Lý thuyết chuỗi

Khóa luận tốt nghiệp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

HOÀNG THỊ BÍCH THỦY

LÝ THUYẾT CHUỖI

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

HÀ NỘI - 2012

Hoàng Thị Bích Thủy

K34A - SP Toán


LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện và hoàn thành khóa luận này, em đã nhận
được sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của các thầy cô giáo và bạn bè sinh viên
trong khoa Toán, đặc biệt là thầy Nguyễn Văn Hùng là người trực tiếp hướng
dẫn em hoàn thành khóa luận.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn của mình tới các thầy cô trong tổ, trong
khoa và thầy Nguyễn Văn Hùng đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi trong quá
trình nghiên cứu và học tập.
Do điều kiện về thời gian và nguồn tài liệu tham khảo còn hạn chế,
chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót khi khai triển đề tài. Vì vậy, em rất
mong nhận được sự góp ý, bổ sung của các thầy cô và bạn bè để luận văn
được hoàn thiện hơn.

Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Hoàng Thị Bích Thủy


LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo
Nguyễn Văn Hùng, cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong quá trình
nghiên cứu và thực hiện khóa luận em có tham khảo một số tài liệu của một
số tác giả như đã nêu ở mục tài liệu tham khảo.
Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu của riêng em.
Trong quá trình làm khóa luận, em đã kế thừa những thành tựu của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Hoàng Thị Bích Thủy


MỤC
LỤC

Trang

LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN

PHẦN MỞ ĐẦU.............................................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài....................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu................................................................................. 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu................................................................................ 1
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.............................................................. 2
5. Phương pháp nghiên cứu........................................................................... 2
PHẦN NỘI DUNG..........................................................................................3
CHƯƠNG 1. CHUỖI SỐ................................................................................3
1. Định nghĩa................................................................................................. 3
2. Sự hội tụ.................................................................................................... 3
3. Chuỗi số dương......................................................................................... 4
4. Chuỗi có số hạng với dấu bất kì................................................................ 7
CHƯƠNG 2. CHUỖI HÀM SỐ................................................................... 10
1. Các định nghĩa.........................................................................................10
2. Sự hội tụ của chuỗi hàm.......................................................................... 11
3. Các tính chất của tổng chuỗi hàm............................................................ 12
4. Chuỗi lũy thừa......................................................................................... 14
5. Chuỗi hàm lượng giác............................................................................. 19
CHƯƠNG 3. BÀI TẬP.................................................................................. 22
1. Chuỗi số.................................................................................................. 22
2. Chuỗi hàm............................................................................................... 32
KẾT LUẬN.................................................................................................... 58
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................. 59


PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích toán học là một trong những môn học cơ bản của chương trình
khoa Toán. Nó đóng vai trò quan trọng trong việc học tập ngành Toán. Giải
tích Toán học có nhiều ứng dụng trong nghiên cứu Toán học và trong các

ngành khoa học khác.
Bởi vậy, việc nắm vững môn học này là yêu cầu rất cần thiết phải đạt
được đối với mỗi sinh viên khoa Toán.
Trong quá trình học môn Giải tích toán học ở trường Đại học, lý thuyết
về chuỗi rất được quan tâm. Nó gồm 2 phần:
1. Lý thuyết chuỗi số
2. Lý thuyết chuỗi hàm
Lý thuyết về chuỗi số chính là sự mở rộng của lý thuyết tổng đại số phổ
thông. Mặt khác, khi nhận xét chuỗi hàm tại một điểm xác định thì chuỗi hàm
trở thành chuỗi số. Vậy mọi tính chất của tổng đại số ở phổ thông có còn
đúng với tổng vô hạn các số hạng hay không? Sự hội tụ của một tổng vô hạn
(chuỗi số) như thế nào? Đề tài này sẽ giúp chúng ta nghiên cứu và tìm hiểu về
lý thuyết chuỗi.
2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, cung cấp cho sinh viên
những kiến thức về môn giải tích mà nội dung chủ yếu là lý thuyết chuỗi. Từ
đó nâng cao năng lực tư duy logic đặc thù của bộ môn.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Đưa ra những kiến thức về lý thuyết chuỗi
- Đưa ra một số bài tập áp dụng

