Lý thuyết điểm bất động của ánh xạ đa trị

MỤC LỤC
Lời mở đầu
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian metric.......................................................................................3
1.2. Không gian định chuẩn, không gian Banach
Không gian tôpô..........................................................................................6
1.3. Tập hợp lồi.................................................................................................. 8
1.3.1. Định nghĩa và tính chất.....................................................................8
1.3.2. Bao lồi và bao đóng...........................................................................9
1.4. Ánh xạ đa trị.............................................................................................. 10

Chương 2
Điểm bất động của ánh xạ đa trị
2.1. Định lý Caristi...........................................................................................14
2.2. Định lý Nadler........................................................................................... 18
2.3. Nguyên lý điểm bất động Brouwer và suy rộng........................................ 23
2.3.1. Nguyên lý điểm bất động Brouwer.................................................. 23
2.3.2. Bổ đề phân hoạch đơn vị................................................................. 31
2.3.3. Định lý Kakutani.............................................................................33
2.3.4. Điểm bất động trong không gian định chuẩn................................... 37
Kết luận
Tài liệu tham khảo


LỜI MỞ ĐẦU
Nhiều hiện tượng trong thực tế dẫn đến việc nghiên cứu sự tồn tại, duy
nhất và xây dựng xấp xỉ cho phương trình phi tuyến. Phương pháp điểm bất
động là một trong các phương pháp quan trọng và hữu hiệu nhất để chứng
minh sự tồn tại và nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm của các lớp phương trình
phi tuyến khác nhau. Lý thuyết điểm bất động ra đời từ những năm 1920,

được hoàn thành và phát triển cho tới ngày nay để có thể áp dụng cho ngày
càng nhiều lớp phương trình.
Cùng với sự phát triển của khoa học và do nhu cầu phát triển nội tại của
toán học, các ánh xạ đa trị đã được đưa vào nghiên cứu từ những năm 1950.
Chúng là công cụ hữu hiệu để mô tả nhiều hiện tượng của tự nhiên, xã hội,
kinh tế, ... Từ đó, nảy sinh ra yêu cầu phát triển các phương pháp nghiên cứu
với ánh xạ đa trị, trong đó có phương pháp điểm bất động.
Ngày nay, lý thuyết điểm bất động cho các ánh xạ đa trị đã thu được
nhiều kết quả có giá trị. Tuy nhiên đây vẫn là hướng nghiên cứu đang được
các nhà Toán học quan tâm nghiên cứu và hứa hẹn đạt tới những kết quả thú
vị về lý thuyết cũng như ứng dụng.
Với những lý do đó em đã chọn đề tài:
“Lý thuyết điểm bất động của ánh xạ đa trị”
Mục đích của khoá luận này là trình bày một số định lý điểm bất động
cho ánh xạ đa trị , nguyên lý điểm bất động Brouwer và suy rộng của nó.
Nội dung khoá luận gồm 2 chương
Chương 1: Nhắc lại một số kiến thức của giải tích hàm về một số không gian,
tập hợp và một số định nghĩa về ánh xạ dùng cho chương 2
Chương 2: Chương này giới thiệu một số định lý về điểm bất động của ánh
xạ đa trị , định lý điểm bất động của ánh xạ đa trị có tính chất co, nguyên lý
điểm bất động Brouwer và suy rộng của nó.

2


Bản khoá luận này được hoàn thành tại trường đại học sư phạm Hà Nội
2 dưới sự hướng dẫn của thầy Phùng Đức Thắng. Em xin bày tỏ lòng biết ơn
sự chỉ bảo, giúp đỡ tận tình của thầy trong quá trình em hoàn thành khoá luận
này.
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ, dạy bảo của các thầy cô khoa

toán trường đại học sư phạm Hà Nội 2 trong suốt thời gian em học tập tại
trường.
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Ngô Ngọc Huyền


CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. KHÔNG GIAN METRIC
Định nghĩa 1.1.1.
Không gian metric là một cặp
hợp khác

( Χ,

d

) , trong đó Χ

là một tập

rỗng, d : Χ × Χ → □ thoả mãn các điều kiện sau
i) Với mọi

x, y ∈Χ : d ( x, y ) ≥ 0
d ( x, y

ii)Với mọi

⇔

)=

0

x = y x, y

∈Χ : d ( x, y

)=

d ( y, x

)

iii) Với mọi x, y, z ∈Χ : d ( x, y

(z, y )

Ánh xạ d gọi là metric trên Χ
Mỗi phần tử của Χ gọi là một điểm

)

≤ d ( x, z

d ( x, y
từ

)

+ d

) gọi là khoảng cách

của Χ ; điểm x tới điểm y.
Định nghĩa 1.1.2.
Cho không gian metric ( Χ, d
gọi

) , a ∈Χ

, số r > 0 . Ta

Tập Tập


Β( a, r

) = {x

∈Χ : d ( x, a ) < r} là hình cầu mở tâm a , bán kính
r.

