Phương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

QUÁCH THỊ TUYẾT NHUNG

PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN
LAI GHÉP ĐƯỜNG DỐC NHẤT
GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN, 10/2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

QUÁCH THỊ TUYẾT NHUNG

PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN
LAI GHÉP ĐƯỜNG DỐC NHẤT
GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

PGS.TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY

THÁI NGUYÊN, 10/2017


iii

Mục lục
Bảng ký hiệu

1

Mở đầu

2

Chương 1. Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach
1.1

Một số đặc trưng hình học của không gian Banach . . . . 4
1.1.1 Không gian Banach phản xạ, lồi đều và trơn . . . . 4
1.1.2
1.1.3

1.2

4

Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . 8
Giới hạn Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.4 Ánh xạ không giãn và điểm bất động . . . . . . . 12
Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach . . . . 15
1.2.1
1.2.2

Bất đẳng thức biến phân đơn điệu . . . . . . . . . 15
Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu . . . . . . . . 17

1.2.3

Phương pháp lai ghép đường dốc nhất . . . . . . . 19

Chương 2. Phương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất giải
bất đẳng thức biến phân
2.1 Phương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất
2.1.1
2.1.2
2.2

20
. . . . . . . 21

Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.1
2.2.2

Bài toán cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Minh họa cho phương pháp (2.2) . . . . . . . . . . 34

2.2.3
2.2.4

Minh họa cho phương pháp (2.5) . . . . . . . . . . 35
Minh họa cho phương pháp (2.6) . . . . . . . . . . 36


iv

Kết luận

38

Tài liệu tham khảo

39


1

Bảng ký hiệu
H

không gian Hilbert thực

X
X∗

không gian Banach
không gian đối ngẫu của X

SX
R

mặt cầu đơn vị của X
tập các số thực

∀x
D(A)

với mọi x
miền xác định của ánh xạ A

R(A)

miền ảnh của ánh xạ A

I
lp , 1 < p < ∞

ánh xạ đồng nhất
không gian các dãy số khả tổng bậc p

Lp [a, b], 1 < p < ∞

không gian các hàm khả tích
bậc p trên đoạn [a, b]

d(x, C)
lim supn→∞ xn

khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp C
giới hạn trên của dãy số {xn }

lim inf n→∞ xn
xn → x0

giới hạn dưới của dãy số {xn }
dãy {xn } hội tụ mạnh về x0

xn
J

dãy {xn } hội tụ yếu về x0
ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

x0

j
Fix(T )

ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị
tập điểm bất động của ánh xạ T

∂f

dưới vi phân của hàm lồi f

2

Mở đầu
Bài toán bất đẳng thức biến phân được nhà toán học người Italia,
Stampacchia (xem [11] và [16]), nghiên cứu và đưa ra đầu tiên vào cuối
những năm 60 và đầu những năm 70 của thế kỷ trước. Từ đó đến nay,
bất đẳng thức biến phân luôn là một đề tài thời sự, thu hút được nhiều
nhà toán học quan tâm nghiên cứu do vai trò quan trọng của bài toán
trong lý thuyết toán học cũng như trong nhiều ứng dụng thực tế.
Khi tập ràng buộc C của bài toán bất đẳng thức biến phân
Tìm điểm x0 ∈ C thỏa mãn:

Ax0 , x − x0 ≥ 0 ∀x ∈ C,

(1)

ở đây A : H → H là một ánh xạ trong không gian Hilbert H, C là
tập con lồi đóng của H, được cho dưới dạng ẩn là tập điểm bất động
của một ánh xạ không giãn hoặc tập điểm bất động chung của một họ
(hữu hạn hoặc vô hạn) các ánh xạ không giãn thì bài toán (1) còn có
nhiều ứng dụng trong các bài toán thực tế như xử lý tín hiệu, khôi phục
ảnh, bài toán điều khiển tối ưu. . . . Đối với lớp bài toán này, năm 2001
Yamada đã đề xuất phương pháp lai ghép đường dốc nhất để giải. Dựa
trên cách tiếp cận của Yamada, đã có nhiều nghiên cứu nhằm mở rộng
và cải biên phương pháp lai ghép dạng đường dốc nhất cho bất đẳng
thức biến phân trên tập ràng buộc C là tập điểm bất động chung của
một họ hữu hạn, họ vô hạn đếm được hay nửa nhóm các ánh xạ không
giãn.

