SKKN DẠY HỌC CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN TẠO HỨNG THÚ CHO HỌC SINH THPT

Dạy học các bài toán thực tiễn tạo hứng thú cho học sinh
THễNG TIN CHUNG V SNG KIN
**********
1. Tờn sỏng kin:
DY HC CC BI TON THC TIN TO HNG TH CHO HC SINH THPT

2. Lnh vc ỏp dng sỏng kin: Chng trỡnh toỏn THPT c bn
3. Thi gian ỏp dng sỏng kin: T 9 - 2015 n 5 - 2016
4. Tỏc gi:
H v tờn

: Trnh Th Huyn

Nm sinh

: 1988

Ni thng trỳ

: Xó Yờn Tr, huyn í Yờn, Nam nh

Trỡnh chuyờn mụn: Thc s Toỏn hc
Chc v cụng tỏc: Giỏo viờn Toỏn
Ni lm vic: Trng THPT chuyờn Lờ Hng Phong - Nam nh
T l úng gúp to ra sỏng kin : 50%
5. ng tỏc gi
H v tờn: V Ngc Sn
Nm sinh: 1991
Ni thng trỳ: í Yờn Nam nh.
Trỡnh chuyờn mụn: C nhõn.
Chc v cụng tỏc: Giỏo viờn Toỏn

Ni lm vic: Trng THPT chuyờn Lờ Hng Phong Nam nh
T l úng gúp to ra sỏng kin : 50%
6. n v ỏp dng sỏng kin
Tờn n v: Trng THPT chuyờn Lờ Hng Phong Nam nh
a ch: 76 ng V Xuyờn, TP Nam nh
in thoi: 0350640297


D¹y häc c¸c bµi to¸n thùc tiÔn t¹o høng thó cho häc sinh
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Dạy học toán ở trường phổ thông theo định hướng gắn toán học với thực tiễn, thực
hiện nguyên tắc liên môn trong dạy học và tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh là
xu hướng đổi mới dạy học hiện nay. Quan điểm đổi mới dạy học trong tương lai (cụ thể
là quan điểm của chương trình, nội dung, sách giáo khoa mới từ năm 2018) là “định
hướng năng lực”, hay “định hướng kết quả đầu ra”. Với quan điểm này, chương trình
dạy học không quy định chi tiết nội dung dạy học mà quy định những kết quả đầu ra
mong muốn của giáo dục. Từ đó tạo điều kiện quản lý chất lượng theo kết quả đầu ra đã
quy định, nhấn mạnh năng lực vận dụng của học sinh.
Khi thực hành giảng dạy môn Toán, chúng tôi chung một suy nghĩ cũng là khó khăn
trong việc dạy học môn Toán là làm sao để HS cảm thấy vui vẻ hứng thú khi học toán.
Muốn vậy HS phải được biết học toán để làm gì, các kiến thức đưa ra trong sách giáo
khoa có ý nghĩa gì?...Sự thật là toán học có rất nhiều ứng dụng vào thực tế , rất gần gũi
với cuộc sống xung quanh mà chúng ta không để ý mà thôi. Nó cho HS những công cụ
đắc lực để giúp các em giải quyết các vấn đề, tình huống đơn giản trong thực tế.
Mục đích của dạy học toán nói chung, với lưu ý biết mô hình hoá toán học các tình
huống thực tiễn được xem là yếu tố cơ bản của năng lực hiểu biết toán – năng lực đã và
đang được chương trình đánh giá quốc tế PISA khảo sát ở nhiều nước trên thế giới trong
đó Việt Nam ta tham gia vào năm 2012 nhằm mục đích cải thiện chất lượng đào tạo.
Với những lý do trên, sáng kiến đã tập hợp, biên soạn và sáng tạo ra một số tình
huống thực tiễn, mang lại cho chúng tôi và các giáo viên một số ví dụ minh hoạ cho các

nội dung kiến thức SGK chương trình THPT và giúp HS có hứng thú hơn trong học tập
môn Toán.

1


Dạy học các bài toán thực tiễn tạo hứng thú cho học sinh
II.

C S Lí LUN V THC TIN

1. Thc trng dy v hc Toỏn vi ni dung gn vi thc tin
a. Ni dung thc tin xut hin trong SGK v cỏc thi nc ta
Theo nh giỏo u tỳ Trn D Sinh : thc t cho thy chng trỡnh dy hc Toỏn
trng ph thụng vn cũn nng v tớnh hn lõm, thiu thc tin cuc sng.Chng trỡnh
v SGK Toỏn trong t thay CT v SGK ca ta gn õy nht ó cú nhiu c gng a vo
mt s bi toỏn thc tin, tuy nhiờn vn cũn tớnh im xuyt. . Chỳng tụi cho rng cú th
do nhng nguyờn nhõn chớnh sau õy:
Th nht, do nh hng trc tip ca sỏch giỏo khoa v ti liu tham kho: S lng
bi tp mang ni dung thun tỳy Toỏn hc cng nh kin thc dnh cho mi tit hc l khỏ
nhiu ó khin nhiu giỏo viờn vt v trong vic hon thnh k hoch bi ging; s lng
bi toỏn, cht lng v quy mụ bi toỏn ng dng vo thc tin rt ớt cỏc ch mụn
Toỏn trong ging dy; mt lý do na l do kh nng liờn h kin thc Toỏn hc vo thc
tin ca ca giỏo viờn Toỏn cũn gp nhiu khú khn. Trong khi ú thỡ ta thy i vi mt
s nc cú nn giỏo dc hin i trờn th gii nh M, Singapore, Anh, Phỏpthỡ trong
thi HSG ca h luụn cú cõu hi thc tin, suy lun logic
Th hai, do yờu cu vn dng Toỏn hc vo thc t khụng c t ra mt cỏch
thng xuyờn v c th trong quỏ trỡnh ỏnh giỏ (tc l trong cỏc thi khụng cú nhng
ni dung nh vy). Chỳng tụi qua tỡm hiu thy cú thi tuyn sinh vo lp 10 ca tnh
Tha Thiờn Hu v trng Quc hc Hu, mt s kỡ thi Mỏy tớnh cm tay cú cp ti

cỏc bi toỏn cú ni dung thc tin.
Mt khỏc, li dy phc v thi c (ch chỳ ý nhng gỡ hc sinh i thi) nh hin nay cng
l mt nguyờn nhõn gúp phn to nờn tỡnh trng ny.
Ngoi ra cú th k n mt nguyờn nhõn khỏc na: trong Chng trỡnh v quỏ trỡnh
o to cỏc trng i hc v cao ng S phm, tỡnh hỡnh "ng dng" (trong giỏo trỡnh,
trong ỏnh giỏ, trong dy hc,...) cng xy ra tng t. Do ú nh hng trc tip n
tim nng dy cỏc vn ng dng Toỏn hc ca cỏc thy giỏo, cụ giỏo.
Nh vy, vic tng cng rốn luyn cho hc sinh ng dng Toỏn hc vo thc tin ó
c coi l xuyờn sut ton b quỏ trỡnh dy hc Toỏn ph thụng.
b. Thc trng dy toỏn gn vi thc tin nc ta v nhu cu hiu bit toỏn hc
ca HS hin nay
2


