SKKN Phương trình mặt phẳng và đường thẳng trong không gian

BM03-TMSKKN

Tên sáng kiến kinh nghiệm:
PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG VÀ ĐƢỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
- Đối với học sinh ở bậc THCS,THPT các em đều rất ngại học các tiết học hình
học. Học sinh luôn cảm thấy khó khăn khi làm bài tập và nhiều khi muốn bỏ qua
những tiết hình học.Trong đó có nội dung thuộc kiến thức lớp 12 : “ Phương trình
mặt phẳng và đường thẳng trong không gian” cũng là một nội dung các em thấy
khó và nhầm lẫn trong quá trình giải toán.
- Tuy là các em đã làm quen với đƣờng thẳng trong chƣơng trình ở bậc học THCS
và sau đó đến chƣơng trình hình học 10 các em cũng đã đƣợc làm quen với cách
viết phƣơng trình đƣờng thẳng trong hệ trục Oxy. Nhƣng khi các em học nội dung
viết phƣơng trình đƣờng thẳng và phƣơng trình mặt phẳng trong không gian thì các
em lúng túng và sai sót nhiều. Lý do thƣờng là các em không nắm lý thuyết, nhầm
lẫn nội dụng này sang nội dung kia. Các em chƣa phân biệt đƣợc các dạng bài toán,
những yếu tố cần để có thể làm đƣợc bài toán.
- Để học sinh tự tin và hứng thú tiếp thu nội dung học này và cũng để chuẩn bị cho
kỳ thi tốt nghiệp THPTQG sắp tới.Tôi chọn đề tài “ Phương trình mặt phẳng và
đường thẳng trong không gian”
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN
a, Cơ sở thực tiễn
* Thuận lợi
- Trong sách giáo khoa các nội dung đã trình bày đã kĩ lƣỡng và có nhiều hoạt
động dành cho học sinh tạo hứng thú cho học sinh tiếp thu kiến thức mới.
- Sách bài tập có tóm tắt bài học và đƣa ra nhiều bài tập sau đó hƣớng dẫn giải để
các em tham khảo.
* Khó khăn
- Đa số học sinh khi trƣớc khi tới trƣờng chỉ học bài cũ mà không xem trƣớc nội
dung bài mới.

- Chủ yếu là các em thu những kiến thức này khi giáo viên truyền đạt mà sau khi
học ít bản thân các em ít khi so sánh các dữ kiện khác nhau giữa các bài toán . Mặt
khác sau khi học xong chƣơng trình toán ở lớp dƣới các em thƣờng quên và không
xem lại những kiến thức đã đƣợc học.
- Ý thức học tập của nhiều học sinh còn chƣa cao, và chƣa có phƣơng pháp học tập
hiệu quả vẫn còn nhiều học sinh học thuộc lòng.
- Học sinh trong một lớp đa số là không đồng đều về học lực.

1


b, Cơ sở lý luận
Toán học trong chƣơng trình phổ thông là môn học có rất nhiều ứng dụng trong
thực tế và cả các bộ môn khác. Nhƣng do học sinh học toán một cách rất máy móc
chỉ biết học trên lý thuyết chứ ít khi đặt ra vấn đề: nội dung này học để làm gì, có
áp dụng vào thực tế không? Thông thƣờng các em thƣờng học với mục đích là
hoàn thành nội dung thầy cô dạy trên lớp, kiểm tra và thi. Chính vì vậy nên việc
học của các em thƣờng không tự giác dẫn đến các em không có hứng thú và đƣơng
nhiên là luôn cảm thấy khó hiểu. Nội dung “Phương trình mặt phẳng và đường
thẳng trong không gian” trong chƣơng trình hình học lớp 12 cũng gây rất nhiều
khó khăn cho các em. Nguyên nhân chính là các em thƣờng không tự tổng hợp
đƣợc các nội dung kiến thức các bài gây nhẫm lẫn giữa nội dung bài học này với
bài học kia. Và thấy khó khăn khi áp dụng từ lý thuyết đi đến thực hành và làm
các bài tập liên quan. Đặc biệt là chuẩn bị đến các kỳ thi quan trong cùng với việc
đổi mới trong kiểm tra và thi gây cho các em rất hoang mang .Vì vậy giáo viên
cần chỉ rõ, cụ thể và hƣớng dẫn cho học sinh biết tổng hợp lý thuyết và áp dụng
chúng vào các dạng toán cụ thể.
- Chính vì vậy tôi chọn đề tài “ Phương trình mặt phẳng và đường thẳng trong
không gian”. Nội dung đề tài gồm có tóm tắt lý thuyết và đƣa ra các một số dạng
toán cơ bản liên quan đến phƣơng trình đƣờng thẳng và phƣơng trình mặt phẳng

trong không gian.
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
A. LÝ THUYẾT
I. Hệ tọa độ trong không gian
1. Hệ trục tọa độ Oxyz
- Ba trục Ox, Oy,Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung gốc tọa độ O. Gọi
i, j, k là các vec tơ đơn vị tƣơng ứng trên các trục Ox,Oy, Oz. Hệ ba trục nhƣ vậy
gọi là hệ tọa độ Oxyz.
- Chú ý
2

