SKKN Giúp học sinh phát hiện và tránh sai lầm trong giải toán

Tên sáng kiến kinh nghiệm :
dạy học
Giúp học sinh phát hiện và tránh sai lầm
Trong khi giải toán về căn bậc hai

Phần I : Mở đầu
A - Lý do chọn đề tài :
Muốn công nghiệp hoá và hiện đại hoá đất nớc thì phải nhanh
chóng tiếp thu khoa học và kỹ thuật hiện đại của thế giới. Do sự
phát triển nh vũ bão của khoa học và kỹ thuật, kho tàng kiến thức
của nhân loại tăng lên nhanh chóng. Cái mà hôm nay còn là mới
ngày mai đã trở thành lạc hậu. Nhà trờng không thể nào luôn luôn
cung cấp cho học sinh những hiểu biết cập nhật đợc. Điều quan
trọng là phải trang bị cho các em năng lực tự học để có thể tự
mình tìm kiếm những kiến thức khi cần thiết trong tơng lai.
Sự phát triển của nền kinh tế thị trờng, sự xuất hiện nề kinh
tế tri thức trong tơng lai đòi hỏi ngời lao động phải thực sự năng
động, sáng tạo và có những phẩm chất thích hợp để bơn chải vơn
lên trong cuộc cạnh tranh khốc liệt này. Việc thu thập thông tin, dữ
liệu cần thiết ngày càng trở lên dễ dàng nhờ các phơng tiện
truyền thông tuyên truyền, máy tính, mạng internet .v.v. Do đó,
vấn đề quan trọng đói với con ngời hay một cộng đồng không chỉ
là tiếp thu thông tin, mà còn là sử lý thông tin để tìm ra giải pháp
tốt nhất cho những vấn đề đặt ra trong cuộc sống của bản thân
cũng nh của xã hội.
Nh vậy yêu cầu của xã hội đối với việc dạy học trớc đây nặng
về việc truyền thụ kiến thức thì nay đã thiên về việc hình thành
những năng lực hoạt động cho HS. Để đáp ứng yêu cầu mới này cần
phải thay đổi đồng bộ các thành tố của quá trình dạy học về mục
tiêu, nội dung, phơng pháp, hìn thức tổ chức, phơng tiện, cách
kiểm tra đánh giá..

- Hiện nay mục tiêu giáo dục cấp THCS đã đợc mở rộng, các
1


kiến thức và kỹ năng đợc hình thành và củng cố để tạo ra 4 năng
lực chủ yếu :
+ Năng lực hành động
+ Năng lực thích ứng
+ Năng lực cùng chung sống và làm việc
+ Năng lực tự khẳng định mình.
Trong đề tài này tôi quan tâm để đi khai thác đến 2 nhóm
năng lực chính là "Năng lực cùng chung sống và làm việc" và "Năng
lực tự khẳng định mình" vì kiến thức và kỹ năng là một trong
những thành tố của năng lực HS.
Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp một số năm học, tôi
đã phát hiện ra rằng còn rất nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải
toán còn kém trong đó có rất nhiều học sinh(45%) cha thực sự
hiểu kỹ về căn bậc hai và trong khi thực hiện các phép toán về căn
bậc hai rất hay có sự nhầm lẫn hiểu sai đầu bài, thực hiện sai mục
đích Việc giúp học sinh nhận ra sự nhầm lẫn và giúp các em
tránh đợc sự nhầm lẫn đó là một công việc vô cùng cần thiết và
cấp bách nó mang tính đột phá và mang tính thời cuộc rất cao,
giúp các em có mồn sự am hiểu vững trắc về lợng kiến thức căn
bậc hai tạo nền móng để tiếp tục nghiên cứu các dạng toán cao
hơn sau này.
B- Thời gian nghiên cứu :
Đợc chia làm 3 giai đoạn chính :
1. Giai đoạn 1 :
Bắt đầu từ ngày 05 tháng 9 năm 2006 đến ngày 26 tháng 10
năm 2006.

2. Giai đoạn 2 :
Bắt đầu từ ngày 05 tháng 9 năm 2007 đến ngày 29
tháng 10 năm 2007.
3 Giai đoạn 3 : Hoàn thành và đánh giá sáng kiến kinh nghiệm
15 tháng 11 năm 2007.
C - Mục đích nghiên cứu :
- Do thời gian có hạn nên tôi nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm
này với mục đích nh sau :
2


+ Giúp giáo viên toán THCS quan tâm hơn đến một phơng
pháp dạy học tích cực rất rễ thực hiện.
+ Giúp giáo viên toán THCS nói chung và GV dạy toán 9 THCS
nói riêng có thêm thông tin về PPDH tích cực này nhằm giúp họ rễ
ràng phân tích để đa ra biện pháp tối u khi áp dụng phơng pháp
vào dạy học và trong sáng kiến này cũng tạo cơ sở để các GV khác
xây dựng sáng kiến khác có phạm vi và quy mô xuyên suốt hơn.
+ Qua sáng kiến này tôi muốn đa ra một số lỗi mà học sinh
hay mắc phải trong quá trình lĩnh hội kiến thức ở chơng căn bậc
hai để từ đó có thể giúp học sinh khắc phục các lỗi mà các em
hay mắc phải trong quá trình giải bài tập hoặc trong thi cử, kiểm
tra Cũng qua sáng kiến này tôi muốn giúp GV toán 9 có thêm cái
nhìn mới sâu sắc hơn, chú ý đến việc rèn luyện kỹ năng thực
hành giải toán về căn bậc hai cho học sinh để từ đó khai thác hiệu
quả và đào sâu suy nghĩ t duy lôgic của học sinh giúp học sinh
phát triển khả năng tiềm tàng trong con ngời học sinh.
+ Qua sáng kiến này tôi cũng tự đúc rút cho bản thân mình
những kinh nghiệm để làm luận cứ cho phơng pháp dạy học mới
của tôi những năm tiếp theo.