D¹y häc c¸c bµi to¸n thùc tiÔn t¹o høng thó cho häc sinh
Mục đích của dạy học toán, là phải mang lại cho học sinh những kiến thức phổ
thông, những kỹ năng cơ bản của người lao động, qua đó rèn luyện tư duy logic, phát
triển năng lực sáng tạo, góp phần hình thành thế giới quan và nhân sinh quan đúng đắn
cho các em. Quan điểm này đã dẫn đến khái niệm hiểu biết toán. Theo PISA, “hiểu biết
toán là năng lực của một cá nhân, cho phép xác định và hiểu vai trò của toán học trong
cuộc sống, đưa ra những phán xét có cơ sở, sử dụng gắn kết với toán học theo những cách
khác nhau nhằm đáp ứng nhu cầu cuộc sống của cá nhân đó với tư cách là một công dân
có tinh thần xây dựng, biết quan tâm và biết phản ánh” .
Do đó, xu hướng đổi mới hiện nay là không nặng về mức độ nắm các nội dung có
mặt trong chương trình giảng dạy, mà chú trọng vào khả năng sử dụng các kiến thức đã
học vào thực tiễn và năng lực xử lý các tình huống mà họ có thể đối mặt trong cuộc sống
sau khi rời ghế nhà trường.
Chúng tôi đã làm một khảo sát nhỏ về việc Sự hiểu biết, quan tâm của HS với
những ứng dụng thực tế của toán học. ( Phiếu khảo sát Xem phần phụ lục)
Và kết quả thu được như sau:

Dựa vào Phiếu điều tra dành cho HS (xem phần phụ lục 1), chúng tôi đã tiến hành
điều tra 140 HS ở lớp 10 trường THPT chuyên Lê Hồng Phong vào cuối tháng 4 năm học
2015-2016 thu được kết quả sau:
Bảng 1. Bảng thống kê về mức độ cần thiết của môn Toán trong cuộc sống
Mức độ

Tỉ lệ (%)

Rất cần thiết

80%

Cần thiết

17%

Không cần thiết

3%
Bảng 2. Bảng thống kê về nhu cầu

muốn biết về những ứng dụng thực tế của Toán học trong cuộc sống

Nhu cầu biết về ứng dụng thực tế của môn Toán
3

Tỉ lệ (%)


D¹y häc c¸c bµi to¸n thùc tiÔn t¹o høng thó cho häc sinh

Có

98

Không

2

Biểu đồ 1. Biểu đồ đánh giá mức độ khó của môn Toán

Mức độ khó của Toán
2.00% 10.00%
48.00%

40.00%

Rất khó
Khó
Không khó lắm
Dễ

Dựa vào các thống kê, biểu đồ trên chúng ta thấy rằng đa số HS nhận thức được tầm quan
trọng của môn Toán (17% cho rằng Toán học là cần thiết và có đến 80 % cho rằng nó rất
cần thiết cho cuộc sống) cũng như rất muốn biết về ứng dụng của nó trong thực tế cuộc
sống (98%). Tuy nhiên có đến một nửa số HS được hỏi nghĩ rằng môn Toán là môn học khó
(40%) hoặc rất khó (10%).
Đối với câu hỏi số 8- một hoạt động trong bài học về góc và cung lượng giác chương
trình SGK Đại số nâng cao 10. Học sinh tỏ ra thích thú không chỉ biết về một khái niệm
địa lý được định nghĩa bởi toán học mà còn biết thêm về ý nghĩa của việc sử dụng đơn vị
hải lý trong ngành hàng hải.

Câu hỏi số 9- câu hỏi chúng tôi lấy từ đề khảo sát PISA tạo ra một thú vị nhỏ bởi các câu
trả lời khác nhau của các em. Quan trọng hơn là các em thích thú với vấn đề rất gần gũi
trong cuộc sống như vậy.
2. Tìm kiếm và tập hợp các ví dụ thực tiễn ứng dụng toán học
a. Làm thế nào để tìm kiếm và tập hợp các ví dụ thực tiễn ứng dụng toán học?
Đây là một câu hỏi mà các nhà giáo dục, giáo viên… còn băn khoăn. Hiện nay, giáo dục
Việt Nam không nhiều các tài liệu bàn về lĩnh vực này. Bản thân chúng tôi cũng chưa
được tiếp cận tài liệu chính thống nào chỉ rõ các nguyên tắc, các bước hoặc có nhiều các
ví dụ minh hoạ một cách đầy đủ về việc tìm kiếm và xây dựng ví dụ thực tiễn hoặc tích
hợp liên môn ứng dụng toán học.
4


Dạy học các bài toán thực tiễn tạo hứng thú cho học sinh
Qua t tỡm hiu v kinh nghim, chỳng tụi nhn thy cỏc vớ d thc tin ng dng
toỏn hc cú th c tỡm thy thụng qua cỏc hot ng nh:
- Nghiờn cu khoa hc lun tri thc: lch s hỡnh thnh ca cỏc khỏi nim, quỏ
trỡnh phỏt trin ca tri thc, ý ngha thc tin ca tri thc
- Tham kho t cỏc mụn hc khỏc, c bit l cỏc mụn khoa hc t nhiờn.
- Tỡm kim trong cỏc ti liu, c bit l ti liu, sỏch giỏo khoa nc ngoi, tỡm
kim trờn Internet.
- Tham kho cỏc vn cuc sng cú nhiu yu t toỏn hc trong ú nh thng
kờ, ngõn hng, chng khoỏn, bo him
b. Phng phỏp xõy dng vớ d thc tin toỏn hc
Mt phng phỏp xõy dng vớ d hiu qu nht l phng phỏp mụ hỡnh hoỏ.
Toỏn hc hoỏ cỏc tỡnh hung thc t (mụ hỡnh hoỏ)
Quỏ trỡnh mụ hỡnh hoỏ toỏn hc c mụ t gm 4 bc:
Bc 1: Xõy dng mụ hỡnh trung gian ca vn , tc l xỏc nh cỏc yu t cú
ý ngha quan trng nht trong h thng v xỏc lp cỏc quy lut m chỳng ta phi tuõn
theo.