Luận văn trình bày phương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất giải
bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của nửa nhóm
ánh xạ không giãn trong không gian Banach trên cơ sở bài báo [17] của


3

Nguyễn Thị Thu Thủy và các đồng tác giả công bố năm 2015. Nội dung
của đề tài luận văn được trình bày trong hai chương:
Chương 1 "Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach": giới
thiệu về bất đẳng thức biến phân đơn điệu và bất đẳng thức biến phân
j-đơn điệu trong không gian Banach và một số kiến thức liên quan.
Chương 2 "Phương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng
thức biến phân": giới thiệu 3 phương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc
nhất giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của
nửa nhóm ánh xạ không giãn, trình bày sự hội tụ của 3 phương pháp
và trình bày ví dụ minh họa.
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017
Tác giả luận văn

Quách Thị Tuyết Nhung


4

Chương 1

Bất đẳng thức biến phân trong
không gian Banach
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về

đặc trưng hình học của không gian Banach, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc,
toán tử đơn điệu, toán tử j-đơn điệu, giới hạn Banach, ánh xạ không
giãn và điểm bất động, nửa nhóm ánh xạ không giãn, phương pháp lai
ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân. Các kiến thức của
chương được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [3] và [5].

1.1

Một số đặc trưng hình học của không gian Banach

Cho X là một không gian Banach thực, X ∗ là không gian đối ngẫu
của X và x, x∗ là ký hiệu giá trị của x∗ ∈ X ∗ tại x ∈ X. Ký hiệu 2X
là một họ các tập con khác rỗng của X. Cho T là một ánh xạ với miền
xác định là D(T ), miền giá trị là R(T ) và Fix(T ) là tập điểm bất động
của ánh xạ T , nghĩa là
Fix(T ) = {x ∈ D(T ) : T x = x}.
Kí hiệu mặt cầu đơn vị của X là SX , trong đó SX = {x ∈ X : x = 1}.
1.1.1

Không gian Banach phản xạ, lồi đều và trơn

Định nghĩa 1.1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn X được gọi là
một không gian phản xạ nếu phép nhúng chuẩn tắc H không gian X


5

vào không gian liên hợp thứ hai X ∗∗ của nó là một toàn ánh.
Ví dụ 1.1.2 Rn là một không gian phản xạ. Thật vậy, vì
dim(Rn )∗∗ = dim Rn = n

và phép nhúng chuẩn tắc
H : Rn −→ (Rn )∗∗
là một đơn ánh tuyến tính. Do đó H là một toàn ánh. Vậy Rn là một
không gian phản xạ.
Định nghĩa 1.1.3 Không gian Banach X được gọi là lồi chặt nếu
∀x, y ∈ SX ,

⇒ (1 − λ)x + λy < 1 λ ∈ (0, 1).

x=y

Ví dụ 1.1.4 Không gian Hilbert H là một không gian lồi chặt. Thật
vậy, từ đẳng thức hình bình hành
2

x+y

2

+ x−y

2

= 2( x

+ y 2 ),

suy ra
x+y
2

2

=

1
2

x

2

+ y

2

−

1
x−y
4

2

=1−

1
x−y
4

Ví dụ 1.1.5 Không gian X = Rn , n ≥ 2 với chuẩn x
x2i

=

2

< 1.

định nghĩa bởi

1
2

n

x

2

2

,

x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn

i=1

là một không gian lồi chặt.
Ví dụ 1.1.6 Không gian X = Rn , n ≥ 2 với chuẩn x

x

1

1

định nghĩa bởi

= |x1 | + |x2 | + · · · + |xn | , x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn

không phải là một không gian lồi chặt. Thật vậy, với
x = (1, 0, . . . , 0),
ta thấy x = y, x

1

= y

1

y = (0, 1, 0, . . . , 0),

= 1 nhưng x + y

1

= 2.


6

Ví dụ 1.1.7 Không gian X = Rn , n ≥ 2 với chuẩn x

∞

định nghĩa

bởi
x

= max |xi | , i = 1, n, x = (x1 , x2 , . . . , xn )

∞

không phải là một không gian lồi chặt. Thật vậy, với
x = (1, 0, . . . , 0),
ta thấy x = y, x

∞

= y

y = (1, 1, 0, . . . , 0),

= 1 nhưng x + y

∞

∞

= 2.

Định nghĩa 1.1.8 Không gian Banach X được gọi là một không gian
lồi đều nếu với mọi ε ∈ (0, 2], với mọi x, y ∈ X thỏa mãn x ≤ 1, y ≤
1, x − y ≥ ε, tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho
x+y
≤ 1 − δ.
2
Ví dụ 1.1.9 Không gian Hilbert H là một không gian lồi đều. Thật
vậy, từ đẳng thức hình bình hành
2

x+y

2

+ x−y

= 2( x

2

+ y 2 ) ∀x, y ∈ H,

giả sử x, y ∈ SH với x = y và x − y ≥ ta có
x+y

2

≤ 4 − ε2 .

Suy ra
x+y
≤ 1 − δ( ),
2
với δ(ε) = 1 −

1 − ε2 /4. Do đó, H là không gian lồi đều.

Ví dụ 1.1.10 Không gian l1 không phải là không gian lồi đều. Thật
vậy, chọn x = (1, 0, 0, . . . ), y = (0, −1, 0, 0, . . . ) và ε = 1,
x
Tuy nhiên,

1

= 1,

x+y
2

y

1

x−y

= 1,

1

= 2 > 1 = ε.

= 1 và không tồn tại δ > 0 sao cho
1

x+y
2

≤ 1 − δ.
1

Do đó, l1 không phải là không gian lồi đều.


7

Ví dụ 1.1.11 Không gian l∞ không phải là không gian lồi đều. Thật
vậy, chọn x = (1, 1, 1, 0, 0, . . . ), y = (1, 1, −1, 0, 0, . . . ) và ε = 1. Khi đó
x
Tuy nhiên,

∞

= 1,

x+y
2

y

∞

x−y

= 1,

∞

= 2 > 1 = ε.

= 1 và không tồn tại δ > 0 sao cho
∞

x+y
2

≤ 1 − δ.
∞

Do đó, l∞ không phải là không gian lồi đều.
Định lý 1.1.12 (xem [2]) Mọi không gian Banach lồi đều là không gian
lồi chặt.
Định nghĩa 1.1.13 Không gian Banach X được gọi là
(i) có chuẩn khả vi Gâteaux (hay không gian trơn) nếu giới hạn
lim
t→0

x + ty − x
t

tồn tại với mỗi x, y ∈ SX ;
(ii) có chuẩn khả vi Gâteaux đều nếu giới hạn trên đạt được đều với
x ∈ SX .
Ví dụ 1.1.14 lp , Lp [a, b] (1 < p < ∞) là các không gian Banach trơn.
Định nghĩa 1.1.15 Cho X là một không gian Banach, hàm số
ρX : R+ −→ R+
được gọi là mô đun trơn của X nếu
x+y + x−y
− 1 : x = 1, y = t}
2
x + ty + x − ty
− 1 : x = 1, y = 1},
= sup{
2

ρX (t) = sup{

t ≥ 0.

Định nghĩa 1.1.16 Không gian Banach X được gọi là trơn đều nếu
ρX (t)
= 0.
t→0
t

ρX (0) = lim


8

Ví dụ 1.1.17 Các không gian lp (1 < p ≤ 2) là những không gian trơn
đều. Thật vậy,
1

ρlp (t)
(1 + tp ) p − 1
lim
= lim
= 0.
t→0
t→0
t
t
1.1.2

Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

Định nghĩa 1.1.18 Cho X ∗ là không gian đối ngẫu của không gian
∗
Banach X. Ánh xạ (nói chung đa trị) J : X −→ 2X được gọi là một
ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc nếu
Jx = {x∗ ∈ X ∗ : x, x∗ = x

2

= x∗ 2 }.

