SKKN: Một số kinh nghiệm về phương pháp giải hệ phương trình bậc hai hai ẩn

Tổ: Toán Tin GV: V Hi Anh - Trờng THPT số 1 Bắc Hà
Sáng kiến kinh nghiệm
Một số kinh nghiệm về phơng pháp giải
hệ phơng trình bậc hai hi ẩn
PHN M U

Tớnh cp thit ca ti, tỡnh hỡnh nghiờn cu, mc ớch v nhim v ca
sỏng kin kinh nghim, i tng v phm vi nghiờn cu.
- Trong chơng trình toán 10 một nội dung kiến thức rất quan trọng và rất
khó, đó là hệ phơng trình bậc hai hai ẩn. Đối với học sinh đại trà, trung bình yếu
gặp rất nhiều khó khăn khi làm bài kiểm tra cuối chơng, thi tốt nghiệp cũng nh
thi Đại học, Cao đẳng. Vấn đề cấp thiết đặt ra là làm thế nào để học sinh hiểu và
nắm đợc phơng pháp giải hệ phơng trình bậc hai hai ẩn, biết vận dụng vào bài
tập thi cuối kỳ cũng nh ôn thi Đại học, Cao đẳng.
- Qua nhiều năm giảng dạy với đối tợng học sinh của trờng THPT số I Bắc
Hà, tôi đã nghiên cứu và rút ra một số kinh nghiệm giảng dạy phơng pháp giải hệ
phơng trình bậc hai hai ẩn để học sinh hiểu rõ và biết làm bài tập.
Biện pháp thực hiện:
- Nghiên cứu các tài liêụ, các sách tham khảo.
- Giới thiệu khoảng 8 tiết khi học xong chơng phơng trình Hệ phơng
trình - Đại số 10.







1
Tổ: Toán Tin GV: V Hi Anh - Trờng THPT số 1 Bắc Hà
Phần nội dung

Trong chơng trình Toán ở trờng THPT với đối tợng học sinh vùng cao,
trờng tôi dạy chơng trình chuẩn. Trong chơng trình chuẩn phần lý thuyết về hệ
phơng trình bậc hai hai ẩn hết sức thu gọn, đơn giản. Tuy nhiên phần áp dụng để
làm bài tập thì rất đa dạng, phong phú. Chúng tôi thờng phải lấy quỹ thời gian
trong chơng trình tự chọn bám sát, thời gian bồi dỡng buổi chiều để giảng dạy,
bổ sung thêm cho học sinh. Để giảm bớt sự khó khăn cho học sinh về phơng pháp
giải hệ phơng trình bậc hai hai ẩn bao giờ tôi cũng đi từ đơn giản tới phức tạp, quy
lại và quen cho học sinh, học sinh nắm chắc phơng pháp giải hệ đơn giản, cơ bản
nhất. Từ đó phân tích thêm về phơng pháp giải các hệ phơng trình phức tạp hơn.
Tôi phân loại các dạng bài tập về hệ phơng trình.
Đàu tiên học sinh cần nắm chắc phơng pháp giải hệ gồm một phơng trình
bậc nhất và một phơng trình bậc hai của hai ẩn. Trong phần này phơng pháp giải
cơ bản áp dụng đợc cho mọi bài là phơng pháp thế. Rút một ẩn từ phơng trình
bậc nhất thế vào phơng trình bậc hai.
Các dạng bi tập áp dụng:
1. Hệ phơng trình đối xứng loại 1:
Cho học sinh nhận đợc thế nào là hệ đối xứng loại 1, học sinh biết cách
nhận dạng đợc các hệ đối xứng loại 1 dù đó là hệ bậc 2 hay bậc cao.
* Phơng pháp giải đặt S = x + y, P = x.y
Giải hệ tổng quát từ S, P sau đó lập luận ra x và y là nghiệm phơng trình bậc
2: . Có thể biệm luận luôn hệ có nghiệm (x,y) khi và chỉ khi .
2
0tStPt+ =
2
4SP
Ví dụ 1: Giải hệ phơng trình:
22
5
5
xyxy

xy
+
+=


+=


Giải:
Đặt S = x+y, P = x.y có hệ
2
Tổ: Toán Tin GV: V Hi Anh - Trờng THPT số 1 Bắc Hà
22
55
25 2(5)5
3
5
2
2
5
3
5
5
10
SP P S
SP S S
S
PS
P
PS

S
S
S
P
+= =



+= =

2150SS

=

=



=
=




=



+=
=

=




=



2
1
320
2
t
tt
t
=

+=

=

2
5100tt++ =

+ Với S = 3, P = 2 suy ra x và y la nghiệm phơng trình

Trờng hợp này hệ có 2 nghiệm: (1;2), (2;1)
+ Với S = -5, P = 10 suy ra x và y la nghiệm phơng trình
Phơng trình vô nghiệm
Vậy hệ có 2 nghiệm: (1;2), (2;1)
Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình:
2
xy x
2
11
30
xy x y
y
+
+=


