Bài tập nâng cao phần hệ thức lượng trong tam giác vuông

TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG

BÀI TẬP NÂNG CAO HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Bài 1: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao,
đường chéo vuông góc với cạnh bên . Tính độ dài đường cao của hình thang cân đó.
Bài giải sơ lƣợc:
A
X
B
Kẻ AH  CD ; BK  CD. Đặt AH = AB = x  HK = x
 AHD =  BKC (cạnh huyền- góc nhọn)
Suy ra : DH = CK =

10  x
.
2

X

10  x
x  10
Vậy HC = HK + CK = x +
=
2
2

D

H

C

K
10cm

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ADC vuông ở A có đường cao AH
10  x 10  x
2
 5x = 100
.
2
2
Giải phương trình trên ta được x = 2 5 và x = – 2 5 (loại)

Ta có : AH2 = DH . CH hay x 2 

Vậy : AH = 2 5
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài 15,6cm,
đường cao ứng với cạnh bên dài 12cm. Tính độ dài cạnh đáy BC.
A
Giải:
Đặt BC = 2x, từ tính chất của tam giác cân ta suy ra CH = x
Áp dụng định lí Pitago tính được AC = 15, 62  x 2
Từ  KBC
 HAC


BC KB
hay

AC AH

2x
15, 6  x
2



2

12
15, 6

15,6

K

12
Đưa về phương trình 15,62 + x2 = 6,76x2
//
C
//
B
Giải phương trình trên ta được nghiệm dương x = 6,5
H
2x
Vậy BC = 2.6,5 = 13(cm)
0
Bài Tập 3 : Cho ABC : A  90 . Qua trung điểm I của AC, dựng ID  BC.
Chứng minh : BD2  CD2  AB2
B

Giải: Hạ AH  BC . Ta có : HD = DC ( t/c đường trung bình)
H
Ta có : BD2 – CD2 = ( BC - CD)2 – CD2
= BC2 + CD2 – 2BC.CD – CD2
D
= BC2 – BC.(2CD) = BC2 – BC.HC
= BC2 – AC2 = AB2
C
( Chú ý : AB2 = BC2 – AC2)
A
I
Bài Tập 4 : Cho  ABC vuông tại A. Đường cao AH, kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với
3

EB  AB 

AB, AC. Chứng minh rằng: a)
b) BC . BE . CF = AH3

FC  AC 
2
Giải: a) Trong AHB có HB = BE . BA (1) ;
2
AHC có HC = CF . CA (2 )
HB 2 BE AB

.
Từ (1) và (2) có :
.
(1)

HC 2 FC AC

A F

E
B H

Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh

1

Tổ : Toán - Tin

C


TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG

2
2
ABC có :AB = BH . BC và AC = HC . BC suy ra
2
4
HB AB 2
 HB   AB 
(2)


 


HC AC 2
 HC   AC 

Trong

3

EB  AB 
Từ (1) và (2). Ta có :

 .
FC  AC 
BE BH
b) ABC
.
EBH 

BA BC
AB 2
AB3
Thay BH 
(3)
 BE 
BC
BC 2
AC 3
Tương tự ta cũng có CF 
( 4) .
BC 2
AB 3 . AC 3

Từ (3) và (4) Ta có : BE .CF =
BC 4

.

AB3 AC 3
 AB  AC 
3
Mà AB. AC = BC . AH nên BC . BE . CF =

 BC  
 = AH
2
2
BC BC
 BC 
3

Bài 5: Cho hình vuông ABCD. Qua A, vẽ cát tuyến
Bất kì cắt cạnh BC, tia CD lần lượt tại E và F.
Chứng minh :

A

B

1
1
1
.



2
2
AE
AF
AD 2

E

Giải: Dựng điểm H thuộc tia CD sao cho BE = HD.
Ta có : ABE  ADH ( c – g –c ) )AE  AH .
H
Áp dụng hệ thức lựơng cho AHF : HAF  900 ; AD  HF .
1
1
1
1
1
1
nên




2
2
2
2
2

AH
AE
AF
AF
AD 2
AD
Bài 6: Cho hình thoi ABCD có A  1200 , tia Ax tạo với

D

F

C
A

Ta có :

B
M

Tia AB góc BAx  15 , cắt BC, CD lần lượt tại M, N.
o

H

1
1
4
Chứng minh:



2
2
AM
AN
3 AB 2

C

Giải: Từ A, dựng đường thẳng vuông góc với AN
Cắt CD tại P, hạ AH  CD .
Ta có : ABM  ADP ( g – c – g)
)AM  AP