Ví dụ 1.1.19 Trong không gian Hilbert H, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc
là ánh xạ đồng nhất. Thật vậy, lấy x ∈ H, x = 0. Ta biết rằng H = H ∗

và
x, x = x . x ⇒ x ∈ Jx.
Giả sử y ∈ Jx. Từ định nghĩa của J, ta có x, y = x . y và x =
y . Bởi vì
x−y

2

= x

2

+ y

2

− 2 x, y ,

suy ra x = y. Do đó, Jx = {x}.
Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc có một số tính chất sau:
Mệnh đề 1.1.20 (xem [3]) Giả sử X là một không gian Banach. Khi
đó
(i) Jx là tập lồi, J(λx) = λJx, với mọi λ > 0;
(ii) J là ánh xạ đơn trị nếu X ∗ là không gian lồi chặt.
Trong trường hợp ánh xạ J đơn trị ta kí hiệu là j.
Nếu X là không gian Banach trơn thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J
là đơn trị. Nếu X là không gian Banach trơn đều thì ánh xạ đối ngẫu
chuẩn tắc J liên tục đều trên các tập con bị chặn của X.
Bổ đề 1.1.21 [14] Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn. Khi đó,
bất đẳng thức sau thỏa mãn

x+y

2

≤ x

2

+ 2 y, j(x + y)

∀x, y ∈ X j(x + y) ∈ J(x + y).


9

1.1.3

Giới hạn Banach

Cho S là một tập hợp khác rỗng. Ký hiệu B(S) chỉ không gian các
hàm số thực xác định và giới nội trên S. Khi đó, l∞ = B(N).
Với f ∈ l∞ , ta kí hiệu f (xm+1 , xm+2 , xm+3 , . . . , xm+n , . . . ) bởi fn (xn+m ).
Định nghĩa 1.1.22 Một phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên l∞ được
gọi là một giới hạn Banach nếu
(i) f = f (1) = 1,
(ii) fn (xn ) = fn (xn+1 ) với mỗi x = (x1 , x2 , . . . ) ∈ l∞ .
Ta kí hiệu giới hạn Banach bởi LIM .
Định lý 1.1.23 (xem [3]) Tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục
f trên l∞ sao cho f = f (1) = 1 và fn (xn ) = fn (xn+1 ) với mỗi
x = (x1 , x2 , . . . ) ∈ l∞ .

Chứng minh. Xét p : l∞ → R là phiếm hàm được xác định bởi
p(x) = lim sup
n→∞

x1 + x2 + · · · + xn
.
n

Khi đó
−p(−x) = lim inf
n→∞

x1 + x2 + · · · + xn
.
n

Với x ∈ c, ta có
x1 + x2 + · · · + xn
= p(x).
n→∞
n

l(x) = lim xn = lim
n→∞

Hơn nữa,
p(x + y) ≤ p(x) + p(y) ∀x, y ∈ c
và
p(αx) = αp(x) ∀x ∈ c, α ≥ 0.
Do đó, p là một phiếm hàm dưới tuyến tính với l(x) = p(x). Theo định

lí Hahn–Banach,tồn tại một mở rộng L : l∞ → R của l (từ c vào l∞ ) sao
cho
L(x) ≤ l(x) ∀x ∈ l∞


10

và
−p(−x) ≤ Lx) ≤ p(x) ∀x ∈ l∞ .
Do đó, ta có
p(1, 1, 1, . . . ) = 1
và
p((x1 , x2 , . . . , xn , . . . ) − (x2 , x3 , . . . , xn+1 , . . . )) = lim sup
n→∞

x1 − xn+1
n

= 0.
Do đó
L((x1 , x2 , . . . , xn , . . . ) − (x2 , x3 , . . . , xn+1 , . . . )) = 0,
điều này kéo theo
L(x1 , x2 , . . . , xn , . . . ) = L(x2 , x3 , . . . , xn+1 , . . . )
với mọi x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . . ) ∈ l∞ . Vậy L là một giới hạn Banach.
Mệnh đề 1.1.24 Cho LIM là một giới hạn Banach. Khi đó
lim inf xn ≤ LIM (x) ≤ lim sup xn

n→∞

n→∞

với mỗi x = (x1 , x2 , . . . ) ∈ l∞ . Hơn nữa, nếu xn → a thì LIM (x) = a.
Mệnh đề 1.1.25 (xem [3]) Cho a là một số thực và (x1 , x2 , . . . ) ∈ l∞ .
Khi đó, các khẳng định sau là tương đương
(i) LIMn (xn ) ≤ a với mọi giới hạn Banach LIM ;
(ii) Với mỗi