+
=


Giải:
Hệ trên tơng đơng với
11xy x y
()30xy x y
+
+=


+

=

5
6
11
S
P
SP

Đặt S = x+y, P = x.y
Hệ đã cho tơng đơng với
.30
6
5
SP
S
P

=



=
+=

=
=




=




Tìm x, y trong hai trờng hợp suy ra hệ có 4 nghiệm (1;5), (5;1), (2;3), (3;2).
Ví dụ 3: Giải hệ phơng trình:
22
2
1
xy x y m
xy xy m
+
+=+


+
=+


a) Giải hệ khi m = -3
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
3
Tổ: Toán Tin GV: V Hi Anh - Trờng THPT số 1 Bắc Hà

Giải:
Đặt S = x+y, P = x.y có hệ



2(1)
.1(2)
SPm
SP m
+=+
=+

11
.2 2
SP S
SP P
+= =



a) Với m = -3 có hệ
=
=

2
1
S
P
hoặc
=

=

2
1
20
2
t
tt
t
=

=

=

2
210 1tt tt++===
2
2
(2) 1
(2) 1
(2) 10()
mPPm
mPPm
PmP
P
Pm

+ = +
+ =+
+ + =
=



=+

22
3
4(1)4
m
SPm
m

+ Với S = 1, P = -2 suy ra x và y la nghiệm phơng trình

Trờng hợp này hệ có 2 nghiệm: (-1;2), (2;-1)
+ Với S = -2, P = 1 suy ra x và y la nghiệm phơng trình
12

Trờng hợp này hệ có 1 nghiệm: (-1;-1)
Vậy hệ có 3 nghiệm: (-1;2), (2;-1), (-1;-1)
b) Từ (1) thay vào (2) đợc
2Sm P=+
1
2
1
1

m+

+ Với P = 1
S = m+1 . Để hệ có nghiệm duy nhất thì:
5
=

=+=

=




+ Với P = m + 1 S = 1
Để hệ có nghiệm duy nhất thì
2
SP
3
414(1)4 3
4
m m m
=
= + = =
Vậy với m = 3 ; m = -5 hoặc
3
4
m
=
thì hệ có nghiệm duy nhất.

Ví dụ 4: Giải hệ phơng trình:
22
2
2(1 )
()4
x
ya
xy

+
=+


+=



a) Giải hệ khi a = 1
4
Tổ: Toán Tin GV: V Hi Anh - Trờng THPT số 1 Bắc Hà
b) Tìm m để hệ có đúng 2 nghiệm
Giải:
Đặt S = x+y, P = x.y có hệ
2
2
22(1)
4
SP a
S

=+
=


24 0
2
4
SP P
S




a) Với a = 1 có hệ
2
2
S

==




=

=

+ Với S = 2, P = 0 hệ có hai nghiệm (0;2), (2;0)
+ Với S =-2, P = 0 hệ có hai nghiệm (0;-2), (-2;0)
Vậy hệ có 4 nghiệm (0;2), (2;0), (0;-2), (-2;0)
b) Giả sử hệ có nghiệm
00
(; )
x
y các cặp số
00
(; )
x
y

;
00
(;)
y
x ,
00
(;)
y
x


cũng là nghiệm của hệ. Cặp số
00
) ( ; )

0 0
(;
x
yxy
0
0x vì nếu ngợc lại thì

=
và
mà cặp số (0;0) không phải là nghiệm của hệ.
0
0y =
Vậy hệ có 2 nghiệm là
00
(; )
x
y và
00
(; )
x
y
00
(; ) y
00
(;)=
x
y

x
00

(;
,
)
x
y
00
) = (;
y
x

00


x
y=
0
0
0
x





22
2
2
()4
xy
xy

khi đó ta có:
2
22(1)
44
xa
a
=+
=
=
Ngợc lại với a = 0 ta có hệ
+
=


+
=



Giải hệ đợc 2 nghiệm (-1;-1), (1;1)
Vậy a = 0 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 5: Giải hệ phơng trình:
22
4422
7
21
xyxy
xyxy

++=


+
+=



Giải:
Hệ này là hệ đối xứng loại 1:
Hệ đã cho tơng đơng với
{
2
22222
()
() 21(2)
xy xy
xy xy
+
+ =

22
77SP SP
7(1)=

Đặt S = x+y, P = x.y Phơng trình (1)

