CHƯƠNG 3: QUAN HỆ VUÔNG GÓC

CHỦ ĐỀ 8: VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
A. LÝ THUYẾT
Cho các véc tơ tùy ý

r rr
a , b, c

k,l ∈ ¡

và

.

1. Cộng véc tơ:

Lấy điểm

O

uuu
r r uuur r
OA = a, AB = b,

tùy ý trong không gian, vẽ

Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm
2. Trừ véc tơ:

M , N, K

thì

bất kỳ thì

uuu
r r r
OB = a + b
uuuu
r uuuu
r uuur
MN = MK + KN

r r r
r
a − b = a + ( −b )
uuuu
r uuur uuuu
r
MN = KN − KM

Quy tắc ba điểm:

.

Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành

ABCD

ABCD. A′B ′C ′D′

Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp

ta có:

ta có

uuur uuu
r uuur
AC = AB + AD

uuuu
r uuu
r uuur uuuu
r
AC ′ = AB + AD + AA′

3. Tích véc tơ:
Tích của véc tơ

r
a

với một số thực

+) Cùng hướng với

r
a

+) Ngược hướng với

nếu
r
a

k >0

nếu

k

là một véc tơ. Kí hiệu là

r
k .a

.

k <0

.

r
r
k .a = k . a

+)
Hệ quả: Nếu

.

I

là trung điểm của

A, B, O

4. Tích vô hướng của hai véc tơ.
rr r r
r r
a.b = a . b .cos a, b

+) Định nghĩa:

( )

.

tùy ý thì

.

uuu
r uuu
r
uur
OA + OB = 2OI

.

.

+) Hệ quả:

r r
rr
a ⊥ b ⇔ a.b = 0

.

r2 r r r 2
a = a.a = a

+)

.

+) Với ba điểm

A, B, C

AB. AC =

ta có

+) Quy tắc hình chiếu: Cho hai véc tơ
thẳng chứa

r
b

thì:

r r ur r
a.b = a′.b

5. Định nghĩa: Ba véc tơ
mặt phẳng.

AB 2 + AC 2 − BC 2
2

r r
a, b

. Gọi

ur
a′

.

là hình chiếu vuông góc của

r
a

trên đường

.

r rr
a , b, c

gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song hoặc nằm trên một

6. Các định lý:
a) Cho
duy nhất).

r r
a, b

không cùng phương:

b) Nếu ba véc tơ

r
r
r
r
x = ma + nb + kc

với

r rr
a, b, c

m, n, k

r rr
a, b, c

r
r
r
⇔ ∃m, n ∈ ¡ : c = ma + nb

đồng phẳng

không đồng phẳng thì mọi véc tơ

r
x

( với

m, n

xác định

đều được biểu diễn dưới dạng:

xác định duy nhất.

B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN.
5

Cho tứ diện đều
Đặt

A.

ABCD M
G
BCD
AB
,
là trung điểm của cạnh
và
là trộng tâm cảu tam giác
.

uuur r uuur r uuur ur
AB = b, AC = c, AD = d

uuuu
r
1 r 1 r 1 ur
MG = − b + c + d
6
3
3

.

. Phân tích véc tơ

uuuu
r
MG

theo

B.

ur r r
d , b, c

.

uuuu
r 1 r 1 r 1 ur
MG = b + c + d
6
3
3

.


C.

uuuu
r
1 r 1 r 1 ur
MG = − b − c + d
6
3
3

.

D.

uuuu
r
1 r 1 r 1 ur
MG = − b − c − d
6
3
3

.

Lời giải
Đáp án A

uuuu
r 1 uuur uuuu
r uuuu
r 1 1 uuu
r 1 uuur uuur 1 uuur uuur
MG = MB + MC + MD = . AB + MA + AC + MA + AD
3
3 2
3
3
r 2 uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuu
r 2  1 uuu
r  1 uuur 1 uuur

1 uuu
= AB + MA + AC + AD = AB + . − AB ÷+ AC + AD
6
3
3
3
6
3  2
3
 3
r 1 uuur 1 uuur
r
1 uuu
1r 1r 1u
= − AB + AC + AD = − b + c + d
6
3
3
6
3
3

(

6

)

Cho tứ diện đều
sau đây sai?.

(

) (

ABCD M
N
CD
AB
,
và theo thứ tự là trung điểm của cạnh
và
. Mệnh đề nào
uuuu
r 1 uuur uuur
MN = AD + BC
2
B. uuuur uuuur uuuur . r
MC + MD − 4MN = 0

(

uuur uuur uuur uuur
AC + BD = AD + BC

A. uuur uuur uuur uuur .
C.

)

uuuur
AC + BD + AD + BC = −4 NM

.

D.

Lời giải:
Đáp án D

uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
AC + BD = AD + DC + BC + CD = AD + BC

A.Đúng vì:

(

) (

)

.

)

.


uuur uuur uuuu

r uuuu
r uuur
uuuu
r uuuu
r uuur
AC + BD = AM + MN + ND + BM + MN + NC

(

B. Đúng vì:

) (

)

uuuu
r uuuu
r uuuu
r
uuur uuur
uuuu
r
= 2MN + AM + BM + ND + NC = 2 MN

(

) (

)

uuur uuur uuur uuur
uuur
uuur
uuur uuur
uuu
r uuur
uuuur
AC + BD + AD + BC = 2 AN + 2 BN = 2 AN + BN = −2 NA + NB = −4 NM

(

C.Đúng vì:
Vậy D sai
7

Cho tứ diện đều
1
2

A.