Hoàng Thị Bích Thủy

-1
-

K34A - SP Toán


4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: lý thuyết chuỗi
- Phạm vi nghiên cứu: những kiến thức cơ bản của lý thuyết chuỗi
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý luận và đánh giá tổng hợp.


PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. CHUỖI SỐ
1. Định nghĩa

n

An a1 a2 ... an

Cho dãy số a1, a2 ,..., an .
Đặt

a k



k 1


n

Ký hiệu: A a k lim An 
lim a k và gọi a k
k 1

n



là một chuỗi số.

n

k 1




k

1

Nếu dãy

hội tụ và lim An 
A

 An 

thì ta nói chuỗi



hội tụ và có


ak

n

k 1

tổng bằng A .



Nếu dãy  An không có giới hạn hữu hạn thì ta nói chuỗi
số

a

k

Ta gọi an là số hạng của chuỗi số,

phân kỳ.

k 1

n

An 

là tổng riêng thứ n , còn

a
k

k 1

dãy  An là dãy tổng riêng của chuỗi số.
2. Sự hội tụ
Định lí 2.1.
Nếu ta thêm vào hoặc bớt đi một số hữu hạn các số hạng của một chuỗi
nào đó thì không làm thay đổi tính hội tụ hay phân kỳ của chuỗi.


Nếu ta thay đổi thứ tự của một số hữu hạn số hạng của một chuỗi hội tụ
thì chuỗi mới nhận được cũng hội tụ và có cùng tổng với chuỗi ban đầu.
Định lí 2.2.


Nếu chuỗi

a

k 1

k

hội tụ thì lim an 0
n


Nếu lim

an

không tồn tại hoặc tồn tại nhưng khác không thì chuỗi

n


phân kỳ.


ak

k 1

Định lí 2.3.



Giả sử các chuỗi



 và
a

n
n1

hội tụ và có tổng lần lượt là A và B ,

bn

n1

và là các hằng số thực.



(


Khi đó,

n

1

có tổng bằng A B .

n


a


b
)

Định lí 2.4. (Điều kiện cần và đủ để chuỗi hội tụ )


Điều kiện cần và đủ để chuỗi

a
tụ là:

n

hội

cũng là chuỗi hội tụ và

sao
0,
n0 n0 ()

n1

cho n n
0
*
,p □

ta đều có: an
1



Từ đó suy ra chuỗi



an  n .
p
2
 a

phân kỳ khi và chỉ khi tồn tại một số



0 0
để

an

n1

với mọi n □
một số

*

tồn tại

p0 nguyên dương sao cho An
p

3. Chuỗi số dương


0



A 0 .
n


3.1.

(1)

Định nghĩa: Cho chuỗi

a

n

Nếu mọi số hạng
an

n1

đều dương thì ta gọi chuỗi (1) là chuỗi số dương.

3.2. Sự hội tụ
Định lí 3.2.1. Điều kiện cần và đủ để chuỗi số dương hội tụ là dãy tổng riêng
của nó bị chặn.
Chú ý : Định lí trên có ý nghĩa thực hành lớn. Nếu như trước muốn



xét sự hội tụ của chuỗi

chúng ta phải chỉ ra sự hội tụ của dãy các tổng


an

n1


riêng

của nó thì đối với chuỗi số dương ta chỉ cần chứng minh
bị

 An 

 An 

chặn trên.
Định lí 3.2.2. (Dấu hiệu so sánh)