* i  j  k 1
2

2

* i. j  i.k  j.k  0
2.Tọa độ Véctơ
a, Định Nghĩa: u  (x; y;z)  u  x.i  y j  zk
b,Tính chất : Cho a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ),k  R
 a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 )
 ka  (k a1;k a2 ;k a3 )
2




a1  b1

a  b  a2  b2

a  b
3
 3

 0  (0;0;0), i  (1;0;0), j  (0;1;0), k  (0;0;1)
 a cùng phƣơng b(b  0)  a  kb
a1  kb1
a a a

 a  kb  a2  kb2 (k  R)  1  2  3 (b1 , b2 , b3  0)
b1 b2 b3
a  kb
3
 3

 a.b  a1.b1  a2 .b2  a3.b3
 a  b  a1.b1  a2 .b2  a3.b3  0
 a  a12  a22  a32  a  a12  a22  a32
2

 cos(a, b) 

a1.b1  a2 .b2  a3.b3
a.b

(a, b  0)
a12  a2 2  a32 . b12  b22  b32
a.b

3. Tọa độ điểm

a, Định nghĩa: M  ( x; y; z)  OM  x.i  y j  zk ( x: hoành độ, y: tung độ, z: cao
độ).
chú ý
 M  (Oxy)  z  0; M  (Oxz)  y  0; M  (Oyz)  x  0 .
 M Ox  y  z  0; M Oy  x  z  0; M Oz  x  y  0 .
b, Tính chất: Cho A(x A ; yA ; zA ); B(x B ; yB ; zB ); C(xC ; yC ; zC ); D(x D ; yD ; zD )


AB  (x B  x A ; yB  yA ; zB  z A ) .



AB  (x B  x A )2  ( yB  yA )2  ( zB  zA )2 .

 Tọa độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k  1)
M (

x A  k x B yA  kyB z A  kzB
;
;
).
1 k
1 k
1 k

 Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB :
x x y  y z z
I ( A B ; A B ; A B).
2

2

2

3


 Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
x x x y  y  y z z z
G( A B C ; A B C ; A B C).
3

3

3

 Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD
G(

x A  x B  xC  xD y A  yB  yC  yD z A  zB  zC  zD
;
;
).
4
4
4

4. Tích có hƣớng của hai véc tơ:
a, Định nghĩa : Cho a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 )
Khi đó:  a, b   a  b  (a2 .b3  a3.b2 ; a3.b1  a1.b3 ; a1.b2  a2.b1 )

b, Tính chất
  a, b   a;
  a, b   0

 a, b   b .



thì a và b cùng phƣơng.

5. Phƣơng trình mặt cầu
 Phƣơng trình mặt cầu (S) có tâm I (a, b, c) và bán kính R :
( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R 2 .

 Phƣơng trình x2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 là phƣơng trình mặt cầu
khi a2  b2  c2  d  0 . Khi đó mặt cầu có tâm I (a, b, c) và bán kính

R  a 2  b2  c 2  d .
II. Phƣơng trình mặt phẳng
1. Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phƣơng của mặt phẳng
 Vectơ n  0 là VTPT của mặt phẳng ( ) nếu giá của n vuông góc với ( ) .
 Hai vectơ a, b là một cặp VTCP của ( ) nếu giá của chúng song song hoặc
nằm trên ( ) .
Chú ý :
+ Nếu n là một VTPT thì kn(k  0) cũng là VTPT của ( ) .
+ Nếu a, b là một cặp VTCP của ( ) thì n  [a, b] là một VTPT của ( ) .
2. Phƣơng trình tổng quát của mặt phẳng
 Phƣơng trình mặt phẳng đi qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có một VTPT n  ( A; B; C ) là
A( x  x0 )  B( y  y0 )  C( z  z0 )  0 .

4


 Phƣơng trình mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua A(a;0;0) , B( 0;b;0),
C (0;0;c) với a  0, b  0, c  0 .Khi đó :
(ABC) :

x y z
   1.
a b c

3. Các trƣờng hợp đặc biệt
 (Oxy) có phƣơng trình z =0.
 (Oyz) có phƣơng trình x = 0.
 (Oxz) có phƣơng trình y = 0.
4. Vị trí tƣơng đối của hai mặt phẳng
Cho (1 ): A1 x  B1 y  C1 z  D1  0;(2 ): A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 .
 (1 ) cắt ( 2 )  n1  kn2
 n1  kn2

 (1 ) / /(2 )  

 D1  kD2

 n1  kn2

 (1 )  (2 )  


 D1  kD2

 (1 )  (2 )  A1 A2  B1B2  C1C2  0
5. Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng ( ): Ax  By  Cz  D  0
d (M ,( )) 

Ax0  By0  Cz0  D
A2  B 2  C 2

.

III. Phƣơng trình đƣờng thẳng
1. Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng
 Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng d đi qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP
u  (a; b; c)
 x  x0  at
d:  y  y0  bt ( t là tham số)
 z  z  ct
0


 Nếu a  0, b  0, c  0 khi đó d có phƣơng trình chính tắc là
d:

x  x0 y  y0 z  z 0


.
a
b
c

5


2. Vị trí tƣơng đối giữa hai đƣờng thẳng
Cho hai đƣờng thẳng d ; d ' có phƣơng trình tham số là
 x  x0 ' a ' t '
 x  x0  at


d :  y  y0  bt và d ':  y  y0 ' b ' t ' ( t và t’ là tham số)
 z  z  ct
 z  z ' c ' t '
0
0



Với d có VTCP u  (a; b; c) và d’ có VTCP u '  (a '; b '; c ')


 x0  at  x0 ' a ' t '

d / / d ' khi và chỉ khi u  ku ' và  y0  bt  y0 ' b ' t ' ẩn t; t ' vô nghiệm.
 z  ct  z ' c ' t '
0
 0



 x0  at  x0 ' a ' t '

d  d ' khi và chỉ khi  y0  bt  y0 ' b ' t ' ẩn t; t ' vô số nghiệm.
 z  ct  z ' c ' t '
0
 0



 x0  at  x0 ' a ' t '

d ; d ' cắt nhau khi và chỉ khi  y0  bt  y0 ' b ' t ' ẩn t; t ' có đúng một nghiệm.
 z  ct  z ' c ' t '
0
 0

 d ; d ' chéo nhau khi và chỉ khi u, u ' không cùng phƣơng và
 x0  at  x0 ' a ' t '

 y0  bt  y0 ' b ' t ' ẩn t; t ' vô nghiệm.
 z  ct  z ' c ' t '
0
 0

 d  d '  u.u '  0 .
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Vấn đề 1: Lập phương trình mặt phẳng
Dạng 1: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) đi qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTPT
n  ( A; B; C ) . Khi đó ( ): A( x  x0 )  B( y  y0 )  C( z  z0 )  0 .
Ví dụ 1: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phƣơng trình mặt phẳng ( )

đi qua M (1;2;3) và có VTPT n  (2;1;1) .
Giải:
Vì ( ) đi qua M (1;2;3) và có VTPT n  (2;1;1) nên ( ) có phƣơng trình :
2( x 1) 1( y  2) 1( z  3)  0
 2x  y  z  7  0 .

6


Ví dụ 2:Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;2;2). Viết phƣơng
trình mặt phẳng ( ) đi qua M sao cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( ) là lớn
nhất.
Giải:
* Gọi H là hình chiếu của O lên mặt phẳng ( ) . Khi đó ta có OH  OM .
* Để d (O,( )) là lớn nhất thì OM  ( ) hay OM là VTPT.
* Mặt phẳng ( ) đi qua M và có VTPT OM  (1;2;2) nên phƣơng trình
( ) : x 1 2(y 2)  2(z 2)  0  x 2 y 2z 9  0 .

Ví dụ 3: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz .Viết phƣơng trình mặt phẳng
( ) đi qua M (3;2;1) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lƣợt tại A, B,C sao cho M là
trực tâm của tam giác ABC.
Giải:
* Vì A, B, C lần lƣợt thuộc Ox, Oy, Oz và M là trực tâm của tam giác ABC nên
OM  ( ABC) hay OM  ( ) .
* Mặt phẳng ( ) đi qua M (3;2;1) và có VTPT OM  (3;2;1)
* Vậy phƣơng trình mặt phẳng ( ) là
3(x 3)  2(y 2)  z1  0  3x 2 y z14  0 .

Dạng 2: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) đi qua 3 điểm không thẳng hàng
A( xA ; yA ; zA ); B( xB ; yB ; zB );C( xC ; yC ; zC ) .

Cách làm:
*Tìm tọa độ AB; AC .
*Tính n   AB, AC  .
* Vì ( ) đi qua A,B,C nên nhận n làm VTPT.
* Viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) đi qua A và có VTPT n .
Ví dụ 4: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phƣơng trình mặt phẳng
( ) đi qua A (1;-2;1); B( 0;2;1); C(3;1;2).
Giải:
*Ta có
AB  (1;4;0)
AC  (2;3;1)

7


* n   AB, AC   (4;1; 11) .
*Vì mặt phẳng ( ) đi qua A, B,C nên nhận n làm VTPT.
* Vậy phƣơng trình mặt phẳng ( ) là
4( x 1)  y  2 11( z 1)  0  4x  y 11z  9  0 .

Dạng 3: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) đi qua 3 điểm không thẳng hàng và cắt
các trục Ox,Oy,Oz lần lƣợt là A(a;0;0); B(0; b;0);C(0;0; c) , a  0, b  0, c  0 .
Cách làm:
Cách 1: Trình bày tƣơng tự nhƣ ở dạng 2.
Cách 2: Do 3 điểm A;B;C lần lƣợt thuộc Ox, Oy, Oz nên sử dụng phƣơng trình
mặt phẳng theo đoạn chắn.
x y z
*Ta có phƣơng trình mặt phẳng ( ) theo đoạn chắn:    1 .
a b c

Ví dụ 5: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phƣơng trình mặt phẳng ( )
đi qua A (2;0;0); B( 0;3;0); C(0;0;6).
Giải:
Cách 1:
Ta có
* AB  (2;3;0)
* AC  (2;0;6) .
* n   AB, AC   (18;12;6) .
*Vì mặt phẳng ( ) đi qua A, B,C nên nhận n làm VTPT.
* Vậy phƣơng trình mặt phẳng ( ) là
18( x  2) 12 y  6z  0  3x  2 y  z  6  0 .

Cách 2:
*Ta có mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn là
x y z
   1  3x  2 y  z  6  0 .
2 3 6
Ví dụ 6 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (2;-3;1). Gọi A, B,C
lần lƣợt là hình chiếu của điểm M lên các trục Ox,Oy, Oz. Viết phƣơng trình mặt
phẳng ( ABC).
Giải:
* Hình chiếu của M lên trục Ox là điểm A (2;0;0).
8


* Hình chiếu của M lên trục Oy là B ( 0;-3;0).
* Hình chiếu của M lên trục Oz là C (0;0;1).
* Ta có phƣơng trình (ABC) theo đoạn chắn là
x y z
   1  3x  2 y  6 z  6  0 .

2 3 1
Dạng 4: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) đi qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và song song với mặt
phẳng ( ): Ax  By  Cz  D  0 .
Cách làm:
Cách 1:
*Ta có VTPT của mặt phẳng ( ) : n  ( A; B; C ) .


*Vì ( ) đi qua điểm M và ( ) / /( ) nên ( ) nhận n làm VTPT.


*Vậy phƣơng trình mặt phẳng ( ): A( x  x0 )  B( y  y0 )  C( z  z0 )  0 .
Cách 2:
* Ta có VTPT của mặt phẳng ( ) : n  ( A; B; C ) .
*Vì ( ) / /( ) nên phƣơng trình mặt phẳng ( ) có dạng Ax  By  Cz  D '  0(D '  D)
*Thay tọa độ điểm M vào phƣơng trình mặt phẳng ( ) ta tìm đƣợc D ' .
*Kết luận.
Ví dụ 7: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) đi
qua A (0;-3;5) và song song (  ) 2x+5y-3z+1=0.
Giải:
Cách 1:
*Ta có n  (2,5, 3)
* Vì ( ) đi qua điểm A và ( ) / /( ) nên ( ) nhận n làm VTPT.
*Vậy phƣơng trình mặt phẳng ( ) :
2( x  0)  5( y  3)  3(z 5)  0  2x 5y 3z 30  0 .

Cách 2:
*Ta có n  (2,5, 3) .
*Vì ( ) / /( ) nên phƣơng trình mặt phẳng ( ) có dạng 2x  5 y  3z  D '  0(D '  1)
*Thay tọa độ điểm A vào phƣơng trình mặt phẳng ( ) :

2.0  5(3)  3.5  D '  0  D'  30 .
9


*Vậy phƣơng trình ( ) : 2x  5 y  3z  30  0 .
Dạng 5: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) đi qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc với
 x  x0  at
đƣờng thẳng d:  y  y0  bt ( t là tham số).
 z  z  ct
0

Cách làm:
*Ta có VTCP của đƣờng thẳng d: u  (a; b;c) .
d

*Vì ( ) đi qua M và vuông góc với d nên ( ) nhận u  (a; b;c) làm VTPT.
d

*Viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) .
Ví dụ 8: Trong không gian hệ trục Oxyz, viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) đi qua
 x  2  3t
A (-2;0;3) và vuông góc với đƣờng thẳng d:  y  5  t
 z  1  2t

Giải:
*Ta có VTCP của đƣờng thẳng d: u d  (3; 1;2) .
*Vì ( ) đi qua A và ( ) vuông góc với d nên ( ) nhận u d  (3; 1;2) làm VTPT.
*Vậy phƣơng trình mặt phẳng ( ) là
3( x  2)  ( y  0)  2( z  3)  0  3x  y  2 z  0 .

Ví dụ 9: Trong không gian hệ trục Oxyz, cho ba điểm A (-1;0;2), B (-2;0;1),
C(-5;1;3). Viết phƣơng trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đƣờng thẳng
BC.
Giải:
*Ta có BC  (3;1;2) .
*Vì ( ) đi qua A và ( ) vuông góc với BC nên ( ) nhận BC làm VTPT.
*Vậy phƣơng trình mặt phẳng ( ) là
3( x 1)  ( y  0)  2( z  2)  0  3x  y  2z  7  0

Dạng 6: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) đi qua A( x A ; yA ; zA ) , B(x B ; yB ; zB )
và vuông góc với ( ): Ax  By  Cz  D  0 .
Cách làm:
*Tính AB .
10


*Mặt phẳng ( ) có VTPT n  ( A; B; C ) .
*Tính n   AB, n  .
*Vì ( ) đi qua A,B và vuông góc với ( ) nên nhận n làm VTPT.
* Viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) qua A và VTPT n .
Ví dụ 10: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, viết phƣơng trình mặt phẳng
( ) đi qua A (-1;2;2) ,B (0;1;1) và vuông góc với mp ( ) : 2x-y- 2z - 6=0.
Giải:
* AB  (1; 1; 1) .
*VTPT của mặt phẳng ( ) ; n  (2; 1; 2) .
*Ta có n   AB, n   (1;0;1) .
* Vì ( ) đi qua A,B và vuông góc với ( ) nên nhận n làm VTPT.
* Vậy phƣơng trình mặt phẳng ( ) là

x 1 0( y  2)  z  2  0  x  z 1  0 .

 x  x0  at
Dạng 7: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) chứa đƣờng thẳng d:  y  y0  bt ( t là
 z  z  ct
0


tham số) và vuông góc với mặt phẳng ( ): Ax  By  Cz  D  0 .
Cách giải:
*Lấy điểm M thuộc d.
* Ta có VTCP của đƣờng thẳng d: u d  (a; b; c) .
*Mặt phẳng ( ) có VTPT n  ( A; B; C ) .


*Tính n  u d , n   .
*Vì ( ) chứa d và ( ) vuông góc với ( ) nên nhận n làm VTPT.
* Viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) qua M và VTPT n .
Ví dụ 11: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phƣơng trình mặt phẳng ( )
 x  1  2t
chứa đƣờng thẳng d:  y  3  t ,và vuông góc với mặt phẳng
z  t

( ): 3x  2 y  6z 1  0 .
11


Giải:
*Lấy điểm M (1;3;0) thuộc d.
*Ta có VTCP của đƣờng thẳng d: u d  (2; 1;1) .
*Mặt phẳng ( ) có VTPT n  (3;2; 6) .


*Tính n  u d , n    (4;9;1) .
*Vì ( ) chứa d và vuông góc với ( ) nên nhận n làm VTPT.
* Vậy phƣơng trình mặt phẳng ( ) :
4( x 1)  9( y  3)  ( z  0)  0  4 x  9 y  z  31  0 .

Ví dụ 12: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phƣơng trình mặt phẳng
x y 1 z
( ) chứa đƣờng thẳng d : 
 và vuông góc với mặt phẳng
2
1
1
(P): x  3 y  z  2  0 .

Giải:
*Đƣờng thẳng d có điểm M (0;1;0) và VTCP u  (2;1;1) .
*Mặt phẳng (P) có VTPT n  (2; 1;2) .
*Vì ( ) chứa d và vuông góc mặt phẳng (P) nên ( ) có VTPT .
n  u, n  (3;6;0) .

*Vậy phƣơng trình mp ( ) đi qua điểm M và có VTPT n là x  2 y  2  0 .
Dạng 8: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) song song với mặt phẳng
( ): Ax  By  Cz  D  0 và cách ( ) một đoạn bằng k (k>0).

Cách làm:
*Mặt phẳng ( ) có VTPT n  ( A; B; C ) .
*Vì ( ) song song với ( ) nên phƣơng trình mặt phẳng ( ) có dạng là
Ax  By  Cz  D '  0(D '  D) .

* Lấy M bất kỳ thuộc ( ) khi đó d (M ,( ))  d (( ),( ))  k (*) .
*Giải phƣơng trình (*) ta tìm đƣợc D’.
*Kết luận.
Ví dụ 13 : Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, viết phƣơng trình mặt phẳng
( ) đi qua song song ( ) : 2x-y- 2z - 6=0 và cách ( ) một đoạn bằng 3.
12


Giải:
* Mặt phẳng ( ) có VTPT n  (2; 1; 2) .
* Vì ( ) // ( ) nên phƣơng trình mặt phẳng ( ) : 2x-y- 2z +D’=0 (D'  6) .
* Lấy M  0,0, 3  ( ) .
* Ta có d (M ,( ))  d (( ),( )) .
| 6  D '|
3
3
6  D '  9

 6  D '  9
D '  3

 D '  15


*Vậy phƣơng trình ( ): 2x  y 2z 3  0 hay ( ): 2x  y 2z15  0 .
Dạng 9: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) tiếp xúc với
(S): ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R2 tại điểm M (x0 ; y 0 ; z0 ) .
Cách làm:
*Mặt cầu (S) có tâm I (a;b;c) và bán kính R.
*Vì ( ) tiếp xúc với (S) tại M nên VTPT của ( ) là IM .

* Viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) đi qua M và có VTPT IM .
Ví dụ 14: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) tiếp xúc với
(S): ( x 1)2  ( y  2)2  ( z  3)2  9 tại điểm M (3;0;4) .
Giải:
*Mặt cầu (S) có tâm I (1;2;3) và bán kính R= 3.
*Vì ( ) tiếp xúc với (S) tại M nên VTPT của ( ) là IM  (2; 2;1) .
*Vậy phƣơng trình mặt phẳng ( ) đi qua M và có VTPT IM  (2; 2;1) là
2x  2 y  z 10  0 .
Ví dụ 15: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) tiếp xúc với
(S): x2  y 2  z 2  4x  2 y 1  0 tại điểm A (-1;2;2).
Giải:
*Mặt cầu (S) có tâm I (-2;1;0) và bán kính R=

6.

*Vì ( ) tiếp xúc với (S) tại A nên VTPT của ( ) là IA  (1;1;2) .
13


*Vậy phƣơng trình mặt phẳng ( ) đi qua M và có VTPT IA  (1;1;2) là
( ) : x  y  2z  5  0 .
Dạng 10: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) song song với
( ) : Ax  By  Cz  D  0 tiếp xúc với (S): ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R2 .

Cách làm:
* Mặt phẳng ( ) có VTPT n  ( A; B; C ) .
* Mặt cầu (S) có tâm I (a;b;c) và bán kính R.
* Vì ( ) song song với ( ) nên phƣơng trình mặt phẳng ( ) có dạng
Ax  By  Cz  D '  0(D '  D) .
*Vì ( ) tiếp xúc với (S) nên d ( I ,( ))  R (*).

* Giải phƣơng trình (*) ta tìm đƣợc D’.
*Kết luận.
Ví dụ 16: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) song song với ( ) : x  2 y  2z  6  0
tiếp xúc với (S): ( x 1)2  ( y  2)2  z 2  25 .
Giải:
* Mặt phẳng ( ) có VTPT n  (1; 2; 2) .
* Mặt cầu (S) có tâm I (1;2;0) và bán kính 5.
* Vì ( ) song song với ( ) nên phƣơng trình mặt phẳng ( ) có dạng
x  2 y  2z  D '  0(D '  6) .
*Vì ( ) tiếp xúc với (S) nên d ( I ,( ))  5 (*).
|1  2.2  2.0  D '|
| 5  D '|
5
5
3
3
5  D '  15

.
5  D '  15
 D '  10

( n)
 D '  20

(*) 

* Vậy phƣơng trình
( ) : x  2 y  2 z  10  0.
( ) : x  2 y  2 z  20  0.

Ví dụ 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phƣơng trình mặt phẳng ( )
vuông góc với trục Oy tiếp xúc với (S): ( x 1)2  ( y  2)2  ( z  3)2  9 .

14


Giải:
* Trục Oy có VTCP j  (0;1;0) .
* Mặt cầu (S) có tâm I (1;2;3) và bán kính 3.
* Vì ( ) vuông góc với Oy nên phƣơng trình mặt phẳng ( ) có dạng y  D  0 .
*Vì ( ) tiếp xúc với (S) nên d ( I ,( ))  3 (*).
(*) 

2  D  3
D 1
|2 D|
3 

1
 D  5
 2  D  3

* Vậy phƣơng trình ( ): y 1  0 hay ( ): y  5  0 .
Dạng 11: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) đi qua M ( x0 ; y 0 ; z0 ) và vuông góc với
hai mặt phẳng (P): Ax  By  Cz  D  0 và (Q): A ' x  B ' y  C ' z  D '  0 .
Cách làm:
*Mặt phẳng (P) có VTPT n1  ( A; B; C ) .
*Mặt phẳng (Q) có VTPT n2  ( A '; B '; C ') .
* ( ) vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q) nên ( ) có VTPT n   n1, n2  .

*Vậy phƣơng trình mp ( ) đi qua điểm M và có VTPT n .
Ví dụ 18: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,cho mặt phẳng ( ) đi qua điểm
A(-3;0;1) vuông góc với hai mặt phẳng (P): 2x  3 y  z  2  0 và
(Q): x  5 y  2z 1  0 .
Giải:
*Mặt phẳng (P) có VTPT n1  (2;3; 1) .
*Mặt phẳng (Q) có VTPT n2  (1;5; 2) .
* ( ) vuông góc với (P) và (Q) nên ( ) có VTPT n   n1, n2   (1;3;7) .
*Vậy mp ( ) đi qua điểm A(-3;0;1) và có VTPT n  (1;3;7) là nên phƣơng trình
( ) : x  3 y  7 z  4  0 .
Ví dụ 19: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) vuông góc
với hai mặt phẳng (P): x  y  z  3  0 và (Q): x  y  z 1  0 sao cho khoảng cách
từ O đến ( ) bằng 2.
Giải:
*Mặt phẳng (P) có VTPT n1  (1;1;1) .
*Mặt phẳng (Q) có VTPT n2  (1; 1;1) .
15


* ( ) vuông góc với (P) và (Q) nên ( ) có VTPT n  n1 , n2   (2;0; 2)
hay n  (1;0; 1) .
*Mặt phẳng ( ) VTPT n  (1;0; 1) là nên phƣơng trình n  (1;0; 1) : x  z  D  0 .
* d (O,( ))  2 

D  2 2
D
2
2
 D  2 2

Vậy phƣơng trình ( ) : x  z  2 2  0 hay ( ) : x  z  2 2  0 .
Dạng 12: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M và chứa một đƣờng
thẳng d không chứa M.
Cách làm:
* Trên d lấy điểm A và d có VTCP u .
* Tìm AM .
*Mặt phẳng ( ) đi qua M và chứa d nên VTPT n  u, AM  .
*Viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) đi qua M và VTPT n .
Ví dụ 20: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,cho mặt phẳng ( ) đi qua điểm
 x  1  2t
M(1;2;3) và chứa đƣờng thẳng d:  y  2  t ( t là tham số).
 z  0  3t

Giải:
* Trên d lấy điểm A(1;2;0) và d có VTCP u  (2; 1;3) .
* AM  (0;0; 3) .
* Mặt phẳng ( ) đi qua M và chứa d nên VTPT n  u, AM   (3;6;0) .
* Vậy mặt phẳng ( ) đi qua M (1;2;3) và VTPT n  (3;6;0) nên phƣơng trình
( ) : 3( x 1)  6( y  2)  0  x  2 y  5  0 .

Dạng 13: Viết phƣơng trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB biết
A(x A ; yA ; zA ); B(x B ; yB ; zB ) .
Cách làm:
* Gọi ( ) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
* Gọi I là trung điểm đoạn AB. Tìm tọa độ điểm I.
* Tìm AB .
16


*Mặt phẳng ( ) đi qua I và VTPT AB .

*Viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) đi qua I và VTPT AB .
Ví dụ 21: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phƣơng trình mặt phẳng
trung trực của đoạn thẳng AB biết A (2;3;-1) và B (4;-1;1).
Giải:
* Gọi ( ) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
* Gọi I là trung điểm đoạn AB. Suy ra tọa độ điểm I (3;1;0).
* Tìm AB  (2; 4;2)  2(1; 2;1) .
*Mặt phẳng ( ) đi qua I và VTPT n  (2; 1;1) .
*Viết mặt phẳng ( ) đi qua I (3;1;0) và VTPT n  (2; 1;1) nên phƣơng trình
( ) : 2( x  3)  ( y 1) 1( z  0)  0  2 x  y  z  5  0 .

Dạng 14: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) , song song
 x  x0  at
với đƣờng thẳng d :  y  y0  bt ( t là tham số) và vuông góc với mặt phẳng
 z  z  ct
0

( ): Ax By Cz D  0 .

Cách làm:
* Đƣờng thẳng d có VTCP u  (a, b, c) .
* Mặt phẳng ( ) có VTPT n  ( A, B,C) .
*Mặt phẳng ( ) song song với đƣờng thẳng d và vuông góc với mặt phẳng ( )
có VTPT n  [u, n] .
* Viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) đi qua M và có VTPT n .
Ví dụ 22: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phƣơng trình mặt phẳng
 x  1  t
( ) đi qua điểm M (2;3;0) , song song với đƣờng thẳng d :  y  0  2t và vuông
 z  2  3t


góc với mặt phẳng ( ): x 2 y z 5  0 .
Giải:
* Đƣờng thẳng d có VTCP u  (1;2;3) .
* Mặt phẳng ( ) có VTPT n  (1; 2;1) .

17


*Mặt phẳng ( ) song song với đƣờng thẳng d và vuông góc với mặt phẳng ( )
có VTPT n  [u, n]  (8;2; 4) .
* Vậy mặt phẳng ( ) đi qua M (2;3;0) và có VTPT n  (8;2; 4) nên phƣơng trình
8( x  2)  2( y  3)  4(z 0)  0  4 x  y  2z 11  0 .

Dạng 15: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M , song song với đƣờng
 x  x '0  a ' t '
 x  x0  at

thẳng d :  y  y0  bt và d’:  y  y '0  b ' t ' ( t ,t’ là tham số).
 z  z  ct
 z  z ' c ' t '
0
0


Cách làm:
* Đƣờng thẳng d có VTCP u  (a, b, c) .
* Mặt phẳng d’ có VTPT u '  (a ', b ', c ') .
*Mặt phẳng ( ) song song với đƣờng thẳng d và d’có VTPT n  [u, u '] .
* Viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) đi qua M và có VTPT n .
Ví dụ 23: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phƣơng trình mặt phẳng

 x  2  2t
( ) đi qua điểm M (1;2;3) , song song với đƣờng thẳng d :  y  2  t và
z  3 t

 x  1 t '
d’:  y  1  2t '
 z  1  t '


Giải:
* Đƣờng thẳng d có VTCP u  (2; 1;1) .
* Mặt phẳng d’ có VTPT u '  (1;2;1) .
*Mặt phẳng ( ) song song với đƣờng thẳng d và d’có VTPT
n  [u, u ']  (3; 3;3) .

* Mặt phẳng ( ) đi qua M (1;2;3) và có VTPT n  (3; 3;3) .
* Vậy phƣơng trình ( ): 3( x 1)  3( y  2)  3(z 3)  0  x  y  z  0 .

18


 x  x0  at
Dạng 16: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm chứa d :  y  y0  bt
 z  z  ct
0


 x  x '0  a ' t '
và song song với d’:  y  y '0  b ' t ' ( t , t’ là tham số).
 z  z ' c ' t '

0


Cách làm:
* ( ) chứa d nên ( ) đi qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) .
* Đƣờng thẳng d có VTCP u  (a, b, c) .
* Mặt phẳng d’ có VTPT u '  (a ', b ', c ') .
*Mặt phẳng ( ) chứa đƣờng thẳng d và song song với đƣờng thẳng d’nên có
VTPT n  [u, u '] .
* Viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) đi qua M và có VTPT n .
Ví dụ 24: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phƣơng trình mặt phẳng
 x  3  7t
x 8 y 5 z 8
( ) chứa đƣờng thẳng d :
và song song với d’:  y  1  2t .


1
2
1
 z  1  3t

Giải:
* ( ) chứa d nên ( ) đi qua M (8;5;8) .
* Đƣờng thẳng d có VTCP u  (1;2; 1) .
* Mặt phẳng d’ có VTPT u '  (7;2;3) .
*Mặt phẳng ( ) chứa đƣờng thẳng d và song song với d’có VTPT
n  [u, u ']  (8; 10; 12)  2(4; 5; 6) .

* Mặt phẳng ( ) đi qua M (8;5;8) và có VTPT n  (4; 5; 6) .

* Vậy phƣơng trình ( ): 4( x  8)  5(y 5)  6(z 8)  0  4x  5 y  6z  41  0 .
Vấn đề 2: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng ( phƣơng trình tham số)
Để viết phƣơng trình đƣờng thẳng d ta cần một điểm thuộc đƣờng thẳng d và một
VTCP.
Dạng 1: Đƣờng thẳng d đi qua một điểm M (x0 ; y0; z0 ) và một VTCP u  (a; b; c) .
Cách làm :

19


 x  x0  at
* Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng d:  y  y0  bt ( t là tham số)
 z  z  ct
0


Ví dụ 25: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,đƣờng thẳng d đi qua một điểm
M (1;2;3) và một VTCP u  (2;1;3) .
Giải:
 x  1  2t
Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng d:  y  2  t
 z  3  3t


Dạng 2: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua hai điểm A và B.
Cách làm:
*Tính AB .
*Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua A ( hoặc B) và có VTCP AB .
Ví dụ 26: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phƣơng trình đƣờng thẳng d
đi qua hai điểm A (1;2;4) và B(-2;3;5).

Giải:
*Ta có AB  (31;1) .
*Vậy đƣờng thẳng d đi qua A (1;2;4) và có VTCP AB nên phƣơng trình
 x  1  3t
d:  y  2  t
z  4  t


 x  1  2t
Ví dụ 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đƣờng thẳng  :  y  t
,
z  2  t


mặt phẳng (P): x  y  2z  5  0 và điểm A ( 1;-1;2) . Viết phƣơng trình đƣờng
thẳng d cắt ,( P) lần lƣợt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN.
Giải:
* Ta có M   M (1 2t; t;2  t ) .
* Vì A là trung điểm của MN nên ta có :
 xN  2 xA  xM
 xN  3  2t


 yN  2 y A  yM   yN  2  t  N (3  2t; 2  t;2  t) .
 z  2z  z
z  2  t
A
M
 N
 N

*Vì N  (P)  (3  2t )  (2  t )  2(2  t )  5  0  t  2  N (1; 4;0) .
20


* Vậy đƣờng thẳng d đi qua A và có VTCP AN  (2;3;2) nên phƣơng trình
 x  1  2t
d:  y  1  3t
 z  2  2t


Dạng 3: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua M và song song với đƣờng thẳng
 x  x0  at
 :  y  y0  bt (t là tham số).
 z  z  ct
0

Cách làm:
*Đƣờng thẳng  có VTCP u  (a; b; c) .
*Vì d song song với  nên d nhận u  (a; b; c) làm VTCP.
*Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua M và VTCP u  (a; b; c) .
Ví dụ 28: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phƣơng trình đƣờng thẳng d
 x  4  3t
đi qua M (2; 1;0) và song song với đƣờng thẳng  :  y  1  5t .
 z  7  t

Giải:
*Đƣờng thẳng  có VTCP u  (3;5; 1) .
*Vì d song song với  nên d nhận u làm VTCP.
*Vậy đƣờng thẳng d đi qua M (2;-1;0) và VTCP u  (3;5; 1) có phƣơng trình

 x  2  3t
d:  y  1  5t .
 z  t


Ví dụ 29: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phƣơng trình đƣờng thẳng d
x 3 y z 5
đi qua M (5; 1;3) và song song với đƣờng thẳng  :
.
 
2
1
3
Giải:
*Đƣờng thẳng  có VTCP u  (2; 1;3) .
*Vì d song song với  nên d nhận u làm VTCP.
*Vậy phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua M (5;-1;3) và VTCP u  (2; 1;3) :
 x  5  2t
d:  y  1  t .
 z  3  3t

21


Dạng 4: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt
phẳng (P): Ax  By  Cz  D  0 .
Cách làm:
*Mặt phẳng (P) có VTPT n  ( A; B; C ) .
*Vì d song song với (P) nên d nhận n  ( A; B; C ) làm VTCP.
*Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua M và có VTCP n .

Ví dụ 30: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phƣơng trình đƣờng thẳng d
đi qua điểm M (-3;1;2) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x  y  4z  3  0 .
Giải:
*Mặt phẳng (P) có VTPT n  (2; 1;4) .
*Vì d song song với (P) nên d nhận n làm VTCP.
*Vậy phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua M (-3;1;2) và có VTCP n  (2; 1;4) là
 x3 2t

d:  y 1t .

 z 2 4t


Ví dụ 31: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,cho tam giác ABC có A(1;1;0),
B(0;2;1) trọng tâm G(0;2;-1). Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua C và vuông
góc với mặt phẳng (ABC).
Giải:
* G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:
 xC  3xG  xA  xB
 xC  1


 yC  3 yG  y A  yB   yC  3  C 1;3;4) .
 z  3z  z  z
 z  4
G
A
B
 C
 C

* Ta có AB  (1;1;1), AC  (2;2; 4) .
 d  AB

*Vì d  (ABC)  

 d  AC

nên d có VTCP [ AB, AC]  (6; 6;0)  6(1;1;0) .