Bc 2: Xõy dng mụ hỡnh toỏn hc cho vn ang xột, tc l din t li di
dng ngụn ng toỏn hc cho mụ hỡnh trung gian. Lu ý l ng vi vn ang xem
xột cú th cú nhiu mụ hỡnh toỏn hc khỏc nhau, tu theo ch cỏc yu t no ca h
thng v mi liờn h no gia chỳng c xem l quan trng.
Bc 3: S dng cỏc cụng c toỏn hc kho sỏt v gii quyt bi toỏn hỡnh
thnh bc 2. Cn c vo mụ hỡnh ó xõy dng cn phi chn hoc xõy dng
phng phỏp gii cho phự hp.
Bc 4: Phõn tớch v kim nh li cỏc kt qu thu c trong bc 3. Trong
phn ny phi xỏc nh mc phự hp ca mụ hỡnh v kt qu tớnh toỏn vi vn
thc t hoc ỏp dng phng phỏp phõn tớch chuyờn gia.
Quỏ trỡnh mụ hỡnh hoỏ cú th c túm lc qua s sau:

5


Dạy học các bài toán thực tiễn tạo hứng thú cho học sinh

B


c
3
:
G
i

i
Bc1: Bc2:
Bc4:G
ii

V
nthc
toỏntrong
thớchkt
M
ụ
h
ỡ
n
h
M
ụ
h
ỡ
n
h
tin
m
ụhỡnh
trunggian toỏnhc toỏn qu,ktlun
Ging dy toỏn hin nay ti Vit Nam ang tp trung bc 3, bi vỡ:
- Chng trỡnh, ni dung, sỏch giỏo khoa ch yu trỡnh by bc 3;
- Cỏc thi cng tp trung ni dung bc 3;
- Giỏo viờn gii bc 3 v cha cú nhiu kinh nghim cỏc bc cũn li.
Vi tinh thn i mi, chỳng tụi ó ng dng tỡm kim, tham kho t nhiu ngun t liu
khỏc nhau , cú m bo s tụn trng, k tha, phỏt trin Chng trỡnh, sỏch giỏo khoa hin
hnh , xõy dng cỏc ng dng toỏn hc phc v ging dy v cng ó tp hp c
mt s tỡnh hung. Phn tip sau s trỡnh by nhng kt qu t c trong quỏ trỡnh tỡm
kim v sỏng to ca chỳng tụi.
III. NI DUNG GII PHP

Vi phm vi thc hin ca ti, chỳng ti ch gii thiu mt s tỡnh hung thc
tin gn vi chng trỡnh toỏn THPT. Ni dung ca cỏc tỡnh hung c tỏc gi su tm
t nhiu ngun ti liu khỏc nhau: SGK hin hnh, SGK nc ngoi, din n khoa hc
trờn mng Internet, cỏc bỏo cỏo chuyờn , SKKN , tp chớ giỏo dc, , sỏch v phng
phỏp dy hc trong nc v mt s tỡnh hung do tỏc gi t thit k trong thc t ging
dy ca bn thõn.
Ni dung sỏng kin gm 2 phn:
Phn I: Bi toỏn cú ni dung thc tin trong chng trỡnh lp 10
Phn II: Bi toỏn cú ni dung thc tin trong chng trỡnh lp 11

6


D¹y häc c¸c bµi to¸n thùc tiÔn t¹o høng thó cho häc sinh
Phần I: BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN TRONG CHƯƠNG TRÌNH
LỚP 10
1. Hàm số cho bởi nhiều công thức
Bài 1. Giá cước của hãng Taxi Mai Linh được niêm yết như sau trong giai đoạn từ
16/09/2015 tại TP Hồ Chí Minh

a) Hãy biểu diễn hàm số thể hiện số tiền phải trả tính theo biến x là số km. Giả sử
khách hàng đi một chiều.
b) Tính số tiền mà khách hàng phải trả khi đi 550m, 8km, 35km.
c) Nếu khách phải trả 250.000đ, thì anh ta đã đi bao nhiêu km?
2. Hàm số bậc hai
Bài 2. Dây truyền đỡ nền Cầu treo có dạng Parabol ACB như hình vẽ. Đầu cuối của dây
được gắn chặt vào điểm A và B trên trục AA' và BB' với độ cao 30m. Chiều dài nhịp
A'B' = 200m. Độ cao ngắn nhất của dây truyền trên nền cầu là OC = 5m. Xác định
chiều dài các dây cáp treo (thanh thẳng đứng nối nền cầu với dây truyền)?
y

B

B'

A(100;30)
M3
M2
M1
y3 30m
C
y2
O 5m y
1
A'
200m
7

x


D¹y häc c¸c bµi to¸n thùc tiÔn t¹o høng thó cho häc sinh
Bài 3. Khi một vật được ném lên thì chiều cao h(m) so với mặt đất theo thời gian t (giây)
được tính bởi hàm số h(t )  5t  v0t  h0 (với �0 là vận tốc ban đầu, ℎ0 (m) là độ cao
ban đầu của vật). Một quả bóng được cầu thủ Di Maria đá lên từ mặt đất với vận tốc ban
đầu là 20m/giây.
2

a) Tính chiều cao cực đại của quả bóng.
b) Sau bao lâu, bóng sẽ rơi xuống mặt đất?
3. Bất đẳng thức Cauchy

Bài 4. Người ta phải cưa một thân cây hình trụ để được một cây xà hình khối chữ nhật có
thể tích cực đại. Hỏi cây xà phải có tiết diện như thế nào?
Bài 5. Với một tấm kim loại hình chữ nhật, phải làm một cái máng mà tiết diện là một
hình thang cân. Bề rộng của mặt bên và góc giữa nó với một đáy phải bằng bao nhiêu để

tiết diện của máng có diện tích cực đại?
z
x

8

y

z
x


D¹y häc c¸c bµi to¸n thùc tiÔn t¹o høng thó cho häc sinh
Bài 6. Cần phải làm cái cửa sổ mà, phía trên là hình bán nguyệt, phía dưới là hình chữ
nhật, có chu vi là a mét (a chính là chu vi hình bán nguyệt cộng với chu vi hình chữ nhật
trừ đi độ dài cạnh hình chữ nhật là dây cung củaS1hình bán nguyệt). Hãy xác định các kích
thước của nó để diện tích cửa sổ là lớn nhất?
S2
2x

Bài 7. Một tấm tôn rộng 32 cm được dùng để tạo thành máng xối bằng cách gập hai bên
một góc 90° như hình vẽ. Diện tích mặt cắt ngang của máng xác định lưu lượng nước
chảy. Tìm x để lưu lượng nước chảy qua máng là nhiều nhất.