= =+
5
Tổ: Toán Tin GV: V Hi Anh - Trờng THPT số 1 Bắc Hà

Thay vào (2)
2
(7 ) 21 14 28 2PP P P = = =
93=
1
2
1
320
2
t
tt
t
=

+=

=


1
2
2
1
320
2
t
tt
t
=

++=

=


Vậy
2
SS=
+ Với S = 3, P = 2 suy ra x và y là nghiệm phơng trình
2

Hệ có 2 nghiệm (1;2) và (2;1)
+ Với S = -3, P = 2 suy ra x và y là nghiệm phơng trình

Hệ có 2 nghiệm (-1;-2) và (-2;-1)
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm (1;2), (2;1), (-1;-2) và (-2;-1)
2. Hệ phơng trình đối xứng loại 2
Phân tích cho học sinh nắm chắc dạng tổng quát của hệ phơng trình đối
xứng loại 2, cách nhận dạng hệ phơng trình đối xứng loại 2 và nắm đợc phơng
pháp giải hệ này là trừ từng vế của hệ sau đó biến đổi phơng trình tìm đợc về
phơng trình tích, đa việc giải hệ đã cho về việc giải 2 hệ phơng trình quen
thuộc.
Ví dụ 1: Giải hệ phơng trình:

3
3
73
73
x
xy

=
y
yx
+


=
+



Giải:
Trừ từng vế hệ phơng trình ta đợc:
33
22
7( ) 3( )
()( )4()
0
xy xy yx
22
22
()( 4)
0
40
x
yx xy y x y
xy
xy
= +
x xyy

xxyy

++=





3
22
3
0
73
40
73
xy
xx
xxyy
xxy

=



=+




++=

=
++=

Vậy hệ phơng trình đã cho tơng đơng với
+
+=




=+




6
Tổ: Toán Tin GV: V Hi Anh - Trờng THPT số 1 Bắc Hà
Hai hệ phơng trình cơ bản giải đợc nghiệm
Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình:

3
3
5
5
x
xy
=
+

y
yx
=
+


33
22
22
5( )
()( )()
0
40
xy xyyx

Trừ từng vế hệ phơng trình ta đợc:
x
yx xy y x y
xy
xxyy
= +

++=
=



++=

Giải tơng tự ví dụ 1
3. Hệ đẳng cấp bậc 2:
Dạng tổng quát
22
111
22
222
ax bxy cy m
ax bxy cy n

+
+=


+
+=



Trong đó x, y là ẩn, còn laiij là hệ số:
Phơng pháp giải: Quy đồng hệ số ở vế phải sau đó trừ từng vế hệ phơng
trình tìm đợc rồi đặt x = ky (Biệm luận
0y

)
Ví dụ1: Giải hệ phơng trình
22

++=
22

23 9(1)
2 2 2(2)
xxyy
xxyy


++=


Giải:
Hệ trên tơng đơng với:
22
22
22
24618
16 14 3 0
18 9 18
xxyy
xxyy
xxyy

++=
18


++=
++=

Từ hệ ta thấy y = 0 không phải là nghiệm của hệ nên có
2
14 3 0
xx
yy
3
8
16
1
2
x
y
x
y

=






++=


=

Từ
33
88
x
x
y
y
= = Thay vào (2) ta đợc:
7
Tổ: Toán Tin GV: V Hi Anh - Trờng THPT số 1 Bắc Hà
2
2
222
22
22
33
22 2
88
93
2
32 4
924
17 64
yyyy
yyy
yy
yy

+ +=

+=
+
=
2
3264
64 64 8 17
17 17
17
y
y
=
===

Hệ có 2 nghiệm
3 17 3 17 8 17
;
17 17 17





8 17
;;
17

Từ
1

2
2
x
y
x
y

== 2 thay
y
x
=

22
2
22(2)(2)2
11
xxx x
xx
++ =
==
22
2
4
34
vào (2) ta đợc:

Vậy hệ có 2 nghiệm (1;-2), (-1:2)
Ví dụ2: Giải hệ phơng trình
x
xy y k

yxy


+=


=



a) Giải hệ khi k = 1
b) Chứng minh rằng hệ có nghiệm với mọi k
Giải:
Với k = 1 có hệ
22
2
22
2
22
41
34
416 4 4
34
4133 0
3
4
xxyy
yxy
xxyy
yxy

xxyy
xy
y
x

+=


=




+=



=


+=
=




=

3

+ Với
x
y= 9484yy y = = Thay vào (2) phơng trình vô nghiệm.
22 2
+ Với
4
y
x = Thay vào (2)
2
22
3
416 4
4
y
yyy ===

Trờng hợp này hệ có 2 nghiệm (1;4) và (-1;-4)
8
Tổ: Toán Tin GV: V Hi Anh - Trờng THPT số 1 Bắc Hà
b) Trong trờng hợp tổng quát từ phơng trình (2) . Vậy 0y
2
4
3
y
x
y

