SKKN Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức

Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán PT, HPT, BPT, BĐT
A. MỞ ĐẦU
Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức là các
phần quan trọng trong chương trình toán phổ thông và thường gặp trong các kỳ
thi học sinh giỏi, tuyển sinh đại học, cao đẳng. Phương trình, hệ phương trình,
bất phương trình, bất đẳng thức được đề cập nhiều trong các tài liệu tham khảo
với nhiều phương pháp giải đa dạng và phong phú. Trong quá trình học tập và
giảng dạy, ta bắt gặp nhiều bài toán về phương trình, hệ phương trình, bất
phương trình, bất đẳng thức mà việc giải quyết chúng là không hề đơn giản,
buộc ta phải sử dụng một phương pháp đặc biệt nào đó. Vì vậy, trong phạm vi
bài viết này, với mong muốn giúp các em học sinh có thêm một công cụ hữu
hiệu giải quyết các bài toán về phương trình, hệ phương trình, bất phương trình,
bất đẳng thức trong các kỳ thi học sinh giỏi và tuyển sinh đại học, cao đẳng
trong toàn quốc nên tôi chọn đề tài “Sử dụng phương pháp hàm số giải bài
toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức”.
Nội dung đề tài được trình bày thành ba phần chính, trong mỗi phần tác
giả trình bày theo trình tự: Kiến thức cơ sở, một số ví dụ có lời giải cụ thể và bài
tập đề nghị.
Phần I. Sử dụng tính đơn diệu của hàm số để giải phương trình, hệ
phương trình, bất phương trình.
Ở phần này, tác giả dẫn ra các ví dụ cơ bản tương tự như trong chương
trình sách giáo khoa Giải tích 12 cũng như các ví dụ ở mức độ cao hơn. Các ví
dụ được tác giả chú tâm trình bày cụ thể, gọn, rõ ràng từng bước theo đúng cơ
sở lý thuyết nhằm giúp học sinh dể hiểu, đặc biệt sau các ví dụ đều có bài tập tự
luyện.
Phần II. Sử dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số tìm giá trị
tham số để phương trình, bất phương trình và hệ phương trình có nghiệm.
Tương tự phần trên, ngoài những ví dụ cơ bản làm quen, tác giả trình bày
các đề thi đại học những năm gần đây một cách công phu, rõ ràng để minh họa,
nhằm giúp học sinh rèn luyện kỹ năng trình bày dạng toán này.
Phần III. Sử dụng tính đơn điệu, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm

số để chứng minh bất đẳng thức.
Bài toán bất đẳng thức là bài toán khó chịu đối với học sinh, ngoài
phương pháp dùng các bất đẳng thức cổ điển để chứng minh, ta có thể dùng
Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng

1


Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán PT, HPT, BPT, BĐT
phương pháp hàm số. Vì vậy, trong phần này tác giả đã trình bày cụ thể quy
trình chứng minh một bất đẳng thức bằng phương pháp dùng hàm số thông qua
những ví dụ điển hình và bài tập đề nghị.
Mặc dù bản thân đã cố gắng nhiều nhưng bài viết có thể còn những thiếu
sót, rất mong quý thầy cô và bạn bè đồng nghiệp góp ý để bài viết được sửa
chữa và hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn!
Hà tĩnh, ngày 06 tháng 01 năm 2012
Tác giả

Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng

2


Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán PT, HPT, BPT, BĐT
B. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
I- Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình,
bất phương trình.
1. Kiến thức cơ sở
- Nếu hàm số f ( x ) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D thì
+) Phương trình f ( x ) = k có không quá một nghiệm trên D .

+) Với x, y ∈ D, f ( x ) = f ( y ) ⇔ x = y.
- Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến và hàm số y = g ( x ) nghịch biến trên D
thì phương trình f ( x ) = g ( x ) có không quá một nghiệm trên D .
- Nếu đồ thị hàm số y = f ( x ) là lồi (lõm) trên khoảng ( a; b ) thì phương
trình f ( x ) = k có không quá hai nghiệm trên khoảng ( a; b ) .
2. Một số ví dụ và bài tập đề nghị
Ví dụ 1. Giải phương trình 3x = 4 − x.
Giải
- Tập xác định ¡
- Ta có

3x = 4 − x ⇔ 3x + x − 4 = 0.

x
- Xét hàm số f ( x ) = 3 + x − 4

Tập xác định ¡ .
f ' ( x ) = 3x ln 3 + 1 > 0 ∀x ∈ ¡ .