Mặt

cắt
ngang

4. Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bài 8. Theo biểu đồ phân bố chỉ số IQ test theo tỉ lệ dân số từ trang web testiq.vn thì chỉ
x  100 �15
số IQ của 68% dân số thỏa mãn công thức
, với � là chỉ số IQ. Xác định
khoảng IQ của 68% dân số này.

5. Bất phương trình chứa căn thức
Bài 9. Người ta lắp đặt một hệ thống tích nước trên mái nhà bằng hệ thống ống dẫn như
sơ đồ bên. Hệ thống gồm hai ống nằm xiên để dẫn nước vào một ống thẳng đứng nối với
hồ chứa. Người ta chỉ có tổng cộng 11 mét ống. Tìm những vị trí có thể đặt điểm M.
9


D¹y häc c¸c bµi to¸n thùc tiÔn t¹o høng thó cho häc sinh

6. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Bài 10. Một đoàn thám hiểm vùng cực hiện cách căn cứ 240 km. Trong vòng 48 giờ tới
sẽ có một cơn bão tuyết ập đến. Đoàn phải di chuyển càng nhiều càng tốt bằng tàu rồi đi
bộ về căn cứ đoạn đường còn lại trước khi cơn bão đến. Đoàn thám hiểm có thể điều
khiển tàu phá băng với vận tốc 12km/h hoặc đi bộ với vận tốc 3km/h. Viết và vẽ hệ bất
phương trình xác định khoảng thời gian đoàn thám hiểm có thể đi bằng tàu phá băng rồi
đi bộ để trở về căn cứ trước khi cơn bão đến.

7. Công thức lượng giác cơ bản
Bài 11. Một công ty sản xuất dụng cụ trượt tuyết muốn kiểm tra độ ma sát của sản
phẩm trượt tuyết mới bằng cách đặt sản phẩm trên mặt phẳng băng. Mặt băng được nâng

dốc dần đến khi sản phẩm bắt đầu trượt xuống.

10


D¹y häc c¸c bµi to¸n thùc tiÔn t¹o høng thó cho häc sinh
Tại thời điểm sản phẩm bắt đầu trượt, trọng lực thành phần chiếu lên phương di chuyển là

�� sin �, cân bằng với lực ma sát � = �� �cos �, với � là hệ số ma sát. Tính góc nghiêng của
mặt băng ngay khi dụng cụ trượt xuống, biết hệ số ma sát � = 0,14.
8. Toạ độ của vectơ
Bài 12. Lớp chia thành từng nhóm bốn bạn thực hiện trò chơi tiếp sức như sau: Người
thứ nhất nhìn bức ảnh vẽ các vectơ, sau đó dùng lời, mô tả các vectơ đó trên một tờ giấy
rồi chuyển cho người thứ hai. Người thứ hai sử dụng thông tin mô tả trên tờ giấy nhận
được rồi vẽ lại các vectơ như ban đầu trên một tờ giấy kẻ ô khác, sau đó chuyển hình vẽ
cho người thứ ba. Người thứ ba thực hiện như người thứ nhất rồi chuyển nội dung mô tả
cho người thứ tư. Người thứ tư vẽ lại các vectơ như mô tả của người thứ ba trên một tờ
giấy kẻ ô mới. Đội giành chiến thắng là đội vẽ đúng các vectơ bằng vectơ ban đầu trong
thời gian ngắn nhất.
Bạn hãy hướng dẫn để họ có thể giành chiến thắng.

9. Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Bài 13. Sơn và Dung ở về hai phía của một cây thông và cách nhau 12m. Từ mặt đất,
Sơn nhìn chếch lên ngọn cây một góc 360, còn Dung nhìn lên một góc 420.
Tính chiều cao của cây.

11


D¹y häc c¸c bµi to¸n thùc tiÔn t¹o høng thó cho häc sinh

Bài 14. Everest là ngọn núi cao nhất thế giới tính từ mặt nước biển (đây cũng là phần lồi
của ngọn núi). Tại hai điểm cách nhau 2.689 m trên mặt đất, người ta nhìn lên đỉnh núi
thấy góc lệch lần lượt là 300 và 350. Tính chiều cao ngọn Everest.

10. Tích vô hướng của hai vectơ
Bài 15. Công của lực �⃗ làm một chất điểm chuyển động một đoạn đường �⃗ được tính bởi
công thức � = �⃗ . �⃗. Hình vẽ sau mô tả một người đẩy chiếc xe di chuyển một đoạn 20m
với lực đẩy 50N, góc đẩy là 60°. Tính công của lực đã nêu.

11. Định lý cosin
Bài 16. Để xác định khoảng cách giữa hai cây ở bên kia bờ sông, người ta thực hiện như
sau: Tại một vị trí bên này sông, dùng máy trắc địa xác định được khoảng cách từđiểm đặt
máy đến từng cây lần lượt là 75m và 100m, xác định được góc nhìn từ máy đến hai cây là
320. Người ta đã tính toán thế nào để xác định khoảng cách giữa hai cây

12


D¹y häc c¸c bµi to¸n thùc tiÔn t¹o høng thó cho häc sinh

Bài 17. Ở thành phố Pisa có một cái tháp nghiêng nổi tiếng, trở thành biểu tượng của nước
Italia và tụ điểm của khách du lịch. Tháp cao 56m. Năm 1999, tháp nghiêng một góc
100 so với mặt đất. Để ổn định tháp, một kỹ sư đã đề nghị nối một đoạn cáp từ đỉnh tháp
đến một điểm trên mặt đất cách chân tháp 40m. Hỏi cần phải sử dụng đoạn cáp dài bao
nhiêu? Đồng thời tính góc tạo bởi đoạn cáp và mặt đất.

12. Định lý sin
Bài 18. Tại một trạm kiểm lâm, người ta phát hiện có đám cháy. Cách đài kiểm lâm 50m
có một bồn nước. Bằng máy trắc địa, người ta đo được góc nhìn tại đài kiểm lâm giữa

bồn nước và đám cháy là 340, góc nhìn tại bồn nước giữa đài kiểm lâm và đám cháy là
970. Xác định khoảng cách từ bồn nước đến đám cháy.

