hệ chất điểm vật lý nâng cao

Ch4 HỆ CHẤT ĐIỂM

Trần Thị Ngọc Dung

HCMUT


NỘI DUNG
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Tâm tỉ cự ( Khối tâm)
Momen động lượng
Momen động lượng tâm tỉ cự
Các định lý Koenig
Động lực học tâm tỉ cự
Định lý động lượng
Định lý momen động lượng
NC về mặt năng lượng
Thế năng
Cơ năng

Va chạm của hai chất điểm
Vật rắn quay xung quanh trục cố định


Tâm tỉ cự ( Khối tâm)
1. Định nghĩa

M2

z

m1

Xét hệ n chất điểm m1, m2… mi,…mn
ở tại điểm

m2

Mn
mn

G

M1

M1, M2,… Mi, …, Mn
O

Khối tâm G của hệ chất điểm được
xác định bởi:



m M G  0
i

mi
Mi

y
x

i

i

 m OM
OG 
m

m
r
 
r 
m
m x
m y
x 
;y 
;z
m

m
i

i

i

2. Tọa độ khối tâm

i

i

OG  OM1  M1G

(m1 )

OG  OMi  MiG

(mi )

i i

i

G

i

i

OG  OMn  Mn G (mn )

i

( mi )OG   mi OMi   mi MiG
i
i
i


0

i

i

i

i

i i

i

G

G

i

i

i

i

m z

m
i

G

i

i


Hệ khối lượng phân bố liên tục

dm

z


r


rG 

x

 ( m)

i

m

 dm

i

i

G


rG
O


 rdm


m
 i ri

( m)

m x

m
i

xG

i

i

y

i

i

 xdm

 ( m)

 dm

( m)

 ydm

; yG  ( m )

 dm

( m)

 zdm

; zG  ( m)

 dm

( m)


Example 8-1

Find the center of mass of a water molecule
x cm 

m x
i

i

M

i

; ycm 

m y

i i

i

M

ycm  0
xcm 

mHx H1  mHx H2  mOxO
mH  mH  mO

xO  0
x H1  x H2  9.6nmcos52.2  5.9nm

xcm

1u  5.9nm  1u  5.9nm  16u  0
1u  1u  16u
 0.66nm




Example 8-1 can also be solved by first
finding the center of mass of just the two
hydrogen atoms, the two H atoms replaced
by a single particle of mass m1 + m2 =2u on
the x axis at the center of mass of the
original atoms.

The center of mass then falls between the
oxygen atom at the origin and the calculated
center of mass of the two hydrogen atoms.

The same technique enables us to calculate
centers of mass for more complex systems, such
as two uniform sticks .
The center of mass of each stick separately is at
the center of the stick.
The center of mass of the system is found by
treating each stick as a point particle at its
individual center of mass.


2. Chuyển động của khối tâm
1. Vị trí khối tâm:
2. Đh (1) theo thời gian, ta được:
3. Đh (2) theo thời gian ta được
gia tốc
4. Theo Đl 2 Newton:
5. Phân biệt:
- Nội lực
- Ngoại lực
5. Lấy tổng (4) theo i
6. Tổng các nội lực bằng 0
7. Pt chuyển động của khối tâm



mrG   mi ri (1)

i


dr
dr
m G   mi i
dt
dt
i


mvG   mi vi
i


ma G   mia i

 i
mai  Fi

(2)
(3)


 
mia i  Fi,int  Fi,ext (4)



maG   Fi,int   Fi,ext (5)

i
 i
Fi,int  0
i

maG   Fi,ext
(6)
i


Động lượng hệ

Bảo toàn Động lượng hệ



pi  mi vi



p   pi   mi vi
i
i


p  mvG

Nếu tổng ngoại lực bằng 0, động
lượng hệ được bảo toàn:



dp 
 0  p  const
dt

Định lý Động lượng hệ




dp
 ma G  Fext
dt

p2
t
 2
 dp   Fext dt

p1

(*)

t1

   t2 
p  p2  p1   Fext dt (**)
t1

Nếu tổng ngoại lực khác 0, nhưng
h/chiếu lên 1 phương nào đó bằng 0, thì
có bảo toàn động lượng theo 1 phương

dpx
 Fext,x  0  px  const
dt


Moment động lượng hệ



Li / O  OMi  mi vi



L/ O   Li / O   OMi  mi vi
i
i
 
L  L/ O.e

Định luật bảo toàn
Moment động lượng Hệ


dL/ O 
 MO / ext  0 
dt


dL/  
 M / ext  0 
dt


L/ O  const

L/   const

Định lý Moment động lượng hệ





dL/ O
dOMi
dvi

 mi vi   OMi  mi
  OMi  Fi
dt
dt
dt i
i 
i

vi




dL/ O
  OMi  Fi,int   OMi  Fi,ext
dt
i 


 i
0




dL/ O
dL/  
 MO / ext
 M / ext
dt
dt
Độ biến thiên momen động lượng thì bằng
t2 
t2 


L/ O   MO / ext.dt L/    M / ext.dt xung lượng của Moment lực tác dụng
t1

t1

Hệ quy chiếu tâm tỉ cự R*
R là HQC NC,
R* Là HQC gắn vào G và chuyển động tịnh tiến đ/v HQC R
Động lượng hệ trong HQC R* luôn luôn bằng 0

*
*
p  mvG  0

Moment động lượng trong HQC tâm tỉ cự
* * *
L  LG  LO
*
*
*
LO   OMi  mi vi   (OG  GMi )  mi vi
i

i

*
*
 OG   mi vi   GMi  mi vi
i
i












p* 0

* * *
LO  LG  L

L*G


Các định lý KOENIG
Định lý KOENIG 1


*
 *

LO  OG  p  L  OG  mv(G)  L
Momen động

lượng tại O của hệ S thì bằng tổng momen động
lượng đ/v O của khối tâm và moment động lượng đv HQC R*
Định lý KOENIG 2

1 2

K  mv (G)  *K
2
Động năng của hệ bằng tổng động năng của khối tâm và động năng hệ
trong HQC R*


CM định lý KOENIG 1
n
n


 n
 
LO / R   OMi  mi vi   OG  mi vi   GMi  mi (vG  v*i )
i 1

i 1

i 1

n
n


*
 OG   mi vi  ( mi GMi )  vG   GMi  mi vi
i 1
i 1
i 1



 
 






n

mvG


*

LO / R  OG  mvG  L

0

L*

CM định lý KOENIG 2

 * 2
1 2 n 1
K   mi vi   mi (vG  vi ) 
i 2
i 2
2

* 
1
1  *2
 ( mi )vG   mi vi  ( mi vi ).vG
2 i
i 2
i


 


*K

1 
K  mvG2  *K
2


p* 0


Định lý về momen động lượng trong R*

Vì R* chuyển động tịnh tiến đ/v R nên các đao hàm theo thời gian của trong R* và
R là giống nhau.

*
*
L   GMi  mi vi

i
*

*
dL
dGMi
dv*i

 mi vi   GMi  mi
dt
dt
dt
i 
i


v*i


 
  GMi  mia*i   GMi  mi (a i  a G )
i

i



  GMi  mia i  ( mi GMi )  a G
i
i



0


  GMi  (Fi,int  Fi,ext )
i


  (GMi  Fi,int )   GMi  Fi,ext
i
i

 





0
MG ,ext
*
dL 
 MG,ext
dt

*
dL 
 MG,ext
dt

Công suất của nội lực

Xét hệ 2 chất điểm A,B.
r là k/cách giữa A và B.
Công suất của nội lực:



 

dOB dOA
Pint  FA B .vB  FBA .vA  FA B (

)
dt
dt

dAB
Pint  FA B
dt


FA B  FA BeAB


dAB 
de
AB  reAB 

 reAB  r AB
dt
dt

 
deAB
Pint  FA BeAB(reAB  r
)  FA Br
dt

 deAB
eAB
0
dt
Pint  FA Br

Công suất toàn phần của các
nội lực trong 1 hệ chất điểm
không phụ thuộc HQC

Pint  FABr
Ghi chú:
Pint nói chung là khác 0
Pint =0 nếu k/cách giữa các
chất điễm không đổi dr/dt=0 (
Vật rắn, hệ cứng)


Định lý Động năng
Động năng và công suất

Công của nội lực

dk
 Pext  Pint
dt
k  Wext  Wint
r2

Wint   FABdr

Thế năng

r1

Nội lực bảo toàn
Nếu nội lực FAB tương tác giữa 2 chất điểm A, B là hàm của khoảng cách r,
thi công Wint chỉ phụ thuộc vào r đầu và cuối
r2

Wint   FABdr  P,int (r1)  P,int (r2 )
r1

P,int (r) Không phụ thuộc HQC.
VD nếu A và B được nối với nhau bẳng một lò xo, thế năng ttác:

o

1
P,int  k(r   o )2

2

Chiếu dài tự do của lò xo


Thế năng toàn phần =thể năng nội lực + thế năng ngoai lực

p  p,int  p,ext
Cơ năng

M  K   p,int   p,ext
Độ biến thiên cơ năng bằng công của lực không bảo toàn

M  Wnc


Va chạm
- Khi va chạm, hai vật tương tác với nhau rất mạnh trong 1
thời gian rất ngắn.

- Trong khoảng thời gian ngắn lúc va chạm, mọi ngoại lực rất
nhỏ hơn lực tương tác giữa 2 vật. Fext =0
-

Động lượng hệ được bảo toàn.

Phân loại:
- Va chạm đàn hồi (động năng hệ bảo toàn)
-

Va chạm không đàn hồi (động năng hệ không bảo toàn)

-

Va chạm hoàn toàn không đàn hồi (va chạm mềm sau va chạm

2 vật gắn vào nhau và có cùng vận tốc)
Va chạm xuyên tâm: nếu trước và sau va chạm các vectơ vận tốc
thẳng hàng


Va chạm xuyên tâm đàn hồi

m1

v1

v2
m2

Trước va chạm

• Bảo toàn động lượng hệ
• BẢo toàn động năng hệ

• Pt(6) : vận tốc tương đối của
2 vật trước và sau chạm có
cùng độ lớn.

• Từ (2), (5) , vận tốc 2 vật sau

va chạm

V’1

m1

m2

V’2

Sau va chạm





m1v1  m2v2  m1v'1 m2v'2
(1)
 
 
m1(v1  v'1 )  m2 (v'2 v2 (2)
1 2 1 2 1  2 1  2
m1v1  m2v2  m1v1  m2v2
2
2
2
2





m1(v12  v1 2 )  m2 (v22  v22 )
(4)
   
v1  v'1  v'2 v2
(5)
 
 
(v1  v2 )  (v'1 v'2 )
(6)



 (m1  m2 )v1  2m2v2
v1 
m1  m2



(m2  m1)v2  2m1v1
v2 
m1  m2

(3)


Vachạm hoàn toàn không đàn hồi
m1

v1

V

v2
m2

Before collision

Bảo toàn động lượng

m1

m2

After collision




m1v1  m2v2  (m1  m2 )V (1)
 m1v1  m2v 2
V
(2)
m1  m2

Sau va chạm 2 vật gắn
vào nhau và có cùng k  k,sau_vch  k,truoc_vch
vận tốc
1
1

2

 (m1  m2 )V  (
2
2
1 m1m2   2
(v1  v2 )
2 m1  m2

m1v12

Độ biến thiên động năng

1
 m2v22 )
2


HQC Khối tâm
• Khi tổng ngoại lực bằng
0, vận tốc khối tâm là
vectơ hằng



ma G  Fext



Fext  0  a G  0  vG  const

 

rG  vG t  rG (t  0)

• Trong HQC khối tâm, vận
tốc của khối tâm =0

• HQC khối tâm còn
được gọi HQC có động
lượng =0

*
*
p  mvG

*
*
vG  0  p  0


Khảo sát va chạm trong HQC tâm tỉ cự R*
Trong R*, động
lượng hệ =0
Va chạm đàn
hồi, động năng
hệ bảo toàn

*
* *  *  *
* *  *  *

p  0  p1  p2  p'1 p'2 (1)  p1  p2 ; p'1  p'2
*2
*2
 *2  *2
*2 *2  *2  *2
p
p
p
'1
p'2
*
1
2
K 



 p1  p2  p'1  p'2
2m1 2m2 2m1 2m2
*2  *2
*  *
p1  p'1  v1  v'1
*2  *2
*  *
p2  p'2  v2  v'2

Trong HQC R*, độ lớn động lượng của các hạt trước và sau va
chạm là bẳng nhau:

* *  *  *

p1  p2  p'1  p'2

Nếu va chạm hoàn toàn đàn hồi, độ lớn vận tốc của mỗi hạt
trước và sau va chạm là bằng nhau

*  *
v1  v'1

;

*  *
v2  v'2


Khảo sát bài toán va chạm trong HQC R*
1. Khảo sát bài toán va chạm trong HQC R* rất đơn giản
2. Trong R*, động lượng của 2 hạt đi tới là bằng nhau về độ
lớn và ngược chiều
3. T/h Va chạm hoàn toàn đàn hồi, sau va chạm vận tốc mỗi
vật sẽ ngược chiều lại, và có độ lớn không đổi
4. T/h Va chạm hoàn toàn không đàn hồi ( va chạm mềm), sau
va chạm, các vật sẽ dừng lại. Mọi năng lượng ban đầu sẽ
biến thành nhiệt năng.



v1
m1

G


vG

*
v1


v2
m2

HQC ban đầu R

Va chạm mềm

G

*
vG  0

m1

*
v2
m2

HQC R*

Va chạm hòan toàn đàn hồi




m1v1  m2v2
vG 
m1  m2

*  
v1  v1  vG
*  
v2  v2  vG

Sau va chạm

Sau va chạm

* *
v'1  v'2  0
  
v1  v2  vG

*
 '*
v1  v1
*
 '*
v 2  v 2

 '  '* 
v1  v1  vG

 '  '* 
v2  v2  vG


6/118 Va chạm đàn hồi trực diện
Hai hạt m1, m2 chịu các va chạm đàn hồi trực diện. Tìm biểu thức
vận tốc sau va chạm bằng cách sử dụng HQC tâm tỉ cự.



m1v1  m2v2
vG 
m1  m2


 
*  
 m1v1  m2v2 m2 (v1  v2 )
v1  v1  vG  v1 

m1  m2
m1  m2


 
*  
m
v

m

v
m
(
v

1 1
2 2
1 2  v1 )
v2  v2  vG  v2 

m1  m2
m1  m2
 


m (v  v )
v'1*  v1*   2 1 2
m1  m2
 


m (v  v )
v'*2  v*2   1 2 1
m1  m2




 
'  * 

m2 (v1  v2 ) m1v1  m2v2 (m1  m2 )v1  2m2v2
v1  v'1 vG  


m1  m2
m1  m2
m1  m2




 
'  * 
m1(v2  v1) m1v1  m2v2 (m2  m1)v2  2m1v1
v2  v'2 vG  


m1  m2
m1  m2
m1  m2


Va chạm đàn hồi


m1  3kg; v1  3m / sex
m
 2  2kg; v2  5m / sex
vG  0.2ex


*  
v1  v1  vG  3.2ex

*  
v2  v2  vG  4.8ex

*
v'1  3.2ex

*
v'2  4.8ex

 * 
v1'  v'1 vG  3.4ex


* 
v2 '  v'2 vG  4.6ex



(m2  m1)v2  2m1v1 5  18 
v2 ' 

ex  4.6ex
m1  m2
5