Do đó, hàm số f ( x ) đồng biến trên ¡ .
Mặt khác f ( 1) = 0.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
Bài tập đề nghị
1. Giải phương trình log x = 11 − x .
2

2

2. Giải phương trình 9 x − (13 − x 2 ).3x − 9x2 + 36 = 0 .
 x2 + x + 3 

log
= x 2 + 3x + 2
Ví dụ 2. Giải phương trình 3  2
÷
 2x + 4x + 5 

Giải
- Tập xác định ¡ .
Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng

3


Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán PT, HPT, BPT, BĐT
- Ta có,
 x2 + x + 3 
2
log 3  2
÷ = x + 3x + 2 .
2
x
+
4
x
+
5


⇔ log 3 ( x 2 + x + 3) + ( x 2 + x + 3) = log 3 (2 x2 + 4 x + 5) + (2 x2 + 4 x + 5)

( *) .

- Xét hàm số f ( t ) = log3 t + t .
Tập xác định ( 0; +∞ ) .
f '( t ) =

1
+ 1 > 0 ∀t > 0.
t ln 3

Suy ra, hàm số f ( t ) đồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) .
2
2
2
2
- Do đó, ( *) ⇔ f ( x + x + 3) = f (2x + 4x + 5) ⇔ x + x + 3 = 2x + 4x + 5

 x = −1
⇔ x 2 + 3x + 2 = 0 ⇔ 
 x = −2.

Vậy phương trình có nghiệm x = −1, x = −2.
Bài tập đề nghị
3
3
 x − 3 y = y − 3x
1. Giải hệ phương trình  2 2
2x − y = 4.
3
3

 x + 3 y = y + 3x
2. Giải hệ phương trình  2 2
3x + y = 1.

 x + 3 + 10 − y = 5

3. Giải hệ phương trình 

 y + 3 + 10 − x = 5.

 x 3 − y 3 + 3 y 2 − 3x − 2 = 0
4. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm  2
2
2
 x + 1 − x − 3 2 y − y + m = 0.

Ví dụ 3. Giải phương trình 3x = 2 x + 1.
Giải
- Tập xác định ¡ .
- Ta có,
3x = 2 x + 1 ⇔ 3x − 2 x − 1 = 0

( *) .

x
- Xét hàm số f ( t ) = 3 − 2 x − 1 .

Tập xác định ¡ .
Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng

4


Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán PT, HPT, BPT, BĐT
f ' ( x ) = 3x ln 3 − 2 ∀x ∈ ¡ .
f '' ( x ) = 3x ln 2 3 > 0 ∀x ∈ ¡ .

- Mặt khác, x = 0 và x = 1 là hai nghiệm của phương trình ( *) .
- Vậy phương trình có nghiệm x = 0 , x = 1.
Bài tập đề nghị
1. Giải phương trình

2011x + 2012 x = 4019 x + 4.

2. Giải phương trình

3x = 1 + x + log 3 (1 + 2x).

3. Giải phương trình

( 1 + cos x ) ( 2 + 4cos x ) = 3.4cos x.

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình

 x = y 3 + y 2 + y − 2 ( 1)

3
2
 y = z + z + z − 2 ( 2)


3
2
 z = x + x + x − 2 ( 3) .

Giải
3
2
Xét hàm số f ( t ) = t + t + t − 2

Tập xác định ¡ .
f ' ( t ) = 3t 2 + 2t + 1 ∀x ∈ ¡ .

Do đó, hàm số f ( t ) đồng biến trên ¡ .
Giả sử x = max { x; y; z} , suy ra x = f ( y ) ≥ f ( z ) = y và x = f ( y ) ≥ f ( x ) = z .
Từ đó ta có y ≥ z và y ≥ x , suy ra f ( y ) ≥ f ( z ) hay z ≥ x.
Do đó x ≥ y ≥ z ≥ x ⇒ x = y = z.
Với y = x, thế vào phương trình ( 1) ta có,
x 3 + x 2 − 2 = 0 ⇔ x = 1.

Vậy x = y = z = 1.
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình

 x + x 2 − 2 x + 2 = 3 y −1 + 1 ( 1)


 y + y 2 − 2 y + 2 = 3x −1 + 1 ( 2 )

( x, y ∈ ¡ ) .