13.Phương trình elip
Bài 19. Hình vẽ sau biểu diễn quỹ đạo hình Elip của Sao thuỷ, khoảng cách ngắn nhất
13


D¹y häc c¸c bµi to¸n thùc tiÔn t¹o høng thó cho häc sinh
giữa Sao thuỷ và Mặt trời là 47 triệu km, khoảng cách xa nhất giữa Sao thuỷ và Mặt trời
là 69 triệu km. Theo định luật Kepler, khoảng cách trung bình từ một hành tinh trong
Thái dương hệ đến Mặt trời bằng nửa độ dài trục lớn của quỹ đạo Elip của nó.
a) Tính khoảng cách trung bình từ Sao thuỷ đến Mặt trời.
b) Viết phương trình biểu diễn quỹ đạo của Sao thuỷ (gốc toạ độ là tâm của quỹ
đạo, Mặt trời là một tiêu điểm của quỹ đạo).

14. Các bài toán về Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Bài 20. Một công ty cần thuê xe vận chuyển 140 người và 9 tấn hàng hóa. Nơi cho thuê
xe chỉ có 10 xe hiệu MITSUBISHI và 9 xe hiệu FORD. Một chiếc xe hiệu MITSUBISHI
có thể chở 20 người và 0,6 tấn hàng. Một chiếc xe hiệu FORD có thể chở 10 người và 1,5
tấn hàng. Tiền thuê một xe hiệu MITSUBISHI là 4 triệu đồng, một xe hiệu FORD là 3
triệu đồng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí thấp nhất?
Bài 21. Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm. Mỗi kg sản phẩm loại I cần 2kg nguyên
liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40000 đồng. Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4 kg nguyên liệu
và 15 giờ, đem lại mức lời 30000 đồng. Xưởng có 200kg nguyên liệu và 120 giờ làm việc.
Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu để có mức lời cao nhất?
Bài 22. Nhân dịp tết Trung Thu, Xí nghiệp sản xuất bánh Trăng muốn sản xuất hai loại bánh:
Đậu xanh, Bánh dẻo nhân đậu xanh. Để sản xuất hai loại bánh này, Xí nghiệp cần: Đường, Đậu,
Bột, Trứng, Mứt, ... Giả sử số đường có thể chuẩn bị được là 300kg, đậu là 200kg, các nguyên
liệu khác bao nhiêu cũng có. Sản xuất một cái bánh đậu xanh cần 0,06kg đường, 0,08kg đậu và

cho lãi 2 ngàn đồng. Sản xuất một cái bánh dẻo cần 0,07kg đường, 0,04kg đậu và cho lãi 1,8 ngàn
đồng.
Cần lập kế hoạch để sản xuất mỗi loại bánh bao nhiêu cái để không bị động về
đường, đậu và tổng số lãi thu được là lớn nhất (nếu sản xuất bao nhiêu cũng bán hết)?
14


Dạy học các bài toán thực tiễn tạo hứng thú cho học sinh
Bi 23. Cụng ty Bao bỡ Dc cn sn xut 3 loi hp giy: ng thuc B 1, ng cao Sao
vng v ng "Quy sõm i b hon". sn xut cỏc loi hp ny, cụng ty dựng cỏc tm
bỡa cú kớch thc ging nhau. Mi tm bỡa cú hai cỏch ct khỏc nhau.
Cỏch th nht ct c 3 hp B1, mt hp cao Sao vng v 6 hp Quy sõm.
Cỏch th hai ct c 2 hp B 1, 3 hp cao Sao vng v 1 hp Quy sõm. Theo k
hoch, s hp Quy sõm phi cú l 900 hp, s hp B 1 ti thiu l 900 hp, s hp cao Sao
vng ti thiu l 1000 hp. Cn phng ỏn sao cho tng s tm bỡa phi dựng l ớt nht?
15. Cỏc bi toỏn v Phng trỡnh, Bt phng trỡnh, H phng trỡnh, H bt
phng trỡnh bc hai:
Bi 24. Mt on tu ỏnh cỏ d nh ỏnh bt 1800 tn cỏ trong mt s ngy nht nh.
Do b bóo nờn trong 3 ngy u tiờn on ỏnh bt c ớt hn k hoch mi ngy 20 tn.
Trong cỏc ngy cũn li, on ỏnh bt vt hn k hoch 20 tn mi ngy. Vỡ vy on ó
hon thnh k hoch ỏnh bt trc thi hn 2 ngy. Hi theo k hoch mi ngy on tu
ỏnh bt bao nhiờu tn cỏ v thi gian ỏnh bt theo k hoch l bao nhiờu ngy?
Bi 25. Mt nhúm sinh viờn chốo mt du thuyn xuụi dũng t A n B cỏch A 20km ri
chốo ngc tr v A mt tng cng 7gi. Khi bt u chuyn i h thy mt bố g trụi
ngang qua A v hng B. Trờn ng tr v h gp li bố g v trớ cỏch A 12km. Tớnh
vn tc ca du thuyn khi i xuụi dũng v vn tc ca dũng nc.
Bi 26. Mt nhúm bn hựn nhau t chc mt chuyn du lch sinh thỏi (chi phớ chia u
cho mi ngi). Sau khi ó hp ng xong, vo gi chút cú hai ngi bn vic t xut
khụng i c. Vỡ vy mi ngi cũn li phi tr thờm 30000 ng so vi d kin ban
u. Hi s ngi lỳc u d nh i du lch, mi ngi theo d kin ban u phi tr bao

nhiờu tin v giỏ ca chuyn i du lch sinh thỏi ú, bit rng Bn hp ng giỏ ny trong
khong t 700000 ng n 750000 ng.
Bi 27. Hai cụng nhõn cựng lm chung mt cụng vic trong 3 gi 36 phỳt thỡ xong. Nu