N

Áp dụng hệ thức lượng cho NAP : NAP  900 , AH  NP
1
1
1
1
1
1
nên
(1)




2

2
2
2
2
AM
AN
AH 2
AP
AN
AH
3
Mà AH2 = sinD.AD = sin600.AD =
(2)
AB
2
1
1
4
1
1
1



Thay (2) và (1). Ta có :


2
2
2

2
2
AM
AN
3 AB 2
AM
AN
 3

AB 

 2


Ta có :

Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh

2

Tổ : Toán - Tin

P

D


TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG
BÀI TẬP PHẦN HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG ( 2011-2012)
Bài 1: Trong hình vẽ sau biết AB  9 , AC  6,4 , AN  3,6 ; AND  900 , DAN  340 .

Hãy tính (làm tròn đến số thập phân thứ tư ). a) CN
b) ABN
c) CAN
Bài 2 : Trong hình vẽ sau biết QPT  180 , PTQ  1500 , QT  8 , TR  5 .
Hãy tính : a) PT
b) Diện tích tam giac PQR.
Hƣớng dẫn : Từ T và R hạ các đƣờng vuông góc với PQ.

d) AD.

Q

8

P

18 

150
5

T

R

Bài 3: Cho tam giác ABD vuông tại B, AB = 6 cm, BD = 8 cm. Trên cạnh BD lấy điểm C sao
cho BC = 3 cm. Từ D kẻ Dx // AB, nó cắt đường thẳng AC tại E.
a) Tính AD.
b) Tính các góc BAD, BAC.
c) Chứng minh AC là tia phân giác của góc BAD.

d) Chứng minh tam giác ADE cân tại D.
Hƣớng dẫn câu c: Hạ CI  AD . Chứng minh : AB = CI.
Bài 4: Cho  ABC có góc A = 200 ; Bˆ = 300 ; AB = 60cm . Đường cao kẻ từ C đến AB cắt
AB tại P ( hình vẽ) . Hãy tìm
a) Tính AP ? ; BP ?
b) CP ?
0
Bài 5: Cho ABC có A  60 . Kẻ BH  AC và CK  AB.
a) chứng minh KH = BC.CosA
b) Trung điểm của BC là M. Chứng minh MKH là tam giác đều
Hƣớng dẫn :
Câu a : Từ KH = BC.CosA  KH  BC 

AH
 ABC
AB

AHK

Câu b: Vận dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông và chú ý A  600
Bài 6: Cho ABC ( A = 900 ). Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF  BC.
Nối AF và BE.
a) Chứng minh AF = BE.cosC.
b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6. Tính diện tích tứ giác ABFE.
c) AF và BE cắt nhau tại O. Tính sin AOB .
Hƣớng dẫn : Câu a : Tương tự cách giải bài 5.
Câu b: Sử dụng tính chất 2 diện tích miền đa giác hình học 8.
Câu c : Rất khó: Hạ AH, FK vuông góc với BE.Tính SABFE = SABE + SBFE . Suy ra sin AOB
Bài 7: Cho tam giác vuông ABC ( B = 900 ). Lấy điểm M trên cạnh AC.
Kẻ AH  BM, CK  BM.

a) Chứng minh : CK

BH.tgBAC . b) Chứng minh :

MC
MA

BH.tg 2 BAC
.
BK

Hƣớng dẫn :
Câu a : Tương tự cách giải bài 5. Câu b: Tiếp tục vận dụng câu a lần 2.
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có đ.chéo AC lớn hơn đ.chéo BD. Kẻ CH  AD
và CK  AB.
Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh
Tổ : Toán - Tin
3


TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG
a) Chứng minh CKH
BCA.
b) Chứng minh HK AC.sin BAD .
c) Tính diện tích tứ giác AKCH biết BAD 600 , AB = 4 cm và AD = 5 cm.
Bài 9: Cho ABC , trực tâm H là trung điểm của đường cao AD.
Chứng minh: tgB.tgC = 2.
A
E
H

B

D

C

ĐÁP ÁN
Bài 1: Trong hình vẽ sau biết AB  9 , AC  6,4 , AN  3,6 ; AND  900 , DAN  340 .
Hãy tính (làm tròn đến số thập phân thứ tư ). a) CN
Bài giải

b) ABN

a) CN  AC 2  AN 2  6,42  3,62  5,2915 .
3,6
 0, 4  ABN  23034'41'' .
b) sin ABN 
9
AN 3,6