Giải

- Từ hệ phương trình ta có x + x 2 − 2 x + 2 + 3x −1 = y + y 2 − 2 y + 2 + 3 y −1 ( *) .
- Xét hàm số f ( t ) = t + t 2 − 2t + 2 + 3t −1 ,
+) Txđ: ¡ .
Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng

5


Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán PT, HPT, BPT, BĐT
+) f ' ( t ) = 1 +

t −1
t − 2t + 2
2

+ 3t −1 ln 3 =

t 2 − 2t + 2 + t − 1
t − 2t + 2
2

+ 3t −1 ln 3 > 0 ∀t ∈ ¡ .

Do đó, ( *) ⇔ x = y.
- Với x = y thế vào phương trình ( 1) của hệ ta có,
x + x 2 − 2 x + 2 = 3x −1 + 1 ⇔ x − 1 + x 2 − 2 x + 2 = 3x −1 ( 3 ) .

(

)

x −1
2
- Từ phương trình ( 3) suy ra 3 x − 1 − x − 2 x + 2 = −1 ( 4 ) .
x −1
1− x
x −1
1− x
- Từ ( 3) và ( 4 ) suy ra: 3 − x + 1 = x − 1 + 3 ⇔ 3 − 3 − 2 ( x − 1) = 0 ( 5 ) .
x −1
1− x
- Xét hàm số f ( x ) = 3 − 3 − 2 ( x − 1) = 0 .

+) Txđ: ¡ .
x −1
1− x
x −1
1− x
+) f ' ( x ) = 3 ln 3 + 3 ln 3 − 2 = ln 3 ( 3 + 3 ) − 2 ≥ 2 ( ln 3 − 1) > 0 ∀x ∈ ¡ .

+) f ( 1) = 0.
Do đó, x = 1 là nghiệm duy nhất phương trình ( 5 ) .
Với x = 1 ⇒ y = 1 . Thử lại, ta có x = y = 1 là nghiệm của hệ đã cho.
Bài tập đề nghị
 x 3 + 3x − 3 + ln( x 2 − x + 1) = y
 3
2
1. Giải hệ phương trình  y + 3 y − 3 + ln( y − y + 1) = z.
 z 3 + 3z − 3 + ln( z 2 − z + 1) = x


 2x3 + 2x2 − 18 = y 3 + y
 3
2
3
2. Giải hệ phương trình 2 y + 3 y − 18 = z + z
 2z3 + 3z2 − 18 = x3 + x.

 x 3 + x 2 + 2x = 2 y 3 + 1
 3
2
3
3. Giải hệ phương trình  y + y + 2 y = 2z + 1
 z 3 + z 2 + 2z = 2x2 + 1.


Ví dụ 5. Giải bất phương trình

x + 6 − 7 − x ≥ 1.

Giải
Tập xác định D = [ −6;7 ] .
Xét hàm số f ( x ) = x + 6 − 7 − x .
Tập xác định D = [ −6;7 ] .
Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng

6


Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán PT, HPT, BPT, BĐT
f’(x) = f ( x ) =

1
1
+
> 0 ∀x ∈ ( −6;7 ) .
2 x+6 2 7−x

Vậy hàm số f ( x ) đồng biến trên đoạn [ −6;7 ] .
Mặt khác f ( 3) = 1, do đó x + 6 − 7 − x ≥ 1 ⇔ x ≥ 3.
Vậy bất phương trình có nghiệm [ 3;7 ] .
Bài tập đề nghị
1. Giải bất phương trình

x 3 + 3x2 + 6x + 16 < 2 3 + 4 − x .

2. Giải bất phương trình

6
8
+
< 6.
3− x
2− x

II - Sử dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số tìm giá trị tham số
để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm.
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên đoạn [ a; b] .
1. Kiến thức cơ sở
- Phương trình f ( x ) = m có nghiệm x thuộc đoạn [ a; b] khi và chỉ khi
min f ( x) ≤ m ≤ max f ( x ).