=
thay vào phơng trình (1) rút ngọn đợc:
(

)
42
9 4 16 0ykyy14
+
=
2
0y >

Với mọi k phơng trình luôn có nghiệm từ đó tìm đợc y. Do đó hệ đã cho
có nghiệm với mọi k.
Phơng pháp giải hệ phơng trình bậc 2 hai ẩn chủ yếu bằng cách biến đổi
tơng đơng đa về hệ cơ bản hoặc đặt ẩn phụ đa về hệ cơ bản. Tất cả các hệ
phơng trình đã nói trên đều coi nh hệ cơ bản mà học sinh phải nắm chắc phơng
pháp giải. Sau đây là một số ví dụ về giải hệ phơng trình bằng cách đặt ẩn phụ đa
hệ đã cho về hệ cơ bản.
Ví dụ1: Giải hệ phơng trình
22
22 2
6(1)
15(2)
yxy x
xy x

+=


+=


Giải:

Từ (2)

. Chia các vế của từng phơng trình trong hệ cho x
0x
2
đợc hệ
phơng trình:
2
2
1
6
6
1
1
5
y
yy
y
xx
y
x



+=


+=

+=
2
2
25
xx
y
y
xx


+
=






Đặt
1
,
y
uv==
xx
Đợc hệ
2
2

2
3
5
5
.6
2
2
2
3
25
5
5120
.6
2
v
v
u
uv
u
u
v
v
vv
v




=

=
=
2
vu

=




=
=



=
=





Việc giải hệ đã cho tơng đơng với giải hệ
1
1
3
1
1
2
.2

y
x
x
y
y
x

+=


=




=
=



hoặc
1
2
1
x
y

=

=


Vậy nghiệm của hệ phơng trình (1;2) và
1
;1
2




9
Tổ: Toán Tin GV: V Hi Anh - Trờng THPT số 1 Bắc Hà
Ví dụ2: Giải hệ phơng trình
22 2
17(1)
113 (2)
xy x y
xy xy y
++=


++=


Giải:
Từ phơng trình (2) suy ra y = 0 không phải là nghiệm của hệ
Do hệ đẫ cho tơng đơng với
0y

2
2
1
7
1
13
x
x
yy
x
x

++=


yy


+
+=



Đặt
x
1
;
ux v
y
y

=+ =
22 2
5
12
77 7
13 7 13 0 20
u
uv v u v u
uv u u uu
Ta có hệ phơng trình
0
4
3
v
u
v

=



=
+= = =



= + = +

=
=




=




+ Với u = -5; v = 12 Ta có hệ phơng trình
1
5x

12
y
x
y
+
=




=



+ Với u = 4; v = 3 Ta có hệ phơng trình

1
4x
y

3
x
y
+
=




=



Hai hệ phơng trình này là hệ cơ bản có thể giải bằng phơng pháp thế.
Ví dụ 3: Giải hệ phơng trình
2
2
1( )4
(1)( 2)
x
yy x y
x
yx y

++ + =

+
+ =



Giải:
Ta thấy y = 0 không phải là nghiệm của hệ phơng trình. Nên chia từng vế
của các phơng trình trong hệ phơng trình cho y ta đợc:
2
1
()4
x
yx

+
++=
2
1
(2)1
y
x
yx
y

+

+ =

10
Tổ: Toán Tin GV: V Hi Anh - Trờng THPT số 1 Bắc Hà
Đặt
2
1
;
x
uvy
x
y
+
==+
Ta có hệ phơng trình

2
4
0
uu
=




44 1
(2)1 (2)1 3
210
vu

uv v u u
uv u u v
+= = =



= = =
+=

Hệ đã cho tơng đơng với
2
1
1
3
x
y
xy

+
=



+
=


Đến đây giải hệ bằng phơng pháp thế
Phần kết luận
Qua thực tế giảng dạy lớp 10 A1 và ôn thi Đại học, Cao đẳng cho học sinh

lớp 12A1 khi vận dụng các phơng pháp trên trong phần này. Tôi nhận thấy học
sinh tiếp cận kiến thức một cách dễ dàng, học sinh hứng thú học tập và nắm đợc
phơng pháp giải các bài toán về hệ phơng trình bậc hai hai ẩn. Cụ thể qua bài
khảo sát lần hai số học sinh đạt điểm trung bình trở lên là 80%.
Trên đây là một vài kinh nghiệm của tôi về phgơng pháp giảng dạy phần hệ
phơng trình bậc hai hai ẩn với mục tiêu học sinh nắm đợc kiến thức cơ bản và
biết vận dụng vào giải bài tậpk. Rất mong đợc sự đóng góp của các đồng chí đồng
nghiệp về bài viết của tôi.


Bắc H, ngy 15 tháng 3 năm 2011
Ngời viết sáng kiến

Vũ Thị Hải Anh

11
Tæ: To¸n – Tin GV: Vũ Hải Anh - Tr−êng THPT sè 1 B¾c Hµ


12