đề thi toán cao cấp tich phân giai_de_kiem_tra

GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 2 LẦN 3
Ngày 12 tháng 06 năm 2015

TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email:

TP. HCM — 2015.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 2 LẦN 3

TP. HCM — 2015.

1 / 54


Câu 1
Tìm cực trị của hàm số f (x, y ) = (2x 2 + y 2)e x+y .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 2 LẦN 3

TP. HCM — 2015.

2 / 54


Câu 1

Tìm cực trị của hàm số f (x, y ) = (2x 2 + y 2)e x+y .
Bước 1. Tìm điểm dừng
fx = 4xe x+y + (2x 2 + y 2)e x+y = 0
⇒ 4x = 2y
fy = 2ye x+y + (2x 2 + y 2)e x+y = 0
⇒ e x+2x (4x + 2x 2 + 4x 2) = 0


0, y = 0
⇒ P1(0, 0)
2
4
2 4
⇒
x = − , y = − ⇒ P2 − , −
3
3
3 3
x=

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 2 LẦN 3

TP. HCM — 2015.

2 / 54


Bước 2. Tính các đạo hàm riêng cấp 2

fxx = 4e x+y + 4xe x+y + 4xe x+y + (2x 2 + y 2)e x+y
fxy = 4xe x+y + 2ye x+y + (2x 2 + y 2)e x+y
fyy = 2e x+y + 2ye x+y + 2ye x+y + (2x 2 + y 2)e x+y
Bước 3. Kết luận
Tại P1(0, 0). A = 4, B = 0, C = 2,
∆ = AC − B 2 = 8. Vậy P1 là điểm cực tiểu.
2 4
4
8
Tại P2 − , −
. A = e −2, B = − e −2,
3 3
3
3
2
C = − e −2, ∆ = AC − B 2 = −8e −4. Vậy P2
3
không là điểm cực trị.
1

2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 2 LẦN 3

TP. HCM — 2015.

3 / 54

Câu 2
Tìm cực trị của hàm số f (x, y ) = 6 − 5x − 4y với
điều kiện x 2 + y 2 = 1.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 2 LẦN 3

TP. HCM — 2015.

4 / 54


Câu 2
Tìm cực trị của hàm số f (x, y ) = 6 − 5x − 4y với
điều kiện x 2 + y 2 = 1.
Tìm điểm dừng của hàm Lagrange
L(x, y , λ) = f (x, y ) + λ.ϕ(x, y )

 Lx (x, y , λ) = −5 + 2xλ = 0 (1)
L (x, y , λ) = −4 + 2y λ = 0 (2)
 y
ϕ(x, y ) = x 2 + y 2 − 1 = 0 (3)
5
Từ (1), nếu λ = 0 thì (1) vô lý. Do đó, λ = 0 và x =
.
2λ
4
Từ (2) ta có y =

.
2λ
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 2 LẦN 3

TP. HCM — 2015.

4 / 54


Thay x, y vào phương trình (3), ta được
√
41
25
16
+
=
1
⇒
λ
=
±
4λ2 4λ2
2

√
5
4
41

ứng với λ =
⇒ điểm dừng P1 √ , √
2
41 41
√
41
5
4
ứng với λ = −
.
và P2 − √ , − √
2
41
41

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 2 LẦN 3

TP. HCM — 2015.

5 / 54


√
4
5
41
ứng với λ =
Tại P1 √ , √

ta có
2
41 41√
√
41
5
41
4
4
5
2
= Lxx √ , √ ,
dx 2 +
d L √ ,√ ,
2
2
41 41
41 41
√
√
5
4
41
4
41
5
2Lxy √ , √ ,
dxdy + Lyy √ , √ ,
dy 2 =
2

2
41 41
41 41
√
2
2
2
2
2λdx + 2λdy = 41(dx + dy ) > 0. Do đó tại P1 hàm f (x, y ) đạt
cực tiểu có điều kiện.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 2 LẦN 3

TP. HCM — 2015.

6 / 54


√
5
4
41
Tại P2 − √ , − √
ứng với λ = −
ta có
2
41
41 √

√
4
4
5
41
5
41
2
d L −√ , −√ , −
= Lxx − √ , − √ , −
dx 2 +
2
2
41
41
41
41
√
5
4
41
dxdy +
2Lxy − √ , − √ , −
2
41
41
√
5
41
4

Lyy − √ , − √ , −
dy 2 = 2λdx 2 + 2λdy 2 =
2
41
41
√
− 41(dx 2 + dy 2 ) < 0. Do đó tại P2 hàm f (x, y ) đạt cực đại có
điều kiện.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 2 LẦN 3

TP. HCM — 2015.

7 / 54


Câu 3
Tìm GTLN, GTNN của hàm số
f (x, y ) = x 2 + y 2 − 12x + 16y trên miền
D : x 2 + y 2 25.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 2 LẦN 3

TP. HCM — 2015.

8 / 54

Câu 3
Tìm GTLN, GTNN của hàm số
f (x, y ) = x 2 + y 2 − 12x + 16y trên miền
D : x 2 + y 2 25.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 2 LẦN 3

TP. HCM — 2015.

8 / 54


Câu 3
Tìm GTLN, GTNN của hàm số
f (x, y ) = x 2 + y 2 − 12x + 16y trên miền
D : x 2 + y 2 25.
Tìm điểm dừng bên trong miền D
fx = 2x − 12 = 0
fy = 2y + 16 = 0
Điểm P1(6, −8) không nằm bên trong miền D.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 2 LẦN 3

TP. HCM — 2015.