1
ngi th nht lm trong 3 thi gian m riờng ngi th hai lm xong cụng vic v ngi
15


D¹y häc c¸c bµi to¸n thùc tiÔn t¹o høng thó cho häc sinh
1
thứ hai làm trong 3 thời gian mà riêng người thứ nhất làm xong công việc thì cả hai
13
người làm được 18 công việc. Tính thời gian mỗi người làm riêng xong công việc.
Bài 28. Bạn An đến cửa hàng mua 12 đôi tất với tổng giá tiền là 240 ngàn, trong đó gồm 3
loại: loại 10 ngàn 1 đôi, 30 ngàn/đôi và 40 ngàn/đôi. Nếu An mua ít nhất mỗi loại 1 đôi thì
An đã mua bao nhiêu đôi loại 10 ngàn/đôi?
Bài 29. Lan hoàn thành khóa luận khoảng 40 trang(đánh thứ tự từ 1 đến 40), mỗi trang
khoảng 240 từ. Nam và Bình cùng giúp Lan đánh máy bài khóa luận đó. Nam bắt đầu gõ
từ trang 1 trở đi(đến 40) với tốc độ 36 từ/phút, Bình bắt đầu gõ từ trang 40 trở lại(từ 40 về
1) với tốc độ 54 từ/phút. Nếu Nam và Bình bắt đầu gõ cùng lúc thì sau bao nhiêu phút sẽ
gõ xong bài giúp Lan?
Bài 30. Bà Vân mua bữa trưa cho 25 học sinh của mình. Một chiếc bánh pizza cho 3 người
ăn có giá 100 ngàn, chiếc bánh pizza dành cho 4 người ăn có giá 140 ngàn. Biết rằng
không thể mua một phần chiếc bánh, hỏi bà Vân phải dùng ít nhất bao nhiêu tiền để mua
bữa trưa cho 25 học sinh?

16

Dạy học các bài toán thực tiễn tạo hứng thú cho học sinh
Phn II: BI TON Cể NI DUNG THC TIN TRONG CHNG TRèNH
I S V GII TCH 11
1. Dóy s Fibonacci

Bi 1: Th con dn n dóy s Fibonacci:
Mt nụng dõn mua mt ụi th nuụi. Thỏng u tiờn ụi th y sinh c mt
ụi th con, thỏng th hai sinh mt ụi na v dng li. Cỏc ụi th con n lt mỡnh li

sinh 2 ụi khỏc
(mi thỏng sinh
mt ụi) ri cng
dng li. Hi c
mi thỏng ngi
nụng dõn cú bao
nhiờu ụi th?
1 ụi
ụi th b m Th h th nht Th h th 2 Th h th 3 Th h th 4 Th h th 5 Th
1
h th 6 Th h th 7
Hỡnh 4

ụ

i
tr li cõu hi ny, ta cú s cỏc ụi th k t ụi th mua v u tiờn
2
Trc ht vit s 1 cho ụi th mua v v mt s 1 na cho ụi th conụsinh thỏng th
nht (th h F1). Thỏng th 2 c 2 ụi th ny u sinh con nờn phi vit
i s 2 (th h F2).

n õy ụi th ngi nụng dõn mua ban u ngng sinh.

3

ụ
Thỏng tip theo th h F1 sinh 1ụi, th h F2 sinh 2 ụi th nờn th h F3 cú 3 ụi nờn cú 5
i
ụi th h F4. Nh vy mi thỏng ch cú 2 th h sau cựng sinh , nờn s th tip theo l
5 ụi
tng ca s th sau cựng cng li. Nhng s c lp thnh nh vy c gi l dóy s
8 ụi
Fibonacci (Fibonacci l bit danh ca Lộonard Pisano-nh toỏn hc ngi í).
13 ụi
17
21 ụi


D¹y häc c¸c bµi to¸n thùc tiÔn t¹o høng thó cho häc sinh

Bài 2: Dòng họ loài ong: Ong đực chỉ có mẹ và ong cái có cả bố và mẹ. Hỏi ong đực có bao
nhiêu tổ tiên ở đời thứ n?

Đời thứ nhất (mẹ), đời thứ 2 (1 đực và 1 cái), đời thứ 3 có 3 (vì ở đời thứ 2 có 1 ong
đực và 1 ong cái. Ong đực thì có mẹ, còn ong cái có cả bố và mẹ) đời thứ tư có 5 (vì ở đời
thứ ba có 1 ong đực và 2 ong cái). Như vậy ta thấy rằng số ong ở đời thứ n nào đó bằng
tổng số ong của 2 đời liền trước đó nên ta có dãy số:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,
2. Cấp số nhân
Bài 3: Qua điều tra chăn nuôi bò ở tỉnh Thanh Hóa ngày 01/10/2015 cho thấy số lượng đàn
bò khoảng 224 063 con, tăng 3,7% so với cùng kì năm 2014. Tính xem, sau một kế hoạch

3 năm, với tỷ lệ đàn bò tăng như trên đây, số lượng đàn bò sẽ đạt đến bao nhiêu con?
Sau đây là một số câu chuyện thú vị về cấp số nhân trong đời sống.
Câu chuyện 1: “Một phần thưởng thú vị”
Một người nông dân được nhà Vua thưởng cho một số tiền trả trong 30 ngày và cho
phép anh ta chọn 1 trong 2 phương án:
Theo phương án 1: nhà Vua cho anh ta nhận 1 xu trong ngày thứ nhất, 2 xu trong
ngày thứ 2, 4 xu trong ngày thứ 3,…Số tiền nhận được sau mỗi ngày tăng gấp đôi. Còn theo
18


Dạy học các bài toán thực tiễn tạo hứng thú cho học sinh
phng ỏn 2, nh Vua cho anh ta nhn ngy th nht 1 ng, ngy th hai 2 ng, ngy th
ba 3 ng, Mi ngy s tin tng thờm 1 ng. Bit 1 ng bng 12 xu.
Hi phng ỏn no cú li cho ngi nụng dõn?
Cõu chuyn 2: Mt ho i ly nm xu
Tng truyn, vo mt ngy n, cú mt nh toỏn hc n gp 1 nh t phỳ v
ngh c bỏn tincho ụng theo cụng thc sau:
Liờn tc trong 30 ngy, mi ngy nh toỏn hc bỏn cho nh t phỳ 10 triu ng
vi giỏ 1 ng ngy u tiờn v k t ngy th hai, mi ngy nh t phỳ phi mua vi
giỏ gp ụi ca ngy hụm trc. Khụng mt chỳt n o, nh t phỳ ng ý ngay tc thỡ,
lũng thm cm n nh toỏn hc n ó mang li cho ụng ta mt c hi ht tin nm m cng
khụng thy.
Hi: nh t phỳ ó lói c bao nhiờu trong cuc mua bỏn k l ny?
Vn dng cp s nhõn trong lnh vc ti chớnh - ngõn hng.
Bi 4: Mt d ỏn u t ũi hi chi phớ hin ti l 100 triu ng v sau 3 nm nú s em
li 150 triu ng. Vi lói sut 8%, hóy ỏnh giỏ xem cú nờn thc hin d ỏn ny khụng?
Bi 5: Bn nh mua mt chic xe mỏy theo phng thc tr gúp. Theo phng thc ny
sau mt thỏng bn nhn c xe bn cn tr mt lng tin nht nh no ú, liờn tip trong
44 thỏng. Gi s giỏ xe mỏy thi im bn mua l 16 triu ng v gi s lói sut ngõn
hng l 1% mt thỏng. Vi mc phi tr hng thỏng l bao nhiờu thỡ vic mua xe tr gúp l

chp nhn c?
Bi 6: Mt ngõn hng quy nh i vi vic gi tin tit kim theo th thc cú kỡ hn nh
sau: Khi kt thỳc kỡ hn m ngi g khụng n rỳt tin thỡ ton b s tin c vn v lói s
c chuyn gi tip vi kỡ hn m ngi ó gi. Gi s cú mt ngi gi 10 triu ng
vi kỡ hn 1 thỏng vo ngõn hng núi trờn v gi s lói sut ca loi kỡ hn ny l 0,4%
a, Hi sau 6 thỏng, k t ngy gi, ngi ú n ngõn hng rỳt tin thỡ s tin c
bao nhiờu?
19


