tiết 35 phương trinh tham số của đường thẳng trong không gian

Giáo viên d¹y :
Trêng THPT V¨n Quan
NhiÖt liÖt chµo mõng c¸c thÇy, c« gi¸o vÒ
th¨m líp dù giê vỚI LỚP 12A4
h×nh 12
KIỂM TRA BÀI CŨ
Câu hỏi: 1/Nhắc lại phương trình tham số và phương trình chính
tắc của đường thẳng trong mặt phẳng Oxy ?
2/ Tìm một vec tơ chỉ phương và một điểm M thuộc
đường thẳng có phương trình tham số
1/ Phương trình tham số:
0 1
0 2
x x a t
y y a t
= +


= +

0 0
( ; ) ( )M x y ∈ ∆
1 2
( ; )u a a
=
r
Phương trình chính tắc:
Đáp án:
trong đó
là VTCP
0

1 2
0
x - x y y
a a
−
=
0 0
( ; ) ( )M x y ∈ ∆
1 2
( ; )u a a
=
r
trong đó
-là VTCP
2
3 2
x t
y t
= −


= − +

u
r
∆
2/ Điểm M(2,-3) và vec tơ chỉ phương (-1,2)
u
r
∈∆

Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
Cầu sông Hàn TP Đà Nẵng
Cầu Hàm Rồng -Vinh
Tháp Cầu (Bridge Tower – Lon Don)
Cầu Cổng Vàng (Mỹ)
Vectơ khác được gọi là vectơ chỉ phương của đường
thẳng nếu nó có giá song song hoặc nằm trên đường
thẳng ấy.
u
r
0
r
'u
ur
O
x
y
∆
u
r
z
Câu hỏi: Hãy nhắc lại định nghĩa vectơ chỉ phương của
đường thẳng ?
y
x
o
u
r
u

r
∆
Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
•
I. VÉC TƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN

0u ≠
r r
và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng
gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng
+ Một đường thẳng có vô số véc tơ chỉ phương có dạng
( 0)ku k ≠
r
Véc tơ
Trong không gian cho vectơ
, có bao nhiêu đường
thẳng đi qua M và song song
với giá của vec tơ ?
0u ≠
r
r
u
r
O
x
y
∆
u

r
z
M
Theo em ta cần
những yếu tố nào để
xác định được một
đường thẳng trong
không gian ?
Ta chỉ cần một
vec tơ chỉ phương
và một điểm thuộc
đường thẳng đó
O
x
y
∆
u
r
z
M
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d đi qua điểm M
0
(x
0
,y
0
,z
0
)
và nhận làm vec tơ chỉ phương. Hãy tìm điền kiện để

điểm M(x,y,z) nằm trên d
Bài toán :
1 2 3
( ; ; )u a a a
=
r
GIẢI
( )
0 0 0
, ,
o
M M x x y y z z= − − −
uuuuuur
Điểm cùng phương với
u
r
0
(t )M M tu⇔ = ∈
uuuuuur r
¡
Đây là PTTS của d
0
M d M M∈ ⇔
uuuuuur
0 1
0 2
0 3
x x ta
y y ta
z z ta

− =


⇔ − =


− =

hay
0 1
0 2
0 3
x x ta
y y ta
z z ta
= +


= +


= +

x
y
z
0
M
0
M

u
r
d
Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng đi qua


nhận làm vectơ chỉ phương. Điều kiện cần và
đủ để điểm M(x; y; z) nằm trên là có một số thực t sao
cho
∆
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t
z z a t
= +


= +


= +

0 0 0
( ; ; )M x y z
1 2 3
( ; ; )u a a a

=
r
II. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
1. Định lý
∆
Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương có dạng:
0 0 0
( ; ; )M x y z
1 2 3
( ; ; )u a a a
=
r
0 1
0 2
0 3
( )
x x a t
y y a t t
z z a t
= +