D - Phạm vi nghiên cứu :
Trong sáng kiến này tôi chỉ nêu ra một số Nhóm sai lầm mà
học sinh thờng mắc phải trong quá trình làm bài tập về căn bậc
hai trong chơng I - Đại số 9.
Phân tích sai lầm trong một số bài toán cụ thể để học sinh
thấy đợc những lập luận sai hoặc thiếu chặt chẽ dẫn tới bài giải
không chính xác.
Từ đó định hớng cho học sinh phơng pháp giải bài toán về căn
bậc hai.
E - Đối tợng nghiên cứu :
Nh đã trình bày ở trên nên trong sáng kiến này tôi chỉ nghiên
cứu trên hai nhóm đối tợng cụ thể sau :
1. Giáo viên dạy toán 9 THCS
2. Học sinh lớp 9 THCS : bao gồm 4 lớp 9 với tổng số 151 học
sinh
F - Phơng pháp nghiên cứu :
3


- Đọc sách, tham khảo tài liệu.
- Thực tế chuyên đề, thảo luận cùng đồng nghiệp.
- Dạy học thực tiễn trên lớp để rút ra kinh nghiệm.
- Thông qua học tập BDTX các chu kỳ.
Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy bộ môn toán của các giáo viên
có kinh nghiệm của trờng trong những năm học trớc và vốn kinh
nghiệm của bản thân đã rút ra đợc một số vấn đề có liên quan
đến nội dung của sáng kiến.
Trong những năm học vừa qua chúng tôi đã quan tâm đến
những vấn đề mà học sinh mắc phải. Qua những giờ học sinh làm
bài tập tại lớp, qua các bài kiểm tra dới các hình thức khác nhau, bớc

đầu tôi đã nắm đợc các sai lầm mà học sinh thờng mắc phải khi
giải bài tập. Sau đó tôi tổng hợp lại, phân loại thành hai nhóm cơ
bản.
Trong quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã sử
dụng những phơng pháp sau :
- Quan sát trực tiếp các đối tợng học sinh để phát hiện ra
những vấn đề mà học sinh thấy lúng túng, khó khăn khi giáo viên
yêu cầu giải quyết vấn đề đó.
- Điều tra toàn diện các đối tợng học sinh trong 4 lớp 9 của khối
9 với tổng số 151 học sinh để thống kê học lực của học sinh. Tìm
hiểu tâm lý của các em khi học môn toán, quan điểm của các em
khi tìm hiểu những vấn đề về giải toán có liên quan đến căn bậc
hai (bằng hệ thống các phiếu câu hỏi trắc nghiệm ).
- Nghiên cứu sản phẩm hoạt động của GV và HS để phát hiện
trình độ nhận thức, phơng pháp và chất lợng hoạt động nhằm
tìm giải pháp nâng cao chất lợng giáo dục.
- Thực nghiệm giáo dục trong khi giải bài mới, trong các tiết
luyện tập, tiết trả bài kiểm tra. . . tôi đã đa vấn đề này ra hớng
dẫn học sinh cùng trao đổi, thảo luận bằng nhiều hình thức khác
nhau nh hoạt động nhóm, giảng giải, vấn đáp gợi mở để học sinh
khắc sâu kiến thức, tránh đợc những sai lầm trong khi giải bài
tập. Yêu cầu học sinh giải một số bài tập theo nội dung trong sách
giáo khoa rồi đa thêm vào đó những yếu tố mới, những điều kiện
khác để xem xét mức độ nhận thức và suy luận của học sinh.
- Phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục khi áp dụng nội
4


dung đang nghiên cứu vào thực tiễn giảng dạy nhằm tìm ra
nguyên nhân những sai lầm mà học sinh thờng mắc phải khi giải

toán. Từ đó tổ chức có hiệu quả hơn trong các giờ dạy tiếp theo.
G - Tài liệu tham khảo :
1. Sách " Một số vấn đề về đổi mới PPDH ở trờng THCS môn
toán" của Bộ giáo dục và Đào tạo
2. Tài liệu bồi dỡng thờng xuyên cho GV THCS chu kỳ III ( 20042007) môn toán của Bộ giáo dục và Đào tạo.
3. Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục trung học cơ sở
môn toán của Bộ giáo dục và Đào tạo.
4. Giáo trình " Phơng pháp dạy học toán" tác giả Hoàng Chúng
- BGD&ĐT
5. SGK và SGV toán 6,7,8,9.(BGD&ĐT)

Phần II : nội dung đề tài
A. Chơng I : cơ sở lý luận
I - Quan điểm về đổi mới phơng pháp dạy học và phơng pháp
dạy học tích cực :
1. Quan điểm đổi mới phơng pháp dạy học :
Luật Giáo dục 2005 (Điều 5) quy định : "Phơng pháp giáo dục
phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, t duy sáng tạo của
ngời học; bồi dỡng cho ngời học năng lực tự học, khả năng thực
hành, lòng say mê học tập và ý chí vơn lên".
Với mục tiêu giáo dục phổ thông là "giúp học sinh phát triển
toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng
cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo,
hình thành nhân cách con ngời Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây
dựng t cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp
tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng
và bảo vệ Tổ quốc"; Chơng trình giáo dục phổ thông ban hành
kèm theo Quyết định số 16/2006/QĐ-BGD ĐT ngày 5/5/2006 của Bộ
trởng Bộ giáo dục và Đào tạo cũng đã nêu : "Phải phát huy tính tích
cực, tự giác chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc trng

môn học, đặc điểm đối tợng học sinh, điều kiện của từng đối tợng học sinh, điều kiện của từng lớp học; bồi dỡng cho học sinh ph5


ơng pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến
thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui,
hứng thú và trách nhiệm học tập cho HS".
- Quan điểm dạy học : là những định hớng tổng thể cho các
hành động phơng pháp, trong đó có sự kết hợp giữa các nguyên
tắc dạy học làm nền tảng, những cơ sở lý thuyết của lý luận dạy
học, những điều kiện dạy học và tổ chức cũng nh những định hớng về vai trò của GV và HS trong quá trình dạy học. Quan điểm
dạy học là những định hớng mang tính chiến lợc, cơng lĩnh, là mô
hình lý thuyết của PPDH. Những quan điểm dạy học cơ bản : DH
giải thích minh hoạ, DH gắn với kinh nghiệm, DH kế thừa, DH
định hớng HS, DH định hớng hành động, giao tiếp; DH nghiên
cứu, DH khám phá, DH mở.
2. Phơng pháp dạy học tích cực :
Việc thực hiện đổi mới chơng trình giáo dục phổ thông đòi
hỏi phải đổi mới đồng bộ từ mục tiêu, nội dung, phơng pháp, PTDH
đến cách thức đánh giá kết quả dạy học, trong đó khâu đột phá
là đổi mới PPDH.
Mục đích của việc đổi mới PPDH ở trờng phổ thông là thay
đổi lối dạy học truyền thụ một chiều sang dạy học theo phơng
pháp dạy học tích cực(PPDHTC) nhằm giúp học sinh phát huy tính
tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo, rèn luyện thói quen và khả
năng tự học, tinh thần hợp tác, kỹ năng vận dụng kiến thức vào
những tình huống khác nhau trong học tập và trong thực tiễn; tạo
niềm tin, niềm vui, hứng thú trong học tập. Làm cho "Học" là quá
trình kiến tạo; HS tìm tòi, khám phá, phát hiện luện tập khai thác
và sử lý thông tin HS tự hình thành hiểu biết, năng lực và phẩm
chất. Tổ hoạt động nhận thức cho HS, dạy HS cách tìm ra chân lý.

