tích phân phụ thuộc tham số

TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ
BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ

TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email:

TP. HCM — 2016.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

TP. HCM — 2016.

1 / 41


NỘI DUNG

1

ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

TP. HCM — 2016.

2 / 41

NỘI DUNG

1

ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

2

TÍCH PHÂN SUY RỘNG PHỤ THUỘC THAM SỐ

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

TP. HCM — 2016.

2 / 41


NỘI DUNG

1

ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

2

TÍCH PHÂN SUY RỘNG PHỤ THUỘC THAM SỐ

3

CÁC TÍCH PHÂN EULER

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

TP. HCM — 2016.

2 / 41


Định nghĩa tích phân phụ thuộc tham số

Tích phân phụ thuộc tham số với cận hằng

ĐỊNH NGHĨA 1.1
Cho hàm số f (x, y) khả tích trên đoạn [a, b]
với mọi giá trị của tham số y ∈ [c, d]. Khi đó
tồn tại tích phân xác định
b

I(y) =

f (x, y)dx,
a

và I(y) được gọi là tích phân xác định phụ

thuộc tham số y.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

TP. HCM — 2016.

3 / 41


Định nghĩa tích phân phụ thuộc tham số

Tích phân phụ thuộc tham số với cận hằng

ĐỊNH LÝ 1.1
Nếu hàm 2 biến f (x, y) liên tục trên miền
D = {(x, y) : x ∈ [a, b], y ∈ [c, d]}, thì tích phân
phụ thuộc tham số y
b

I(y) =

f (x, y)dx,
a

là hàm liên tục theo biến y trên [c, d].
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

TP. HCM — 2016.

4 / 41


Định nghĩa tích phân phụ thuộc tham số

Tích phân phụ thuộc tham số với cận hằng

I(y0 ) = lim I(y) =
y→y0

b

b

lim f (x, y) dx =

=

f (x, y0 )dx.

y→y0
a

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

a

TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

TP. HCM — 2016.

5 / 41


Định nghĩa tích phân phụ thuộc tham số

Tích phân phụ thuộc tham số với cận hằng

VÍ DỤ 1.1
π

Tìm giới hạn I = lim

y→0 −π

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

[x + cos(yx)]ex sin y dx

TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

TP. HCM — 2016.

6 / 41


Định nghĩa tích phân phụ thuộc tham số

Tích phân phụ thuộc tham số với cận hằng

VÍ DỤ 1.1
π

Tìm giới hạn I = lim

y→0 −π

[x + cos(yx)]ex sin y dx

Vì f (x, y) = [x + cos(yx)]ex sin y liên tục trên miền
D = {(x, y) : x ∈ [−π, π], y ∈ [−1, 1]}, và 0 ∈ [−1, 1]
nên
π

I=

π

lim[x + cos(yx)]ex sin y dx =
y→0

−π

(x + 1)dx

−π

= 2π.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

TP. HCM — 2016.

6 / 41


Định nghĩa tích phân phụ thuộc tham số

Tích phân phụ thuộc tham số với cận hằng

VÍ DỤ 1.2
1

Tìm giới hạn I = lim
y→0

0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

x −(x/y)2
e
dx
y2

TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

TP. HCM — 2016.

7 / 41


Định nghĩa tích phân phụ thuộc tham số

Tích phân phụ thuộc tham số với cận hằng

VÍ DỤ 1.2
1

Tìm giới hạn I = lim
y→0

0

x −(x/y)2
e
dx
y2

Không thể lấy giới hạn dưới dấu tích phân
x
2
được vì hàm f (x, y) = 2 e−(x/y) gián đoạn tại
y

điểm (0, 0) thuộc mọi miền hình chữ nhật
D = {(x, y) : x ∈ [0, 1], y ∈ [−ε, ε]}, ∀ε > 0.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

TP. HCM — 2016.

7 / 41


Định nghĩa tích phân phụ thuộc tham số

Tích phân phụ thuộc tham số với cận hằng

1 1 −(x/y)2 x2
x −(x/y)2
e
dx =
e
d 2 =
2
y
2
y
0
0
1
1
2
2 1
= − e−(x/y) = 1 − e−1/y

0
2
2
Lấy giới hạn kết quả thu được khi y → 0, ta
1

được
1

lim

y→0 0

x −(x/y)2
1
1
−1/y 2
e
dx
=
lim
1
−
e
=
.
y2
2 y→0
2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

TP. HCM — 2016.

8 / 41


Định nghĩa tích phân phụ thuộc tham số

Tích phân phụ thuộc tham số với cận hàm

Trong trường hợp tổng quát, cận lấy tích
phân cũng phụ thuộc tham số y, có nghĩa là
a = ϕ(y), b = ψ(y).

ĐỊNH LÝ 1.2
Nếu hàm số f (x, y) khả tích trên đoạn
[ϕ(y), ψ(y)], với mọi y ∈ [c, d], thì tồn tại tích
phân xác định phụ thuộc vào tham số y
ψ(y)

J(y) =

f (x, y)dx,

ϕ(y)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

TP. HCM — 2016.

9 / 41


Định nghĩa tích phân phụ thuộc tham số

Tích phân phụ thuộc tham số với cận hàm

ĐỊNH LÝ 1.3
Cho thỏa mãn các điều kiện:
hàm ϕ(y) và ψ(y) liên tục trên đoạn [c, d];
1

2

3

ϕ(y), ψ(y) ∈ [a, b], ∀y ∈ [c, d];
f (x, y) liên tục trên miền
D = {(x, y) : x ∈ [a, b], y ∈ [c, d]}.
ψ(y)

Khi đó, tích phân J(y) =

f (x, y)dx là hàm

ϕ(y)

theo biến y và sẽ liên tục trên đoạn [c, d].
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

TP. HCM — 2016.

10 / 41


Định nghĩa tích phân phụ thuộc tham số

Tích phân phụ thuộc tham số với cận hàm

J(y0 ) = lim J(y) =
y→y0

ψ(y)

= lim

y→y0
ϕ(y)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ψ(y0 )

f (x, y)dx =

f (x, y0 )dx.

ϕ(y0 )

TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

TP. HCM — 2016.

11 / 41


Định nghĩa tích phân phụ thuộc tham số

Tích phân phụ thuộc tham số với cận hàm

VÍ DỤ 1.3
Cho |y| < 1, tính giới hạn
1+y

J = lim

y→0 y

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

dx
1 + x2 + y 2

TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

TP. HCM — 2016.

12 / 41


Định nghĩa tích phân phụ thuộc tham số

Tích phân phụ thuộc tham số với cận hàm

VÍ DỤ 1.3
Cho |y| < 1, tính giới hạn
1+y

J = lim

y→0 y

Do y, 1 + y và
nên

1
liên tục tại điểm y0 = 0
1 + x2 + y 2
1

J=
0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

dx
1 + x2 + y 2

1
π
dx
=
arctan
x
=
.
0
1 + x2
4

TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

TP. HCM — 2016.

12 / 41


Định nghĩa tích phân phụ thuộc tham số

Phép tính vi phân của tích phân phụ thuộc tham số

ĐỊNH LÝ 1.4 (CÔNG THỨC LEIBNIZ)
Nếu hàm số f (x, y) và đạo hàm riêng fy (x, y)
liên tục trên miền

D = {(x, y) : x ∈ [a, b], y ∈ [c, d]} thì tích phân xác
định phụ thuộc tham số y
b

I(y) =

f (x, y)dx
a

sẽ khả vi theo biến y trên đoạn [c, d]. Khi đó
b

I (y) =
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

fy (x, y)dx,

∀y ∈ (c, d).

a TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

TP. HCM — 2016.

13 / 41


Định nghĩa tích phân phụ thuộc tham số

Phép tính vi phân của tích phân phụ thuộc tham số

VÍ DỤ 1.4
Cho g(x) = x2. Tìm hàm xấp xỉ tuyến tính
dạng h(x) = kx + b sao cho sai số trung bình
bình phương đạt giá trị nhỏ nhất, có nghĩa
3

là I(k, b) =

[g(x) − h(x)]2 dx → min .

1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

TP. HCM — 2016.

14 / 41


Định nghĩa tích phân phụ thuộc tham số

Phép tính vi phân của tích phân phụ thuộc tham số

VÍ DỤ 1.4
Cho g(x) = x2. Tìm hàm xấp xỉ tuyến tính
dạng h(x) = kx + b sao cho sai số trung bình
bình phương đạt giá trị nhỏ nhất, có nghĩa
3

là I(k, b) =

[g(x) − h(x)]2 dx → min .

1

Tìm cực trị tự do của hàm 2 biến
3

I(k, b) =

f (x, k, b)dx → min
1

với f (x, k, b) = (x2 − kx − b)2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

TP. HCM — 2016.

14 / 41


Định nghĩa tích phân phụ thuộc tham số

Phép tính vi phân của tích phân phụ thuộc tham số

Tìm điểm dừng




 Ik (k, b) =


 Ib (k, b) =

⇔









3
1

3

3
1

1

fk (x, k, b)dx = 0
3

fb (x, k, b)dx = 0

2(x2 − kx − b)(−x)dx = 0
2(x2 − kx − b)(−1)dx = 0

1



52

k = 4
 −40 + k + 8b = 0
3
11
⇔
⇔
52
b = −

 − + 8k + 4b = 0
3
3
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

TP. HCM — 2016.

15 / 41


Định nghĩa tích phân phụ thuộc tham số

Khi k = 4, b = −
A = Ikk =

Phép tính vi phân của tích phân phụ thuộc tham số

11
, ta có
3

52
> 0,
3

B = Ikb = 8,

⇒ ∆ = AC − B2 =

Do đó khi k = 4, b = −

C = Ibb = 4.

16
>0
3

11
, hàm I(k, b) đạt cực
3

tiểu.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

TP. HCM — 2016.

16 / 41


Định nghĩa tích phân phụ thuộc tham số

Phép tính vi phân của tích phân phụ thuộc tham số

ĐỊNH LÝ 1.5
Cho thỏa mãn các điều kiện:
hàm ϕ(y) và ψ(y) khả vi trên đoạn [c, d];
1

2

3

ϕ(y), ψ(y) ∈ [a, b], ∀y ∈ [c, d];
f (x, y) và fy (x, y) liên tục trên miền
D = {(x, y) : x ∈ [a, b], y ∈ [c, d]}.

ψ(y)

Khi đó, tích phân J(y) =

f (x, y)dx là hàm

ϕ(y)

theo biến y và sẽ khả vi trên đoạn [c, d].
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

TP. HCM — 2016.

17 / 41


Định nghĩa tích phân phụ thuộc tham số

Phép tính vi phân của tích phân phụ thuộc tham số

ψ(y)

J (y) =

fy (x, y)dx+

ϕ(y)

+f (ψ(y), y)ψ (y) − f (ϕ(y), y)ϕ (y).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

TP. HCM — 2016.

18 / 41


Định nghĩa tích phân phụ thuộc tham số

Phép tính vi phân của tích phân phụ thuộc tham số

VÍ DỤ 1.5
Chứng minh rằng, nếu f (x) liên tục trên R thì
hàm
a

I(y) =

f (x + y)dx,

(a > 0)

−a

có đạo hàm liên tục trên R. Tìm I (y).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

TP. HCM — 2016.

19 / 41