Dạng toàn phương trong không gian thực

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

ĐỖ THỊ LOAN

DẠNG TOÀN PHƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN THỰC
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
TH.S ĐINH THỊ KIM THUÝ

HÀ NỘI, 2012


MỤC LỤC
Trang
LỜI MỞ ĐẦU.................................................................................................. 1
NỘI DUNG....................................................................................................... 3

Chương 1: Dạng toàn phương trong không gian thực..................................... 3
1.1. Định nghĩa dạng toàn phương................................................................... 3
1.1.1. Ma trận và biểu thức tọa độ của dạng toàn phương...............................3
1.1.2. Biểu thức tọa độ của dạng toàn phương trong các cơ sở khác nhau.......7
1.1.3. Định nghĩa dạng toàn phương chính tắc, chuẩn tắc................................8
1.2. Hạng và hạch của dạng toàn phương........................................................ 8
1.2.1. Định nghĩa hạch................................................................................... 8
1.2.2. Định nghĩa hạng................................................................................. 10
1.2.3. Mệnh đề............................................................................................. 10
1.3. Luật quán tính của dạng toàn phương.....................................................12
1.3.1. Định lí (Luật quán tính).....................................................................12
1.3.2. Định nghĩa chỉ số quán tính............................................................... 13

1.3.3. Dạng toàn phương xác định............................................................... 13
Bài tập chương 1.............................................................................................. 19

Chương 2: Một số phương pháp đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc 23
2.1. Định lí.......................................................................................................23
2.2. Một số phương pháp đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc................25
2.2.1. Phương pháp Lagrange...................................................................... 25
2.2.2. Phương pháp biến đổi trực giao......................................................... 28
2.2.3. Phương pháp Jacobi........................................................................... 38
Bài tập chương 2.............................................................................................. 43
KẾT LUẬN.................................................................................................... 49
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................. 50


LỜI CẢM ƠN
Bài khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của
cô giáo Th.S Đinh Thị Kim Thúy. Nhân dịp này, em xin bày tỏ lòng kính
trọng và biết ơn sâu sắc đến cô, người đã dành cho em sự hướng dẫn nhiệt
tình, chu đáo và nghiêm túc trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và thực
hiện khóa luận.
Em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong tổ Hình học và các
thầy cô bộ môn trường ĐHSP HN2 đã giúp đỡ em trong quá trình học tập để
thuận lợi cho việc nghiên cứu.
Dù đã hết sức cố gắng, nhưng do đây là lần đầu tiên làm quen với việc
nghiên cứu khoa học và do năng lực còn có hạn nên khó tránh khỏi những sai
sót. Em mong muốn nhận được sự chỉ bảo, đóng góp của quý thầy cô, để cho
bài khóa luận được tốt hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên thực hiện

Đỗ Thị Loan


LỜI CAM ĐOAN
Qua một thời gian nghiên cứu, được sự giúp đỡ nhiệt tình của cô giáo
Th.S Đinh Thị Kim Thúy em đã hoàn thành nội dung bài khóa luận của mình.
Em xin cam đoan bài khóa luận là do bản thân nghiên cứu cùng với sự
hướng dẫn của cô giáo Th.S Đinh Thị Kim Thúy không hề trùng với bất cứ đề
tài nào. Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên thực hiện

Đỗ Thị Loan


LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Đại số tuyến tính là một môn học nghiên cứu về không gian véctơ, ma
trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính... và được coi như môn học cơ sở
giúp chúng ta học tốt hơn những môn như: Hình Affin, Hình Euclide, Hình
Xạ ảnh, Giải tích hàm… Ngoài ra nó có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực
khoa học khác.
Một phần quan trọng không thể thiếu của Đại số tuyến tính là dạng
toàn phương trong không gian thực. Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu
sâu hơn về mảng kiến thức này, đồng thời được sự động viên của cô giáo
Th.S Đinh Thị Kim Thúy em đã mạnh dạn chọn đề tài “Dạng toàn
phương trong không gian thực” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Đại học
cho mình.
2. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng: dạng toàn phương trong không gian thực.
- Phạm vi: những kiến thức liên quan đến dạng toàn phương.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về dạng toàn phương.
4. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu dạng toàn phương để cung cấp những kiến thức cơ bản cho
việc tiếp thu và học các môn hình học tiếp theo và một số môn thuộc bộ môn
giải tích trong chương trình Đại học.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu qua sách giáo khoa, sách tham khảo, internet và các tài liệu
có liên quan....
6. Nội dụng khóa luận
Nội dung khóa luận gồm 2 chương:

5


Chương 1: Dạng toàn phương trong không gian thực
Chương này trình bày định nghĩa về dạng toàn phương, dạng toàn
phương chính tắc, ma trận và biểu thức tọa độ của dạng toàn phương. Những
định nghĩa về hạng và hạch, luật quán tính của dạng toàn phương.
Chương 2: Một số phương pháp đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
Chương này trình bày một số phương pháp đưa dạng toàn phương về
dạng chính tắc của nó như một số phương pháp: Lagrange, biến đổi trực
giao, Jacobi và áp dụng phương pháp biến đổi trực giao để đưa đường và
mặt bậc hai về dạng chính tắc.


NỘI DUNG
Chương 1. DẠNG TOÀN PHƯƠNG

TRONG KHÔNG GIAN THỰC
1.1. Định nghĩa dạng toàn phương
Giả sử V là một không gian véctơ trên trường số thức.
Giả sử

η: V × V → □ là dạng song tuyến tính đối
xứng trên không

gian véctơ V. Khi đó ánh xạ H : V → □ xác định bởi
v  H(v) = η(v, v) .
Được gọi là một dạng toàn phương trên V ứng với dạng song tuyến tính
η
Nói cách khác một dạng toàn phương H : V → □ là một
hàm số xác định trong không gian véctơ V có công thức xác định ảnh
H(v) là một đa thức thuần nhất bậc 2 đối với các tọa độ của véctơ v trong
cơ sở bất kì.
 Chú ý:
Nói chung, một dạng toàn phương đã cho do vô số dạng song tuyến
tính sinh ra nó.
Chẳng hạn, các dạng song tuyến tính η(x, y) = 2xy − 3ax
+ 3ay, a ∈□
chỉ sinh ra một dạng toàn phương H(x) = η(x, x) = 2x

2

Tuy nhiên, với mỗi dạng toàn phương H(x) thì chỉ có duy nhất một
dạng song tuyến tính đối xứng sinh ra nó.
Dạng song tuyến tính đối xứng này được gọi là dạng cực của H.
1.1.1. Ma trận và biểu thức tọa độ của dạng toàn phương
Giả sử H là dạng toàn phương ứng với dạng song tuyến tính đối xứng




{


η: V × V → □ , và (ε) = ε1,...,εn là một cơ sở của V, thì
với các véctơ:

α =

n

∑x i

i=1

  n 
εi , β = ∈V ta có:
∑x
jε j
i=1


n
n
 
 n

 

(α,β) = η( ∑ x i εi , ∑ x )

η

i=
1

 

i=
1

i, j=1

n
 
Đặt aij = η(εi, ε j ) i, j thì η(α,β) =
= 1,..., n
∑ aijxix j

 

i, j=1

Định nghĩa: Ma trận A = (aij)n×n trong đó aij = η(εi, εj ) i, j
= 1,..., n là
ma trận của dạng song tuyến tính đối xứng η trong cơ sở (ε) của V.
Khi đó A = (a )
ij n×n cũng được gọi là ma trận của dạng toàn phương
H ứng

với dạng song tuyến tính đối xứng
η
 
 
Do η đối xứng nên η(εi, ε j )
= η(ε j , εi )

suy ra aij = a ji

Suy ra ma trận A =
là ma trận có các aij = nên ma trận A
(a ij ) n×n
a ji
đối xứng.
n

 
là biểu thức tọa độ của H trong
Biểu thức H(α)
= η(α,α) = ∑ aijxix
j

i, j=1

cơ sở (ε)
Biểu thức tọa độ dưới dạng ma trận:

t

H(v) = x Ax =

... xn ) 

 a11

a

(x1 x2

21

a12

... a1n  x1 

a

... a

22


 ... ...

 an1 an2



x
2



.
... ... ... 
 
... ann  x n 
2n


Như vậy việc nghiên cứu các dạng toàn phương thực chất là nghiên
cứu những ma trận trong các cơ sở khác nhau, hay cụ thể hơn là nghiên cứu
những lớp ma trận toàn đẳng.
Khi nói đến ma trận A của một dạng toàn phương nào đó ta luôn hiểu
rằng A là ma trận đối xứng. Ngược lại, mọi ma trận đối xứng A đều là ma
trận của một dạng toàn phương nào đó.