D¹y häc c¸c bµi to¸n thùc tiÔn t¹o høng thó cho häc sinh
b, Hỏi sau 1 năm, kể từ ngày gửi, người đó đến ngân hàng để rút tiền thì số tiền được
bao nhiêu?

Sinh học là môn khoa học tự nhiên nên nó liên quan nhiều đến Toán học. Toán học
giúp các nhà sinh học xử lí các thông số sinh học trong nghiên cứu khoa học ở các cấp độ
khác nhau của thế giới sinh sống cũng như áp dụng toán học vào dạy học môn sinh học ở

trường phổ thông.
Bài 7. Mỗi vi khuẩn E.coli cứ sau 20 phút lại tách làm đôi. Hỏi sau 24 giờ từ một vi khuẩn E.coli
ban đầu sản sinh ra tất cả bao nhiêu vi khuẩn?

Bài 8.Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày (nghĩa là sau 138 ngày
khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn lại một nửa). Tính (chính xác đến phần trăm) khối
lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau 7314 ngày (khoảng sau 20 năm).
N
Bài 9. Trong phản ứng phân hạch nguyên tố Urani 235. Giả sử ban đầu có 0 hạt nơtron, ở lần
n
phân hạch thứ n sinh ra N 0 .2 nơtron, biết mỗi phân hạch tỏa ra năng lượng 200MeV. Hỏi nếu
ban đầu có 1 hạt nơtron thì sau 10 lần phân hạch tỏa ra năng lượng bao nhiêu MeV.

20


D¹y häc c¸c bµi to¸n thùc tiÔn t¹o høng thó cho häc sinh

Bài 10: Trong một tam giác cân có một vòng tròn nội tiếp, ở phía trên có một vòng tròn thứ
2 tiếp xúc với hình tròn thứ nhất và tiếp xúc với các cạnh bên của tam giác. Phía trên hình
tròn thứ 2 là hình tròn thứ 3, cứ như thế, toàn bộ góc ở đỉnh của tam giác được lấp đầy bởi
một dãy hình tròn có bán kính ngày càng nhỏ. Số lượng của chúng là vô hạn. Lúc này
đường kính của các hình tròn tạo thành một cấp số nhân lùi vô hạn (vì tỉ số của đường kính
hình tròn thứ 2 với hình tròn thứ nhất, giữa hình tròn thứ 3 với hình tròn thứ 2, là một số
không đổi và nhỏ hơn 1)
Vấn đề đặt ra là nếu ta cộng liên tiếp các đường kính các
hình tròn thì sao? Không cần dùng công thức tính tổng của cấp số
nhân lùi vô hạn. Chỉ cần xoay tất cả các hình tròn lại sao cho
đường kính của chúng thẳng đứng. Như vậy tổng vô hạn sẽ hoàn
toàn bằng một đại lượng hữu hạn-chiều cao của tam giác.
3. Cấp số cộng
Bài 11: Người ta trồng 3003 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây,
hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ 3 có 3 cây,…Hỏi có bao nhiêu hàng cây?
Bài 12: Lan muốn mua vài món quà tặng mẹ và chị nhân ngày 8/3. Lan quyết định tiết
kiệm tiền từ ngày 1/1 của năm đó với ngày đầu là 500 đồng, ngày sau cao hơn ngày trước là
500 đồng. Hỏi đến đúng ngày 8/3 Lan có đủ tiền để mua quà cho mẹ và chị không? Biết
món quà Lan dự định mua khoảng 800 ngàn đồng
21


D¹y häc c¸c bµi to¸n thùc tiÔn t¹o høng thó cho häc sinh
Bài 13: Một công ty trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho các kĩ sư theo

phương thức sau:Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ty là 4,5 triệu đồng/quý, kể
từ quý làm việc thứ 2, mức lương sẽ được tăng thêm 0,3 triệu đồng mỗi quý. Hãy tính tổng
số tiền lương một kỹ sư nhận được sau 3 năm làm việc?
Bài 14: “ Em chọn phương án nào?”.
Khi ký hợp đồng lao động dài hạn với các kỹ sư được tuyển dụng, công ty liên
doanh A đề xuất hai phương án trả lương để người lao động tự lựa chọn:
Phương án 1: Người lao động sẽ nhận được 36 triệu đồng cho năm làm việc đầu
tiên, và kể từ năm làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 3 triệu đồng mỗi năm.
Phương án 2: Người lao động sẽ nhận được 7 triệu đồng cho quý làm việc đầu tiên,
và kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 500000 đồng mỗi quý.
Nếu em là người kí hợp đồng với công ti liên doanh A thì em sẽ chọn phương án nào?
Bài 15: Bài toán tiền công khoan giếng:
- Ở cơ sở A: giá của mét khoan đầu tiên là 8000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá
của mỗi mét sau tăng thêm 500 đồng so với giá của mét khoan ngay trước nó.
- Ở cơ sở B: giá của mét khoan đầu tiên là 6000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá
của mỗi mét sau tăng thêm 7% giá của mét khoan ngay trước nó.
a) Một người muốn chọn một trong hai cơ sở nói trên để thuê khoan giếng sâu 20
mét để lấy nước dùng cho sinh hoạt gia đình. Hỏi người đó nên chọn cơ sở nào, nếu chất
lượng cũng như thời gian khoan giếng của 2 cơ sở là như nhau?
b) Cũng như câu hỏi ở câu b với giả thiết độ sâu của giếng cần khoan là 25mét?
Bài 16. Bạn Nam đọc 15 cuốn sách, mỗi lần đọc 1 cuốn, đọc hết cuốn này mới đọc sang
cuốn khác. Cuốn đầu tiên, Nam cần 1 ngày để đọc xong, cuốn thứ 2 cần 2 ngày, cuốn thứ 3
cần 3 ngày, và cứ tiếp tục như vậy, mỗi cuốn sách đọc sau cần nhiều hơn 1 ngày để đọc
xong so với cuốn đọc trước đó. Biết Nam đọc xong cuốn thứ nhất trong ngày thứ Hai, hết
ngày thứ Tư thì đọc xong cuốn thứ 2. Vậy lúc Nam đọc xong cuốn thứ 15 thì đó là ngày thứ
22


Dạy học các bài toán thực tiễn tạo hứng thú cho học sinh
my trong tun?

