Phép đồng dạng với bài toán chứng minh

TRƯỜNG

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

_ _ _ _***_ _ _ _

NGUYỄN THỊ MAI

PHÉP ĐỒNG DẠNG VỚI
BÀI TOÁN CHỨNG MINH
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Hà Nội - 2012


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

_ _ _ _***_ _ _ _

NGUYỄN THỊ MAI

PHÉP ĐỒNG DẠNG VỚI
BÀI TOÁN CHỨNG MINH
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
ĐINH VĂN THỦY

Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy, cô giáo trong tổ
hình học, các thầy cô trong khoa Toán đã tạo điều kiện giúp đỡ em
trong bốn năm học và trong khi em làm khóa luận.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy ĐINH VĂN
THỦY, người đã trực tiếp hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc giúp em
hoàn thành khóa luận này.
Do lần đầu tiên làm quen với việc nghiên cứu khoa học, hơn nữa do
thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế nên mặc dù đã có nhiều
cố gắng song không tránh khỏi nhiều thiếu sót. Em rất mong nhận được
sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo để khóa luận của em được
hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2012
Sinh viên
Nguyễn Thị Mai

Nguyễn Thị Mai

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Mai

K34A- Toán


LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan kết quả nghiên cứu trong đề tài này là do sự nỗ
lực, cố gắng của chính bản thân em dưới sự hướng dẫn chỉ bảo nhiệt
tình của thầy ĐINH VĂN THỦY và sự giúp đỡ nhiệt tình của các bạn
trong khoa Toán. Đề tài nghiên cứu của em không trùng với kết quả
nghiên cứu của các tác giả khác.
Nếu có gì không trung thực em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 05 năm 2012
Sinh viên
Nguyễn Thị Mai



MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài........................................................................................ 1
2. Nhiệm vụ nghiên cứu................................................................................. 2
3. Phương pháp nghiên cứu............................................................................ 2
NỘI DUNG........................................................................................................ 3
Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT....................................................................... 3
§1: Một số kiến thức chuẩn bị về vấn đề định hướng.....................................3
1. Mặt phẳng định hướng............................................................................ 3
2. Góc định hướng giữa hai tia.................................................................... 3

2.1

Định nghĩa...................................................................................... 3

2.2. Nhận xét.......................................................................................... 3
2.3. Tập giá trị........................................................................................ 3
2.4. Hệ thức Chales................................................................................. 4
3. Góc định hướng giữa hai đường thẳng.................................................... 4
3.1 Định nghĩa........................................................................................ 4
3.2 Nhận xét............................................................................................ 4
3.3 Tập giá trị......................................................................................... 4
3.4 Hệ thức Chales.................................................................................. 5
§2: Sơ lược về các phép biến hình trong mặt phẳng......................................5
1. Phép biến hình và các khái niệm liên quan............................................. 5
1.1 Định nghĩa........................................................................................ 5
1.2. Phép biến hình đảo ngược................................................................. 5
1.3 Phép biến hình tích........................................................................... 5
1.4 Phép biến hình đối hợp..................................................................... 6



1.5 Điểm bất động. Hình kép. Hình bất động.........................................6
2. Phép biến hình aphin...............................................................................6
2.1 Định nghĩa........................................................................................6
2.2 Sự xác định phép biến hình aphin.....................................................7
2.3 Phân loại...........................................................................................7
3. Phép biến hình đẳng cự..........................................................................7
3.1 Định nghĩa.......................................................................................7
3.2 Tính chất...........................................................................................7
3.3 Sự xác định phép đẳng cự.................................................................7

3.4 Phân loại...........................................................................................7
3.5 Các phép dời hình đặc biệt...............................................................8
3.5.1 Các định nghĩa...........................................................................8
3.5.2 Một số tính chất..........................................................................9
§3. Các phép đồng dạng trong mặt phẳng.......................................................9
1. Phép đồng dạng......................................................................................9
1.1 Định nghĩa........................................................................................9
1.2 Các tính chất cơ bản của phép đồng dạng.......................................10
1.3 Sự xác định phép đồng dạng trong mặt phẳng................................10
1.4 Phân loại.........................................................................................10
1.5 Sự đồng dạng của các hình.............................................................11
1.6. Dạng chính tắc của phép đồng dạng..............................................12
2. Phép vị tự..............................................................................................13
2.1 Định nghĩa......................................................................................13
2.2 Một số tính chất..............................................................................13
Chương II: ỨNG DỤNG PHÉP ĐỒNG DẠNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI
TOÁN CHỨNG MINH TRONG HÌNH HỌC PHẲNG..................................15
§1. GIẢI BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẰNG PHÉP ĐỒNG DẠNG.........15