 Nhận xét:

n


1. Do A
là ma
trận
đối
xứng
nên
với

v biểu thức
= tọa độ
của

∑
x
i

ε

H
c
ó
th
ể
vi
ết
là
:

i
i=
H
(v
)= 1
n a x2 +
ii
aijxix j

2n

∑
i
i= j

j≤n

1≤i,

∑

i≠ j

2. Mối liên hệ giữa dạng
toàn phương và dạng
cực tương ứng
   
   
   
Ta có:
η(α + β,
α + β)
= η(α, α) +
η(α,β)
+ η(β, α)
+ η(β,β)



 

=
η
(
α
,
α
)
+
2
η
(
α
,
β
)
+
η
(
β
,
β
)
)

3

,β)
1

=
H(α
+ β)
− H(α
)
− H(β)

2


Ví dụ1: Cho dạng toàn
3
phương H : □
→ □ xác định như
sau:

2
2
2

(
+),



H(
− 2x1
x1, x2 ,
α
αx2

x3

  =+ 4x1 3 =
= H(α) 2η(α2x
x3
x
H(
 

 
− x 2
3
⇒(α + β) = H(α) +
Viết ma trận và biểu thức tọa độ
của dạng cực của dạng toàn
H
phương H trên
)
 
□ trong cơ sở chính tắc.

Giải:

Biểu thức tọa độ của dạng cực

η tương ứng với dạng toàn

phương H là:
⇒
 

η(α,β) = 2x1y1
η
− x1y2 + 2x1y3 − x2y1
(α


− x 2y 2
+ 0x2y3
+ 2x3y1 +
0x3y2 + 3x3y3
,


3

với
α=(x1,x2,x3
), β= (y1,
y2 , y3)∈□
ứng với cơ sở



(ε) =
ε1
=(1,0,0
),ε2
=(0,1,0
),ε3
=(0,0,1

)
2


{

−1
2



Suy −1 0 
ra
ma
trận
của
dạng
cực
là A
= 
−1

2 0

3




Ví dụ 2: Tìm ma trận của dạng toàn phương có biểu thức tọa độ sau

trên □ 3 với cơ sở chính tắc:

2
2
a)

b)

H(α)
= 2x1

+ x 2 − x1x3

2

2

2

H(α) = x1 + 4x 2 − 3x3 + 9x1x2 − 5x1x3 + 3x2 x 3
Giải:

Biểu thức tọa độ của dạng cực η tương ứng với dạng toàn phương H
là:
 


3
1
1

η(α,β) − x + x y − x y , với α=(x ,x ,x ), β= (y
= 2x y
y
, y , y )∈□
1 1

2

1 3

2 2

3 1

1 2 3

1

2



ứng với cơ sở:
(ε) =ε1 =(1,0,0),ε2 =(0,1,0),ε3 =(0,0,1)

2

3

{

Ta gọi A = (aij)3×3 là ma trận của dạng toàn phương H
 
Ta biết aij = η(εi, εj ),i, j = 1, 2,3, nên:
 
1
a = η(ε ,ε
1 ) = 2×1×1+ − ×1× 0
+ 0× 0 − × 0×1 = 2
11

1 1

12

1

13

1 3

2
2
 
1
1
a =
)
=
2

×1×
0
−
×1×
0
+
0×1−
η(ε ,ε
× 0 ×1 = 0
2

2
2
 
1
1
a =
)
=
2×1×
0
−
×1×1+
0×
0
−
−
1
η(ε ,ε
× 0× 0 =

2
2
2
a21 = a12 = 0
 
1
1
a =
η(ε ,ε ) = 2× 0×1− × 0× 01× 0 −
× 0×1 =1
22

a

2

2

 
= η(ε

2

2


,ε 1
)= 2× 0× 0
− 1 × 0 ×1+1× 0
− × 0× 0 = 0

23

2

3

a31 = a13 = −
2

1

2

2

a32 = a23 = 0
 
1
a =
)
=
2
×
0
×
0
−
× 0 ×1+ 0 × 0
1
η(ε ,ε

− ×1× 0 = 0
33

3

3

2

2


 2

0 −1
2 




1
Vậy 0
0 
ma

trận
của
dạng
toàn
phươn

g là:
A=


−





1

9

 1
0 2
0 


−
5


2

2




b) Làm tương tự
phần a) ta tìm
được ma trận B
9
=
2





4
3




 −5 

3

−3


2




1.1.2. Biểu thức

tọa độ


của dạng toàn phương trong các cơ sở khác ∑ tik
nhau
aijt jh
i
,
j
=
1

Giả sử H là dạng toàn phương trong không
gian véctơ V , A và B là
  
 


