình :
3 x 2 6 x 7 5 x 2 10 x 14 4 2 x x 2
Ta có vế trái
Vế phải

3 x 1 4 5 x 1 9 4 9 5
2

2





5 x2 2x 1 5 x 1 5 .
2

Vậy phơng trình có nghiệm khi 2 vế đều bằng 5.
Lúc đó x+1 = 0

x=-1

Thử lại : VT = 3 6 7 5 10 14 5
VP = 4+2-1=5
Vậy phơng trình có 1 nghiệm x =-1
Dạng 3: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số .
Ví dụ : Giải phơng trình

3

x 2 x 1 3

Ta thấy x = 3 nghiệm đúng phơng trình .
+ Với x 3 thì

3

x 2 1; x 1 2 VT 3.

+ Với x 3 thì
3

x 2 1;

x 1 2 VT 3.

Vậy x=3 là nghiệm của phơng trình .
13


Dạng 4 . Sử dụng điều kiện xảy ra dấu (=) ở bất đẳng
thức không chặt.
Ví dụ 4 : Giải phơng trình
Điều kiện : x

x
4x 1

2
x
4x 1

(1)

1

4

Ta có bất đẳng thức
Dấu (=) xảy ra



a b
2
b a

(a,b 0)

a=b

Do đó (1) x 4 x 1 x 2 4 x 1 0
Giải phơng trình đợc : x 2 3

1
x
4

( thoả mãn )

3.5. Các dạng phơng trình vô tỷ giải bằng phơng pháp
đa về hệ phơng trình .
Ví dụ : Giải phơng trình : x 2 x 2 2 x 2
Điều kiện : x 2
Đặt
x 2 y 1

(y1)

x-2 = y2 - 2y + 1
Thay

x 2 y 1 vào phơng trình đã cho ta đợc:

y - 1 = x2 -2x + 2
Kết hợp và ta có hệ:
y2 -2y - x + 3 = 0
x2 - 2x -y +3 = 0
Trừ hai vế của hệ ta đợc:
y2 - x 2 - y + x = 0
( y - x )( y + x - 1 ) = 0
14




y=x


x+y=1


-Nếu x=y Thay vào ta có x2 - 3x + 3 = 0 vô nghiệm
-Nếu x + y = 1 y = 1 - x thay vào ta đợc:
x2 - x + 2 = 0 vô nghiệm
Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm

C. Kết luận.
I. Kết quả nghiên cứu.
Giải phơng trình vô tỷ là một dạng toán khó đối với học sinh.
Để giải loại toán này cần phải biến vận dụng nhiều phơng pháp
khác nhau một cách linh hoạt. Trên đây là một số phơng pháp cơ
bản mà trong quá trình giảng dạy thực tế hay đợc sử dụng để giải
các phơng trình vô tỷ. Với phơng pháp hớng dẫn học sinh từ các
bài tập cụ thể khái quát thành dạng tổng quát, từ đó học sinh vận
dụng để giải các bài tập.
Đối với học sinh giỏi các em đã biết sử dụng kết hợp các phơng
pháp để giải đợc các phơng trình vô tỷ bài toán ở dạng khó hơn.
Qua đó giúp học sinh hứng thú khi gặp loại bài toán này nói riêng
và học môn toán nói chung.
Sau khi tiến hành bồi dỡng phụ đạo với thời lợng 3 tiết cho
học sinh về
Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỷ , tôi dành 1
tiết kiểm tra để khảo sát chất lợng của học sinh về kỹ năng giải
một số dạng toán về phơng trình vô tỷ với nội dung nh sau :

15


Giải các phơng trình sau:
a)

1 2x2 x 1

b)

x 1 5x 1 3x 2

c)

2 x 2 2 2 x 3 2 x 13 8 2 x 3 7

d)

3x 2 12 x 16 x 2 4 x 13 5

e)

x 9 x2 4x 7

f)

6
8

6
3 x
2x

Kết quả chất lợng cụ thể nh sau:

Lớp
9A
9B

Số
HS

25
26

Giỏi
SL
2
9

%
8
34.6

Kết quả
Trung
Khá
bình
SL
%
SL
%
5
20
16
64
12 46.2
4
15.4

Yếu
SL

2
1

%
8
3.8

II. Bài học kinh nhiệm.
Phơng trình vô tỷ là một dạng toán không thể thiếu đợc
trong chơng trình bồi dỡng học sinh giỏi THCS. Nếu chỉ dừng lại
yêu cầu trong sách giáo khoa thì cha đủ, vì vậy đòi hỏi giáo viên
phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo thờng xuyên
bổ xung kiến thức và tích luỹ kinh nghiệm về vấn đề này.
Để dạy học cho học sinh hiểu và vận dụng tốt phơng pháp giải
phơng trình vô tỷ thì bản thân mỗi giáo viên phải hiểu và nắm
vững về phơng trình vô tỷ: các dạng phơng trình vô tỷ, phân
biệt sự khác nhau giữa phơng trình vô tỷ với các dạng phơng

16


trình khác, đồng thời phải nắm vững các phơng pháp giải phơng
trình vô tỷ.
Qua việc nghiên cứu bên cạnh việc giúp cho bản thân nâng
cao kiến thức nâng cao nghiệp vụ, bồi dỡng học sinh giỏi có hiệu
quả,ngoài ra còn giúp bản thân nâng cao phơng pháp tự học, tự
nghiên cứu để có thể tiếp tục nghiên cứu các vấn đề khác tốt hơn
trong suốt quá trình dạy học của mình.
III. Những kiến nghị đề xuất.
Trong năm học 2010 2011 , tôi làm nhiệm vụ giảng dạy môn

Toán ở khối 9. Căn cứ vào chất lợng thực tế, bằng sự cố gắng của
bản thân với sự tiếp thu chuyên đề và thờng xuyên trao đổi với
đồng nghiệp cùng bộ môn tôi thấy việc áp dụng phơng pháp mới
đối với bộ môn toán là một phơng pháp rất tối u phù hợp với thực
tiễn hiện đại.
Nhân bài viết này tôi cũng xin mạnh dạn có một số kiến nghị
sau:
* Với các cơ quan cấp trên
- Hãy tạo điều kiện và quan tâm hơn nữa với bộ môn, thờng
xuyên mở các lớp tập huấn chuyên đề để giáo viên chúng tôi có
điều kiện giao lu học hỏi kinh nghiệm từ các đồng nghiệp khác.
- Tổ chức dự giờ, đánh giá rút kinh nghiệm giữa các cụm trờng trong khu vực với nhau để giáo viên có điều kiện trao đổi phơng pháp cũng nh học hỏi rút kinh nghiệm.
* Với nhà trờng.

17


- Tổ chức thi học sinh giỏi toán tuyến trờng để phát hiện và
bồi dỡng những học sinh khá giỏi, đồng thời phụ đạo học sinh yếu
kém.
Với tuổi nghề còn trẻ, kinh nghiệm thực tế còn ít. Mặc dù đã
rất cố gắng khi thực hiện đề tài, song không thể tránh khỏi thiếu
sót nhất định. Mong đợc sự thông cảm của đồng nghiệp và bạn
đọc cũng nh mong đợc sự góp ý, bổ sung để việc giảng dạy môn
Toán ở THCS đợc nâng cao hơn nữa.
Xin chân thành cảm ơn!
Bình Minh, ngày 01 tháng 04 năm
2011.
Ngời viết sáng kiến

Mai Huy Dũng

18