[ a ;b ]

[ a ;b ]

- Bất phương trình f ( x ) ≥ m có nghiệm x thuộc đoạn [ a; b] khi và chỉ khi
max f ( x ) ≥ m .
[ a ;b]

- Bất phương trình f ( x ) ≤ m có nghiệm x thuộc đoạn [ a; b] khi và chỉ khi
min f ( x ) ≤ m .
[ a ;b]

- Bất phương trình f ( x ) ≥ m nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn [ a; b] khi
và chỉ khi
min f ( x ) ≥ m .
[ a ;b]

- Bất phương trình f ( x ) ≤ m nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn [ a; b] khi
và chỉ khi
max f ( x ) ≤ m .
[ a ;b]

2. Một số ví dụ và bài tập đề nghị
Ví dụ 1. Tìm m để phương trình sau

4 x − 2 + 3 21 − 4 x − x 2 = m .

a) Có nghiệm.
Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng

7


Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán PT, HPT, BPT, BĐT
b) Có đúng một nghiệm.
c) Có hai nghiệm phân biệt.
Giải
Tập xác định D = [ −7;3] .
Xét hàm số f ( x ) = 4 x − 2 + 3 21 − 4 x − x 2 .
Hàm số liên tục trên D = [ −7;3] .
f '( x ) = 4 −

3(2 + x)
21 − 4 x − x 2

= ∀x ∈ ( −7;3) .

f ' ( x ) = 0 ⇔ 4 21 − 4 x − x 2 = 3(2 + x) .
 x ≥ −2
⇔
2
2
16 ( 21 − 4 x − x ) = 9 ( 2 + x )
 x ≥ −2

⇔   x = −6
  x = 2 ⇔ x = 2 ∈ ( −7;3)


Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x).

x

-7

2

f '( x)

3

+
15

10
f ( x)

10
-30

Từ bảng biến thiên ta có,
a) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi −30 ≤ m ≤ 15.
b) Phương trình có đúng một nghiệm khi và chỉ khi −30 ≤ m < 10 hoặc
m = 15.

c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 10 ≤ m < 15.
Ví dụ 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:
x 2 + 4x − m − x 2 − 4x − 3 + m + 2 = 0 ( m là tham số thực).

Giải
Điều kiện: −3 ≤ x ≤ −1, đặt − x 2 − 4 x − 3 = t.

Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng

8


Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán PT, HPT, BPT, BĐT
Ta có, t ∈ [ 0;1] và phương trình x 2 + 4x − m − x 2 − 4x − 3 + m + 2 = 0 ( 1) trở
thành:
t 2 + mt − m + 1 = 0 ⇔ t 2 + 1 = m ( −t + 1) ⇔

t2 +1
= m ( 2) .
−t + 1

( t = 1 không là nghiệm của phương trình với mọi tham số thực m ).
Phương trình ( 1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình ( 2 ) có nghiệm
t ∈ [ 0;1) .

Xét hàm số f ( t ) =

t2 +1
trên nửa khoảng [ 0;1) .
−t + 1

+) Hàm số liên tục trên nửa khoảng [ 0;1) .
f ( t ) = +∞ .
+) xlim
→1
−

+) f ' ( t ) =

2t ( −t + 1) + ( t 2 + 1)

( −t + 1)

2

=

−t 2 + 2t + 1

( −t + 1)

2

> 0∀t ∈ ( 0;1) .

+) Bảng biến thiên
x

0

1

f '( x)

+
+∞

10

f ( x)

1
Từ bảng biến thiên phương trình có nghiệm ∀m ∈ [ 1; +∞ ) .
Bài tập đề nghị
1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực
3 x − 1 + m x + 1 = 2 4 x2 − 1 .

2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực
x − 1 + 4 4 x 2 − 3x + 2 + ( m + 3) x − 2 = 0 .

3. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
91+

1− x 2

− ( m + 2)31+

1− x 2

+ 2m + 1 = 0 .

4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
4 ( sin 4 x + cos 4 x ) + ( 5 − 2m ) cos 2 x + 9 − 3m.
Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng

9

Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán PT, HPT, BPT, BĐT
5. Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt
4

2x + 2x + 2 4 6 − x + 2 6 − x = m .

6. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực duy nhất thuộc đoạn
 1 
 − 2 ;1 .
3 1 − x 2 − 2 x 3 + 2 x2 + 1 = m .

7. Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn
 π π
 − 4 ; 4 
sin 4 x + cos 4 x + cos 2 4x = m.
8. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực.
x+2
+ 2 8 + 2 x − x 2 − 14 − m = 0 .
4− x

x 2 − 2 x + m.( x − 4).

9. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực
4 6 + x − x 2 − 3x = m

(

)

x + 2 + 2 3− x .

10. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực
m

(

)

1+ x − 1− x − 2 = 2 1− x + 1+ x − 1− x .
2

2

4

2

2

Ví dụ 3. Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ≥ 1
− x 3 + 3mx − 2 < −13 ( *)
x

.

Giải
Ta có

− x 3 + 3mx − 2 < −13 ⇔ 3mx < x 3 − 13 + 2 ⇔ 3m < x 2 − 14 + 2 .

x
x
x
x

Xét hàm số

f ( x ) = x 2 − 14 + 2 ,
x
x

trên nửa khoảng [ 1; +∞ ) .

Hàm số liên tục trên nửa khoảng [ 1; +∞ ) .
f ′ ( x ) = 2 x + 45 − 22 ≥ 2 2 x  45 ÷ − 22 = 4 22− 2 > 0
x
x
x
x  x

Suy ra.

f ( x)

∀ x ≠ 0.

đồng biến trên khoảng (1; + ∞).

Do đó f ( x ) > 3m

∀x ≥ 1 ⇔ min f ( x ) = f ( 1) = 2 > 3m ⇔ 2 > m .
x ≥1
3

Bài tập đề nghị
Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng

10


Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán PT, HPT, BPT, BĐT
1. Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi giá trị
x ∈  2; 2 + 3 
x (4 − x ) + m( x 2 − 4x + 5 + 2) ≤ 0 .

2. Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi

x ∈ [ −4,6]

( 4 + x) ( 6 − x) ≤ x 2 − 2x + m .

3. Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi

x ∈ [ −3,6]

3 + x + 6 − x − 18 + 3 x − x 2 ≤ m 2 − m + 1 .

Ví dụ 4: Tìm m để phương trình:

x x + x + 12 = m ( 5 − x + 4 − x )

có nghiệm.

Giải
Chú ý: Nếu tính

f ′ ( x)

rồi xét dấu thì thao tác rất phức tạp, dễ nhầm lẫn.

Thủ thuật:
Đặt g ( x ) = x

1
x + x + 12 > 0 ⇒ g ′ ( x ) = 3 x +
>0
2
2 x + 12

h ( x ) = 5 − x + 4 − x > 0 ⇒ h′ ( x ) =

−1 −
1
<0.
2 5− x 2 4− x

1
Suy ra g ( x ) > 0 và tăng; h ( x ) > 0 và giảm hay h ( x )

Do đó

f ( x) =

g ( x)
h ( x)

tăng. Suy ra

f ( x) = m

>0

và tăng.

có nghiệm khi và chỉ khi

m ∈  min f ( x ) ;max f ( x )  = [ f ( 0 ) ; f ( 4 ) ] =  2 ( 15 − 12 ) ;12  .
[ 0;4]
 [ 0;4]


Bài tập đề nghị
1. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm mx + 1 ≤ x − 3 + 2m .
2. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
Ví dụ 5. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

x 3 + 3x 2 − 1 ≤ m ( x − x − 1 )

3

.

x + 1 + y + 1 = 5

x
y
 3
 x + 13 + y 3 + 13 = 15m − 10.
x
y


Giải
- Đặt

u = x + 1 ;v = y + 1
x
y

- Ta có,

(

.

x 3 + 13 = x + 1
x
x

)

3

(

)

− 3x ×1 x + 1 = u − 3u;
x
x

Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng

11


Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán PT, HPT, BPT, BĐT
u = x + 1 = x + 1 ≥ 2 x . 1 = 2;
x
x
x
v = y + 1 ≥ 2 y . 1 = 2.
y
y

- Khi đó hệ trở thành
-)

u, v

u + v = 5
u + v = 5
⇔
 3
3
uv = 8 − m.
u + v − 3 ( u + v ) = 15m − 10

nếu có là nghiệm của phương trình f ( t ) = t 2 − 5t + 8 = m.

- Do đó, hệ có nghiệm khi và chỉ khi phương trình
t1 , t 2

f ( t) = m

có 2 nghiệm

t1 ≥ 2; t 2 ≥ 2 .

thỏa mãn

- Bảng biến thiên của hàm số f ( t ) với
t

−∞

f ′( t)

–2

t ≥2

2

–

–

5/2
0

+∞
f ( t)

+∞

+
+∞

22
2

Nhìn bảng biến thiên ta có

7/4

7 ≤ m ≤ 2 ∨ m ≥ 22
.
4

Bài tập đề nghị
1. Chứng minh rằngvới mọi số thực dương m hệ phương trình sau có
nghiệm duy nhất
y − x = m
( m là tham số thực).
 x
y
e
−
e
=
ln(1
+
x
)
−
ln(1
+
y
)


 x + y = 4
2. Tìm m để hệ 
( m là tham số thực) có nghiệm
x
+
7
+
y

+
7
≤
m


( x; y )

thỏa mãn điều kiện x ≥ 9.