ABCD

có tam giác

.

đều,

AD = AC

−

0

B.

BCD

)

.

C.

1
2

(

)

.

uuur uuur
cos AB, CD

. Giá tri của

.

(

D.

3
2

)

là:

.

Lời giải:
Đáp án B

Gọi

N

là trung điểm của

AN ⊥ CD

CD

. Tam giác đều

BCD

nên

BN ⊥ CD

. Tam giác

ACD

cân tại

A

nên

ta có:

uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
AB.CD
AB.CD = AN + NB .CD = AN .CD + NB.CD = 0 ⇒ cos AB , CD = uuur uuur = 0
AB . CD

(

)

(

)

.
8

Cho tứ diện đều
a −c
b2
2

A.

ABCD

có

2

AB = CD = a; BC = AD = b; CA = BD = c

b −c
a2
2

.

B.

2

c −a
b2
2

.

C.

Lời giải
Chọn A

uuur uuur uuur uuur uuu
r uuu
r uuur uuu
r uuu
r
BC.DA = BC DC + CA = CB.CD − CB.CA

(

)

1
1
CB 2 + CD2 − BD2 ) − ( CB 2 + CA2 − AB 2 )
(
2
2
1
1

= ( AB2 + CD2 − BD2 − CA2 ) = ( 2a2 − 2c2 ) = a2 − c 2
2
2
=

uuur uuur
cos BC , DA

2

a −b
c2
2

.

(

. Giá trị của
D.

2

.

)

là:

uuur uuur
a2 − c2
a 2 − c2
cos BC , DA = uuur uuur =
.
b2
BC . DA

(

)

Vậy

9

( a)

ABCD
S
Trong mặt phẳng
cho tứ giác
và một điểm
tùy ý. Mệnh đề nào
sau đây đúng?
uuur uuur uuur uuur
AC + BD = AB + CD
A.
.
uur uuu

r uur uuur
S
SA + SC = SB + CD
B.
(Với
là điểm tùy ý).
uur uuu
r uur uuu
r
S
ABCD
SA + SC = SB + SD
C. Nếu tồn tại điểm
mà
thì
là hình bình hành.
uuu
r uuur uuur uuur r
O
AC
OA + OB + OC + OD = 0
BD
D.
khi và chỉ khi
là giao điểm của
và
.
Lời giải
Đáp án C
A. Sai vì

uuur uuur uuu
r uuur
uuur uuur uuur uuur r
AC + BD = AB + CD ⇔ AC − AB + DC − DB = 0 ⇔ B ≡ C

B. Sai vì: Gọi

O

uur uuu
r
uuu
r
SA + SC = 2 SO

và

và

O'

theo thứ tự là trung điểm của

uu
uu
rr uuur
uur uuu
r
uuur

u
u
SB + SD = 2 SO ' ⇔ SO = SO ' ⇔ O ≡ O '

AC

và

(Vô lí)

BD

. Ta có

điều này không đúng nếu

ABCD

không phải là hình bình hành.
C. Đúng – Chứng minh tương tự như ý B.

10

Cho hình hộp

ABCD. A ' B ' C ' D '

. Gọi

M

là trung điểm của

AA '

,

ABCD
hình
bình
hành
. Cặp ba vecto nào sau
đây
đồng phẳng?
uuuu
r uuu
r
uuuu
r uuu
r
uuuur
uuuuur
MO, AB
MO, AB
B 'C
A' D '
A. uuuu
và
.
B.

và
.
r uuuur
uuuu
r uuuur
uuuur
uuuuu
r
MO, DC '
MO, A ' D
B 'C
B 'C '
C.
và
.
D.
và
.
Lời giải
Đáp án A

O

là tâm của


Cách 1: Ta có
phẳng

MO // ( CDA ' B ' ) ; AB / / A ' B ' ⇒ AB // ( CDA ' B ' ) , B ' C '

( CDA ' B ')

uuuu
r uuu
r uuur
MO, AB, BC
nên các vecto

nằm trên mặt phẳng

( CDA ' B ')

nằm trong mặt

dồng phẳng vì có giá song song hay

.

uuuu
r
r uuuur 1 uuuuu
r uuuuu
r
r 1 uuuur
1
1 uuuuu
1 uuu
MO =
= A ' B ' + B ' C = A ' B ' + B ' C ' = AB + B ' C

A'C 2
2
2
2
Cách 2: Ta có
.
uuuu
r uuu
r uuur
MO, AB, BC

(

Vậy các vecto

11

)

(

)

đồng phẳng.

ABCD. M

N
CD
AB

Cho tứ diện
và
theo thứ tự là trung điểm của
và
. Bộ ba
vecto
nào dưới đây đồng phẳng?
uuur uuur uuur
uuur uuur uuuu
r
BC , BD, AD.
AC ; AD; MN .
A. uuur uuur uuuu
B. uuur uuur uuur
r
BC ; AD; MN .
AC ; DC ; MA.
C.
D.
Lời giải
Đáp án C

uuur uuuu
r uuuu
r uuur
AD = AM + MN + ND
uuur uuuu
r uuuu
r uuur
BC = BM + MN + NC

uuur uuur
uuuu
r uuuu
r 1 uuur 1 uuur
⇒ AD + BC = 2 MN ⇒ MN = AD + BC
2
2
uuur uuur uuuu
r
BC ; AD; MN .
Vậy ba vecto

12

đồng phẳng.

AB
MB = 2 MA N
là điểm trên đoạn
và
.
là điểm trên
uuuu
r uuur uuur
uuur
uuur
MN , AD, BC
CD
CN = kCD
đường thẳng

mà
. Nếu
đồng phẳng thì giá trị của
k
là:
2
3
4
1
k=
k=
k=
k=
3
2
3
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải

Cho tứ diện

Đáp án A

ABCD. M


Qua

M

vẽ mặt phẳng

song với

(α)
N

tại

cắt

AD

AC

. Ta có

và

tại

BC

P

,

song hay nằm trong mặt phẳng

Ta có

13

uuur 2 uuur
CN = CD
3

Cho hình hộp

k=
. Vậy

2
3

Tính

A.

1
3

.

.

B.

.

Đặt

P

uuuu
r 1 uuur
AM = AD.
N
2

là điểm trên đường thẳng

C.
Lời giải

và

CD

nên đồng phẳng.

1

2

.

D.

Đáp án B

uuur r uuur r uuur r
AB = a, AD = b, AA1 = c

và

có giá song

.

2
3

tại

MP //PN //AD
.
uuuu
r uuur uuur
MN , AD, BC

ABCD. A1 B1C1 D1 M
AD

.
là điểm trên cạnh
sao cho

là điểm trên đường thẳng
M , N, P
thẳng hàng.
uuuu
r
MN
uuur
NP

Q

BD

.

BD1

song

.

Các vecto

(α )

(α )

uuur
uuuu
r uuu
r
uuuu
r
r
BN = xBD1 ; CP = yCC1 = yc
STUDYTIP

.

3
4

.

CC1

sao cho


uuuu
r uuur
MN , NP

Ta biểu thi hai vecto
r r r
a , b, c

vecto

M , N, P
Ba điểm
Ta có:

thẳng hàng nên

uuuu
r
uuur
MN = α .NP ( 1)

uuuu
r uuur uuur uuur
MN = MA + AB + BN

theo các

.

uuuu
r
uuu
r uuur uuur
1r r
1r r
= − b + a + xBD1 = − b + a + x BA + BC + BB1
3
3

r
r
r
r
r
r 
1
1r r
= − b + a + x −a + b + c = ( 1 − x ) a +  x − ÷b + xc ( 2 )
3
3


(

(

)

)

Ta lại có:

uuur uuur uuur uuu
r
uuuu
r r
r
r r r r
r

NP = NB + BC + CP = − xBD1 + b + yc = − x b − a + c + b + yc
uuur
r
r
r
⇒ NP = xa + ( 1 − x ) b + ( y − x ) c ( 3 )

(

)

Thay (2), (3) vào (1) ta được:

1 − x = α x

 1
x − = α ( 1− x)
 3
 x = α ( y − x )
uuuu
r
MN 2
uuur =
NP 3
Vậy

14

. Giải hệ ta được

2
3
3
α = ,x = ,y =
3
5
2

.

.

111Equation Chapter 1 Section 1Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB, CB, AD và G là trọng tâm tam giác BCD,

uuur
NP

A.

. Khi đó
2
2

cos α

α

là góc giữa 2 vectơ

có giá trị là:

B.

2
3

C.

2
6

Đáp án: C
Lời giải:
uuu
r
uuur
uuur
AB = a; AC = b; AD = c;

Đặt
uuur 1 r r r
uuuu
r uuur uuuu
r 1 r
r
r
⇒ AG = ( a + b + c) ⇒ MG = AG − AM = ( −a + 2b + 2c )
3
6

uuur uuur uuu
r 1 r r r
PN = AN − AP = ( a + b − c)
2

Không mất tính tổng quát, giả sử độ dài các cạnh của tứ diện đều bằng 1

D.

1
2

uuuu
r
MG

và


rr rr rr
1
a.b = b.c = c.a = 1.1.c os600 =
2

r r r
⇒ a = b = c =1

và
uuuu
r uuur

uuuu
r uuur
MG.PN
⇒ cosα = cos( MG , PN ) = uuuu
r uuur
MG . PN

(*)

uuuu
r uuur 1 r
r
r r r r
⇒ MG.PN = (−a + 2b + 2c)(a + b − c )
12

Ta có:
rr
rr
rr r 2
1 r 2 r r rr uurr r 2
1
= (− a − ab + ac + 2ab + 2b − 2bc + 2ac + 2bc − 2c ) =
12
12
uuuu
r 1
r
r
r

1 uuur 1 r r r 2
2
MG =
(− a + 2b + 2c) 2 = ; PN =
( a + b − c) =
6
2
2
2

Thay vào (*) ta được
⇒ cosα ==

1
12
1 2
.
2 2

=

1
3 2

=

2
. (*)
6

C.Bài tập rèn luyện kỹ năng
Câu 1:

ABCD. A1 B1C1 D1
Cho
là hình hộp, với K là trung điểm CC 1. Tìm khẳng định đúng trong các
khẳng định sau:
uuur uuu
r uuur 1 uuur
uuur uuu
r uuur uuur
AK = AB + AD + AA1
AK = AB + BC + AA1
2
A.
B.
uuur uuur 1 uuur 1 uuur
uuur uuu
r uuur uuur
AK = AB + AD + AA1
AK = AB + AD + AA1
2
2
C.
D.
Hướng dẫn giải
uuur uuur uuur uuu
r uuur 1 uuur uuu
r uuur 1 uuur
AK = AC + CK = ( AB + AD) + AA1 = AB + AD + AA1

2
2

Có


B

A

C

D

K

A1

B1

C1

D1

Chọn A

Câu 2:

ABCD. A1 B1C1 D1

Cho hình hộp
với
uuuu
r 1 uuu
r 1 uuur 1 uuur
AM = AB + AD + AA1
2
2
2
A.
uuuu
r uuu
r uuur 1 uuur
AM = AB + AD + AA1
2
C.

M = CD1 ∩ C1 D

B.

D.

. Khi đó:
uuuu
r 1 uuu
r uuur 1 uuur
AM = AB + AD + AA1
2
2

uuuu
r 1 uuu
r 1 uuur uuur
AM = AB + AD + AA1
2
2

Hướng dẫn giải
( hính vẽ câu 1)
uuuu
r uuur uuuur uuur uuuur
r 1 uuur
1 uuur uuuur uuur 1 uuu
AM = AD + DM = AD + DC1 = AD + ( DC + DD1 ) = AD + AB + AA1
2
2
2
Ta có:
Chọn B

Câu 3:

Cho hình hộp
A. 1800

uuuur uuuur
uuuu
r uuuur
uuuur uuuur
( D1 A1 , C C1 ) + (C1 B, DD1 ) + ( DC1 , A1 B)

ABCD. A1 B1C1 D1

. Khi đó: tổng 3 góc
B. 2900
C.3600
Hướng dẫn giải

B

A

C

D

A1

D1

Ta có:

K

C1

B1

D. 3150

là:


uuuur uuuur
( D1 A1 , C C1 ) = 900
uuuu
r uuuur
uuuu
r uuuu
r
(C1 B, DD1 ) = (C1 B, CC1 ) = 1350
uuuur uuuur
uuuur uuuu
r
( DC1 , A1 B) = ( DC1 , D1C ) = 900
uuuur uuuur
uuuu
r uuuur
uuuur uuuur
⇒ ( D1 A1 , C C1 ) + (C1 B, DD1 ) + ( DC1 , A1 B) = 90 0 + 1350 + 90 0 = 3150
Chọn D
Câu 4:

ABCD. A1 B1C1 D1

Cho hình lập phương
α+β+γ
Khi đó: là
:
A. 3600

B. 3750

, đặt

uuur uuuur
uuuu
r uuuu
r
uuur uuuu
r
α = ( AC , DC1 ); β = ( DA1 , BB1 ); γ = ( AA1 , C1C )

C. 3150
Hướng dẫn giải

D. 2750

( hình câu 3)
uuur uuuur
uuur uuuu
r
α = ( AC , DC1 ) = ( AC , AB1 ) = 600
uuuu
r uuuu
r
uuuu
r uuuur
β = ( DA1 , BB1 ) = ( DA1 , A1 A) = 1350
uuur uuuu
r

uuur uuur
γ = ( AA1 , C1C ) = ( AA1 , A1 A) = 1800

⇒ α + β + γ = 600 + 1350 + 1800 = 3750
Chọn B

Câu 5:

Cho
S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB=6; AD=4;
uuu
r hình
uur chóp
2
( SC. − SA) .
A. 76

B. 28

C. 52
Hướng dẫn giải

S

A
6
B

4

D

4
7.42 cm
C

uuu
r uur
uuur2
uuu
r uuur
uuu
r 2 uuur 2
uuu
r uuur
( SC. − SA) 2 . = AC = ( AB + AD) = AB + AD + 2 AB. AD

= 62 + 42 + 2(−12) = 28
Chọn B
Câu 6:

Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

uuur uuur
AB. AD = 12

D. 40

. Tính

A. Ba vectơ đồng phẳng là 3 vec tơ cùng nằm trong một mặt phẳng
r r r
r
r
r
a , b, c
c = ma + n b,
B. Ba vectơ
đồng phẳng thì có
với m, n là các số duy nhất
ur
r
r
r
ur
d = ma + n b + pc
d
C. Ba vectơ đồng phẳng khi có
với là vec tơ bất kỳ
D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai
Hướng dẫn giải
-Phương án A: sai vi chỉ cần giá của chúng song song hoặc nằm trên một mặt phẳng nào đó
r r
a, b
Phương án B: Sai
phải không cùng phương.
Phương án C sai
Vậy chọn D
Chọn D

Câu 7:

Cho hình tứ diện ABCD, trọng tâm G. Mệnh đề nào sau đây sai?
uuur 1 uuu
r uuu
r uuur
uuu
r uuu
r uuur r
OG = (OA + OB + OC )
GA + GB + GC = 0
4
A.
B.
uuur 2 uuu
r uuur uuur
uuur 1 uuu
r uuur uuur
AG = ( AB + AC + AD)
AG = ( AB + AC + AD )
3
4
C.
D.
Hướng dẫn giải

A

M
G

D

B
N
C

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD
uuuu
r uuur r
⇒
⇒ GM + GN = 0
G là trung điểm của MN
uuu
r uuu
r uuur r
⇔ GA + GB + GC = 0 ⇒
B đúng
uuu
r uuu
r uuur uuur uuur uuu
r uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur
OA + OB + OC + OD = OG + GA + OG + GB + OG + GC + OG + GD
Ta có:
uuur uuu
r uuur uuur uuur
uuur
= 4OG + (GA + GB + GC + GD ) = 4OG ⇒
A đúng
Khi O trùng A thì D đúng vậy đáp án là C.