Β[ a, r] = {x ∈Χ : d ( x, a ) ≤ r} là hình cầu
đóng tâm a , bán kính r .
Định nghĩa 1.1.3.
Α ⊂ Χ . Ta gọi lân cận của

Cho không gian metric
điểm x ∈Χ là
( Χ, d ) ,
hình cầu mở tâm x bán kính r > 0 nào đấy.


Định nghĩa 1.1.4.
Cho không gian metric

( Χ,

d ),

Α ⊂ Χ . Điểm x ∈Χ
gọi là điểm trong
của Α nếu tồn tại một lân cận
của x bao hàm trong Α .
Định nghĩa 1.1.5.
Cho
không
gian
metric

( Χ,
),

d

Α ⊂ Χ .
Α là tập đóng

trong Χ nếu
với

mọi điểm x ∈Α thì tồn tại
một lân cận của x giao
Α bằng rỗng.
Định lý 1.1.1.
Trong không gian metric bất kỳ
mọi hình cầu đóng là tập đóng.
Định lý 1.1.2.
Trong không gian metric bất kỳ
thì
a. Giao của một họ tuỳ ý những
tập hợp đóng là một tập hợp
đóng.
b. Hợp của một họ hữu hạn các
tập đóng là một tập hợp
đóng.
Định lý 1.1.3.
Cho không gian
metric

( Χ,

) . Tập Α

d

⊂

Định nghĩa 1.1.4.
Χ và

xn
( n → ∞)
Α ≠
→
x
φ .
Điểm x gọi
Tập
là giới hạn
Α đó
ng
của dãy {xn
là tập hợp
}.
hội tụ tới
đóng nếu và
điểm x thì x
chỉ
Định lý 1.1.4.
∈Α .
Tập hợp
Α trong
không gian

trong Χ khi
và chỉ khi mọi

dãy điểm {xn

}⊂

A

Định nghĩa 1.1.6.

Ctrong không gian
h
ometric ( Χ, d ) .
Ta nói dãy {xn }
d
ã
y

metric
hội
tụ

{
x
n

}
tới điểm
x
∈Χ
nếu
∀ε >

0, n0

∈
□
:n
>
n

*

K m
hoặc
ý
x
n
hi →
∞
ệu
:
li

thì , x
d

(x
n

)<ε

d

0

( Χ,

)

nếu mọi dãy hội tụ trong
Α đều hội tụ tới điểm thuộc
Α .


Định nghĩa 1.1.7.
Giả sử Α là tập hợp tuỳ ý trong một không gian metric Χ .
Số

δΑ

= sup d ( x, y
x ,y∈Α

)

được gọi là đường kính của tập Α , nó có thể là một số hữu hạn hay
vô hạn. Nếu δΑ < ∞ thì Α được gọi là một tập hợp bị
chặn.
Từ định nghĩa ta có điều kiện sau
a. Để tập hợp Α là bị chặn, điều kiện cần và đủ là tồn tại một
hình cầu
Β ( x 0 chứa Α .
,R)

b. Hợp của một số hữu hạn những tập hợp bị chặn là một tập hợp bị
chặn.
Định nghĩa 1.1.8.
Tập hợp Κ trong không gian metric

( Χ,

d

điểm {xn } trong Κ đều có một dãy
con

{x

gọi là compact nếu mọi dãy

)
k

} hội tụ đến một điểm thuộc
Κ.

n

Định nghĩa 1.1.9.
Dãy {xn } trong không gian metric

( Χ,

d

)

được gọi là dãy cơ bản
0

(hay dãy Cauchy) nếu
∀ε > 0, ∃n0

*

∈Ν : n, m
∈Ν và n, m
> n
d ( x m , xn ) < ε

Định nghĩa 1.1.10.

thì


Định nghĩa 1.1.7.
Không gian
metric ( Χ, d

)

được gọi là không gian đầy đủ (hay không

gian metric đủ) nếu mọi dãy cơ bản trong Χ đều hội tụ tới một điểm

thuộc
Χ .
Nghĩa là, nếu dãy

{xn }
lim xn ∈Χ .