III - Sử dụng tính đơn điệu, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để
chứng minh bất đẳng thức.
1. Kiến thức cơ sở
- Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến trên đoạn [ a; b] thì
1) f ( a ) < f ( x ) < f ( b ) ∀x ∈ ( a, b ) .
2) f ( a ) ≤ f ( x ) ≤ f ( b ) ∀x ∈ [ a; b ] .
Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng

12


Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán PT, HPT, BPT, BĐT
- Nếu hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên đoạn [ a; b] thì
1) f ( a ) > f ( x ) > f ( b ) ∀x ∈ ( a, b ) .
2) f ( a ) ≥ f ( x ) ≥ f ( b ) ∀x ∈ [ a; b ] .
2. Một số ví dụ và bài tập đề nghị
Ví dụ 1. Chứng minh rằng cos x <

 π
sin 2 x

với x ∈  0; ÷.
2
 2
x

Giải
Xét hàm số f ( x ) =

 π
0; 2 ÷.

sin x
− x , trên khoảng nửa khoảng
cos x

 π
+) f ( x ) liên tục trên khoảng nửa khoảng 0; ÷ .
2


+) f '( x ) =



 π
1 + cos2 x − 2 cos x cos x
(1 − cos x ) 2
>
> 0 ∀ x ∈  0; ÷.
 2

2 cos x cos x
2 cos x cos x

 π
Do đó hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng  0; ÷.
2




sin 2 x
 π
> x 2 ∀x ∈  0; ÷ (đpcm).
Từ đó f(x) > f(0) ⇔ f ( x ) > f ( 0 ) ⇔
cos x
 2

Bài tập đề nghị
1. Chứng minh rằng
a) 1 -

x2
< cos x ∀x ≠ 0.
2!

x3
b) x − < sin x ∀x > 0.
3!

c) cos x < 1 −

x2 x4
∀x ≠ 0.
+
2! 4!

d) sin x < x −

x3 x5
∀x > 0.
+
3! 5!

e) e x ≥ 1 + x ∀x ∈ ¡ .
f) ln x <
g)

x
∀x ∈ ( 0; +∞ ) \ { e} .
e

x ln x 1
∀x ∈ ( 0; +∞ ) \ { e} .
<
x2 − 1 2

Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng

13

Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán PT, HPT, BPT, BĐT
3
 π
 sin x 
h) 
÷ > cos x ∀x ∈  0; 2 ÷.


 x 

2. Chứng minh rằng
π
2

a) sin x + tan x > 2 x ∀x ∈(0; ) .
b)

1
2
 π
tan x + sin x > x ∀x ∈  0; ÷.
2
3
 2

c) x (2 + cos x ) > 3sin x ∀x > 0.
d) sin x ≥

2

 π
x ∀x ∈  0;  .
π
 2

e) π x(1 − x ) < sin x ≤ 4 x(1 − x ) ∀x ∈ ( 0;1) .
3. Chứng minh rằng:
∀x > 0.

a) e x < 1 + xe x

b) e x − 1 − x < x 2 e x ∀x > 0.
x

c) x.e 2 < e x − 1

∀x > 0.

d) e x < (1 + x )1+ x

∀x > 0.

4. Chứng minh rằng

)

(

1
x

a) ln 1 + 1 + x 2 < + ln x ∀x > 0.
b) ln ( 1 + x ) <

x
1+ x

∀x > 0.

c) ( 1 − x ) ≥ x ln 2 x
2

d) ln ( 1 + cos x ) < ln 2 −

∀x > 0.

x2
4

∀x ∈ ( 0; π ) .

5. Chứng minh rằng:
 π
a) sin ( tan x ) ≥ x ∀x ∈ 0;  .


4

 π
b) tan ( sin x ) ≥ x ∀x ∈ 0;  .



4

Ví dụ 2. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình 12x2 − 6mx + m 2 − 4 +

12
= 0 ( 1) .
m2

Tìm m để A = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất.
Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng

14


Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán PT, HPT, BPT, BĐT
Giải
- Phương trình 12x2 − 6mx + m 2 − 4 +
và chỉ khi

12
= 0 ( 1) , có hai nghiệm phân biệt khi
m2

12 

∆ = 9m 2 − 12  m 2 − 4 + 2 ÷ ≥ 0
m 


 −2 3 ≤ m ≤ −2
3m 4 + 48m 2 − 144 ≥ 0
⇔
⇔
m ≠ 0
 2 ≤ m ≤ 2 3.

Theo định thức Viét ta có.
A = x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 )
3

3

3
12  m
m
=  ÷ −  m2 − 4 + 2 ÷
m 2
 3  12 
1
3
= m− ÷ .
2
m

Xét hàm số f ( m ) = m −
f '( m) = 1+

3
trên D =  −2 3; −2  ∪  2; 2 3  .

m

(

) (

)

1
> 0 ∀m ∈ −2 3; −2 ∪ 2; 2 3 .
m2

Bảng biến thiên
m

−2

−2 3

f '( m)

2
3

+

-

1
4

f ( m)

-

2 3

3 3
4
1
4

3 3
4

Dựa vào bảng biến thiên ta được
max A =

3 3
đạt được khi và chỉ khi m = 2 3 .
4

min A = −

3 3
đạt được khi và chỉ khi m = −2 3 .
4

Bài tập đề nghị

Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng

15


Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán PT, HPT, BPT, BĐT
1
1. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x 2 + ax + 2 = 0 . Tìm m để
a

P = x14 + x24 đạt giá trị nhỏ nhất.

2. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x 2 − ( a + 1) x + a 2 = 0 . Tìm giá
1

1

trị nhỏ nhất của P = x + x ×
1
2
 x2 y2 
 x y
Ví dụ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của f ( x; y ) = 3  2 + 2 ÷ − 8  + ÷ ( x, y ≠ 0 ) .
x 
 y x
y

Giải
x

y

Đặt t = y + x ×
Ta có,
+) t =

x y
x
y
+ = + ≥ 2.
y x
y x

+) Hàm số đã cho trở thành
f ( t ) = 3 ( t 2 − 2 ) − 8t ⇒ f ( t ) = 3t 2 − 8t − 6 t ∈ ( −∞; 2] ∪ [ 2; +∞ ) .
f ( t ) liên tục trên các tập ( −∞; 2] , [ 2; +∞ ) .
f ' ( t ) = 6t − 8 ∀t ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ )
f '( t ) = 0 ⇔ t =

4
∉ ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ )
3

Bảng biến thiên
t

−∞

f '( t )

-2
+

+∞

2

4
3

3

0

-

+∞
f ( t)

+∞

22
20

Bài tập đề nghị
1. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P =

sin 2 x + 2sin x + 3
×
sin 2 x + 3sin x + 4

2. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P = 2sin x + 21+cos x .
2

2

3. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng

16


Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán PT, HPT, BPT, BĐT
 x4 y4 
 x2 y 2   x y 
P =  4 + 4 ÷ − 2  2 + 2 ÷ +  + ÷ ( x; y ≠ 0 ) .
x 
x  y x
y
y

4. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
P = cos2 x +

1
1
+ cos x +
−4.
2
cos x

cos x

Ví dụ 4: Cho các số dương x, y thoả mãn x 2 + y 2 = 1 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P =

4 y 2 + 2 xy − 1
×
2 xy − 2 x 2 + 3

Giải
Nếu x = 0 thì từ giả thiết x + y = 1 ta có y = 1 , suy ra P = 1 .
2

2

Nếu x ≠ 0 thì đặt y = tx ( t ≥ 0 ) . Từ giả thiết ta có
x2 + y 2 = 1 ⇔ x2 + t 2 x2 = 1 ⇔ x2 =

Ta có, P =

1
.
1 + t2

4t 2 x 2 + 2tx 2 − 1 3t 2 + 2t − 1
=
.
2tx 2 − 2 x 2 + 3 3t 2 + 2t + 1

Xét hàm số f ( t ) =

3t 2 + 2t − 1
trên nửa khoảng [ 0; +∞ ) .
3t 2 + 2t + 1

12t 2 + 4t
f '( t ) = 2
∀t ∈ ( 0; +∞ ) .
(3t + 2t + 1) 2
t = 0 ∈ ( 0; +∞ )
f '( t ) = 0 ⇔ 
t = − 1 ∉ ( 0; +∞ ) .

3

Bảng biến thiên
t
f '( t )

+∞

0
+

f ( t)

1

-1
Từ bảng biến thiên ta có,

min P = −1 đạt được khi t = 0 ⇔ x = 1 và y = 0.
max P = 1 đạt được khi t = 0 ⇔ x = 0 và y = 1.