1. Khái niệm bài toán chứng minh............................................................15
2. Giải bài toán chứng minh bằng phép đồng dạng..................................15
§2. CÁC VÍ DỤ VỀ ỨNG DỤNG PHÉP ĐỒNG DẠNG VỚI BÀI TOÁN
CHỨNG MINH............................................................................................16
1. Ứng dụng phép đồng dạng thuận vào bài toán chứng minh..................16
2. Ứng dụng phép đồng dạng nghịch vào bài toán chứng minh................31
3. Ứng dụng phép vị tự vào bài toán chứng minh.....................................36
CHƯƠNG III: HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP................................................42
KẾT LUẬN.....................................................................................................44

TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................45



MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Trong nhà trường trung học phổ thông hình học luôn là môn học khó
đối với học sinh bởi tính chặt chẽ, tính logic và tính trừu tượng cao hơn các
môn học khác của toán học.
Trong môn hình học sơ cấp, có rất nhiều bài toán rắc rối phức tạp khó
có thể giải được bằng các phương pháp thông thường như: phương pháp
vecto, phương pháp tọa độ hay phương pháp tổng hợp…do đó mà người ta đã
đưa ra công cụ mới đó là phép biến hình. Ngoài ra, có thể dựa vào bài toán
hình học cụ thể nào đó với phép biến hình chúng ta còn có khả năng sáng tạo
ra các bài toán mới khác nhau và đây là việc làm mang lại nhiều hứng thú
trong việc tìm tòi nghiên cứu hình học. Hơn nữa có nhiều bài toán mà việc sử
dụng một phép biến hình như: phép đối xứng, phép tịnh tiến, phép quay, phép
vị tự vẫn chưa có lời giải đúng và ngắn gọn nhất mà ta phải sử dụng đến tích
của hai phép biến hình mới giải quyết được bài toán một cách hiệu quả.
Do đó trong khuôn khổ của một khóa luận tốt nghiệp và do thời gian
nghiên cứu hạn chế nên tôi đã đi vào tìm hiểu và trình bày những kiến thức
cơ bản về phép biến hình đồng dạng và ứng dụng của nó trong việc giải một
lớp bài toán của hình học là bài toán chứng minh trong mặt phẳng.
Đó chính là lí do tôi chọn đề tài:
“ Phép đồng dạng với bài toán chứng minh ’’

Nguyễn Thị Mai

-1-

K34A- Toán


Nguyễn Thị Mai

-2-

K34A- Toán


2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các kiến thức có liên quan tới phép đồng dạng và
các kiến thức về phép đồng dạng cùng với việc trình bày cơ sở lý thuyết
cùng phương pháp giải bài toán chứng minh trong hình học phẳng bằng
phép đồng dạng.
Xây dựng hệ thống các ví dụ minh họa và bài tập luyện tập thể
hiện phương pháp sử dụng phép đồng dạng để giải lớp bài toán chứng
minh.
3. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo và các tài liệu khác
có liên quan đến nội dung đề tài.



NỘI DUNG
Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

§1: Một số kiến thức chuẩn bị về vấn đề định hướng
1. Mặt phẳng định hướng

Trên mặt phẳng cho điểm O khi đó xung quanh O có hai chiều quay. Ta
gọi chiều ngược với chiều kim đồng hồ là chiều dương, chiều ngược lại là
chiều âm. Khi đó ta nói mặt phẳng đã được định hướng.
2. Góc định hướng giữa hai tia.
2.1

Định nghĩa
Trong mặt phẳng định hướng cho hai tia Ox, Oy.Góc định hướng

giữa hai tia: tia đầu là Ox, tia cuối là Oy được kí hiệu (Ox, Oy) là góc thu
được khi quay Ox xung quanh O tới trùng tia cuối Oy.
2.2. Nhận xét
Góc định hướng (Ox, Oy) không xác định duy nhất
Quy ước giá trị của (Ox, Oy) dương hoặc âm tùy theo chiều quay dương
hoặc âm của mặt phẳng.
2.3. Tập giá trị
Ta gọi φ là giá trị chính (hoặc đầu) của góc định hướng là giá trị của Ox,
Oy thu được khi quay Ox theo góc hình học nhỏ nhất tới trùng
Oy (Ox, Oy) = φ + k2л

( k Z )



2.4. Hệ thức Chales
Cho các tia OA1, OA2,…., OAn trong mặt phẳng định hướng, ta có
hệ thức Chales:

(OA1,OA2 )(OA2,OA3)...(OAn1,OAn )
(OA1,OAn )k2),kZ

3. Góc định hướng giữa hai đường thẳng
3.1 Định nghĩa



Trong mặt phẳng định hướng cho hai đường thẳng a, b. Khi đó
– là góc định hướng giữa hai đường thẳng có
Nếu a b = O

 a,b 
đường thẳng đầu là a, đường thẳng cuối là b.

 a,blà góc thu được khi quay

a xung quanh O tới trùng đường thẳng b
 Nếu a, b cùng phương thì

 a,b= kл ( k Z)

3.2 Nhận xét
Góc định hướng

 a,bkhông xác định duy nhất, có vô số giá trị

Quy ước giá trị của

dương hoặc âm theo đường thẳng a quay

 a,b
quanh O tới b theo chiều âm hay dương của mặt phẳng

3.3 Tập giá trị


Nếu góc α là giá trị của góc định hướng

 a,b

khi quay a theo góc

hình học nhỏ nhất tới trùng b:

 a,b= α + kл

( k Z)


3.4 Hệ thức Chales
Trong mặt phẳng định hướng cho các đường thẳng a1, a2,…, an khi
đó ta có hệ thức Chales:

(a1 , a2 ) (a2 , a3 ) ... (an1 , an
) (a1 , an ) k

( k Z)

§2: Sơ lược về các phép biến hình trong mặt phẳng
1. Phép biến hình và các khái niệm liên quan
Ta kí hiệu tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng là P khi đó mỗi hình
H bất kỳ của mặt phẳng đều là một tập con của P. kí hiệu là H P.
1.1 Định nghĩa

Một song ánh f: P  P từ tập điểm của P lên chính nó được gọi là
phép biến hình của mặt phẳng.
1.2. Phép biến hình đảo ngược
Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho phép biến hình f: M  M’ ta có
f(M) = M’. Khi đó phép biến hình biến điểm M’ thành điểm M gọi là phép
biến hình đảo ngược của phép biến hình f đã cho
-1

-1

Kí hiệu: f , f (M’) = M
Vậy mọi phép biến hình f có duy nhất một phép biến hình đảo ngược f
và ta có
-1

-1

f.f = f .f = e ( phép đồng nhất )
1.3 Phép biến hình tích
Cho f, g là hai phép biến hình trong P theo sơ đồ sau:

-1



M

f

g

M1

M’

g.f
Phép biến hình biến M thành M’ được gọi là tích của hai phép biến
hình f và g theo thứ tự đó.
Kí hiệu: g.f, ta có:
M P, (g.f) (M) = g.(f(M))

1.4 Phép biến hình đối hợp
Phép biến hình f: P  P được gọi là phép biến hình đối hợp nếu
2

-1

f = Id ( f = f )
1.5 Điểm bất động. Hình kép. Hình bất động
Cho phép biến hình f: P  P. Ta có:
 Điểm M thuộc P được gọi là điểm bất động của phép biến hình f nếu
f(M) = M
 Hình H được gọi là hình kép đối với phép biến hình f nếu f(H) = H
 Hình H được gọi là hình bất động đối với phép biến hình f nếu mọi
điểm của H đều bất động
2. Phép biến hình aphin
2.1 Định nghĩa: Phép biến hình của mặt phẳng biến đường thẳng thành
đường thẳng được gọi là phép biến hình aphin, gọi tắt là phép aphin.

2.2 Sự xác định phép biến hình aphin
Trong mặt phẳng phép biến hình aphin được xác định bởi một cặp tam
giác tương ứng
Trong mặt phẳng, hai tam giác ABC và A’B’C’ được gọi là cùng chiều
( ngược chiều ) nếu trên đường tròn ngoại tiếp của chúng chiều quay từ A đến
C qua B cùng chiều ( ngược chiều ) quay từ A’ đến C’ qua B’.
2.3 Phân loại
Phép aphin trong mặt phẳng được gọi là phép aphin loại 1 nếu hai tam
giác xác định nó cùng chiều, ngược lại là phép aphin loại 2.
3. Phép biến hình đẳng cự
3.1

Định nghĩa: Phép biến hình của mặt phẳng bảo tồn khoảng cách giữa

hai điểm được gọi là phép biến hình đẳng cự.
3.2 Tính chất
- Phép đẳng cự là phép biến hình aphin
- Phép đẳng cự bảo toàn độ lớn của góc phẳng
- Phép đẳng cự biến đường tròn thành đường tròn bằng nó
3.3 Sự xác định phép đẳng cự
Trong mặt phẳng một phép đẳng cự hoàn toàn được xác định bởi hai
tam giác bằng nhau.
3.4 Phân loại
Phép đẳng cự được gọi là phép dời nếu nó là phép aphin loại 1
Phép đẳng cự được gọi là phép phản chiếu nếu nó là phép aphin loại 2