8 / 54


Tìm điểm dừng trên biên của D, có nghĩa là cực
trị có điều kiện x 2 + y 2 = 25

 Lx (x, y ) = 2x − 12 + 2λx = 0(1)
L (x, y ) = 2y + 16 + 2λy = 0(2)
 y
ϕ(x, y ) = x 2 + y 2 − 25 = 0(3)
6
với λ = −1 vì nếu
1+λ
−8
λ = −1 thì (1) vô lý. Từ (2) ta có y =
1+λ
Từ (1) ta có x =

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 2 LẦN 3

TP. HCM — 2015.

9 / 54


Thay x, y vào (3) ta được
64
36

2
+
=
25
⇒
(1
+
λ)
=4
(1 + λ)2 (1 + λ)2
⇒

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

λ = 1 ⇒ x = 3, y = −4
λ = −3 ⇒ x = −3, y = 4

GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 2 LẦN 3

TP. HCM — 2015.

10 / 54


Thay x, y vào (3) ta được
64
36
2
+
=

25
⇒
(1
+
λ)
=4
(1 + λ)2 (1 + λ)2
⇒

λ = 1 ⇒ x = 3, y = −4
λ = −3 ⇒ x = −3, y = 4

Ta có 2 điểm dừng là P2(3, −4) và P3(−3, 4) và
f (3, −4) = −75, f (−3, 4) = 125. Vậy GTLN là
125 và GTNN là −75.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 2 LẦN 3

TP. HCM — 2015.

10 / 54


Câu 4
Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi
z = x 2 + y 2, z = 1 + 1 − x 2 − y 2.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 2 LẦN 3

TP. HCM — 2015.

11 / 54


Câu 4
Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi
z = x 2 + y 2, z = 1 + 1 − x 2 − y 2.
Cách 1.
Mặt trên z = 1 + 1 − x 2 − y 2.
Mặt dưới z = x 2 + y 2.
Hình chiếu của vật thể xuống mặt phẳng Oxy :
x 2 + y 2 1.
Đổi biến x = r cos ϕ, y = r sin ϕ,
0 ϕ 2π, 0 r 1.
1

2

3

4

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 2 LẦN 3

TP. HCM — 2015.

11 / 54


Thể tích vật thể cần tìm
V =

(1 +

1 − x2 − y2 −

x 2 + y 2)dxdy =

D
2π

=

1

dϕ
0

(1 +

1 − r 2 − r )r dr

0

r 2 r 3 (1 − r 2)3/2

= 2π.
− −
2
3
3
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 2 LẦN 3

1
0

1
= 2π. = π
2
TP. HCM — 2015.

12 / 54


Cách 2.
Đổi biến x = ρ. sin θ cos ϕ, y = ρ. sin θ sin ϕ,
z = ρ. cos θ.
π
, 0 ϕ 2π, 0 ρ 2 cos θ
0 θ
4
1

2

π/4

V =

dxdydz =

dθ
0

V

2π

2 cos θ

ρ2 sin θd ρ =

dϕ
0

π/4

0

16π
cos4 θ
3
cos θ sin θd θ =
. −

3
4

8
= 2π.
3
0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 2 LẦN 3

π/4

= π.
0

TP. HCM — 2015.

13 / 54


Câu 5
(x 2 + y 2)dxdy , với

Tính I =
D

D = {(x, y ) ∈ R2 : x 4 + y 4

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

1}.

GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 2 LẦN 3

TP. HCM — 2015.

14 / 54


Câu 5
(x 2 + y 2)dxdy , với

Tính I =
D

D = {(x, y ) ∈ R2 : x 4 + y 4

1}.

Đổi sang hệ tọa độ cực
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
Từ x 4 + y 4
0

ϕ

1⇒0

r

1
4

sin4 ϕ + cos4 ϕ

,

2π.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 2 LẦN 3

TP. HCM — 2015.

14 / 54


1/

2π

I =

√
4

sin4 ϕ+cos4 ϕ

r 2.r dr =

dϕ
0

0

π/2

2π

=

1
4

dϕ
=
sin4 ϕ + cos4 ϕ

dϕ
=
sin4 ϕ + cos4 ϕ
0

0
π/2

=

1 + tan2 ϕ
d (tan ϕ)
1 + tan4 ϕ

0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 2 LẦN 3

TP. HCM — 2015.

15 / 54


Đặt
t = tan4 ϕ ⇒ dt = 4 tan3 ϕd (tan ϕ),
+∞

1
I =
4

ϕ 0 π/2
t 0 +∞

(1 + t 1/2)t −3/4
dt =
1+t

0
+∞

1
=
4

+∞

t
1
dt +
1+t
4
0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

−3/4

t −1/4
dt
1+t

0
GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 2 LẦN 3

TP. HCM — 2015.

16 / 54


Hàm beta
1

x a−1(1 − x)b−1dx,

B(a, b) =
0

Đặt y =

x
ta được
1−x
+∞

B(a, b) =
0
+∞

B(a, 1−a) =
0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

y a−1
dy
(1 + y )a+b

y a−1
π
dy =
, (0 < a < 1)
1+y
sin πa

GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 2 LẦN 3

TP. HCM — 2015.

17 / 54


Do đó,
I =
=

1
B
4

1
4

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

1 3
,
4 4

+B

3 1
,
4 4

π
π
+
sin π/4 sin 3π/4

GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 2 LẦN 3

=

π
=√
2

TP. HCM — 2015.

18 / 54