Chú trọng hình thành các năng lực(tự học, sáng tạo, hợp tác,) dạy
phơng pháp và kỹ thuật lao động khoa học, dạy cách học. Học để
đáp ứng những yêu cầu của cuộc sống hiện tại và tơng lai. Những
điều đã học cần thiết, bổ ích cho bản thân HS và cho sự phát
triển xã hội.
PPDH tích cực đợc dùng với nghĩa là hoạt động, chủ động, trái
với không hoạt động, thụ động. PPDHTC hớng tới việc tích cực hoá
hoạt động nhận thức của HS, nghĩa là hớng vào phát huy tính tích
cực, chủ động của ngời học chứ không chỉ hớng vào phát huy tính
tích cực của ngời dạy.
6


Muốn đổi mới cách học phải đổi mới cách dạy. Cách dạy quyết
định cách học, tuy nhiên, thói quen học tập thụ động của HS cũng
ảnh hởng đến cách dạy của thầy. Mặt khác, cũng có trờng hợp HS
mong muốn đợc học theo PPDHTC nhng GV cha đáp ứng đợc. Do
vậy, GV cần phải đợc bồi dỡng, phải kiên trì cách dạy theo PPDHTC,
tổ chức các hoạt động nhận thức từ đơn giản đến phức tạp, từ
thấp đến cao, hình thành thói quen cho HS. Trong đổi mới phơng
pháp phải có sự hợp tác của thầy và trò, sự phối hợp hoạt động dạy
với hoạt động học thì mới có kết quả. PPDHTC hàm chứa cả phơng
pháp dạy và phơng pháp học.
* Đặc trng của phơng pháp dạy học tích cực :
a) dạy học tăng cờng phát huy tính tự tin, tính tích cực, chủ
động, sáng tạo thông qua tổ chức thực hiện các hoạt động học tập
của học sinh.
b) Dạy học trú trọng rèn luyện phơng pháp và phát huy năng lực
tự học của HS.
c) Dạy học phân hóa kết hợp với học tập hợp tác.

d) Kết hợp đánh giá của thầy với đánh giá của bạn, với tự đánh
giá.
e) Tăng cờng khả năng, kỹ năng vận dụng vào thực tế, phù hợp
với điều kiện thực tế về cơ sở vật chất, về đội ngũ GV
3. Căn cứ vào mục tiêu của ngành giáo dục Đào tạo con ngời
phát triển toàn diện căn cứ vào nhiệm vụ năm học 2006 - 2007 và
nhiệm vụ đầu năm học 2007 -2008 là tiếp tục đổi mới chơng
trình SGK, nội dung phơng pháp giáo dục ở tất cả các bậc học, cấp
học, ngành học... Xây dựng đội ngũ giáo viên, cán bộ quản lý giáo
dục có đủ phẩm chất giáo dục chính trị, đạo đức, đủ về số lợng,
đồng bộ về cơ cấu, chuẩn hoá về trình độ đào tạoNhằm nâng
cao chất lợng giáo dục.
II Cơ sở thực tiễn của sáng kiến kinh nghiệm :
1. Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn toán và tham khảo ý kiến
của các đồng nghiệp nhiều năm kinh nghiệm, tôi nhận thấy : trong
quá trình hớng dẫn học sinh giải toán Đại số về căn bậc hai thì học
sinh rất lúng túng khi vận dụng các khái niệm, định lý, bất đẳng
thức, các công thức toán học.
Sự vận dụng lí thuyết vào việc giải các bài tập cụ thể của học
7


sinh cha linh hoạt. Khi gặp một bài toán đòi hỏi phải vận dụng và
có sự t duy thì học sinh không xác định đợc phơng hớng để giải
bài toán dẫn đến lời giải sai hoặc không làm đợc bài.
Một vấn đề cần chú ý nữa là kỹ năng giải toán và tính toán cơ
bản của một số học sinh còn rất yếu.
Để giúp học sinh có thể làm tốt các bài tập về căn bậc hai
trong phần chơng I đại số 9 thì ngời thầy phải nắm đợc các
khuyết điểm mà học sinh thờng mắc phải, từ đó có phơng án

Giúp học sinh phát hiện và tránh sai lầm khi giải toán về căn bậc
hai
2 . Chơng Căn bậc hai, căn bậc ba có hai nội dung chủ yếu là
phép khai phơng(phép tìm căn bậc hai số học của số không âm)
và một số phép biến đổi biểu thức lấy căn bậc hai. Giới thiệu một
số hiểu biết về căn bậc ba, căn thức bậc hai và bảng căn bậc hai.
3 . Cách trình bày và đa ra định nghĩa, ký hiệu căn bậc hai
ở chơng trình SGK cũ năm học 2004-2005 :
a) Nhắc lại một số tính chất của luỹ thừa bậc hai :
- Bình phơng hay luỹ thừa bậc hai của mọi số đều không
âm.
- Hai số bằng nhau hoặc đối nhau có bình phơng bằng nhau
và ngợc lại nếu hai số có bình phơng bằng nhau thì chúng bằng
nhau hoặc đối nhau.
- Với hai số a,b : Nếu a>b thì a2 > b2 và ngợc lại nếu a2 > b2
thì a >b.
- Bình phơng của một tích(hoặc một thơng) bằng tích(hoặc
thơng) các bình phơng các thừa số(hoặc số bị chia với bình phơng số chia).
b) Căn bậc hai của một số :
* Xét bài toán : Cho số thực a. Hãy tìm số thực x sao cho x 2 =
a. Ta thấy :
- Nếu a< 0 thì không tồn tại số thực x nào thoả mãn x 2 =a
- Nếu a > 0 có hai số thực x mà x 2=a, một số thực dơng x1>0
mà x12=a và một số thực âm x 2<0 mà x22=a, hơn nữa đó là hai số
đối nhau.
* Công nhận : Ngời ta chứng minh đợc rằng với mọi số thực a 0
8


luôn luôn tồn tại số thực duy nhất x 0 mà x2 =a. Ta ký hiệu x = a

và gọi là căn bậc hai số học của a.
* Từ đó đa ra định nghĩa : căn bậc hai số học (CBHSH) của
một số a 0 là số không âm x = a 0 có bình phơng bằng a :
x 0
x a 2
2
x ( a ) a

* Đa ra chú ý : a) Số a <0, số đối của CBHSH a của a (a>0)
đợc gọi là căn bậc hai âm của a. Nh vậy mỗi số thực a> 0 có 2 căn
bậc hai là hai số đối nhau :
a 0 gọi là CBHSH hay còn gọi là căn bậc hai dơng của a.


a 0 gọi là căn bậc hai âm của a.

b) Căn bậc hai số học có thể coi là kết quả của phép toán sau :
(

):

R+ R+

a a sao cho ( a ) 2 a phép toán đó gọi là phép
khai phơng hay phép khai căn bậc hai trên R+, đó là phép toán ngợc của phép bình phơng trên R+.
4. Cách trình bày căn bậc hai ở lớp 9 (SGK mới) :
a) Đa ra kiến thức đã biết ở lớp 7 :
- Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x 2=a.
- Số dơng a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau : sốdơng kí hiệu là a và số âm kí hiệu là - a
- Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết

0 = 0.

b) Đa ra định nghĩa : Với số dơng a, số a đợc gọi là căn bậc
hai số học của a. Số 0 cũng đợc gọi là căn bậc hai số học của 0.
c) Đa ra chú ý : Với a 0, ta có :
Nếu x= a thì x 0 và x2 =a;
Nếu x 0 và x2 =a thì x= a . Ta viết :
x 0,
x a 2
x a.

d) Đa ra nội dung về phép khai phơng : Phép toán tìm căn bậc
hai số học của số không âm gọi là phép khai phơng.
9


e) Khi biết căn bậc hai số học của một số, ta dễ dàng xác định
đợc các căn bậc hai bậc hai của nó.
III - Tổng hợp những nội dung cơ bản về căn bậc hai :
1. Kiến thức :
Nội dung chủ yếu về căn bậc hai đó là phép khai phơng(phép tìm căn bậc hai số học của số không âm) và một số
phép biến đổi biểu thức lấy căn bậc hai.
* Nội dung của phép khai phơng gồm :
- Giới thiệu phép khai phơng(thông qua định nghĩa, thuật
ngữ về căn bậc hai số học của số không âm)
có

- Liên hệ của phép khai phơng với phép bình phơng(với a0,
2
a a ; với a bất kỳ có a 2 | a | )

- Liên hệ phép khai phơng với quan hệ thứ tự(SGK thể hiện bởi
Định lý về so sánh các căn bậc hai số học : Với a 0, b 0, ta có : a
< b a b )
- Liên hệ phép khai phơng với phép nhân và phép chia(thể
hiện bởi : định lý Với a 0, b 0, ta có : ab a b và định lý
Với a 0, b > 0, ta có :

a
a

)
b
b

* Các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai mà SGK giới
thiệu cho bởi các công thức sau :
A 2 = | A|

(với A là biểu thức đại số hay nói gọn

là biểu thức )
AB A B

( với A, B là hai biểu thức mà A 0, B

A

A

B
B

( với A, B là hai biểu thức mà A 0, B >

0)

0)
A 2 B | A | B

( với A, B là hai biểu thức mà B 0 )

A 1

AB
B B

( với A, B là hai biểu thức mà AB 0, B

A

( với A, B là biểu thức và B > 0)

0)
B

A B
B

10


C
A B



C ( A B )
A B2

(với A, B, C là biểu thức mà A 0 và A

B2)
C
A B



C( A B )
A B

( với A, B, C là biểu thức mà A 0, B 0

và A B )
* Tuy nhiên mức độ yêu cầu đối với các phép biến đổi này là
khác nhau và chủ yếu việc giới thiệu các phép này là nhằm hình

thành kỹ năng biến đổi biểu thức( một số phép chỉ giới thiệu qua
ví dụ có kèm thuật ngữ. Một số phép gắn với trình bày tính chất
phép tính khai phơng).
2. Kỹ năng :
Hai kỹ năng chủ yếu là kỹ năng tính toán và kỹ năng biến đổi
biểu thức.
* Có thể kể các kỹ năng về tính toán nh :
- Tìm khai phơng của một số ( số đó có thể là số chính phơng trong khoảng từ 1 đến 400 hoặc là tích hay thơng của
chúng, đặc biệt là tích hoặc thơng của số đó với số 100)
- Phối hợp kỹ năng khai phơng với kỹ năng cộng trừ nhân chia
các số ( tính theo thứ tự thực hiện phép tính và tính hợp lý có sử
dụng tính chất của phép khai phơng)
* Có thể kể các kỹ năng về biến đổi biểu thức nh :
- Các kỹ năng biến đổi riêng lẻ tơng ứng với các công thức nêu
ở phần trên( với công thức dạng A = B , có thể có phép biến đổi A
thành B và phép biến đổi B thành A). Chẳng hạn kỹ năng nhân
hai căn(thức) bậc hai có thể coi là vận dụng công thức AB A B
theo chiều từ phải qua trái.
- Phối hợp các kỹ năng đó( và cả những kỹ năng có trong
những lớp trớc) để có kỹ năng mới về biến đổi biểu thức chứa căn
thức bậc hai. Chẳng hạn kỹ năng trục căn thức ở mẫu.
Điều quan trọng nhất khi rèn luyện các kỹ năng biến đổi biểu
thức là tính mục đích của các phép biến đổi. Điều này, SGK chú
ý thông qua các ứng dụng sau khi hình thành ban đầu kỹ năng về
biến đổi biểu thức. Các ứng dụng này còn nhằm phong phú thêm
cách thức rèn kỹ năng( để so sánh số, giải toán tìm x thoả mãn
điều kiện nào đó.)
11

Ngoài hai kỹ năng nêu ở trên ta còn thấy có những kỹ năng đợc
hình thành và củng cố trong phần này nh :
- Giải toán so sánh số
- Giải toán tìm x
- Lập luận để chứng tỏ số nào đó là căn bậc hai số học của
một số đã cho
- Một số lập luận trong giải toán so sánh số(củng cố tính chất
bất đẳng thức nêu ở toán 8)
- Một số kỹ năng giải toán tìm x ( kể cả việc giải phơng trình
tích)
- Kỹ năng tra bảng số và sử dụng máy tính.
Có thể nói rằng, hình thành và rèn luyện kỹ năng chiếm thời
gian chủ yếu của phần kiến thức này( ngay cả việc hình thành
kiến thức cũng chú ý đến các kỹ năng tơng ứng và nhiều khi,
chẳng hạn nh giới thiệu phép biến đổi, chỉ thông qua hình
thành kỹ năng).
B. Chơng II : Nội dung thực hiện
I - Các bớc tiến hành :
1. Lập kế hoạch nghiên cứu nội dung viết sáng kiến kinh
nghiệm.
2. Trao đổi thảo luận cùng đồng nghiệp.
3. Đăng ký sáng kiến, làm đề cơng.
4. Thu thập, tập hợp số liệu và nội dung phục vụ cho việc viết
sáng kiến. Qua khảo sát, các bài kiểm tra, các giờ luyện tập, ôn tập.
5. Phân loại các sai lầm của học sinh trong khi giải các bài toán
về căn bậc hai thành từng nhóm.
6. Đa ra định hớng, các phơng pháp tránh các sai lầm đó. Vận
dụng vào các ví dụ cụ thể.
7. Tổng kết, rút ra bài học kinh nghiệm.
II - Khảo sát đánh giá :

Những giờ giảng dạy trên lớp, qua bài kiểm tra đầu giờ, qua
luyện tập, ôn tập. GV cần lu ý đến các bài toán về căn bậc hai,
xem xét kĩ phần bài giải của học sinh, gợi ý để học sinh tự tìm ra
những sai sót(nếu có) trong bài giải, từ đó giáo viên đặt ra các
12


câu hỏi để học sinh trả lời và tự sửa chữa phần bài giải cho chính
xác.
Qua bài kiểm tra 15 phút thì tỉ lệ học sinh mắc sai lầm trong
khi giải toán tìm căn bậc hai của 139 học sinh lớp 9 năm học 20062007 là : 38/139 em chiếm 27,33%.
Trong bài kiểm tra chơng I - Đại số 9 năm học 2006-2007 của
139 học sinh thì số học sinh mắc sai lầm về giải toán có chứa căn
bậc hai là 56/139 em chiếm 40,3%(nghiên cứu tổng hợp qua giáo
viên dạy toán 9 năm học 2006-2007)
Nh vậy số lợng học sinh mắc sai lầm trong khi giải bài toán về
căn bậc hai là tơng đối cao, việc chỉ ra các sai lầm của học sinh
để các em tránh đợc khi làm bài tập trong năm học 2007-2008 này
là một công việc vô cùng quan trọng và cấp thiết trong quá trình
giảng dạy ở trờng THCS Đồng Khê.
III - Phân tích những điểm khó và mới trong kiến thức về căn bậc hai :
So với chơng trình cũ thì chơng I - Đại số 9 trong chơng trình
mới này có những điểm mới và khó chủ yếu sau :
1. Điểm mới :
- Khái niệm số thực và căn bậc hai đã đợc giới thiệu ở lớp 7 và
tiếp tục sử dụng qua một số bài tập ở lớp 8. Do đó, SGK này chỉ
tập trung vào giới thiệu căn bậc hai số học và phép khai phơng.
- Phép tính khai phơng và căn bậc hai số học đợc giới thiệu
gọn, liên hệ giữa thứ tự và phép khai phơng đợc mô tả rõ hơn sách
cũ ( nhng vẫn chỉ là bổ sung phần đã nêu ở lớp 7)

- Các phép biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai trình
bày nhẹ hơn ( nhẹ căn cứ lý thuyết, nhẹ mức độ phức tạp của các
bài tập)
- Cách trình bày phép tính khai phơng và phép biến đổi
biểu thức chứa căn thức bậc hai đợc phân biệt rạch ròi hơn ( Tên
gọi các mục Đ3 và Đ4 và các chuyển ý khi giới thiệu các phép biến
đổi sau khi nêu tính chất phép khai phơng thể hiện điều đó)
- Cách thức trình bày kiến thức, rèn luyện kỹ năng đợc SGK
chú ý để HS có thể tham gia chủ động nhiều hơn thông qua hệ
thống câu hỏi ?n có ngay trong phần bài học mỗi bài.
2. Điểm khó về kiến thức so với khả năng tiếp thu của
học sinh :
- Nội dung kiến thức phong phú, xuất hiện dày đặc trong một
13


chơng với số tiết không nhiều nên một số kiến thức chỉ giới thiệu
để làm cơ sở để hình thành kỹ năng tính toán, biến đổi. Thậm
chí một số kiến thức chỉ nêu ở dạng tên gọi mà không giải thích
(nh biểu thức chứa căn bậc hai, điều kiện xác định căn thức bậc
hai, phơng pháp rút gọn và yêu cầu rút gọn )
- Tên gọi ( thuật ngữ toán học ) nhiều và rễ nhầm lẫn, tạo nguy
cơ khó hiểu khái niệm (chẳng hạn nh căn bậc hai, căn bậc hai số
học, khai phơng, biểu thức lấy căn, nhân các căn bậc hai, khử mẫu,
trục căn thức).
IV - Những sai lầm thờng gặp khi giải toán về căn bậc hai :
Nh đã trình bày ở trên thì học sinh sẽ mắc vào hai hớng sai
lầm chủ yếu sau :
1. Sai lầm về tên gọi hay thuật ngữ toán học :
a) Định nghĩa về căn bậc hai :

* ở lớp 7 : - Đa ra nhận xét 32=9; (-3)2 =9. Ta nói 3 và -3 là các
căn bậc hai của 9.
- Định nghĩa : Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao
cho x2 =a.
- Số dơng a có đúng hai căn bậc hai, một số dơng ký hiệu là
a và một số âm ký hiệu là- a .
* ở lớp 9 chỉ nhắc lại ở lớp 7 rồi đa ra định nghĩa căn bậc hai
số học.
b) Định nghĩa căn bậc hai số học :
Với số dơng a, số

a đợc gọi là căn bậc hai số học của a.

Sau đó đa ra chú ý : với a 0, ta có :
Nếu x =

a thì x 0 và x2 =a;

Nếu x 0 và x2 =a thì x = a . Ta viết
x=

x
a 2
x a

Phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm gọi là
phép khai phơng (gọi tắt là khai phơng).
Nguy cơ dẫn đến học sinh có thể mắc sai lầm chính là
thuật ngữ căn bậc hai và"căn bậc hai số học.
Ví dụ 1 : Tìm các căn bậc hai của 16.

14


Rõ ràng học sinh rất dễ dàng tìm ra đợc số 16 có hai căn bậc
hai là hai số đối nhau là 4 và - 4.
Ví dụ 2 : Tính 16
Học sinh đến đây sẽ giải sai nh sau :
16 = 4 và - 4 có nghĩa là

16 = 4

Nh vậy học sinh đã tính ra đợc số 16 có hai căn bậc hai là hai số
đối nhau là :
16 =4 và

16 = -4

Do đó việc tìm căn bậc hai và căn bậc hai số học đã nhầm
lẫn với nhau.
Lời giải đúng :
4 = 16)

16 = 4 ( có thể giải thích thêm vì 4 > 0 và

2

Trong các bài toán về sau không cần yêu cầu học sinh phải giải
thích.
c) So sánh các căn bậc hai số học :
Với hai số a và b không âm, ta có a < b a b

Ví dụ 3 : so sánh 4 và 15
Học sinh sẽ loay hoay không biết nên so sánh chúng theo hình
thức nào vì theo định nghĩa số 15 chính là căn bậc hai số học
của 15 do đó nếu đem so sánh với số 4 thì số 4 có hai căn bậc hai
số học là 2 và -2 cho nên với suy nghĩ đó học sinh sẽ đa ra lời giải
sai nh sau : 4 < 15 (vì trong cả hai căn bậc hai của 4 đều nhỏ
hơn 15 ).
Tất nhiên trong cái sai này của học sinh không phải các em
hiểu nhầm ngay sau khi học song bài này mà sau khi học thêm một
loạt khái niệm và hệ thức mới thì học sinh sẽ không chú ý đến vấn
đề quan trọng này nữa.
Lời giải đúng : 16 > 15 nên 16 > 15 . Vậy 4 = 16 > 15
ở đây giáo viên cần nhấn mạnh luôn là ta đi so sánh hai căn
bậc hai số học!
d) Sai trong thuật ngữ chú ý của định nghĩa căn bậc hai số
học :
với a 0, ta có :
15


Nếu x =

a thì x 0 và x2 =a;

Nếu x 0 và x2 =a thì x = a .
Ví dụ 4 : Tìm số x, không âm biết :
x = 15

Học sinh sẽ áp dụng chú ý thứ nhất và sẽ giải sai nh sau :
Nếu x = a thì x 0 và x2 =a; vì phơng trình x2 = a có 2

nghiệm là x = a và x =- a học sinh đã đợc giải ở lớp 7 nên các em
sẽ giải bài toán trên nh sau :
Do x 0 nên

2
x 2 = 15 hay x = 225 và x = -225.

Vậy tìm đợc hai nghiệm là x1 =225 và x2 =-225
Lời giải đúng : cũng từ chú ý về căn bậc hai số học, ta có x =
15 . Vậy x =225.
2

e) Sai trong thuật ngữ khai phơng :
Ví dụ 5 : Tính -

25

- Học sinh hiểu ngay đợc rằng phép toán khai phơng chính là
phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm nên học sinh sẽ
nghĩ - 25 là một căn bậc hai âm của số dơng 25, cho nên sẽ dẫn
tới lời giải sai nh sau :
-

25 = 5 và - 5

Lời giải đúng là : -

25 = -5

g) Sai trong khi sử dụng căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

A 2 = | A|
Căn thức bậc hai :
Với A là một biểu thức đại số, ngời ta gọi A là căn thức bậc hai
của A, còn A đợc gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dới dấu căn.
A xác định (hay có nghĩa ) khi A lấy giá trị không âm.

Hằng đẳng thức :

A 2 = | A|

Cho biết mối liên hệ giữa phép khai phơng và phép bình phơng.
Ví dụ 6 : Hãy bình phơng số -8 rồi khai phơng kết quả vừa
tìm đợc.
Học sinh với vốn hiểu biết của mình sẽ có lời giải sau ( lời giải
16


sai) :
(-8)2 = 64 , nên khai phơng số 64 lại bằng -8
Lời giải đúng : (-8)2 = 64 và

64 = 8.

Mối liên hệ a 2 = | a| cho thấy Bình phơng một số, rồi khai
phơng kết quả đó, cha chắc sẽ đợc số ban đầu
Ví dụ 7 : Với a2 = A thì

A cha chắc đã bằng a

Cụ thể ta có (-5)2 = 25 nhng 25 = 5; rất nhiều ví dụ tơng tự

đã khảng định đợc kết quả nh ở trên.
2. Sai lầm trong các kỹ năng tính toán :
a) Sai lầm trong việc xác định điều kiện tồn tại của căn bậc
hai :
Ví dụ 8 : Tìm giá trị nhỏ nhất của :
A=x+

x

* Lời giải sai : A= x +

x = (x+ x +

1
1
1
1
) - = ( x + )2 4
4
2
4

1
4

Vậy min A = - .
* Phân tích sai lầm :
1
4
1

x = - (vô lý).
2

Sau khi chứng minh f(x) - , cha chỉ ra trờng hợp xảy ra f(x) =
1
4

- . Xảy ra khi và chỉ khi
* Lời giải đúng :

Để tồn tại x thì x 0. Do đó A = x +
và chỉ khi x=0
Ví dụ 9 : Tìm x, biết :

x 0 hay min A = 0 khi

4(1 x) 2 - 6 = 0

* Lời giải sai :
4(1 x) 2 - 6 = 0 2 (1 x) 2 6 2(1-x) = 6 1- x = 3 x = - 2.

* Phân tích sai lầm : Học sinh có thể cha nắm vững đợc
chú ý sau : Một cách tổng quát, với A là một biểu thức ta có A 2 = |
A|, có nghĩa là :
A 2 = A nếu A 0 ( tức là A lấy giá trị không âm );

17


A 2 = -A nếu A < 0 ( tức là A lấy giá trị âm ).

Nh thế theo lời giải trên sẽ bị mất nghiệm.
* Lời giải đúng :
4(1 x) 2 - 6 = 0 2 (1 x) 2 6 | 1- x | = 3. Ta phải đi giải hai
phơng trình sau : 1) 1- x = 3 x = -2

2) 1- x = -3 x = 4. Vậy ta tìm đợc hai giá trị của x là x 1= -2
và x2= 4.
Ví dụ 10 : Tìm x sao cho B có giá trị là 16.
B = 16 x 16 - 9 x 9 +

4x 4 +

x 1 với x -1

* Lời giải sai :
B = 4 x 1 -3 x 1 + 2 x 1 +

x 1

B = 4 x 1
16 = 4 x 1 4 =

x 1 42 = ( x 1 )2 hay 16 =

( x 1) 2

16 = | x+ 1|

Nên ta phải đi giải hai phơng trình sau : 1) 16 = x + 1 x =

15
2) 16 = -(x+1) x =
- 17.
* Phân tích sai lầm : Với cách giải trên ta đợc hai giá trị của x
là x1= 15 và x2=-17 nhng chỉ có giá trị x1 = 15 là thoả mãn, còn giá
trị x2= -17 không đúng. Đâu là nguyên nhân của sự sai lầm đó ?
Chính là sự áp dụng quá dập khuôn vào công thức mà không để ý
đến điều kiện đã cho của bài toán, với x -1 thì các biểu thức
trong căn luôn tồn tại nên không cần đa ra biểu thức chứa dấu giá
trị tuyệt đối nữa.!
* Lời giải đúng :
B = 4 x 1 -3 x 1 + 2 x 1 +

x 1

B = 4 x 1
16 = 4 x 1 4 =

x 1 (do x -1)

16 = x + 1. Suy ra x = 15.

b) Sai lầm trong kỹ năng biến đổi :
Trong khi học sinh thực hiện phép tính các em có đôi khi bỏ
18


qua các dấu của số hoặc chiều của bất đẳng thức dẫn đến giải
bài toán bị sai.
Ví dụ 11 : Tìm x, biết :

(4- 17 ).2 x 3 (4 17 ) .
* Lời giải sai :
(4- 17 ).2 x 3 (4 17 ) 2x <
x<

3 ( chia cả hai vế cho 4- 17 )

3
.
2

* Phân tích sai lầm : Nhìn qua thì thấy học sinh giải đúng
và không có vấn đề gì. Học sinh khi nhìn thấy bài toán này thấy
bài toán không khó nên đã chủ quan không để ý đến dấu của bất
đẳng thức : Khi nhân hoặc chia cả hai vế của bất đẳng thức với
cùng một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều.
Do đó rõ ràng sai ở chỗ học sinh đã bỏ qua việc so sánh 4 và
17 cho nên mới bỏ qua biểu thức 4 - 17 là số âm, dẫn tới lời giải
sai.
* Lời giải đúng : Vì 4 = 16 < 17 nên 4 - 17 < 0, do đó ta có
(4- 17 ).2 x 3 (4 17 ) 2x >

3 x>

3
.
2

Ví dụ 12 : Rút gọn biểu thức :
x2 3

x 3

* Lời giải sai :

x2 3
x 3

=

(x

3 )( x 3 )
x 3

= x - 3.

* Phân tích sai lầm : Rõ ràng nếu x = đó biểu thức

2

x 3
x 3

3 thì x +

3 = 0, khi

sẽ không tồn tại. Mặc dù kết quả giải đợc của

học sinh đó không sai, nhng sai trong lúc giải vì không có căn cứ

lập luận, vì vậy biểu thức trên có thể không tồn tại thì làm sao có
thể có kết quả đợc.
* Lời giải đúng : Biểu thức đó là một phân thức, để phân
thức tồn tại thì cần phải có x + 3 0 hay x - 3 . Khi đó ta có
x2 3
x 3

=

(x

3 )( x 3 )
x 3

=x-

3 (với x - 3 ).

19


Ví dụ 13 : Rút gọn M, rồi tìm giá trị nhỏ nhất của M.
1



1

a 1

:

M =
với a > 0.
a 1 a 2 a 1
a a

* Lời giải sai :
1



M =

a


a



1 a

1 a
a 1

a 1
:

:
=
2

a 1 a 2 a 1
a ( a 1) ( a 1)
1



.
M =

a
(
a

1
)



( a 1) 2
a 1

a1

M=

a

a1

Ta có M =

a

=

a
a

-

1
a

= 1-

1
a

, khi đó ta nhận thấy M < 1

vì a >0
Do đó min M = 0 khi và chỉ khi a = 1.
* Phân tích sai lầm : Nhìn vào kết quả của bài toán rút gọn
thì không sai, nhng sai ở chỗ học sinh lập luận và đa ra kết quả
về giá trị nhỏ nhất của M thì lại sai.
Rõ ràng học sinh không để ý đến chi tiết khi a = 1 thì a =
1 do đó a - 1= 0, điều này sẽ mâu thuẫn trong điều kiện tồn tại

của phân thức.
* Lời giải đúng :
1



M =

a

a



1


a 1
:
có a > 0 và
a 1 a 2 a 1

a - 1 0 hay a >0 và a

1.
Với điều kiện trên, ta có :


1 a

.
M =

a ( a 1)

M=

( a 1) 2
a 1

a1
a

khi đó ta nhận thấy M < 1 vì a >0. Nếu min M = 0, khi và
chỉ khi a = 1(mâu thuẫn với điều kiện).
Vậy 0 < min M < 1, khi và chỉ khi 0< a <1.
Ví dụ 14 : Cho biểu thức :
20




x

x

3

x



Q =
với x 1, x > 0

x 1
1

x
1

x



a) Rút gọn Q
b) Tìm x để Q > -1.


x

x

3

x

Giải : a) Q =

x 1
1

x
1

x


x (1 x ) x (1

Q=

(1



x) 3 x
x )(1 x )
1 x


x x x x 3 x


1

x
1 x



Q =
Q=

2 x (3
2 x 3 x
=

1 x
1 x
1 x

Q=

3
3 x 3
=
1 x
1 x

Q=-

x)

3
1 x

b) * Lời giải sai : Q > -1 nên ta có
-

3
1 x

> -1 3 > 1+

x 2>

x 4 > x hay x

< 4.
Vậy với x < 4 thì Q < -1.
* Phân tích sai lầm : Học sinh đã nghiễm nhiên bỏ
dấu âm ở cả hai vế của bất đẳng thức vì thế có luôn đợc bất
đẳng thức mới với hai vế đều dơng nên kết quả của bài toán dẫn
đến sai.
* Lời giải đúng :
Q > -1 nên ta có
-

3
1 x

> -1

3
1 x

< 1 1+

> 4.
Vậy với x > 4 thì Q > - 1.
V - Những phơng pháp giải toán về căn bậc hai :
21

x >3

x >2 x


1. Xét thuật ngữ toán học : Vấn đề này không khó dễ dàng ta
có thể khắc phục đợc nhợc điểm này của học sinh.
2. Xét biểu thức phụ có liên quan :
Ví dụ 1 : Với a > 0, b > 0 hãy chứng minh

a b <

a b

Giải : Ta đi so sánh hai biểu thức sau : a + b và ( a + b )2
Ta có : ( a + b )2 = a+ b + 2 ab
Suy ra a + b < ( a + b )2 do đó ta khai căn hai vế ta đợc :
a b <

( a b ) 2 vì a > 0, b > 0 nên ta đợc :

a b <

a b

* Nh vậy trong bài toán này muốn so sánh đợc a b với a b
thì ta phải đi so sánh hai biểu thức khác có liên quan và biết
đợc quan hệ thứ tự của chúng, do đó biểu thức liên quan đó
ta gọi là biểu thức phụ.
Ví dụ 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức A :
A=

1
2

3 x2

Giải :
Ta phải có |x| 3. Dễ thấy A > 0 . Ta xét biểu thức phụ sau :
B=

1
2A

3 x2

Ta có : 0 3 x 2 3 => - 3 - 3 x 2 0 => 2- 3 2 - 3 x 2
2
giá trị nhỏ nhất của B = 2- 3 3 = 3 x 2 x = 0
Khi đó giá trị lớn nhất của A =

1

2

3

= 2+ 3 .

Giá trị lớn nhất của B = 2 khi và chỉ khi
khi đó giá trị nhỏ nhất của A =

3 x2 = 0 x = 3 ,

1
1
= .
B
2

* Nhận xét : Trong ví dụ trên, để tìm đợc giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, ta phải đi xét một biểu thức
phụ

1
.
A

3. Vận dụng các hệ thức biến đổi đã học :
Giáo viên chú ý cho học sinh biến đổi và thực hiện các bài
toán về căn bậc hai bằng cách sử dụng các hệ thức và công thức đã
22

học : Hằng đẳng thức, Quy tắc khai phơng một tích, quy tắc
nhân các căn bậc hai, quy tắc khai phơng một thơng, quy tắc
chia hai căn bậc hai, đa thừa số ra ngoài dấu căn, đa thừa số vào
trong dấu căn, Khử mẫu của biểu thức lấy căn, trục căn thức ở
mẫu
Ngoài các hệ thức đã nêu ở trên, trong khi tính toán học sinh
gặp những bài toán có liên quan đến căn bậc hai ở biểu thức, nhng bài toán lại yêu cầu đi tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của
biểu thức đã cho. Hay yêu cầu đi tìm giá trị của một tham số nào
đó để biểu thức đó luôn âm hoặc luôn dơng hoặc bằng 0 hoặc
bằng một giá trị nào đó thì giáo viên cần phải nắm vững nội
dung kiến thức sao cho khi hớng dẫn học sinh thực hiện nhẹ nhàng
mà học sinh vẫn hiểu đợc bài toán đó .
Ví dụ 3 : Cho biểu thức :
a
1


P =

2
2
a



2

a1
.

a

1


a 1
với a > 0 và a 1.
a 1

a) Rút gọn biểu thức P;
b) Tìm giá trị của a để P < 0
Giải : a)
2

1 ( a 1) 2 ( a 1) 2
.

( a 1)( a 1)


a. a
P =
2 a
2

(a 1)( 4 a )
a 1 a 2 a 1 a 2 a 1
.
=

=
(2 a ) 2
a 1
2 a

=

1 a
(1 a ).4 a
=
.
a
4a

Vậy P =

1 a
a

với a > 0 và a 1.

b) Do a > 0 và a 1 nên P < 0 khi và chỉ khi
1 a
a

<0

1- a < 0 a > 1.

Ví dụ 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A :

A=
Giải :

x 1+

y 2 biết x + y = 4

Ta có A2 = ( x-1) + (y - 2) + 2 ( x 1)( y 2) =
= (x + y) - 3 + 2 ( x 1)( y 2) = 1+ 2 ( x 1)( y 2)
23


Ta lại có 2 ( x 1)( y 2) (x -1) + (y- 2) = 1
Nên A2 2
=> Giá trị lớn nhất của A =

x 1 y 2 x 1,5

2 khi và chỉ khi
x y 4
y 2,5

.
Trên đây là một số phơng pháp giải toán về căn bậc hai và
những sai lầm mà học sinh hay mắc phải, xong trong quá trình hớng dẫn học sinh giải bài tập, giáo viên cần phân tích kỹ đề bài
để học sinh tìm đợc phơng pháp giải phù hợp, tránh lập luận sai
hoặc hiểu sai đầu bài sẽ dẫn đến kết quả không chính xác.
VI- Kết quả thực hiện :
Qua thực tế giảng dạy chơng I- môn đại số 9 năm học 20072008 này. Sau khi xây dựng đề cơng chi tiết của sáng kiến kinh
nghiệm đợc rút ra từ năm học 2006-2007 tôi đã vận dụng vào các

giờ dạy ở các lớp 9A, 9B chủ yếu vào các tiết luyện tập, ôn tập. Qua
việc khảo sát chấm chữa các bài kiểm tra tôi nhận thấy rằng tỉ lệ
bài tập học sinh giải đúng tăng lên.
Cụ thể :
Bài kiểm tra 15 phút : Tổng số 73 em
Số bài kiểm tra học sinh giải đúng là 66 em chiếm 90,4%. (ở
năm học 2006-2007 là 73%) Tuy mới dừng lại ở các bài tập chủ yếu
mang tính áp dụng nhng hiệu quả đem lại cũng đã phản ánh phần
nào hớng đi đúng.
Bài kiểm tra chơng I : Tổng số 73 em
Số bài kiểm tra học sinh giải đúng là 56 em chiếm 76,7% (ở
năm học 2006-2007 là 60%) các bài tập đã có độ khó, cần suy
luận và t duy cao.
Nh vậy sau khi tôi phân tích kỹ các sai lầm mà học sinh thờng
mắc phải trong khi giải bài toán về căn bậc hai thì số học sinh giải
đúng bài tập tăng lên, số học sinh mắc sai lầm khi lập luận tìm lời
giải giảm đi nhiều. Từ đó chất lợng dạy và học môn Đại số nói riêng
và môn Toán nói chung đợc nâng lên.
VII- Bài học kinh nghiệm và giải pháp thực hiện :
Qua quá trình giảng dạy bộ môn Toán, qua việc nghiên cứu
caqcs phơng án giúp học sinh tránh sai lầm khi giải toán về căn bậc
hai trong chơng I-Đại số 9, tôi đã rút ra một số kinh nghiệm nh sau :
24


* Về phía giáo viên :
- Ngời thầy phải không ngừng học hỏi, nhiệt tình trong giảng
dạy, quan tâm đến chất lợng của từng học sinh, nắm vững đợc
đặc điểm tâm sinh lý của từng đối tợng học sinh và phải hiểu đợc gia cảnh cũng nh khả năng tiếp thu của học sinh, từ đó tìm ra
phơng pháp dạy học hợp lý theo sát từng đối tợng học sinh. Đồng thời

trong khi dạy các tiết học luyện tập, ôn tập giáo viên cần chỉ rõ
những sai lầm mà học sinh thờng mắc phải, phân tích kĩ các lập
luận sai để học sinh ghi nhớ và rút kinh nghiệm trong khi làm các
bài tập tiếp theo. Sau đó giáo viên cần tổng hợp đa ra phơng
pháp giải cho từng loại bài để học sinh giải bài tập dễ dàng hơn.
- Thông qua các phơng án và phơng pháp trên thì giáo viên
cần phải nghiêm khắc, uốn nắn những sai sót mà học sinh mắc
phải, đồng thời động viên kịp thời khi các em làm bài tập tốt
nhằm gây hứng thú học tập cho các em, đặc biệt lôi cuốn đợc đại
đa số các em khác hăng hái vào công việc.
- Giáo viên cần thờng xuyên trao đổi với đồng nghiệp để học
hỏi và rút ra kinh nghiệm cho bản thân, vận dụng phơng pháp dạy
học phù hợp với nhận thức của học sinh, không ngừng đổi mới phơng
pháp giảng dạy để nâng cao chất lợng dạy và học.
- Giáo viên phải chịu hy sinh một số lợi ích riêng đặc biệt về
thời gian để bố trí các buổi phụ đạo cho học sinh.
* Về phía học sinh :
- Bản thân học sinh phải thực sự cố gắng, có ý thức tự học tự
rèn, kiên trì và chịu khó trong quá trình học tập.
- Trong giờ học trên lớp cần nắm vững phần lý thuyết hiểu đợc
bản chất của vấn đề, có kỹ năng vận dụng tốt lí thuyết vào giải
bài tập. Từ đó học sinh mới có thể tránh đợc những sai lầm khi giải
toán.
- Phải có đầy đủ các phơng tiện học tập, đồ dùng học tập
đặc biệt là máy tính điện tử bỏ túi Caisiô f(x) từ 220 trở lên;
giành nhiều thời gian cho việc làm bài tập ở nhà thờng xuyên trao
đổi, thảo luận cùng bạn bè để nâng cao kiến thức cho bản thân.
VIII- Kết luận :
Phần kiến thức về căn bậc hai trong chơng I- Đại số 9 rất rộng
và sâu, tơng đối khó với học sinh, có thể nói nó có sự liên quan và

mang tính thực tiễn rất cao, bài tập và kiến thực rộng, nhiều. Qua
việc giảng dạy thực tế tôi nhận thấy để dạy học đợc tốt phần ch25