Ch 2: Gii hn ca dóy s:
Bi 17: Trong quõn s cú bi toỏn vt n trng bn: ta tng tng mi vt n trờn
mc tiờu trng bn nh mt im c ỏnh du bi s th t ca nú. Nhng hỡnh trũn
ca mc tiờu v cuc thi bn c xem nh kộo di vụ hn. Ta gi nhng phn t c
ỏnh s ca tp hp cỏc vt n l cỏc s hng ca mt dóy. Nh vy dóy l mt tp vụ hn
cỏc phn t c ỏnh s.
Nu tip tc theo dừi cuc thi bn thỡ s tỡm ra nhng hỡnh nh núi v dóy s v
v gii hn
-Vi x th gii, dự ly hỡnh trũn nh bao nhiờu, bt u t mt ln bn no ú tr
i cỏc vt n tip sau u ri vo hỡnh trũn ú. Theo cỏch núi ca Toỏn hc cú ngha l dóy
cỏc vt n hng ti tõm bia, tõm bia l gii hn ca cỏc vt n.
- Cũn vi x th cũn non kinh nghim thỡ dự chn trc hỡnh trũn cú bỏn kớnh no ú
bao gi cng cú mt viờn n cú s th t ln hn nm ngoi gii hn ca hỡnh trũn ó
trn. Theo cỏch núi ca Toỏn thỡ dóy cỏc vt n khụng dn ti tõm hỡnh trũn
Bi 18: Nờn chia ko cho cỏc cu bộ nh th no? Tt nhiờn l phi cu mt na - mỡnh mt
na.
Ngi cú ko phi chia nú lm hai phn bng nhau cho bn. Phn thu c cng
phi chia lm ụi phõn cho bn ca mỡnh. C nh vy cú th chia cỏi ko thnh mt
phõn s tựy ý, ln ca cỏc phn chia liờn tip gim dn ti khụng: Mt cỏi ko, na cỏi
ko, phn t cỏi ko, phn tỏm, phn mi sỏu v c nh vy cỏi ko ban u c th nh
dn, dự cho trc mt ln no, bt u t mt phn chia no ú tt c cỏc phn chia tip
sau s nh hn ln cho trc.
S kin ny c din t mt cỏch cht ch theo Toỏn hc nh sau: S dn tin ti
khụng cú ngha l vi mt lõn cn nh tựy ý ca 0 ( di thng c biu th bng )
bao gi cng tỡm c mt s th t m mi s hng cú s th t ln hn ca dóy phi nm
trong lõn cn ú
23


Dạy học các bài toán thực tiễn tạo hứng thú cho học sinh

Bi 19 : Gii hn v nng lng th thao ca con ngi Trong [23, tr. 154] sgk i s v
gii tớch lp 11 nõng cao cú trỡnh by (khụng chng minh) nh lý: Dóy s gim v b chn
di thỡ cú gii hn hu hn. Bõy gi ta liờn h nh lý ny vo lnh vc th thao
Cỏch õy khụng lõu thỡ thnh tớch m cỏc vn ng viờn chy 100m cn c gng l
9s v bõy gi ó t c. Cú th khng nh mt nh quỏn quõn tng lai no ú s rỳt
ngn c thi gian thờm 1 n 2 giõy. Ta xem k lc v chy c li 100m nh cỏc s hng
ca mt dóy s no ú. Nh toỏn hc gi nú l dóy n iu. Nu khng nh c rng
khụng cú ai cú th chy 100m ớt hn 2 giõy thỡ ta núi rng cỏc s hng ca dóy s ca chỳng
ta b chn di. Theo nh lý trờn thỡ trờn bc thang kt qu chy 100m cú mt mc m
dóy cỏc k lc s dn ti. Dự chn mt lõn cn nh tựy ý ca mc, mi s hng ca dóy bt
u t mt s hng no ú s nm trong lõn cn. Dóy cỏc k lc cú th dn ti gii hn m
khụng t ti gii hn ú. K lc hụm nay khỏc vi gii hn mt phn mi giõy thỡ k lc
tip sau s cú th khỏc nm phn trm, k lc tip theo khỏc mt phn trm, tip theo na l
mt phn nghỡn v mi kt qu ng sau l mt k lc vỡ nú nh hn kt qu ng trc. Ta
núi dóy s cỏc k lc chy 100m ca con ngi cú gii hn
Bi 20: Chiu cao ca con ngi:
C mi ln sinh nht con ngi cha li ỏnh du chiu cao v cn thn ghi chiu cao
vo bờn cnh. Qua nm thỏng, cu bộ ln dn lờn ó to nờn mt bc thang ton b cỏc
vch du trờn khung ca. ú l dóy cỏc tng chiu cao t nm ny qua nm khỏc. Cỏc
vch du trờn khung ca xớch li gn nhau v n mt thi gian no ú chỳng ngng tng.
Núi theo Toỏn hc thỡ dóy cỏc chiu cao ghi trờn khung ca cú gii hn v dóy cỏc tng
chiu cao ca con ngi t nm ny qua nm khỏc gim dn n khụng
Bi 21: Ngi bỏn hng cũn thiu kinh nghim cõn hng:
Sau 2 ln xỳc v a gúi ng lờn cõn nhng ng quỏ nhiu phi xỳc bt ra.
Xỳc mt na muụi ra v gúi ng li c t lờn cõn. Ln ny thỡ s ng li ớt hn. Li
xỳc vo, li tha li xỳc ra, khi lng ng trc mi ln cụ bỏn hng thờm vo hoc bt
ra lp thnh mt dóy. Cỏc s hng ca dóy ny khi thỡ dng (lỳc cụ bỏn hng xỳc ng
ra) khi thỡ õm(lỳc thờm vo). Theo cỏch núi ca Toỏn hc, dóy ny tin dn ti gii hn
do ngi mua ng nh trc.
24