là dãy cơ bản trong Χ thì tồn tại lim
xn và


1.2. KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN, KHÔNG GIAN BANACH
KHÔNG GIAN TÔPÔ
Định nghĩa 1.2.1.
Giả sử Κ là một trường số thực □ hoặc trường số phức □ . Tập
hợp
Χ cùng với hai ánh xạ (gọi là phép cộng và phép nhân
vô hướng) Phép cộng xác định trên
Χ × Χ và lấy giá trị trong Χ

( x, y )

→ x + y ; x, y ∈Χ

Phép nhân vô hướng xác định trên Κ × Χ và lấy giá trị
trong Χ

( λ,

x

)

→ λx ; λ ∈Κ, x
∈Χ

gọi là một không gian tuyến tính (hoặc là không gian vectơ) thoả mãn 8 tiên
đề sau
1) ∀x, y ∈Χ : x + y = y + x
2) ∀x, y, z ∈Χ : ( x + y
+ z)

)

+ z= x+

(y

3) Tồn tại một phần tử 0 của Χ sao cho ∀x ∈Χ :
x+ 0 = x
4) Với mỗi x ∈Χ , tồn tại phần tử ( −x

)+

) sao cho: ( −x

x = 0

5) ∀λ ∈ Κ,∀x, y ∈Χ : λ

)

= λ x + λy

6) ∀x ∈Χ,∀λ ,

(λ

+

µ )

µ

∈Κ :

x = λx + µx

(x

+ y


7) ∀x ∈Χ, ∀λ ,
=

µ ∈Κ : (λµ ) x

λ ( µx )

8) ∀x ∈Χ :1.x = x
Định nghĩa 1.2.2. (Định nghĩa không gian định chuẩn)
Cho Χ là không gian tuyến tính trên trường Κ
+) Chuẩn trong Χ là một ánh xạ
. :Χ → □
x x


Thoả mãn 3 tiên đề
i)x ≥
0,

∀x ∈Χ

x = 0
⇔
x= θ
ii)

(θ là véctơ 0)

λ x
= λ. x

∀x ∈Χ,

λ

∈Κ

,
iii)

x
+ y
≤

x
+ y
,

∀x, y ∈Χ

+) Không gian định chuẩn là ( Χ, .

) trong đó:

Χ là một không gian tuyến tính
. là một chuẩn trong Χ
Khi đó x ∈Χ thì x gọi là chuẩn của vectơ x .

Định nghĩa 1.2.3. (Định nghĩa không gian Banach)
Nếu không gian định chuẩn Χ là một không gian metric đầy đủ
và
khoảng cách

d ( x,

y) =

x
−
y

thì Χ được gọi là không gian định chuẩn
đầy

đủ hay gọi là không gian Banach.
Định nghĩa 1.2.4. (Định nghĩa không gian tôpô)


Một họ các tập con τ
Χ
∈ 2

của tập hợp Χ được gọi là một tôpô
trong Χ

nếu thoả mãn các điều kiện sau
i)

φ ∈τ , Χ ∈τ .
ii) Giao của một họ hữu hạn tuỳ ý các tập hợp thuộc τ là
một tập thuộc τ .
iii)Hợp của một họ tuỳ ý các tập thuộc τ là một tập thuộc τ .

Các tập thuộc τ được gọi là các tập mở. Phần bù của một tập mở trong
Χ gọi là một tập đóng.

Tập Χ được trang bị một tôpô τ được gọi là một không gian
tôpô và
được ký hiệu bởi

(Χ,τ )

hoặc đơn giản là Χ .

1.3. TẬP HỢP LỒI
1.3.1. Định nghĩa và tính chất Định
nghĩa 1.3.1.
Giả sử X là một không gian tuyến tính, □ là tập các số thực. Tập
A
được gọi là lồi nếu: ∀x1, x2
⊂
∈ A, ∀λ ∈□
X

:0 ≤ λ ≤ 1 thì

λ x 1 + (1
− λ ) x2
∈ A
Hàm số f : A → □ được gọi là lồi nếu tập A lồi và
f

(λ x

1

+ (1 − λ

) , với ∀x1,

) x2 )

≤ λ f (x1 ) + (1 − λ

x2 ∈ A,∀λ :0 ≤

) f (x2

λ ≤ 1

Ví dụ 1.3.1.
1) Cho X là một không gian định chuẩn,
và

hình cầu đơn vị

B=

{u

∈ X : u
− u0

u0
∈
X ,

≤ r} là lồi.