*Vậy phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua C (-1;3;-4) và có VTCP u  (1;1;0) là
 x  1  t
d:  y  3  t .
 z  4


22


Dạng 5: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với hai
đƣờng thẳng
 x  x0 ' a 't '
 x  x0  at

 :  y  y0  bt và  ’:  y  y0 ' b 't ' ( t,t’ là tham số)
 z  z  ct
 z  z ' c ' t '
0
0




Cách làm:
*Đƣờng thẳng  có VTCP u  (a; b; c)
* Đƣờng thẳng  ’có VTCP u '  (a '; b '; c ')
*Vì d vuông góc với  và  ’nên d nhận u d  [u, u '] làm VTCP
*Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua M và VTCP ud
Ví dụ 32: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phƣơng trình đƣờng thẳng d
 x  1  2t
đi qua điểm M (1;0;5) và vuông góc với hai đƣờng thẳng  :  y  3  2t và
 z  1 t

 x  1 t '

 ’:  y  2  t ' .
 z  1  3t '

Giải:
*Đƣờng thẳng  có VTCP u  (2; 2;1) .
* Đƣờng thẳng  ’có VTCP u '  (1;1; 3) .
*Vì d vuông góc với  và  ’nên d nhận u d  [u, u ']  (5;5;0) làm VTCP.
*Vậy đƣờng thẳng d đi qua M và VTCP u d  (5;5;0) nên phƣơng trình
 x  1  5t
 x  1 t

d:  y  0  5t hoặc d:  y  0  t .
z  5
z  5



Ví dụ 33: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho các điểm A(1;-1;1) và B(-1;2;3)
x 1 y  2 z  3


và đƣờng thẳng  :
. Viết phƣơng trinh đƣờng thẳng đi qua A và
2
1
3
vuông góc với đƣờng AB và  .
Giải:
*Đƣờng thẳng ABcó VTCP AB  (2;3;2) .
* Đƣờng thẳng  có VTCP u  (2;1;3) .
23


*Vì d vuông góc với AB và  nên d nhận u d  [ AB, u]  (7;2;4) làm VTCP.
*Vậy đƣờng thẳng d đi qua A và VTCP u d  (7;2;4) nên phƣơng trình
 x  1  7t
d:  y  1  2t .
 z  1  4t

Dạng 6: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d vuông góc với hai đƣờng thẳng chéo
nhau ( Viết phƣơng trình đƣờng vuông góc chung).
 x  x0 ' a 't '
 x  x0  at


 :  y  y0  bt và  ’:  y  y0 ' b 't ' ( t, t’ là tham số).

 z  z  ct
 z  z ' c ' t '
0
0



Cách làm:
*Đƣờng thẳng  có VTCP u  (a; b; c) .
* Đƣờng thẳng  ’có VTCP u '  (a '; b '; c ') .
* Lấy M , N  ' .
 MN  

* Giải điều kiện 

 MN   '

. Tìm đƣợc tọa độ điểm M, N.

* Đƣờng thẳng d là đƣờng thẳng đi qua hai điểm M,N ( trở lại dạng 2 của viết
phƣơng trình đƣờng thẳng).
 x  1  2t
Ví dụ 34:Trong không gian Oxyz, cho hai đƣờng thẳng  :  y  3  t
z  t


 x  2
và  ':  y  2t ' . Viết phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng vuông góc chung của
z  5  t '


 và ' .

Giải:
*Đƣờng thẳng  có VTCP u  (2; 1;1) .
* Đƣờng thẳng ' có VTCP u '  (0;2;1) .
*Lấy M (1  2t;3  t,t)  , N(2;2t';5  t')  ' .
* MN  (1 2t;t  2t' 3;5  t  t ') .
 MN  

*Vì 

 MN   '


 MN  u

nên ta có 


 MN  u '

6t  t '  6



 t  5t'  1
24

t  1


.
t '  0


* Khi đó M (1;2;1) và N(-2;0;5).
* MN  (3; 2;4) là VTCP của đƣờng thẳng d.
* Vậy phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua M và có VTCP MN  (3;2;4) là
 x  1  3t
d :  y  2  2t .
 z  1  4t

 x  x0  at
Dạng 7: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua M vuông góc với  :  y  y0  bt
 z  z  ct
0

 x  x0 ' a ' t '

và cắt ' :  y  y0 ' b ' t ' ( t, t’là tham số).
 z  z ' c ' t '
0


Cách làm:
*Gọi N  d  ' . Giải điều kiện d   tìm đƣợc điểm N.
* Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua M, N.
Ví dụ 35: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1;2;3) và đƣờng
 x  1  2t
thẳng  :  y  t

. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua M vuông góc với
 z  3  2t

 và cắt trục Ox.
Giải:
*Gọi N là giao điểm của đƣờng thẳng d với trục Ox. Khi đó N (a;0;0).
* MN  (a 1; 2; 3) .
* Đƣờng thẳng  có VTCP u  (2;1; 2) .
* Vì d   nên MN.u  0  2(a 1) 1(2)  2(3)  0  a  1  N (1;0;0) .
* Vậy đƣờng thẳng d đi qua M (1;2;3) và có VTCP MN  (2; 2; 3) là
 x  1  2t
d :  y  2  2t .
 z  3  3t


Dạng 8: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua A vuông góc và cắt
 x  x0  at
 :  y  y0  bt ( t là tham số)
 z  z  ct
0

25