{ε1,
ε2 ,..., εn } và (µ) = {µ1,µ2 ,...,µn }

i
,
j
=
1

hai ma trận của H trong hai cơ sở (ε) =

t

B
h
t
ì = TA
T

của V . Nếu T là ma trận chuyển từ
cơ sở (ε) sang cơ sở (µ)
Chứng minh:

Kí hiệu A = (aij )n×n , B = (bij)n×n , T
t

= (tij)n×n , đặt T AT = D = (dij)n×n



T µk = t1k ε1 + t 2k
a ε + ... + t ε
2
nk n
c
=
t
ε
∑ ik i
ó:

 n


(do T là ma trận
chuyển từ

i=1

cơ sở (ε) sang cơ sở
(µ) )

n

 n



 
L
ại
có
:

bkh = η(µk ,µh ) = η(∑ t ik
εi , ∑ t jh ε j )
i=1
n

=

∑
t ik t
jh η(

j=1

 

n

εi ,ε
j) =

=
d
k
h

Vậy B
t
= T AT


1.1.3. Định nghĩa dạng toàn phương chính tắc, chuẩn tắc
Giả sử η: V × V → □
tính đối xứng trên

là một dạng song tuyến

không gian véctơ V và H là dạng toàn phương ứng với η.
 

Đối với các véctơ  

α,β∈ η(α,
thì ta nói véctơ ηV , nếu
α trực
β) = 0



giao (hay η-vuông góc) với
và kí hiệu là α ⊥η β.
véctơ β
  
Cơ sở
được gọi là một cơ sở η-trực giao (hay
(ε) =
ε1,
Hε2 ,..., εn

{
}

trực giao) nếu các véctơ của cơ sở này đôi một η-trực giao với nhau,
nghĩa
 
∀i ≠ j
là: η(εi,
ε j) = 0,
Trong cở sở H-trực giao, biểu thức tọa độ của H có dạng:
n

 n 

2
H(α) =
∑a i x i
i=1

trong đó
α = ∑ x i εi ,
ai = aii

(1.1)

i=1

Ta gọi biểu thức tọa độ dạng đó là biểu thức tọa độ dạng chính tắc của dạng
toàn phương H. Các hệ số a ,i = 1,..., n được gọi là hệ số chính tắc của
i
toàn phương đó.
dạng
Ta dễ dàng thấy được ma trận của dạng toàn phương chính tắc là một
ma trận đường chéo mà các giá trị trên đường chéo chính là các hệ số chính
tắc của dạng toàn phương đó.
Đặc biệt nếu các

ai =

{0, ±

1} , ∀i = 1,..., n

thì khi đó biểu thức tọa độ (1.1)

được gọi là dạng chuẩn tắc của dạng toàn phương H. Ma trận của dạng toàn
phương chuẩn tắc là ma trận chéo mà các giá trị trên đường chéo chính là

{0, ± 1}
1.2 Hạng và hạch của dạng toàn phương
1.2.1. Định nghĩa hạch
Giả sử η là một dạng song tuyến tính đối xứng trên V. Ta gọi tập
hợp

 

0
V = α ∈V | η(α,β) = 0,
∀β ∈V

{
}


là hạch hay hạt nhân của η ( hoặc của dạng toàn phương H tương
ứng với
η) và kí hiệu là Kerη ( hay KerH )

 

Vậy Kerη = KerH = α ∈V | η α, β =
0, ∀β ∈V

{

( )

}


Nói cách khác, hạt nhân của η là tập hợp các véctơ x và η ∈ V
trực

giao với không gian V . Nếu cố định một cơ sở cho V , và giả
sử

A=
(a ij )n

là ma trận của dạng song tuyến tính đối xứng η trong cơ sở này thì
hạt nhân
của η là tập hợp các
véctơ

t

x = ( x1,..., x n ) ,
sao cho
∀yt =

( y1,..., yn

) ∈R n

.

xtAy = 0 với

Ví dụ 1: Giả sử dạng cực η có ma trận trong một cơ sở đã cho là
1

A=1

0


1 0


2 0  . Tìm ker η


0 2

Giải:
Ta có:

xt A = (x1 + x2 , x1 + 2x2 ,2x 3 ) và

xt Ay = y1 (x1 + x2 ) + y2 (x1 + 2x2 ) + y3 ( 2x 3 ) .
Suy ra

xtAy = 0 với mọi y nếu và chỉ nếu:

x1 + x 2 = x1 + 2x2 = 2x3 = 0.