= + ∈


= +


¡
∆
II. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
2. Định nghĩa


Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Giải
Phương trình tham số của đường thẳng là:
1 2
2 3 (t )
3 4
x t
y t
z t
= +


= − + ∈


= −

¡

∆
Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua
điểm M(1,-2,3) và có vec tơ chỉ phương

( )
2,3, 4u −
r
Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
II. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
a. (3; -3; 4)
b. (2; 4; 1) c. (5; 2; 5) d. (1; 2; 1)
3 2
3 4
4
x t
y t
z t
= +


= − +


= +

Ví dụ 2: Trong các điểm sau đây điểm nào nằm trên đường thẳng d
Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
II. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Vectơ chỉ phương của đường thẳng có toạ độ là:
1
2
3

x t
y t
z t
= +


=


= −

a. (1;2;3)
b. (1;0;3) c. (1;2;1) d. (1;2;-1)
Ví dụ 3: Cho đường thẳng (d) có phương trình
Ví dụ 4
Viết phương trình tham số của đường thẳng qua
M( -1,3,2) và song song với đường thẳng d có phương
trình:
3 2
1 3
2
x t
y t
z t
= +


= − +



= −

Giải
d
∆
u
r
M
∆
Và
đt d có vtcp
( )
2,3 1
d
u
= −
uur
( )
/ / 2,3, 1
d
d u∆ ⇒ = −
uur
Phương trình tham số của đường thẳng là
∆
1 2
3 3
2
x t
y t
z t

= − +


= +


= −

Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
là véc tơ chỉ phương của
∆
; Ta có M
∈
V
Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
II. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Ví dụ 5: Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua
A(1; -2; 3) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x + 4y + z + 9 = 0
d
P)
P
n
uur
Giải
Vì
( )d P
⊥
( 2 ; 4 ;1)

P
n
⇒ =
uur
Phương trình tham số của đường thẳng (d) là:
1 2
2 4 ( )
3
x t
y t t
z t
= +


= − + ∈


= +

¡
là véc tơ CP của d
Ta có A(1;-2;3)
∈
d
Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
Từ phương trình tham
số của đường thẳng
với a
1

, a
2
, a
3
đều khác 0
hãy biểu diễn t theo x,
y, z ?
∆
Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN

Từ phương trình tham số khử t , ta được
0 1
0 2
0 3
x x ta
y y ta
z z ta
= +


= +


= +

0
1
x x
t

a
−
=
;
0
2
y y
t
a
−
=
0
3
z z
t
a
−
=
Đây chính là phương trình chính tắc của đường thẳng
Đây chính là phương trình chính tắc của đường thẳng
;
( )
1 2 3
. . 0a a a
≠
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
− − −

⇒ = =
∆
Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
Chú ý:
Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ
phương (với đều khác 0) có phương trình
chính tắc dạng:
∆
0 0 0
( ; ; )M x y z
1 2 3
( ; ; )u a a a
=
r
1 2 3
; ;a a a
0 0
2 3
0
1
x - x y y z z
a a a
− −
= =

Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
Ví dụ 7: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (d) đi qua hai
điểm A(1; -2; 3) và B(3; 0; 0)

Giải
Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là:
Vectơ chỉ phương của đường thẳng lµ
(2;2; 3)AB = −
uuur
2 3
2 3
x - 1 y z
2
+ −
= =
−
A
B
u
r
Ta có A(1;-2;3)
∈
AB
Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
Bài tập củng cố
a) Hãy tìm một vec tơ chỉ phương và một điểm thuộc đường thẳng trên
Cho đường thẳng d có phương trình tham số
5
3 2
1 3
x t
y t
z t

= − +


= −


= +

b) Hãy viết phương trinh chính tắc của đường thẳng d
Bài tập 1
Đáp án
a)Đường thẳng d đi qua điểm M(-5,3,1) và có vtcp
( )
1, 2,3u −
r
b) Đường thẳng d có phương trình chính tắc là:
5 3 1
1 2 3
x y z+ − −
= =
−
Bài tập củng cố
Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN