1
TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH. (LỚP 9)
Bài toán 1: Giải phương trình
x 2 10 x x2 12 x 40
Bổ đề : Với a 0; b 0 a b a b a b a b a b 2 a 2 b2
2
2
2
Giải: Điều kiện : 2 x 10 , Ta có x 2 10 x 2 x 2 10 x 4 mà
x2 12 x 40 x 2 12 x 36 4 x 6 4 4 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
2
x 2 10 x
x 6 . Vậy phương trình có nghiệm x = 6
x 6 0
Hoặc: Áp dung bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có
x 2 .4
10 x .4
x 2 4 10 x 4
4.
2
2
4
4
x 2 4
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
x6.
10 x 4
x 2 10 x
Bài toán 2: Giải phương trình:
x2 x 1 x x2 1 x2 x 2
Vì x2 x 1 0 và x x2 1 0 nên Áp dụng bất đẳng thức Cô si mỗi số hạng của vế trái ta
được:
x2 x 1 1 x2 x
2
2
2
x x 1 1 x x2 2
x x 2 1 .1
2
2
x
2
(1)
(2)
x 1 .1
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có: x 2 x 1 x x 2 1
x2 x x x2 2
x 1 nên theo đề ta
2
2
có : x2 x 2 x 1 x 1 0 . Đẳng thức xảy ra khi x = 1 . Thử lại ta thấy x = 1 thoả . Vậy
phương trình có nghiệm là x = 1.
2
Bài toán 3: Giải phương trình:
2 x 3 5 2 x 3x2 12x 14 (1)
3
x
2 x 3 0
3
5
2
Điều kiện tồn tại phương trình:
x (*)
2
2
5 2 x 0
x 5
2
Vế phải của (1): 3x2 12 x 14 3 x2 4 x 4 2 3 x 2 2 2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ
khi x = 2.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki thoả mãn (*) thì vế trái của phương trình (1):
2 x 3 5 2 x 12 12 2 x 3 5 2 x 4 2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2
2 x 3 5 2 x x 2 . Đẳng thức xảy ra ở phương trình (1) là 2 nên x = 2 là nghiệm của
phương trình.
Hoặc Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta
có: 2 x 3 .1 5 2 x .1
2x 3 1 5 2x 1
2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2
2
2
2 x 3 1
x 2 . Đẳng thức xảy ra ở phương trình (1) là 2 nên x = 2 là nghiệm của phương
5 2 x 1
trình.
Bài toán 4: Giải phương trình: x2 2 x 3 2 x2 x 1 3x 3x2 . (1)
2 x 2 x 0
Giải: Điều kiện
(2).
2
1 3x 3x 0
Vế trái của phương trình (1): x2 2 x 3 x 1 2 2 với mọi x R . đẳng thức xảy ra khi x
= 1. Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki với mọi x thoả mãn (2) thì vế phải của phương trình
(1) thoả:
2
1
2 x 2 x 1 3x 3x 2
2
12 2 x 2 x 1 3x 3x 2 2 4 x 2 x 2 4 x 1 2 . đẳng thức
2
xảy ra khi 2 x2 x 1 3x 3x2 . Để đẳng thức xảy ra ở phương trình (1) thì cả hai vế của
phương trình (1) đều bằng 2. Nên x = 1. Thử lại thấy x = 1 là nghiệm của phương trình.
Bài toán 5: Giải phương trình: 5 1 x3 2 x 2 2
(1)
Giải:
Điều kiện 1 x3 0 x 1 x2 x 1 0 Do x2 x 1 0 với mọi x nên x 1 0 x 1
Đặt a x 1 ; b x2 x 1 với a 0 ; b 0 . Nên phương trình (1) trở thành :
5ab 2 a b
2
2
2
a
a 1
a
a
2 5 2 0. Giải phương trình này được 2 hoặc
b
b 2
b
b
a
2 thì phương trình (1) vô nghiệm
b
x 1
a 1
Với thì 2 x 1 x 2 x 1 2
. Phương trình có hai nghiệm thoả điều kiện
b 2
x 5x 3 0
Với
x1
5 37
2
; x2
5 37
.
2
42
60
6 (1)
5 x
7x
42
60
Phương trình (1) có nghĩa khi x < 5 nên 1 3
3
0
5 x
7 x
42
42
60
60
42
60
3
3
3
3
9
9
5
x
5
x
7
x
7
x
0
5 x
7x 0
42
60
42
60
3
3
3
3
5 x
7x
5 x
7x
9 5 x 42
9 7 x 60
0
42
60
5 x 3
7 x 3
5 x
7x
Bài toán 6: Giải phương trình:
3
1
1
0 3 1 3x 0
3 1 3x
42
60
5 x 3
7 x 3
5 x
7 x
1
5 x 3
42
5 x
1
3
1
> 0 nên x . Thử lại đúng nên nghiệm của phương
60
7x
7 x 3
vì
1
trình là x .
3
x x 2 x x 5 x x 3
Bài toán 7: Giải phương trình:
(1)
Điều kiện để phương trình có nghĩa là : 3 x 0 ;0 x 5 . Bình phương hai vế của phương
trình (1) ta được: x x 2 x x 5 2 x 2 x 2 x 5 x x 3
2 x 2 x 2 x 5 10 x x 2 4 x 2 x 2 x 5 10 x x 2
2
4 x2 x 2 x 5 100 x 2 20 x3 x 4 4 x 2 x 2 7 x 10 100 x 2 20 x3 x 3x 4 8x3 60x 2 0
10
x 2 3x 2 8x 60 0 . Giải phương trình này được x ;0;6 . Thử lai chỉ có hai nghiệm x
3
= 0; x = 6 thoả mãn đề cho.
Bài toán 8: Giải phương trình:
x 5 x 2 1 x 2 7 x 10 3
(1)
Điều kiện x > -2 và x2 7 x 10 x 2 x 5 . Nhân hai vế của phương trình (1) với
x 2 x 5 ta được: x 2 x 5 1
3 1
x 2 x 5 3
x 2 x 5 3
x2 x5 x2 x5
x 5 1 x 2 1 x 2 0
x2 x5
x 2 x 5 1 0
x 5 1 1 x 2 0
x 5 1 0
x 5 1 x 4
Do x > -2 nên x = -4 (loại). Vậy nghiệm của phương
x 2 1 x 1
1 x 2 0
trình x = -1.
Cách giải khác:
Đặt a x 2 a 2 x 2 ;
b x 5 b2 x 5 nên b2 a2 x 5 x 2 3 .Do đó phương
b 2 a 2 3
trình (1) trở thành:
(*)
(b a)(1 ab) 3
Từ hệ (*) suy ra b2 a2 b a 1 ab b a a b ab 1 0
a b
b a 0
a b ab 1 0 a 1 b 1 0 a b 1 khi đó ta cũng có x = -1.
Bài toán 9: Giải phương trình:
25 x 2 10 x 2 3
(1)
4
2
25 x 2 0
x 25
Giải: Điều kiện
x 2 10 10 x 10 (*).
2
2
10 x 0
x 10
Đặt 0 a 25 x2 ; 10 x2 b 0 a2 b2 25 x2 10 x2 15 . Nên phương trình (1) trở
a b 3
a b 3
a 4
a b 15 a b 5 b 1
Nếu b = 1 thì 10 x2 1 x2 9 x 3 so với điều kiên (*) x 3 thoả
Nếu a = 4 thì 25 x2 16 x2 9 x 3 so với điều kiên (*) x 3 thoả.
Vậy phương trình có nghiệm là x 3 .
thành
2
2
Bài toán 10: Giải phương trình:
3
x 1 3 x 1 3 5x
(*)
Lập phương hai vế của phương trình (*) ta được:
5x x 1 x 1 3 3 x 1 x 1 3 x 1 3 x 1 5x 2 x 3 3 x 2 1. 3 5x
3 x 2 1. 3 5x x x3 5x x 2 1 4 x3 5x 0 x 0 hoặc x
5
. Thử lại ta thấy phương
2
trinh có đúng ba nghiệm trên.
Bài toán 11: Giải phương trình 3 1 x 3 1 x 2
(1)
Điều kiện: x 0 . Đặt 3 1 x a ; 3 1 x b a3 1 x ; b3 1 x nên phương trình (1)
a b 2
a b 2
a 2 b
2
2
2
3
3
2
2
2
2 b b 2 b b 1 0
a b 2
a ab b 1
a b a ab b 2
a 2 b
a 2 b
a 2 b
a b 1
2
2
2
2
2
b
1
0
4 4b b 2b b b 1 0
b 2b 1 0
Nếu a = 1 thì 1 x 1 x 0 x 0
Nếu b = 1 thì 1 x 1 x 0 x 0 .
a b 2
trở thành
Vậy x = 0 là một nghiệm của phương trình.
Bài toán 12: Giải phương trình
3
2 x x 1 1
(1)
Giải: TXĐ x 1 0 x 1 . Đặt 2 x a ; x 1 b 0 . Nên phương trình đã cho trở
3
a b 1
a 1 b
a 1 b
a 1 b
3
2
3
3
3
2
2
3
2
2
1 b b 1 1 3b 3b b b 1
a b 1 a b 1
b b 4b 3 0
a b 1
thành:
Nên b 0;1;3 Do đó a; b 1;0 ; 0;1 ; 2;3
Nếu a 0 thì 3 2 x 0 2 x 0 x 2 ; b 1 thì x 1 1 x 1 1 x 2
Nếu a 1 thì 3 2 x 1 2 x 1 x 1 ; b 0 thì x 1 0 x 1 0 x 1
Nếu a 2 thì 3 2 x 2 2 x 8 x 10 ; b 3 thì x 1 3 x 1 9 x 10
Vậy phương trình có ba nghiệm là x 1; 2;10
1 x 2x x2
Bài toán 13:Giải phương trình
(*)
x
1 x2
5
1 x
0 hay 0 x 1
x
Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là x 0 và
1 x
2x 1
1
. Thử thấy x là một nghiệm của phương trình (*)
1
2
x
1 x
2
1 x
2x 1
1
Với 0 x thì 1 x x 0 và 2 x 1 0 .Suy ra
1 1
x
1 x2
2
1 x
2x 1
1
Với x 1 thì 0 1 x x và 2 x 1 0 .Suy ra
1 1
x
1 x2
2
1
Vậy x = là nghiệm của phương trình.
2
*
Bài toán 14: Giải phương trình :
3
3x 2 x 2001 3 3x 2 7 x 2002 3 6 x 2003 3 2002 .
Giải: Đ ặt : 3 3x2 x 2001 a a3 3x2 x 2001
3 3x2 7 x 2002 b b3 3x 2 7 x 2002
3 6 x 2003 c c3 6 x 2003
Suy ra a3 b3 c3 2002 . Do đó phương trình đã cho sẽ là a b c a3 b3 c3 nên
3
a b c
3
(a3 b3 c3 ) 0 Khai triển và thu gọn được: 3 a b b c c a 0 .
Nếu a b 0 3 3x2 x 2001 3 3x2 7 x 2002 3x2 x 2001 3x2 7 x 2002
6x 1 x
1
6
Nếu b c 0 3 3x2 7 x 2002 3 6 x 2003 3x2 7 x 2002 6 x 2003
1 13 1 13
3x2 x 1 0 . Phương trình này có nghiệm x
;
6
6
Nếu a c 0 3 3x2 x 2001 3 6 x 2003 3x2 x 2001 6 x 2003
3x2 7 x 4004 0 . Phương trình này vô nghiệm
1 1 13 1 13
;
.
6
6
6
Vậy phương trình có ba nghiệm x ;
Bài toán 15: Tính giá trị của biểu thức:
a 1
a a 1 a
4
2
trong đó a là nghiệm của phương trình 4 x2 2 x 2 0
Giải : Phương trình 4 x2 2 x 2 0 có ac = - 4 2 0 nên có hai nghiệm phân biệt với a là
nghiệm dương của phương trình nên ta có: 4a2 2a 2 0 (1) . Vì a > 0 nên từ (1) có :
2 1 a 1 a
2 a 2
1 2a a 2
4
.
a
a
4
8
2.2 2
2 2
2
Gọi S
a 1
a a 1 a
4
2
a 1
a4 a 1 a2
2
a4 a 1 a4
a 1
a4 a 1 a2
a a 1 a
4
4
a4 a 1 a2
6
1 2a a 2
1 a
1 2a a 2 8a 8 1 a
a 2 6a 9 1 a a 3 1 a
4
a 1
2
8
8
8
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
Bài toán 16: Giải phương trình: x2 x 1000 1 8000 x 1000
Giải: Đặt 1 8000x 1 2 y 1 8000 x 2 y 1 1 8000 x 4 y 2 4 y 1 4 y 2 4 y 8000x
y 2 y 2000 x . Do đó phương trình đã cho trở thành hệ phương trình:
x 2 x 2000 y
(1).Từ hệ phương trình (1) ta suy ra
2
y y 2000 x
x2 x y 2 y 2000 y x x y x y x y 2000 x y 0 (2)
x y x y 1 2000 0 x y x y 1999 0
Từ hệ phương trình (1)
suy ra: x2 y 2 x y 2000 x y 2001 x y x2 y 2 0 x y 0 .
Nên x y 1999 0 .Do đó từ (2) suy ra x y 0 hay x = y. Thay vào hệ (1) ta được
x2 x 2000 x x x 2001 0 x 0 hoặc x 2001 . Nhưng x = 0 không là nghiệm của
phương trình nên phương trình có nghiệm là x = 2001.
Bài toán 17: Giải phương trình
x 2 3x 2 x 3 x 2 x 2 2 x 3 .
Điều kiện của phương trình: x 2
Ta có x2 3x 2 x 3 x 2 x2 2 x 3 x 1. x 2 x 3 x 2 x 1. x 3
x 1
x 2 x 3
x 2 x 3 0
x2 x3
x 1 1 0
x 2 x 3
hoặc x 1 1 0 x 2 x 3 hoặc x 1 1 0x 1 hoặc x 2 . x 2
là một nghiệm của phương trình.
Bài toán 18: Giải phương trình
1
1
1
2
2
2
5x
x 9 x 36 x 4 x 16
Giải :
ĐKXĐ: x 0
1
4
9
. Với x 0 nên chia
2
2
2
2
5 x 4 x 36 x 12
9 x 36 x 122
1
4
9
hai vế của phương trình cho x 2 ở mẫu ta được :
. Đặt
2
2
5
36 12
36 12
4
9
x x
x x
Từ phương trình trên ta có
2
1
4
9
12 36
. Quy đồng khử mẫu ta được:
t . Khi đó ta có
5 4t 9t
x
x
t 2 12t 36 0 t 6 0 t 6
2
2
12
36
Do đó 6 Quy đồng khử mẫu ta được x2 6 x 24 0
x
x
Giải phương trình x2 6 x 24 0 ta được nghiệm: x1,2 3 33
Vậy phương trình có hai nghiệm là x1,2 3 33
7
y
20 x 2 11y 2009 (1)
z
Bài toán 19: Giải hệ phương trình: 20 2 11z 2009 (2)
y
x
20 2 11x 2009 (3)
z
1
Giải: Từ (1) suy ra y 20. 2 11 2009 y 0 . Tương tự từ (2) và (3) suy ra x 0 ; z 0 . Vì
x
hệ số không đổi khi ta hoán vị vòng quanh đối với x; y; z có thể giả thiết x = max(x, y, z) .
Nghĩa là x y ; x z . Trừ tường vế của phương trình (3) cho phương trình (1) ta được
y
x
20 2 2 11 x y 0 20 x3 yz 2 11x 2 z 2 x y 0 (4) . Vì x y 0 ; x z 0 nên x y 0
x
z
x y
x y z.
và x3 yz 2 0 . Do đó phương trình (4) 3
2
x yz
Thay vào phương trình (1) ta được:
20
2009 4035201
.
11x 2009 11x 2 2009 x 20 0 . Do đó x = y = z =
22
x
697
4
2
(1)
x y
Bài toán 20: Cho hệ phương trình
81
x 2 y 2 xy 3x 4 y 4 0 (2)
7
a) Nếu có (x; y) thoả (2) . Chứng minh rằng 1 y
3
b) Giải hệ phương trình trên
Giải:
2
a) Từ phương trình (2) có: x2 y 2 xy 3x 4 y 4 0 x2 y 3 x y 2 0 . Phương
trình bậc hai ẩn x có nghiệm:
0 y 3 4 y 2 0 y 3 2 y 4 y 3 2 y 4 0 3 y 7 1 y 0 1 y
2
2
7
3
b) Tương tự phương trình bậc hai ẩn y có nghiệm:
x2 y 2 xy 3x 4 y 4 0 y2 x 4 y x2 3x 4 0
0 x 2 4( x2 3x 4) 0 x2 8x 16 4 x2 12 x 16 0 x 4 3x 0 0 x
2
4
2
4
3
4
7
4
7
256 49 697
Do 0 x và 1 y nên x 4 y 2
.
3
3
81
9
81
3 3
697
4
7
4
7
Đẳng thức xảy ra x 4 y 2
x và y . Khi x và y thì thay vào phương trình
81
3
3
3
3
(2) vô nghiệm. Nên hệ đã cho vô nghiệm.
x 2 y 2 x 2 y 2 144
Bài toán 21 : Giải hệ phương trình:
2
2
2
2
x y x y y
Giải: Từ hệ phương trình suy ra y > 0
(*)
8
2
2
2
2
x y x y 144 (1)
(*)
2
2
(2)
y 2 x 24
Thế phương trình (2) vào phương trình (1) ta có:
x
2
2 x 2 24 x2 2 x2 24 144 3x 2 24 24 x 2 144 72 x2 3x4 576 24x2 144 0
2
3x 4 96 x 2 720 0 x 4 32 x 2 256 0 x 2 16 16 x 2 20 ; y 2 16 và x2 12 ; y 0 .
Thử lại được 4 nghiệm: x; y 2 5; 4 ; 2 5; 4 ; 2 3;0 ; 2 3;0 .
2
2
2
x xy y 19 x y
(*)
Bài toán 22: Giải hệ phương trình: 2
2
x
xy
y
7
x
y
2
2
2
2
2
x 2 xy y 3xy 19 x y
x y 3xy 19 x y
Giải : Hệ (*) 2
2
2
x
2
xy
y
xy
7
x
y
x y xy 7 x y
2
x y a
6 x y xy 0
. Đặt
.
2
xy b
x
y
7
x
y
xy
0
2
6 a b 0
Khi đó hệ trở thành: 2
7a 2 7a 0 7a a 1 0 a 0 hoặc a 1 .
a 7a b 0
x y 0
x 0
Nếu a 0 b 0 suy ra
xy 0
y 0
x y 1
x y 1
. Nên x; (-y) là nghiệm của phương trình bậc
xy 6
x y 6
Nếu a 1 b 6 suy ra
hai k 2 k 6 0 k1 3 ; k2 2
Nếu x = k1 3 thì y k2 2 ; Nếu x = k2 2 thì y k1 3 ; Vậy hệ đã cho có nghiệm
là: x; y 0;0 ; 3; 2 ; 3; 2 .
x3 2 y 2 4 y 3 0 (1)
. Tính Q x2 y 2 .
2
2 2
(2)
x x y 2 y 0
Bài toán 23: Cho hệ phương trình:
Giải: Từ (1) suy ra x3 3 4 y 2 y 2 1 2 1 2 y y 2 1 2 y 1 1 x 1
2
Từ x2 x2 y 2 2 y 0 có x 2
2y
1 1 x 1
y2 1
(3)
(4)
Từ (3) và (4) x 1 . Do đó y 1. Vậy Q x2 y 2 1 12 2 .
2
(1)
x 3y 3
Bài toán 24: Giải hệ phương trình: 2
2
x y 2 x 2 y 9 0 (2)
Giải: Từ phương trình (2) suy ra x2 2 x 1 y 2 2 y 1 11 0 x 1 y 1 11 0 .
2
2
Từ phương trình (1) suy ra x 3 y 1 . Nên
3 y 3 1 y 1
2
2
11 0 3 y 2 y 1 11 0 9 y 2 12 y 4 y 2 2 y 1 11 0
2
2
9
10 y 10 y 6 0 5 y 5 y 3 0 . Giải phương trình bậc hai ẩn y được hai nghiệm :
2
2
5 85
10
5 85
15 3 85
5 85
15 3 85
Nếu y
thì x 3 y 1
; Nếu y
thì x 3 y 1
10
10
10
10
y
15 3 85 5 85 15 3 85 5 85
;
;
;
.
10
10
10
10
Vậy hệ phương trình có nghiệm là: x; y
2 x3 3x 2 y 5
(*)
3
2
y 6 xy 7
Bài toán 25: Giải hệ phương trình:
Hệ phương trình (*) tương đương
3
3
2
2
2
3
2 x y 3 27
2 x y 3
8 x 12 x y 20
2 x 3.4 x y 3.2 xy y 27
3
3
2
2
3
2
3
2
y 6 xy 7
y
6
xy
7
y
6
xy
7
y 9y 7 0
Giải phương trình : y3 9 y 2 7 0 y 1 2 y 2 7 y 7 0 có ba nghiệm y1 1 ;
y2
7 105
4
; y3
7 105
4
7 105
5 105
7 105
5 105
x
; Nếu y
x
4
8
4
8
5 105 7 105 5 105 7 105
phương trình có ba nghiệm x; y 1;1 ;
;
;
;
8
4
8
4
Nếu y 1 x 1 ; Nếu y
2
2
2 x xy y 5 x y 2 0 (1)
.
2
2
x
y
x
y
4
0
(2)
; Vậy hệ
Bài toán 26: Giải hệ phương trình
Giải: Từ phương trình (1) suy ra y 2 x 1 y 2 x2 5x 2 0 . Giải phương trình bậc hai ẩn y
có hai nghiệm y1 2 x 1 ; y2 x 2 . Nên hệ phương trình trên tương đương:
y 2x 1 0
x y 2 0
hoặc 2 2
.
2
2
x y x y 4 0
x y x y 4 0
4
x
y 2x 1 0
5
Giải hệ phương trình : 2 2
.
x y x y 4 0
y 13
5
x y 2 0
x 1
Giải hệ phương trình 2 2
có nghiệm
.
y 1
x y x y 4 0
Vậy hệ phương trình có nghiệm là: x; y 1;1 ; ;
4
5
13
.
5
10
2 x y y x 3 4 y 3
Bài toán 27: Giải hệ phương trình
(Đề thi chuyên Lê Khiết năm
2 y x x y 3 4 x 3
học 2008- 2009)
3
4
Điều kiện của hệ: x ; y
3
4
2 x y y x 3 4 y 3
2 x y y x 3 4 y 3
Khi đó ta có:
x y y x 3.
2 y x x y 3 4 y 3
4 y 3 4x 3
2 x y y x 3 4 y 3
3. 4 y 3 4 x 3
4 y 3 4x 3
x yy x x yy x
x yy x
4x 3 4 y 3
2 x y y x 3 4 y 3
2 x y y x 3 4 y 3
2
x y y2 x
12 x y
3 4 y 3 4 x 3 xy x y
0
4x 3 4 y 3
4x 3 4 y 3
x y y x
x y y x
2 x y y x 3 4 y 3
xy
12
0 (*)
x y
4 x 3 4 y 3
x y y x
3
3
Do điều kiện x ; y
4
4
xy
12
nên phương trình(*) x y 0 Do
> 0 hay x = y
4 x 3 4 y 3
x y y x
Thay x = y vào phương trình ta có: 3x x 3 4 x 3 x3 4 x 3 x3 4 x 3 0
x 1
x 1 0
x 1 x x 3 0 2
x 1 13
x x 3 0
1,2
2
2
1 13
So với điều kiện x
(loại). V ậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
2
3
4
Cách giải khác: Điều kiện của hệ x ; y
2 x y y x 3 4 y 3
Ta có:
2 y x x y 3 4 x 3
3
4
xy 2 x y 3 4 y 3
xy 2 y x 3 4 x 3
Giả sử x y suy ra 3 4 x 3 3 4 y 3 nên
x y 1
1 13
x y
2
xy 2 y x xy 2 x y 2 y x 2 x y y x y x (vô lý)
Giả sử x y suy ra 3 4 y 3 3 4 x 3 nên
xy 2 x y xy 2 y x 2 x y 2 y x x
y x y (vô lý)
11
Nên suy ra x y . Thay x = y vào hệ ta có phương trình:
3x x 3 4 x 3 x3 4 x 3 x 3 4 x 3 0
x 1
x 1 0
2
x 1 x x 3 0 2
x 1 13
x x 3 0
1,2
2
1 13
So với điều kiện x
(loaị). Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
2
x y 1
1 13 .
x y
2
x y 4 z 1 (1)
Bài toán 28: Giải hệ phương trình: y z 4 x 1 (2)
z x 4 y 1 (3)
1
Giải: Điều kiện x; y; z . Nhân mỗi phương trình với 2 ta có:
4
2 x 2 y 2 4 z 1
2 y 2 z 2 4 x 1 4 x 4 y 4 z 2 4 x 1 2 4 y 1 2 4 z 1 0
2 z 2 x 2 4 y 1
4x 1 2 4x 1 1 4 y 1 2 4 y 1 1 4z 1 2 4z 1 1 0
2
4x 1 1
2
4 y 1 1
2
4z 1 1 0 x y z
1
.
2
Bài toán 29 Giải hệ phương trình sau:
12 x 2 48 x 64 y 3 (1)
2
3
12 y 48 y 64 z (2)
12 z 2 48 z 64 x3 (3)
Giải:
Giả sử bộ ba số x; y; z là nghiệm của hệ phương trình trên thì y; z; x và z; x; y cũng là
nghiệm của phương trình này. Giả sử x là số lớn nhất x y ; x z (4)
2
Từ (1) ta có 12 x2 48x 64 y3 y3 12 x2 4 x 4 16 12 x 2 16 16 y 2 . Tương tự
từ phương trình (2) và (3) ta cũng có x 2 ; z 2 . (5)
Trừ từng vế của (1) và (3) ta được: x3 y3 12 z 2 x2 48 z x 12 z x x z 4 . (6)
Theo (4) và (5) suy ra x3 y3 0 ; z x 0 ; x z 4 0 . Nên từ (6) suy ra x y z (7)
3
Thay (7) vào (1) ta được: x3 12 x2 48x 64 0 x 4 0 x 4 .
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x; y; z 4; 4; 4
Bài toán 30: Tìm x,
y, z biết x y z x y z .
12
Điều kiện: x; y; z 0 ; x y z 0 . Đặt x a2 ; y b2 ; z c 2 . Do a.b.c 0 nên ta có
a 2 b2 c 2 a b c a2 b2 c2 a b c a2 b2 c2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc
2
2b2 2ab 2ac 2bc 0 2b a b 2c a b 0 2 a b b c 0
a b 0
a b
b c 0
b c
Do đó x = y và z tuỳ ý
; y = z và x tuỳ ý
Hoặc cách giải khác:
x y z x y z x y z y x z x y z y 2 y x y x x z 2 xz
y x y z xz y x y z xz y x y yz xz 0
y x y z x y 0 x y y z 0 Do đó x = y và z tuỳ ý hoặc y = z và x tuỳ ý.
1
x
Bài toán31: Cho x > 0 , y > 0 và
Từ
1
1 . Chứng minh rằng:
y
1 1
1 . (1) Suy ra x > 1 ; y > 1 và các căn thức
x y
x y xy xy x y 1 1 x 1 y 1 1
x y x y2
x 1 y 1 2
x y x 1 y 1 .
x 1 ; y 1 tồn tại . Từ (1) suy ra
x 1 y 1 1 2 x 1 y 1 2
2
x 1 y 1 x y x 1 y 1 (đpcm).
Bài toán 32: Cho tam giác có số đo các đường cao là các số nguyên, bán kính đường
tròn nội tiếp tam giác bằng 1. Chứng minh tam giác đó là tam giác đều.
Giải:
Gọi x, y, z lần lượt là độ dài các đường cao ứng với các cạnh a, b, c của tam giác, đường cao
của tam giác luôn lớn hơn đường kính đường tròn nội tiếp tam giác đó, nghĩa là
x 2; y 2; z 2 . Vì x, y, z là các số nguyên dương nên
1 1 1 1 1 1
1. Mặt khác ta lại có:
x y z 3 3 3
1 1 1 a b c a bc 1
1 x y z 3 nên tam giác ABC đều.
x y z ax by cz
2S ABC
r
x 3; y 3; z 3
Bài toán 33: Cho phương trình x4 2mx2 4 0 (*) . Tìm giá trị của tham số m để
phương trình có 4 nghiệm phân biệt x1; x2 ; x3 ; x4 thoả mãn x14 x24 x34 x44 32 .
Giải:
2
Đặt x t 0 khi đó phương trình (*) trở thành t 2 2mt 4 0 (1) . Phương trình (*) có
nghiệm phân biệt nên phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt t1; t2 ngh ĩa l à:
m 2
' m 2 4 0
m 2 m 2
m 2
t1 t2 2m 0 m 0
m 0
t .t 4
t .t 4
1 2
1 2
Khi m <-2 thì phương trình (*) có 4 nghiệm x1;2 t1 ; x3;4 t2 và
x14 x24 x34 x44 2 t1 t2 4t1t2 8m2 16 . Từ giả thiết suy ra 8m2 13 32 m 6 vì m 2
2
13
Bài toán 34:
Chứng minh rằng nếu phương trình ax 4 bx3 cx2 2bx 4a 0 (a 0) (*) có hai nghiệm x1; x2
thoả mãn x1.x2 1 thì 5a2 2b2 ac .
Giải:
Nếu phương trình (*) có hai nghiệm x1; x2 thì đa thức bậc bốn ở vế trái của phương trình
phân tích được : ax 4 bx3 cx2 2bx 4a x x1 x x2 ax 2 mx n
x 2 px 1 ax 2 mx n
(vì x1.x2 1 và p x1 x2 )
ax4 m ap x3 a mp n x 2 m pn x n . Đồng nhất thức hai vế của phương trình trên ta
(1)
n 4a
m pn 2b (2)
được :
(3)
m ap b
a mp n c (4)
Giải hệ phương trình trên ta được 5a2 2b2 ac .
Cách giải 2: Vì x1 0 và x2
1
đều là nghiệm của phương trình (*) nên ta có:
x1
ax14 bx13 cx12 2bx1 4a 0 a x14 1 bx1 x12 1 0 x12 1 ax12 bx1 a 0
x1 1 x1 1 ax12 bx1 a .
Có ba trường hợp xảy ra
Trường hợp 1: Nếu x1 1 x1 x2 1 . Đa thức vế trái chia hết cho
x 1
2
x 2 2 x 1 nên đa thức dư đồng nhất phải bằng 0. Bằng phép chia đa thức cho đa thức
ta được:
4a b 2c 0
b 2a
5a 2 2b2 ac
a 2b c 0
c 3a
Trường hợp 2: Nếu x1 1 x2 x1 1. Tương tự trường hợp (1) ta cũng có 5a2 2b2 ac
Trường hợp 3: Nếu x1 1 thì x1; x2 là nghiệm của phương trình ax2 bx a 0 . Chia đa
thức (*) cho ax2 bx a ta được đa thức dư đồng nhất bằng 0 có
a bx 5a2 2b2 ac 0 5a2 2b2 ac .
Cách giải 3: Vì x 0 không là nghiệm của phương trình (*) nên chia hai vế cho x 2 ta
được: a x 2
2
4
4
2
b x c 0 (1) . Đặt y x x 2 2 y 2 4 nên phương trình trở
2
x
x
x
x
2
2
; y2 x2
thành ay 2 by 4a c 0 (2) . Đặt y1 x1
3 . Áp dụng định lý Viet cho
x1
x2
b
4a c
phương trình (2) y1 y2 ; y1. y2
. Thay vào (3) và biến đổi ta được 5a2 2b2 ac .
a
a
Phương trình (2) có hai nghiệm y1; y2 . Nếu y1 y2 x1 x2 mới chỉ là một nghiệm của
phương trình (2) vậy ta phải xét thêm các trường hợp 1) 2) như cách giải 2:
Bài tập về nhà về phương trình và hệ phương trình
1)Giải các phương trình sau:
a) x 3 x 2 x 9 x 18 168x KQ: x = 1; x = 36
14
b) 5x2 14 x 9 x2 x 20 5 x 1
5 61
x 8;
2
1) Giải các hệ phương trình sau:
x 1 y 4
a)
x y 7
x 1 y 1 8
b)
x x 1 y y 1 xy 17
2
2
x y xy 1
c) 3 3
x y x 3y
3
2
x xy 2000 y 0
d) 3 2
y x y 500 x 0
Bài tập về nhà:
1) 10 2 x 2 x 3 1
3) 5 32 x 2 5 1 x 2 4
5) x 4 20 x 4
7) x3 1 2 3 2x 1
KQ: x; y 3; 4
KQ: x; y 1;3 ; 3;1
KQ: x; y 1;0 ; 1;0
2) 48 x3 35 x3 13
4) 3 x 1 3 4 82 x
6) x 17 x2 x 17 x2 9
8) 8 x 5 x 5