2) Cho X là không gian định chuẩn với chuẩn . .
Đặt
đó, hàm số

Mệnh đề 1.3.1.

r ≥ 0 . Khi
đó

f ( u ) u . Khi
=


f : X → □ liên
tục và lồi.
Giả sử

Aα ⊂
là các tập lồi, với I là tập chỉ số bất kỳ.
X,
α ∈ I

Khi đó tập
Mệnh đề 1.3.2.

A=

cũng lồi.

Aα

α∈I

Giả sử tập

Ai
⊂
X

lồi, λi
∈□

(i = 1, 2,..., m) . Khi đó

λ A + λ A
1 1
2 2
m ... + λ A
+

m

là tập lồi.


Mệnh đề 1.3.3.
Một tập lồi A trong không gian □ k

bao giờ cũng có ít nhất một điểm

trong tương đối.
Mệnh đề 1.3.4.
Nếu một tập lồi A có một điểm trong a và nếu b
∈ A
c = αa
+

(1

−

α )b

thì mọi điểm

α ≤ 1 cũng là điểm trong của A .

với 0 <

Mệnh đề 1.3.5.
Giả sử

X , Y là các không gian tuyến
tính ,

T:X
là toán tử tuyến

→
Y

tính. Khi đó
a) A
lồi suy ra T
⊂
X
b) B
⊂
X

lồi.

lồi suy ra nghịch ảnh T −1

Định nghĩa 1.3.2.
Vectơ x
∈ X

( A)

(B )
được gọi là tổ hợp lồi của các vectơ x1, x2 ,...,
xm ∈ X
m

tồn tại λi > 0 (i = 1, 2,..., m),

∑λ

i

của ảnh B là tập lồi.

= 1 sao cho

i=1

m

x=

∑λ
x .

i
i=1

Định lý 1.3.1.

Giả sử tập A lồi,

i

nếu


x1, x2 ,..., xm ∈ A
Khi đó A chứa tất cả các tổ hợp lồi

của

x1, x2 ,..., xm .

1.3.2. Bao lồi và bao đóng Định
nghĩa 1.3.2.1.
Giả sử tập Α ⊂ Χ , giao của tất cả các tổ hợp lồi chứa
Α được gọi là bao
lồi của tập Α và ký hiệu là co Α .
Nhận xét 1.3.2.1.
a. co Α là một tập lồi và là tập hợp lồi nhỏ nhất chứa Α .
b. Α lồi thì co Α = Α .


Định lý 1.3.2.1.
co Α trùng với tất cả các tổ hợp lồi của Α .
Hệ quả 1.3.2.1.
Tập Α lồi ⇔
Α .

Α chứa tất cả các tổ hợp lồi của

Định nghĩa 1.3.2.2.
Giả sử tập Α ⊂ Χ , giao của tất cả các tập hợp lồi,
đóng chứa Α được gọi là bao lồi đóng của tập Α, ký hiệu là
co Α .
Nhận xét 1.3.2.2.
co Α là một tập hợp đóng, đó là tập đóng nhỏ nhất chứa Α .
Định lý 1.3.2.2.
Bao lồi đóng của tập Α trùng với bao đóng của

bao lồi Tức là co Α = co Α

1.4. ÁNH XẠ ĐA TRỊ
Xét phương trình:
(P)

n−1

n

a x + ax
+ a x+ a
n

+ ...

n−1

=
0,

1

0

a
≠ 0, x ∈□
∈□ ,
a
1

n

Ta thấy phương trình (P) luôn có n nghiệm phức. Ứng với mỗi bộ số

(a0 , a1,...,
an )

ta có một tập nghiệm, ký hiệu sol(P) , tương ứng. Ta thiết lập

tương ứng :

F:□
(a , a ,..., a
0

1

n

)
□
∈
n+1
18

n+1

→ 2

 sol(P)

□


□

ở đó 2 là tập các tập con của tập hợp số phức □ .
Ta thấy F không phải là ánh xạ theo nghĩa thông thường.
Xét phương trình (P) trên tập số thực □ . Ta cũng thiết lập tương ứng

19


G:□
(a , a ,..., a
0

1

n

n+1

)
□
∈
n+1

→ 2

□

 sol(P)

Ta thấy G cũng không phải là ánh xạ theo nghĩa thông thường . Tuy nhiên
việc nghiên cứu tính chất của G cũng rất hữu ích vì nó cho ta thấy mối liên hệ
giữa các hệ số với sự tồn tại nghiệm của phương trình (P) trên tập số thực □ .
Điều này cho thấy sự cần thiết phải mở rộng khái niệm ánh xạ theo nghĩa
thông thường và nghiên cứu những tính chất của nó.
Định nghĩa 1.4.1.
Cho Χ là hai không gian tôpô. Ký hiệu 2Y được hiểu là tập các tập
,Y
hợp con của tập hợp Y . Tương
ứng
Dom F
=

F (x

{x

=

{y

được gọi là miền hữu hiệu.

)≠

∈Χ :
Im F

F:X
được gọi là ánh xạ đa trị.
→
Y
2

∅}
∃x ∈ X , y ∈ F ( x

)}

được gọi là ảnh.

∈ Y:
graph F =

{( x,

y)∈ X × Y :

y ∈ F (x

)}

được gọi là đồ thị.

Nhận xét 1.4.1.

Với mỗi x
∈ DomF , nếu

F

(x )

chỉ gồm duy nhất một phần tử thì F là

ánh xạ đơn trị (ánh xạ theo nghĩa thông thường).


Ví dụ 1.4.
a, Ánh xạ đa trị
F : □ → 2□
x  F (x
Ta có

)=

{x }
2

Dom F
=□
Im F
= □+
graph F =

) ∈□

{(x, y

× □ :

y= x

2

}


Ta thấy F cũng chính là ánh xạ đơn trị.
b, Ánh xạ đa trị

F : □ → 2□
x  F (x

)=

Ta có

2

y = x

{y ∈□

}

:

{x ∈□ :
= {x ∈□ :

F (x

Dom F =

∅

}

2

∃y ∈□ , y +
= x

Im F =

{y ∈□ : ∃x

=

{y ∈□ : ∃x

}= □

∈□ , y ∈ F ( x

∈□ , y
∈

)≠

x, x
−

}} = □

{

graph F =

{( x, y ) ∈□

× □ : y ∈ F (x

=

{( x, y ) ∈□

× □:y = x

2

)}

)}

}

Định nghĩa 1.4.2.
Y

F : X → 2 từ không gian tôpô X vào không
Ánh xạ đa trị
gian tôpô Y
được gọi là nửa liên tục trên tại x ∈
DomF
mãn

( )

F x

⊂ V

nếu với mọi tập mở V
⊂ Y

có tồn tại lân cận mở U của x sao cho

thoả


F (x

)⊂

V,

∀x ∈U ∩ DomF .

Nếu F nửa liên tục trên tại mọi điểm thuộc DomF thì F được gọi là
nửa liên tục trên ở trên X .
Định nghĩa 1.4.3.
Ánh xạ đa trị

Y

F : X → 2 từ không gian tôpô X vào không
gian tôpô Y

được gọi là nửa liên tục dưới tại x ∈
DomF
mãn

F

(x ) ∩

nếu với mọi tập mở V
⊂ Y

thoả

V ≠ ∅ có tồn tại lân cận mở U của x sao cho

F (x

)∩

V ≠ ∅ , ∀x ∈U ∩ DomF .

Nếu F nửa liên tục dưới tại mọi điểm thuộc DomF thì F được gọi
là nửa liên tục dưới ở trên X .
Ánh xạ F : X
→
Y
2

được gọi là liên tục tại x ∈
DomF

nếu F đồng thời

nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại mọi điểm thuộc DomF thì F
được gọi là liên tục ở trên X.


CHƯƠNG 2

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ
Trong chương này em sẽ trình bày một số định lý điểm bất động cho ánh
xạ đa trị trong không gian metric đủ

( X , ρ ) , có thể xem như khái quát

nguyên lý ánh xạ co Banach.
2.1.Định lý Caristi
Định nghĩa 2.1.
Ta nói hàm số

f : X → là nửa liên tục dưới nếu với mọi α
∈□
[−∞,
+∞]

tập {x ∈ X : f ( x

) ≤ α}

bao giờ cũng đóng.

Định lý 2.1. (Caristi)
Cho

Ρ :
Χ
→
Χ
2

là một ánh xạ đa trị từ một không gian metric đủ

( Χ, ρ )

vào chính nó, và f : Χ

là một hàm số nửa liên tục dưới, ≡
→ [0 +∞ .

Nếu

, +∞]

(∀x
∈

Χ)

(∃y
∈Ρ ( x

))

ρ ( x, y

)≤