Chọn C
Câu 8:

Câu 9

:

r r r
a , b, c

Cho ba vectơ
không đồng phẳng xét các vectơ
Chọn mênh đề
đúng
trong
các mệnh đề sau:
u
r s
y, z
A.Hai vec tơ r su cùng phương
x, y
B. Hai vec tơr s cùng phương
x, z
C.Hai vec tơ r u
phương
r cùng
s
x, y , z

D.Hai vec tơ
đồng phẳng
Hướng dẫn giải
u
r
r
r ur
y = −2 x
x, y
Ta thấy
nên
cùng phương.
Chọn B
Cho hình lập phương
uuu
r uuuur uuuur
uuuu
r
AB + B1C1 + DD1 = k AC1 )
A.k=4

ABCD. A1 B1C1 D1

B. k=1

,

Tìm

r

r r u
r
r
r r
r
r
x = 2a − b; y = −4a + 2b; z = −3a − 2c

giá

trị

C. k=0
Hướng dẫn giải

A1

D1

của

k

thích

hợp

để

D. k=2

B1

C1

B

A

C

D

uuuur uuuur uuu
r uuur uuuu
r uuuu
r
AB
u
uu
r + B1C1 + DD1 = AB + BC + CC1 = AC1 ⇒ k = 1

Có
Chọn B

ABC. A1 B1C1

Câu 10: Cho hình lăng trụ tam giác
đẳng thức sau đẳng thức nào đúng.

r r r ur r
a+b+c+d = 0
A.
r r ur r
b−c+d =0
C.

. Đặt

uuuur
uuur
uuur
uuuu
r
AA1 = a; AB = b; AC = c; BC1 = d

r r r ur
a+b+c = d
B.
r r r
a =b+c

D.
Hướng dẫn giải

trong các


C

A
B1
B

1

B

C1
A1
B1

r r u
r uuu
r uuur uuur uuu
r uuur r
b − c + d = AB − AC + BC = CB + BC = 0

Ta có:
Chọn C
Câu 11: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?
A.Nếu giá của bar vectơ
r r cắt nhau từngr đôi một thì 3 vectơ đồng phẳng
a , b, c
0
B.Nếu ba vectơ
córmột
vec
tơ
thì ba vectơ đồng phẳng

r r
a , b, c
C.Nếu giá của ba vectơr r r
cùng song song với một mật phẳng thì ba vec tơ đó đồng phẳng
a, b, c
D.Nếu trong ba vectơ
có ha vec tơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng
Hướng dẫn giải
Chọn A

ABCD. A1 B1C1 D1

Câu 12: Cho
định
uuuu
r uuuu
r
uuur là hình hộp, trong các khẳng định
uuuu
rsau ukhẳng
uur
uuuu
r sai:
r
AC1 + A1C = 2 AC
AC1 + CA1 + 2CC1 = 0
A. uuuu
B. uuur uuur uuuu
r uuuu
r uuur

r
AC1 + A1C = AA1
CA1 + AC = CC1
C.
D.
Hướng dẫn giải


A

D

B

C
A1

D1

B1

C1

uuuu
r uuuu
r uuuur uuuu
r uuuur uuuu
r
uuuu
r uuuur

AC1 + A1C = AA1 AC1 = AA1 − AC1 ⇔ A1C = C1 A1

Ta có:
Chọn C
Câu 13: Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

uuur uuur uuur uuur r
AB + BC + CD + DA = 0
A.Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu
uuur uuur
AB = CD
B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu
uur uuu
r uur uuu
r
SB + SD = SA + SC
C. Cho hình chóp S.ABCD, nếu có
uuur uuur uuur thì tứ giác ABCD là hình bình hành
AB + AC = AD
D.Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu
Hướng dẫn giải

Chọn C
ABCD. A' B ' C ' D '

Câu 14: Cho hình hộp
Gọi I, K lần lượt là tâm của các hình bình hành
' '
BCC B
. Khẳng định nào sau đây là sai?

A.Bốn điểm I, K, C, A đồng phẳng
uur 1 uuur 1 uu'uur'
IK = AC = A C
2
2
B.
uuur uur uuuuu
r
BD, IK , B ' C '
C.Bà vec tơ
không đồng phẳng
D.

ABB ' A'

và

uuur uur
uuur
BD + 2 IK = 2 BC

Hướng dẫn giải
Chọn C
Câu 15: Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AC, BD lần lượt lấy M, Nsao cho AM=3MD; BN=3NC. Gọi
P,Q lần lượt làuutrung
ur uuurđiểm
uuuu
rcủa AD, BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
BD, AC , MN
A.Các vec tơ

không đồng phẳng


C
A1

uuuu
r uuurB1uuur
MN , DC , PQ

B. Các vec tơ uuu
r uuur uuur đồng phẳng
AB, DC , PQ
C. Các vec tơ uuur uuur uuuu
r đồng phẳng
C1 AC , DC , MN
D. Các vec tơ
đồng phẳng
Hướng dẫn giải

A

P
M
E

B

F
Q

N

D

C

Lấy điểm E trên cạnh AC sao cho AE=3EC, lấy F trên BD sao cho BF=3FD
1

 NE / / AB, NE = 3 AB
⇒ NE / / MF , NE / / MF

 MF / / AB, MF = 1 AB

3
uuu
r uuur uuuu
r
BA, DC , MN
⇒
NEMF là hình bình hành và 3 vec tơ
có giá song song hoặc nằm trên mặt
uuu
r uuur uuuu
r
⇒ BA, DC , MN
phẳng (MFNE)
đồng phẳng
uuur uuur uuuu

r
⇒ BD, AC , MN
không đồng phẳng.
Chon A
Câu 16. Cho tứ diện ABCD có các cạnh đầu bằng A. Hãy chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
uuu
r uuur a 2 3
uuur uuur uuur uuur r
AB. AC =
AD + CD + BC + DA = 0
2
A.
B.
C.

uuur uuur uuur uuur
AC. AD = AC.CD

D.
Hướng dẫn giải

uuur uuur
AD.CD = 0


( sử dụng hình câu 7)
Phương án A:
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur r uuur r
AD + CD + BC + DA = ( AD + DA) + ( BC + CD ) = 0 + BD ≠ 0 ⇒ A

sai

uuu
r uuur
a
AB. AC = a.a.c os600 =
⇒B
2
2

Phương án B:
Phương án B
Chọn D

sai
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur 2
AC . AD = AC.CD ⇔ AC ( AD + DC ) = 0 ⇔ AC = 0 ⇒ C

sai

ABCD. A1 B1C1 D1
Câu 17: Cho hình lập phương
. Gọi M là trung điểm của AD.Chọn khẳng định đúng:
uuuur uuuu
r uuuuur 1 uuuur
uuuur uuur uuuuu
r uuuur

C1 M = C1C + C1 D 1 + C1 B1
B1 M = B1 B + B1 A 1 + B1C1
2
A.
B.
uuuur uuuu
r 1 uuuuur 1 uuuur
uuur uuuur uuuuu
r
uuuu
r
C1 M = C1C + C1 D 1 + C1 B1
BB1 + B1 A1 + B1C 1 = 2 B1 D
2
2
C.
D.
Hướng dẫn giải

A

a

B
a

M
D

C

A1

C1

D1

Ta có
Chọn B

B1

uuuur uuuuu
r uuuur uuuur uuuuu
r uuuu
r 1 uuuur
C1 M = C1 D1 + D1 D + DM = C1 D1 + C1C + C1 B1
2
uuu
r uuu
r uuur r
GA + GB + GC = 0

Câu 18: Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa
(G
A là trọng tâm của tứ diện). Gọi O là
giao điểm của GA và mặt phẳng (BCD) . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

uuur
uuur
GA = −2OG

A.
uuur uuur
GA = 3OG
C.

uuur
uuur
GA = 4OG
B.
uuur
uuur
GA = 2OG
D.

P
M

E

B

F
Q

N

C

D

A

B

A
D

C
A1

B1

N
C1

D1

G
B

M

A

O

H

D

C

Hướng dẫn giải
P

Gọi M, N là trung điểm của BC, AD
M
⇒
⇒
G là trung điểm MN. Gọi H là hình
chiếuEcủa N
lên
MD
NH là đường trung bình của
B
D
F
∆AOD
∆QMNH
và OG là đường trung bình của N C
1
1 1
1
1
⇒ OG = NH = . AO ⇒ OG = NH = . AO
2
2 2
2
4

uuu
r
uuur
hay GA = 3OG
A
Chọn C
Câu 19: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, Nlaafn
lượt là trung điểm của AD, BC. Trong ccs khẳng định sau,
N
khẳng định nào
sai?
uuu
r uuur uuuu
rG
BAB, DC , MN
D
H
A.Các vec tơ uuuu
rM uuu
r uuurOđồng phẳng
C
MN , AB, AC
B. Các vec tơ uuur uuuu
r uuuu
r không đồng phẳng
AN , CM , MN
C. Các vec tơ uuur uuur uuuu
r đồng phẳng
AC , BD, MN
D. Các vec tơ

đồng phẳng
Hướng dẫn giải
A

M
P
B

Q

D

N
C

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm AC, BD
uuu
r uuur uuuu
r
AB
,
DC
,
MN
uuu
r
⇒
Ba vec tơ
có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng (MNPQ) nên 3 véc tơ
⇒

này đồng phẳng
A đúng


uuu
r uuur uuuu
r
AB
u
uu
r, AC , MN

⇒
không đồng phẳng
B đúng
uuur uuuu
r uuuu
r
AN
u
uur , CM , MN
⇒
Ba vec tơ
có giá không thể song song với mặt phẳng nào
C sai
Ba vec tơ

Chọn C
Câu 20: Cho hình lập phương
A.

C.

ABCD. A' B 'C ' D '

uuuur uuuu
r
AD '.CC ' = − a 2

uuuur uuuu
r
AD '. AB ' = a 2
B.
uuur
AC = a 3

uuuur uuuur
AB '.CD ' = 0

A

, có cạnh A.Hãy tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

D.
Hướng dẫn giải

a

Xết phương án A có:

B

a

D

C
A'

D'

B'

C'

uuuur uuuu
r uuuur uuuur uuuur uuuur
AD '.CC ' = AD '.AA ' = AD ' . AA ' cos450 = a 2
Chọn A
Câu 21: Trong không gian cho hai tia Ax, By chéo nhau sao cho AB vuông góc với cả hai tia đó. Các
điểm M, N lần lượt thay đổi trên Ax, By sao cho
độ dài đoạn MN luôn bằng giá trị c không đổi
A
ϕ
≥
(c AB). Gọi
là góc giữa Ax, By. Giá trị lơn nhất của AM, BN
2
2
c − AB
c 2 − AB 2
2(1 − cosϕ )

2(1 + cosϕ )
A.
B.
P
2
2
2
c + AB
c + AB 2
2(1 − cosϕ )
2(1 + cM
osϕ )
C.
D.
E
Hướng
B dẫn giải
D
F
Q

A

N

C


x
M

A

B
N
y
uuuu
r2
uuur uuu
r uuur
c 2 = MN 2 = MN = ( MA + AB + BN ) 2

Ta có:
uuuu
r uuur
= AM 2 + AB 2 + BN 2 − 2 AM .BN == AM 2 + AB 2 + BN 2 − 2 AM .BN .c osϕ
≥ AB 2 + 2 AM .BN .(1 − cosϕ )

⇒ AM .BN . ≤

c 2 − AB 2
2(1 − cosϕ )

Vậy biểu thức AM.BN đạt giá trị lớn nhất bằng

c 2 − AB 2
2(1 − cosϕ )

Chọn A

Góc giữa hai đường thẳng.

Hai đường thẳng vuông góc
1. Định nghĩa:

a
b
Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau và là góc nhỏ nhất
a
b
trong bốn góc mà và cắt nhau tạo nên.

a
b
Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau và trong không
a′
b′
gian là góc giữa hai đường thẳng
và cùng đi qua một
a b
điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với và .


Chú ý: góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn ( hoặc vuông ).
2. Phương pháp
Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cosin hoặc tỉ số lượng giác.
r
r
u
v
Phương pháp 2: Sử dụng tích vô hướng: nếu và lần lượt là hai vecto chỉ phương ( hoặc
ϕ

a b
vecto pháp tuyến ) của hai đường thẳng và thì góc của hai đường thẳng này được xác
định bởi công thức
rr
u.v
r r
cos ϕ = cos u, v = r r .
u.v

( )

M , N, P
ABCD. A′B′C ′D′
AB BC
Ví dụ 1: Cho hình lập phương
. Gọi
lần lượt là trung điểm các cạnh
,
,
C ′D′
MN
AP
. Xác định góc giữa hai đường thẳng
và
.
450

A.
.
Đáp án A.

B.

300

.

C.

600

.

D.

900

Lời giải
Phương pháp 1: Giả sử hình lập phương có cạnh bằng

MN //AC

Vì

nên:

∆A′D′P

· , AP = AC,
( MN

) ( · AP )

vuông tại

D′

. Ta tính góc

a

·
PAC

và

.

nên
2

a 5
a
A′P = A′D′2 + D′P 2 = a 2 +  ÷ =
2
2

.
2

a 5

3a
AP = A′A + A′P = a + 
=
÷
÷
2
 2 
2

∆AA′P

∆CC ′P

Ta có

vuông tại

vuông tại

AC

A′

C′

nên

2

2

CP = CC ′2 + C ′P 2 = a 2 +
nên

là đường chéo của hình vuông

Áp dụng định lý cosin trong tam giác

ABCD

ACP

ta có:

nên

a2 a 5
=
.
4
2

AC = a 2

.


·
CP 2 = AC 2 + AP 2 − 2 AC. AP.cos CAP
1

·
⇒ cos CAP
=
2
·
⇒ cos CAP
= 45° < 90°

Nên

·
= 45°
( ·AC; AP ) = CAP

hay

·
AP ) = 45°
( MN;

. Chọn A.
uuuu
r uuur
uuuu
r uuur
MN . AP
uuuu
r uuur uuuu
r uuur
uuuu

r uuur ⇒ cos MN , AP = uuuu
r uuu
r ( *)
MN . AP = MN . AP .cos MN , AP
MN . AP

(

Phương pháp 2: Ta có

)

(

)

uuuu
r uuur uuur uuur uuur uuuur uuuu
r
MN . AP = MB + BN AA′ + A′D′ + D′P

(

)(

)

Ta có:
uuur uuur uuur uuuur uuur uuuu
r uuur uuur uuur uuuur uuur uuuu

r
= MB. AA′ + MB. A′D′ + MB.D′P + BN . AA′ + BN . A′D′ + BN .D′P
a a
a
3a 2
= 0 + 0 + . + 0 + .a + 0 =
( 1)
2 2
2
4
uuuu
r uuu
r a 2 3a 3 2a 2
MN . AP =
. =
( 2)
2 2
4

Thay

( 1) , ( 2 )

Ví dụ 2. Cho tứ diện
MN = a 3.

A.

450.

vào

( ∗)

ABCD

3a 2
uuuu
r uuur
1
cos MN , AP = 4 2 =
⇒ (·MN , AP ) = 450.
3 2a
2
4

(

ta được:

có

)

AB = CD = 2a.

Tính góc của

AB

B.

và

300

.

Đáp án C.
Lời giải

CD

Gọi

M,N

lần lượt là trung điểm

BC , AD

.
C.

600

.

D.

900

.

. Biết rằng


Gọi

I

là trung điểm của

AC

Áp dụng định lý cosin cho

. Ta có

∆IMN

IM = IN = a

.

ta có:

IM 2 + IN 2 − MN 2 a 2 + a 2 − 3a 2
1
·

·
cos MIN =
=
= − ⇒ MIN
= 1200
2.IM .IN
2.a.a
2

Vì

IM / / AB, IN / / CD ⇒ (·AB, CD ) = (·IM , IN ) = 1800 − 1200 = 60 0

Ví dụ 3: Cho lăng trụ
vuông tại
mặt phẳng

A

,

ABCA′B′C ′

AB = a

,

có độ dài cạnh bên bằng

AC = a 3

.
.

2a

ABC

, đáy

và hình chiếu vuông góc của đỉnh

( ABC )

là trung điểm của cạnh
AA′ B′C ′
đường thẳng
,
.

BC

Chọn D
Phương pháp 1:
H

Ta có

là trung điểm của

AA′ / / BB′

Ta tính góc

∆ABC
AH =

và

BC ϕ
B′C ′
AA′
,
là góc giữa
và
.

B′C ′ / / BC

nên góc giữa

· ′, BC
( ·AA′, B′C′) = ( BB
)

·B′BH

vuông tại

A

nên ta có:

A′

trên

. Tính cosin của góc giữa hai

Lời giải

Gọi

là tam giác

BC = AB 2 + AC 2 = a 2 + 3a 2 = 2a

1
BC = a ⇒ A′H = AA′2 − AH 2 = 4a 2 − a 2 = a 3
2

.

.

.


Vì

AH ⊥ ( A′B′C ′ )

nên

∆A′B′H

vuông tại

B′H = A′H 2 + A′B′2 = a 2 + 3a 2 = 2a

A′

.

B′B 2 + BH 2 − B′H 2 4a 2 + a 2 − 4a 2 1
=
=
2 B′B.BH
2.2a.a
4

· ′BH =
cos B

Chọn A

Phương pháp 2:
Ta có
uuur uuur uuur
uuur uuuur

uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
AH + HA′ .BC
AA′.B′C ′
AH .BC + HA′.BC
AH .BC
uuur uuuur
cos ϕ = cos AA′; B′C ′ = uuur uuuur =
=
=
2
2a.2a
4a
4a 2
AA′ . B′C ′

(

(

)

)

r
1 uuur uuur uuur uuu
1
1
AB + AC AC − AB
AC 2 − AB 2 )

3a 2 − a 2 )
(
(
1
2
2
2
=
=
=
=
2
2
2
4a
4a
4a
4

(

)(

)

.

a
ABCD
O

∆BCD
Ví dụ 5. Cho tứ diện đều
cạnh . Gọi
là tâm đường tròn ngoại tiếp
.
CD
AC
M
BM
Gọi
là trung điểm
. Tính cosin góc của
và
.
3
3
3
2
4
6
2
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

Hướng dẫn giải
Chọn B
· ; BM
⇒ ·AC ; BM = MN
N
MN //AC
AD
Cách 1. Gọi
là trung điểm
ta có:
. Ta

(

BM = BN =

·
BMN

tính góc
. Ta có:
AC a
MN =
=
2
2
.

a 3
2

(trung tuyến tam giác đều).

∆BMN
Áp dụng định lý cosin cho
, ta được:
2
2
2
BM + MN − BN
MN
3
·
cos BMN
=
=
=
>0
2 BM .MN
2 BM
6
.
3
cos ·AC; BM =
.
6
Vậy
uuur uuuu
r uuu
r

uuur uuuu
r
AC. CM − CB
AC.BM
uuur uuuu
r
cos ϕ = cos AC , BM = uuur uuuu
r =
a 3
AC . BM
a.
2
Cách 2.

(

)

(

)

) (

(

)

)

=

uuur uuuu
r uuur uuu
r
AC.CM − AC.CB
a2 3
2

a2 a2
a
0
0
a2
− +
a. cos120 − a.a.cos120
4 2
3
2
=
=
= 24 =
2
2
6
a 3
a 3
a 3
2

2
2

.

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1. Định nghĩa.
Nếu đường thẳng
Nếu đường thẳng

( P)

là góc giữa

a

a ⊥ ( P)
a

thì góc giữa đường thẳng

không vuông góc với

và hình chiếu

a′

a

của

( P)

a

và

( P)

bằng

900

.

thì góc giữa đường thẳng

trên

( P)

a

và

.

a

a'

P

2. Phương pháp tính.

a SA ⊥ ( ABCD )
,
( SAB ) β
( SBC )
SA = a 6
α
SC
AC
và
. Gọi
là góc giữa
và
,
là góc giữa
và
. Giá
tan α + sin β
trị
bằng?

Ví dụ 1: Cho hình chóp

A.

1+ 7

7

.

S . ABCD

B.

có đáy

1 + 19
7

.

ABCD

là hình vuông cạnh

C.

Hướng dẫn giải
Chọn C.

7 + 21
7

.

D.

1 + 20
7

.