Nói cách khác,

x=

( x1 , x 2 , x 3 )


là nghiệm của phương trình
Ax = 0.
Trong ví dụ đang xét, dễ thấy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất

x1 = x 2 = x 3
= 0 . Do đó
ker (η)
=

{ 0}

.

Ví dụ 2: Trong không gian

□ 3 cho dạng toàn phương:


2
2
2

H(α) = x + y + z + 4xy + 4xz
+ 4yz,α = (x, y, z)
Tìm hạch của dạng toàn phương đã cho.


Giải:

1 2 2 
Ta có ma trận của dạng toàn


phương đã cho là: A = 2
1

2


2 2 1
1
2
2  x 


Ta giải hệ phương

trình Aα = 0

⇔
2
1

2

2 2 1


z

y



= 0








x
+

22




2y + 2z
= 0


x
=
x + y + 2z
−
4
y
= 0
⇔

2x + 2y

+ z= 0
y

=
z
Chọn y
= a ta
được
α = (
−4a,a, a)
là nghiệm
của hệ
phương
trình.
Vậy KerH 

=

α = (−

⇔

2

Ta gọi rankA là hạng
của dạng toàn phương H




(cũng gọi là hạng của dạng
cực η của H) và kí hiệu là
rankH hay r(H) (hay rankη)
Ta có rankH = dim
V − dim(ker η)
Nếu rankH =dimV thì
dạng toàn phương H (hay dạng
cực tương ứng) được gọi là
không suy biến.
Trái lại, nếu rankH <
dimV thì H (hay dạng cực
tương ứng) được gọi là suy

{

biến.
1.2.3. Mệnh đề

4a,a, a) ∈□
3

,a ∈□

}

Hạng của dạng toàn
phương H (hay dạng
song tuyến tính đối
xứng η

1.2.2. Định nghĩa
hạng

tương ứng) bằng hạng của ma
trận của H trong một cơ sở bất
kỳ.

Giả sử H
là một dạng toàn
phương trên
không gian
véctơ V có ma
trận là A trong
một cơ sở nào đó
của V, khi đó:
23

Nói riêng, mệnh đề trên cho thấy hạng của ma trận của dạng song
tuyến tính η không phụ thuộc vào cách chọn cơ sở. Như vậy, nếu C là
một ma trận khả nghịch thì luôn có cùng hạng với ma trận A.
Chứng minh:


n
t
n
Ta có: Kerη=
x ∈R | x Ay = 0, ∀y ∈ R

{

t

Dễ thấy x Ay = 0 với mọi y nếu và
chỉ nếu
Mặt khác, A là ma trận đối xứng nên A = A
Suy ra x t A
=0

tương đương với

}

t

x A= 0.
t

( x A) = (x A ) = (Ax) = 0 suy ra
t

t

t

t

Ax = 0


n
Nói cách khác, Ker η = { x ∈ R | Ax = 0} = kerA.
Áp dụng công thức: dim(kerA) + rankA = n
⇒ rankA = n − dim(KerA)
= dim V − dim(Kerη)
= dim V − dim(KerH)
= rankH
Vậy rankA=rankH
 Chú ý:
Hai ma trận A và B được gọi là tương hợp với nhau nếu tồn tại một
t

ma trận khả nghịch C sao cho: B = C AC .
Dễ thấy quan hệ tương hợp là một quan hệ tương đương. Hai ma trận
tương hợp thì có cùng hạng. Điều này có thể chứng minh trực tiếp như sau.
Giả sử B =

t

C AC là một ma trận tương hợp với ma trận A, ở đó C là

một ma trận khả nghịch. Ký hiệu f, g, h, k là các tự đồng cấu của V có ma


t

trận trong một cơ sở cố định nào đó lần lượt là A, B, C , C. Vì C khả nghịch
nên h và k là các tự đẳng cấu. Hơn nữa, g = h  f  k . Từ đẳng thức này,
ta
dễ dàng suy ra các không gian con Im(f) và Im(g) đẳng cấu với nhau. Nói
riêng, chúng có cùng số chiều. Như vây B và A có hạng bằng nhau.