Giả sử



 b

an và

là 2 chuỗi số dương thỏa mãn điều kiện:

tồn tại

n1

một số tự nhiên n0

n

n1

và một hằng số C
0


b

n

hội tụ thì chuỗi

a

n1

n

n1


ii)



Nếu chuỗi

a

n

b

n1

n

n1



Hệ quả : Cho 2 chuỗi số dương a n và

bn1

n1



an



n

n


ii)

*
. Nếu n □
ta có

n1



n

hội tụ

n1

phân kỳ nếu
b
a

n
n1

n

bn

 hội tụ nếu
a
b

n1

b

thì :


i)

phân kỳ.

phân kỳ thì chuỗi



an1

n n0 . Khi
đó:

hội tụ.



Nếu chuỗi

i)

sao cho an 
Cbn

n1


phân kỳ




Định lí 3.2.3. Cho 2 chuỗi số dương  an và bn .
n1

n1

an

Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn hay vô hạn lim

bn

n
i)

Nếu 0 k thì cả 2 chuỗi cùng hội tụ hoặc cùng
phân kỳ.


ii)

Nếu k 0 và

b

n

n1



hội tụ thì

a

hội tụ.

n
n1



iii)

k .



Nếu k  phân kỳ thì
và  bn
a
n1



n

n1

phân kỳ.


Định lí 3.2.4. (Dấu hiệu Cauchy)


Cho chuỗi số dương

a

n

, giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn hay

vô hạn
n1

lim n
an

C . Khi đó:

n


i) Nếu C 1thì chuỗi đã cho hội tụ.
ii) Nếu C 1thì chuỗi đã cho phân kỳ.
Định lí 3.2.5. (Dấu hiệu D’Alembert)


Cho chuỗi số dương
lim
n

a n 1

d . Khi đó:

an
i) Nếu

a

n

. Giả sử tồn tại giới han hữu hạn hay

vô hạn
n1

d 1thì chuỗi đã cho hội tụ.

ii) Nếu d 1thì chuỗi đã cho phân kỳ.
Chú ý: Trong các dấu hiệu Cauchy hoặc D'Alembert nếu các giới hạn
an1
lim n
hoặc lim
không tồn tại thì ta có thể thay bằng các giới hạn trên
n
an
n
 a

n
an1
( lim n an ,
) các giới hạn này luôn tồn tại và có kết luận tương tự.
lim
n
n a
n
Định lí 3.2.6. (Dấu hiệu tích phân)


Cho chuỗi số dương a n .
n1

Giả sử

f (x) là một hàm đơn điệu giảm và liên tục trên 1,
 sao cho


f (n) 
An ,

x f
n  Khi đó nếu tồn tại
lim
1, 2,...
 (t)dt
x


1



a
n1

n

hội tụ.

hữu hạn thì chuỗi


Định lí 3.2.7. (Dấu hiệu Raabe)
(1)



Cho chuỗi số dương

a
i)

n

n1

Nếu tồn tại một số
an

n  ta đều có Rn 
an
n0
n(
1
ii)

r

và một số tự nhiên n0 sao cho với mọi

1
1) r 1 thì chuỗi (1) hội tụ.

Nếu tồn tại số tự nhiên n0

thì chuỗi (1) phân kỳ.

sao cho với mọi n  ta đều có Rn 
n0
1

Định lí 3.2.8. (Dấu hiệu Gauss)


Cho

a

là chuỗi số dương. Giả sử

n

an


1
nn

a

n1

n1

một số dương,

n



 trong đó  là
n

là đại lượng bị chặn với mọi n . Khi đó:

i) Nếu 1thì chuỗi (1) hội tụ, nếu 1thì chuỗi (1) phân
kỳ.
ii) Với
kỳ.

 1thì chuỗi (1) hội
1nếu

1thì chuỗi (1)

tụ, nếu

phân

4. Chuỗi có số hạng với dấu bất kì
4.1. Chuỗi đan dấu
Định nghĩa 4.1.1. Một chuỗi số có dạng
dấu được gọi là chuỗi đan dấu.

Đị
nh
lí
4.1.
1.

(
D
ấ
u
h

iệu
Leibniz)




n1


(1)

n1

trong n số
đó các

a
Nếu dãy số

 an 


 (1)
n1

1

n
n

là dãy đơn điệu giảm và lim an
0

an cùng
thì chuỗi

n

hội tụ.

a
Chú ý: Trong định lí Leibniz giả thiết về tính đơn điệu giảm dần về 0

khi n
có ý nghĩa quan trọng vì có những ví dụ chứng tỏ rằng
 của
dãy an


mặc dù lim an
0

nhưng anlà dãy không đơn điệu thì
chuỗi

n

thể phân kỳ.



(


a có

n1

n

1

1)

n

Định lí 4.1.2. (Dấu hiệu Dirichlet)
Giả thiết:


a) Chuỗi
M 0 sao
cho:

a

n

có dãy các tổng riêng bị chặn, tức là tồn tại

một số
n1

A a1 a2  M với mọi n
... an
b)bn là dãy đơn điệu giảm và lim bn 0 .
n



hội tụ.

Khi đó chuỗi

a

n

bn

n1

4.2. Hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ




Xét chuỗi  an và lập chuỗi an .
n1

n1





hội tụ, thì chuỗi  an cũng hội tụ.

Định lí 4.2.1. Nếu chuỗi

a

n

n1

n1


Chú ý: Điều kiện chuỗi

hội tụ chỉ là điều kiện đủ để cho chuỗi


a

n
n1



a
n1

n

hội tụ. Điều ngược lại có thể không đúng.

Định nghĩa 4.2.1.




a) Nếu chuỗi


a

tuyệt đối.

hội tụ, thì chuỗi

n
n1



a
hội tụ
n1

n

được gọi là chuỗi






b) Nếu chuỗi

a n hội tụ nhưng



n1

n
n1

phân kỳ, thì chuỗi

a

chuỗi


a
n1

n

được gọi là hội tụ có điều kiện (hay bán hội tụ).

Định lí 4.2.2. (Dirichlet)




Giả sử a n là chuỗi hội tụ tuyệt đối;
n1

n0

 □
:□

a

n

S .

là một song ánh trong đó □là tập

số tự nhiên. Khi đó chuỗi





 cũng hội tụ tuyệt đối và  a
n0

(n)

S

a (n)
n0

Định lí 4.2.3. (Định lí Riemann)


Cho chuỗi hội tụ không tuyệt đối
an  ...

a

n

a1 a2 ...

n1

Khi đó với số L cho trước (hữu hạn hay vô hạn), ta có thể hoán vị các
số hạng của chuỗi số để nhận được một chuỗi có tổng bằng L .


CHƯƠNG 2. CHUỖI HÀM SỐ
1. Các định nghĩa
Định nghĩa 1.1
Giả sử f1, f2 ,..., f n
,...
X □ .
Điểm

x0

X

là một dãy các hàm số xác định trên tập hợp

được gọi là điểm hội tụ của dãy hàm số ấy nếu dãy số

fn (x0 )hội tụ. Tập hợp những điểm hội tụ của dãy hàm số
fnđược

gọi là tập hợp hội tụ của nó.

Như vậy, nếu dãy hàm số fn hội tụ tới hàm số f trên tập hợp X ,
thì
tại mỗi điểm x X , với
mọi số



cho trước, luôn tìm được một số


0

n0 □ sao cho với
n n0 ta đều fn (x) f (x) .
mọi
có
Định nghĩa 1.2
Cho dãy hàm

cùng xác định trên 1 tập X □ . Chuỗi hàm là
biểu

u n 



thức dạng u1 (x) u2 (x) ... un (x)
... 

u

n

(1)

(x)
n1



Nếu tại x0 X
chuỗi số

u

n

(x0 ) hội tụ thì x0 là điểm hội tụ của

ta nói
n1



Hoàng Thị Bích Thủy

- 10
-

K34A - SP Toán


chuỗi hàm (1), nếu u n (x0 ) phân kỳ thì ta nói chuỗi hàm (1)
phân kỳ tại

x0 .

n1

(1).

Tập X *

X

gồm tất cả các điểm hội tụ của (1) gọi là miền hội tụ của

Giả sử (1) hội tụ trên miền X * 
X về
và ký hiệu:

S (x)
thì

S (x) gọi là tổng của (1)



S (x) u n (x)
n1

Hoàng Thị Bích Thủy

- 10
-

K34A - SP Toán


Khi đó biểu thức rk (x)


S (x) Sk (x) gọi là số dư thứ k của chuỗi
(1),



lim rk (x) 0 và rk (x) un (x) .

k 

nk 1



Chuỗi hàm

u

k

(x) được gọi là hội tụ đều trên X nếu với mọi

 0 tồn
k 1

tại số tự nhiên n0 n0 () không phụ thuộc vào x sao cho khi n n0 thì
rn (x) 



u
(x) 

k

với mọi x X

k n1

Từ định nghĩa suy ra rằng nếu chuỗi hàm hội tụ đều trên tập X thì nó

cũng hội tụ trên tập đó, điều ngược lại chưa chắc đúng.
2. Sự hội tụ của chuỗi hàm
Định lí 2.1. (Điều kiện cần và đủ Cauchy)

hội tụ đều trên tập X khi và chỉ khi với 
cho
Chuỗi hàm 

uk (x)
0
k 1
trước tồn tại số tự nhiên

n0 n0 () (không phụ thuộc vào x ) sao cho với
mọi
nm

m nguyên dương đều xảy ra

u

k n1

k

(x) với mọi x X .

Định lí 2.2. (Dấu hiệu Weierstrass)

gồm các hàm

Cho chuỗi hàm số  un
un (x)

xác định trên tập X . Giả

n1

thiết tồn tại một dãy số dương cn  sao cho
Hoàng Thị Bích Thủy

- 11
-

K34A - SP Toán


a)

un (x)  x X ,n □
cn

*



b) Chuỗi số c n hội tụ
n1



Khi đó chuỗi hàm u n (x) hội tụ đều trên X .
n1

Hoàng Thị Bích Thủy

- 12
-

K34A - SP Toán


Định lí 2.3. (Dấu hiệu Dirichlet)
Cho 2 dãy hàm an,bn cùng xác định trên tập X . Giả thiết


a) Dãy tổng riêng An (x) của chuỗi
hàm



bị chặn đều trên X có

a n (x)
n1

n

nghĩa là tồn tại một số M 0 sao
cho:

An (x) a k n , x
X
(x) M
k 1

b) Dãy hàm bn đơn điệu có nghĩa là với mỗi x  b
n
X dãy
(x)
đơn điệu và dãy hàm
hàm

bn hội

là dãy số

tụ đều trên X đến không. Khi đó chuỗi



a
n1

n

(x)bn (x) hội tụ đều trên X .

Định lí 2.4. (Dấu hiệu Abel)
Cho 2 dãy hàm

an,bncùng xác định trên tập

X . Giả thiết



a)Chuỗi hàm a n (x) hội tụ đều trên X
n1

 Dãy hàm
b n 
mọi x X
dãy số

đơn điệu với mọi x và bị chặn đều có nghĩa là với
bn
(x)

là dãy đơn điệu và tồn tại số M  sao cho
0

bn (x)  n * ,x X .
M
□


Khi đó chuỗi

a

n1

n

(x)bn (x) hội tụ đều trên X .

3. Các tính chất của tổng chuỗi hàm


3.1. Tính liên tục
Định lí 3.1.1.


Cho chuỗi hàm u n (x). Giả thiết rằng:
n1

a)

u
n

là các hàm liên tục trên tập X .