 0,5625  CAN  55046'16'' .
c) cos CAN 
AC 6, 4
d) AN  AD.cos A  AD.cos340
AN
3,6

 4,3426 .
 AD 

0
B
cos34
0,8290

c) CAN

d) AD.
A
34 

9
3,6

6,4

C

N

D

Q
Bài 2 : Trong hình vẽ sau biết QPT  180 , PTQ  1500 , QT  8 , TR  5 .
Hãy tính : a) PT

b) Diện tích tam giac PQR.
8

P

18 

150

T

5

R

Bài giải
a) Xét PTQ, kẻ đường cao TK , ta có PQT  1800  1500  180  120 .
TK  TQ.sin Q  8.sin120 ; TK  PT .sin P  PT .sin180  PT .sin180  8.sin120 ;
8.sin120
 5,3825  cm  .
 PT 
sin180
Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh

4

Tổ : Toán - Tin


TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG
b) Ta có PR  PT  TR  5,3825  5  10,3825  cm  ;
Kẻ đường cao RH, ta có RH  PR.sin P  10,3825.sin180  3,2084 .
Xét PTQ, ta có P  180 , Q  120 : PK  PT .cos P  5,3825.cos180  5,1191;
QK  QT .cos Q  8.cos120  7,6085  PQ  PK  KQ  5,1191  7,6085  12,7276 .

1
1
Diện tích tam giác PQR : S PQR  PQ.RH  .12,7276.3, 2084  20, 4176  cm2  . Q
2
2

H
K
P

18 

8

150

5

R

T

Bài 3: Cho tam giác ABD vuông tại B, AB = 6 cm, BD = 8 cm. Trên cạnh BD lấy điểm C sao
cho BC = 3 cm. Từ D kẻ Dx // AB, nó cắt đường thẳng AC tại E.
a) Tính AD.
b) Tính các góc BAD, BAC.
E
c) Chứng minh AC là tia phân giác của góc BAD.
d) Chứng minh tam giác ADE cân tại D.
B

Giải :a) Áp dụng định lí Pitago. Ta có :

3cm

C

AD  AB2  BD2  62  82  10cm
b) Áp dụng tỉ số lượng giác. Ta có :
BD 8
A
sin BAD 
  BAD  5307'
I
AD 10
BC 3
tgBAC 
  0,5  BAC  26034'
(*)
AB 6
c) Hạ CI  AD . Ta có : ICD
BAD ( g-g)
CI CD
CD  AB 5  6


 CI 

 3cm
AB AD

AD
10
nên ABC  AIC (CH-CGV)  AI  AB  6cm
CI 1

Suy ra : tgCAI 
(**)
AI 2
Từ (*) và (**). Ta có : BAC  IAC hay AC là tia phân giác của BAD .
d) Mặt khác : BAC  E ( cặp góc soletrong)
nên E  IAC hay ADE cân tại D.

D

Bài 4: Cho  ABC có góc A = 200 ; Bˆ = 300 ; AB = 60cm . Đường cao kẻ từ C đến AB cắt
B
AB tại P ( hình vẽ) . Hãy tìm
a) Tính AP ? ; BP ?
b) CP ?
Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh

Hƣớng Dẫn
5
A

60

P

Tổ : Toán - Tin

TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG
a) Kẻ AH  BC ;  AHB  tại H
 AH = AB . SinB
= 60.Sin300 = 60.
 AHC ( Hˆ = 1v)

1
= 30
2

B

AH = AC. Cos400

60

AH
30
=
= 39,164
0
0,7660
Cos 40
 APC có ( Pˆ = 1v)

P

 AC =

A

0

C
AP = AC.Cos 20
= 39,164 . 0,9397 = 36,802
H
PB = AB – AP = 60 – 36,802 = 23, 198
b)  APC ( Pˆ = 1v)
CP = AC. Sin200 = 39,164 . 0,342 = 13, 394
Bài 5: Cho ABC có A  600 . Kẻ BH  AC và CK  AB.
a) chứng minh KH = BC.CosA
b) Trung điểm của BC là M. Chứng minh MKH là tam giác đều
Giải : a) AHB
AKC ( g-g)
K
AH AB
và A chung


AK AC
B
Suy ra : AHK
ABC
AH HK
AH

 HK 

 BC
Mặt khác : 
M
AB BC
AB
60

Hay HK = cosA.BC
A
H
I
1
b)  HK  cos600  BC  BC .
2
1
Mặt khác : HM = KM = BC ( Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)
2
nên HK = HM = KM hay MKH là tam giác đều.
Bài 6: Cho ABC ( A = 900 ). Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF  BC.
Nối AF và BE.
a) Chứng minh AF = BE.cosC.
b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6. Tính diện tích tứ giác ABFE.
c) AF và BE cắt nhau tại O. Tính sin AOB .

Giải: a) CEF

CBA ( g-g)

C

B

CF AC

CE BC
nên CFA
CEB ( c -g- c)
AF AC
AF


nên
 cos C
BE BC
BE


F

Vậy AF = BE.cosC
Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh

O

6

A

E

Tổ : Toán - Tin

C


TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG
b) Vì ABC ( A = 900 ).
nên AB = SinC. BC = 0,6.10 = 6cm.
 AC  8cm nên AE = EC = 4cm.
Mặt khác : EF = SinC. EC = 0,6. 4 = 2,4cm.
B
 FC  3, 2cm ( Định lí Pitago)
SABFE = SABC - SCFE
1
1
2
  AB  AC  EF  FC    6  8  2, 4  3, 2  = 20,16 (cm )
2
2
c) Hạ AH  BE; FK  BE.

=

H

Ta có : SABFE = SABE + SBFE

F
O

1
=   AO  SinAOB  BE  OF  sinAOB  BE 
2
1
1
 sinAOB  BE  AO  OF  sin AOB  BE  AF (1)
2
2
mà + BE = 52 ( Định lí Pitago)
(2)
+ ABC
FEC ( g - g)
AC BC
và C chung nên ACF
BCE ( c-g-c)


FC EC
AF AC
AC
8
nên
(3)
 AF 

 BE   52
BE BC
BC
10

K
A

E

C

Từ (1), (2) và (3). Ta có :
SinAOB =

2  SABFE
2  20,16
63


BE  AF
52  0,8  52 65
C

Bài 7: Cho tam giác vuông ABC ( B = 900 ).
Lấy điểm M trên cạnh AC.
Kẻ AH  BM, CK  BM.
a) Chứng minh : CK BH.tgBAC .

H
M

MC BH.tg 2 BAC
.
MA

BK
Giải:
a) Ta có : AHB
BKC ( g - g)
0
Vì K  H  90 ; BCK  ABH ( cùng phụ với CBK )
CK BC
BC


 CK  BH 
 BH  tgBAC
BH AB
AB
b) Từ câu a), ta có : CK BH.tgBAC

b) Chứng minh :

MC CK
MC BH .tg BAC


Suy ra :
MA AH
MA
AH
BKC ( g - g)
Mặt khác : AHB
BK BC
1

BC
tgBAC



=
=
( 2)
AH AB
AH AB  BK
BK
MC BH.tg 2 BAC
Thay (2) vào (1). Ta có :
MA
BK

mà

Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh

7

K
B

A

(1)

Tổ : Toán - Tin

TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có đ.chéo AC lớn hơn đ.chéo BD. Kẻ CH  AD
và CK  AB.
a) Chứng minh CKH
BCA.
b) Chứng minh HK AC.sin BAD .
c) Tính diện tích tứ giác AKCH
biết BAD 600 , AB = 4 cm và AD = 5 cm.
GIẢI:
K
a) BKC
DHC ( g - g)
Vì K  H  900 ; D  B ( cùng bằng A )
KC BC
KC BC

hay

HC DC
HC AB

(*)

Mặt khác : Xét tứ giác AKCH
Ta có : A  HCK  1800 ; A  ABC  1800
Suy ra : ABC  HCK
(**)
Từ (*) và (**). Ta có : CKH

BCA( c-g-c).

C

B

HK CK
CK

 HK  AC 
 AC  sin KBC
AC BC
BC
A
mà BAD  KBC ( cặp góc đồng vị)
nên HK  AC  sin BAD
BC  AH
BK  CK
c) SAKCH = SABCH + SBKC =
 CH 
2
2
BC  AD  CosA  AB
CosA  BC  SinA  BC
=
 SinA  AB +
2
2
0
0

5  5  4  Cos60
Cos60  5  Sin600  5
0
 4  Sin60 
=
2
2
0
25  sin 60  cos600
=2. ( 10+4cos600).sin600 +
 26.2
2

b) 

D

H

Bài 9: Cho hai hình chữ nhật có 2 kích thước 3 và 5; 4 và 6 được đặt sao cho các cạnh hình chữ
nhật song song với nhau.
Tính diện tích tứ giác?
M

N

A

B
K

O
H
L

D

C

1

Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh

8

Q

P Tổ

: Toán - Tin


TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG
N

M
A

B

C

D

Q

P

1
  AH  NQ  CK  NQ 
2
mà AH = CosOAH  AO ; CK  CosOCK  CO ;
+ OAH  OCK ( cặp góc soletrong)

Giải: Ta có : SANCQ = SANQ + SCNQ =

1
 SANCQ   CosOAH  NQ   AO  OC  = 1  CosOAH  AC  NQ
2
2
Ta chứng minh số đo OAH không đổi.
Thật vậy : OAH  900  AOH  900  OCD  OLC



mà OLC  900  MQN





( Tính chất góc ngoài đỉnh O)



Suy ra : OAH  900  OCD  900  MQN  MQN  OCD ( Cố định )





1
1
Vậy SANCQ =  CosOAH  AC  NQ =  Cos MQN  OCD  AC  NQ
2
2
MN 3
Và tgMQN =
  MQN  30057 ' ; OCD  330 41'
NQ 5
1
Vậy : SANCQ =  Cos20 44' 34  52  20,9998  21 (cm2)
2
Bài 10: Cho ABC , trực tâm H là trung điểm của đường cao AD.

Chứng minh: tgB.tgC = 2.

A

AD
BD

Giải : tgB 
; tgC  cot gDBH 
BD
HD
AD BD AD
nên tgB.tgC =


BD HD HD

mà AD = 2HD
nên tgB.tgC = 

E
H

2  HD
2
HD

B

D

C

Bài tập 11: Cho ABC : B  600 ; C  800 . Tính số đo góc tạo bởi đường cao AH và trung tuyến
AM.
Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh

9

Tổ : Toán - Tin


TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG
Giải:
Ta có : tg  =

MH
AH

A

Mặt khác : BH - HC = ( BM + MH) - ( MC - MH )
= 2MH.
BH  HC
2
AH
AH
mà BH 
;
HC 
tgB
tgC
 MH 

 1
1 
AH  



 tgB tgC 
nên MH =
2
 1
1 
AH  

tgB tgC  1  1
1 

 

Vậy tg 

2  AH
2  tgB tgC 

B

M

H

C

   110 20'

Bài 10: Cho ABC , phân giác AD, đường cao CH và trung tuyến BM gặp nhau tại một điểm.

Chứng minh : CosA = bCosB.
A

H
O

B

Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh

10

D

Tổ : Toán - Tin

C


TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG

Bài 6: a) Cho tam giác DEF có ED = 7 cm, D  40 , F  58 . Kẻ đường cao EI của
tam giác đó. Hãy tính:
a) Đường cao EI.
b) Cạnh EF.
b) Giải tam giác vuông ABC, biết rằng A  900 , AB = 5, BC = 7.
E
Giải: a) Áp dụng hệ thức lượng . Ta có :
+ EI = sinD. DE = sin 400.7  4,5 (cm)
EI

4,5
7cm
+ EF =

 5,3 (cm)
SinF Sin580
0

0

b) AC  BC 2  AB 2  72  52  4,9(cm)
AB 5
CosB 
  B  440 25'
BC 7
+ C  900  B  45035'

D

40

58

I

F

Bài 1: Cho ABC : A  900 ; AB  5cm; BC  13cm . Vẽ phân giác AD, đường cao AH.
a) Tính độ dài đoạn thẳng BD; DC.
b) Từ H, kẻ HK  AC. Chứng minh : ABC

KAH .
c) Tính độ dài đoạn thẳng AK và KC ?
Giải :
B
a) Áp dụng định lí Pitago, ta có :
H

AC 2  BC 2  AB2  12cm

D

+ Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có :
BD CD
BD CD
BC
13





AB AC
AB AC AB  AC 17
13
13
3
14
Suy ra : BD   5  3 cm . CD = 12  9 cm
17
17

17
17
b) ABC
KAH ( g-g)
AB  AC 60
9
c) Ta có : AH .BC = AB .AC  AH 

 3 cm
BC
13
17
Từ ABC
KAH
AB BC
AB  AH
131
38


 AK 
1
cm ; KC  10
cm
AK AH
BC
169
169

Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh

11

A
K

C

Tổ : Toán - Tin


TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG

a) Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có :

BH EH 1


AB EA 4
'
Vậy CosB = 0,25  B  7503121''



B
 370 45'
2

15
AH

5.4
nên AB =

 5,164
4
SinB
15
+ Áp dụng công thức tính chiều dài đường phân giác trong. Ta có :
B
2 AB  BC  Cos
2  5,164  x  Cos370 45'
2
BD 
hay 6 
AB  BC
5,164  x
6  5,164
 BC  x 
 14,3115
2  5,164  cos370 45' 6
+ SinB 

AC =

AB2  BC 2  2 AB  BC  CosB  13,9475

Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh

12

Tổ : Toán - Tin