Bài tập đề nghị

Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng

17


Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán PT, HPT, BPT, BĐT
1. Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x 2 + y 2 = 1 . Tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

2( x 2 + 6xy )
.
1 + 2xy + 2 y 2

2. Cho hai số thực dương x, y thay đổi và thỏa mãn điều kiện xy ≤ y − 1 .
x2
y3
+
9
×
y2
x3
Ví dụ 5: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 2 + xy + y 2 = 1 . Tìm giá trị lớn nhất, giá

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

trị nhỏ nhất của biểu thức A = x 2 − xy + y 2 .
Giải
x 2 − xy + y 2
×
Ta có, A = x − xy + y = 2
x + xy + y 2
Nếu y = 0 thì x = ±1 và A = 1.
2

2

2

 x x
 y ÷ −  y ÷+ 1
    ×
Nếu y ≠ 0 thì A =
2
 x x
 y ÷ +  y ÷+ 1
   
x
t2 − t +1
t
=
A
=
f
t
=

×
Đặt
, ta được
( ) 2
y
t + t +1
2 ( t 2 − 1)
f '( t ) =
∀t ∈ ¡ , f ' ( t ) = 0 ⇔ t = ±1 .
2
2
t
+
t
+
1
(
)

Bảng biến thiên
t

−∞

f '( t )
f ( t)

-1
0
3

1
0

1

+∞

1
1
3

Từ bảng biến thiên ta có,
max A = 3 đạt được khi t = −1 hay ( x; y ) = ( 1; −1) , ( −1;1) .

1 
 1 1   1
;
;−
min P = −1 đạt được khi t = 1 hay ( x; y ) = 
÷,  −
÷.
3
3
 3 3 

Bài tập đề nghị
1. Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 2 + xy + y 2 = 1 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của biểu thức A = x 4 + y 4 − x 2 y 2 .

Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng

18


Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán PT, HPT, BPT, BĐT
2. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x + y = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
1

1

2
2
biểu thức P = x + x 2 + y + y 2 ×
2. Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn x + y = 1 . Tìm giá trị lớn nhất,
2
2
giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ( 4x + 3 y ) ( 4 y + 3x) + 25xy .

3. Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn ( x + y ) + 4xy ≥ 2 . Tìm giá trị
3

4
4
2 2
2
2
nhỏ nhất của biểu thức A = 3 ( x + y + x y ) − 2 ( x + y ) + 1 .

Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng

19


Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán PT, HPT, BPT, BĐT
C. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM VÀ KẾT LUẬN CHUNG
I. Kết quả thực nghiệm sư phạm
Đây là mảng kiến thức đòi hỏi tư duy cao, nên nội dung đề tài được tác
giả thực nghiệm sư phạm trong luyện thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi. Kết
quả cho thấy:
1) Sau khi giảng dạy chuyên đề này học sinh nắm sâu hơn về kiến thức
hàm số như: tập xác định, tập giá trị, tính đơn điệu, tính liên tục, giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất…
2) Cách phân dạng bài tập giúp học sinh dể hiểu, định hướng vấn đề, giải
quyết vấn đề một cách lôgic hơn. Học sinh vận dụng làm tốt một số đề thi đại
học, cao đẳng và đề thi học sinh giỏi ở phần này.
II. Kết luận chung
Các bài toán về phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng
thức là loại bài toán khó, đòi hỏi tư duy cao. Vì vậy, trong quá trình giảng dạy,
giáo viên cần phải phân dạng bài tập một cách có hệ thống và trình bày rõ ràng.
Đề tài chỉ là kinh nghiệm nhỏ, kết quả của sự nghiên cứu cá nhân. Rất mong
được sự đóng góp của đồng nghiệp.
D. KIÉN NGHỊ ĐỀ XUẤT
Trong khuôn khổ đề tài, tác giả mới dừng lại ở mức phân dạng và đưa ra
các ví dụ, bài tập đề nghị cụ thể. Xét thấy, phạm vi đề tài có thể được mở rộng,
phát triển bằng cách phân tích các ví dụ, bài tập để đưa ra các bài tập tương tự
và các bài tập ở mức độ cao hơn. Ví dụ, vận dụng bài toán
Chứng minh rằng cos x <

 π

sin 2 x
với x ∈  0; ÷, giáo viên có thể định hướng
2
 2
x

cho học sinh đi đến bài toán
Cho tam giác ABC nhọn với các góc tương ứng A, B, C. Chứng minh rằng:
cos A + cos B + cos C <

sin 2 A sin 2 B sin 2 C
+
+
×
A2
B2
C2

Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng

20