> 0, tồn tại m0 ∈ N sao cho
xn + xn+1 + · · · + xn+m−1
m

với mọi m ≥ m0 và n ∈ N.
Mệnh đề 1.1.26 (xem [3]) Cho a là một số thực và (x1 , x2 , . . . ) ∈ l∞
sao cho LIMn (xn ) ≤ a với mọi giới hạn Banach LIM và limn→∞ sup(xn+1 −
xn ) ≤ 0. Khi đó limn→∞ sup xn ≤ a.


11

Bổ đề 1.1.27 (xem [3]) Cho C là tập con lồi trong không gian Banach
X có chuẩn khả vi Gâteaux đều. Giả sử {xn } là dãy bị chặn trong X, z
là một điểm trong C và LIM là giới hạn Banach. Khi đó,
LIM xn − z

2

= min LIM xn − u

2

u∈C

khi và chỉ khi LIM u − z, j(xn − z) ≤ 0 với mọi u ∈ C.
Chứng minh. Với u ∈ C và số thực λ thỏa mãn 0 ≤ λ ≤ 1, ta có
xn − z

2

= xn − λz − (1 − λ)u + (1 − λ)(u − z)
≥ xn − λz − (1 − λ)u

2

2

+ 2(1 − λ) u − z, j(xn − λz − (1 − λ)u) .
Với ε > 0 cho trước, vì chuẩn của X là chuẩn khả vi Gâteaux đều, ánh
xạ đối ngẫu là liên tục đều trên các tập con bị chặn của X từ tô pô
mạnh của X tới tô pô∗ yếu của X ∗ nên
| u − z, j(xn − λz − (1 − λ)u) − j(xn − u) | < ε
nếu λ đủ gần 1. Vì vậy,
u − z, j(xn − z) < ε + u − z, j(xn − λz − (1 − λ)u)
1
≤ +
{ xn − z 2 − xn − λz − (1 − λ)u 2 }
2(1 − λ)
và do đó
LIM u − z, j(xn − z) ≤ +

1
{LIM xn − z
2(1 − λ)

2

− LIMn − λz − (1 − λ)u 2 } < ε.
Từ đó, ta có
LIM u − z, j(xn − z) ≥ 0,

∀u ∈ C.

Ta chứng minh chiều ngược lại. Cho u, z ∈ C, từ
xn − u

2

− xn − z

2

≥ 2 z − u, j(xn − z)

với LIM u − z, j(xn − u) ≤ u, ta có
LIM xn − z

2

= min LIM xn − u
u∈C

2

.


12

1.1.4

Ánh xạ không giãn và điểm bất động

Định nghĩa 1.1.28 Cho ánh xạ T : X → X. Điểm x được gọi là điểm
bất động của ánh xạ T nếu T x = x.
Tập hợp tất cả các điểm bất động được kí hiệu là
Fix(T ) = {x ∈ C|T x = x} .
Nhận xét 1.1.29 Việc tìm điểm bất động của ánh xạ T được qui về
việc giải phương trình
T x = x.
Ví dụ 1.1.30 Xét ánh xạ A : R → R, Ax = x2 . Do x2 = x ⇔ x = 0
hoặc x = 1 nên Fix(A) = {0; 1}.
Ví dụ 1.1.31 Xét ánh xạ A : R → R, Ax = x2 + 1. Do không tồn tại x
thỏa mãn x2 + 1 = x nên Fix(A) = ∅.
Ví dụ 1.1.32 Xét ánh xạ A : R → R, Ax = x. Do mọi số thực x đều
thỏa mãn Ax = x nên Fix(A) = R.
Định nghĩa 1.1.33 Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của
không gian Banach X. Ánh xạ T : C → C thỏa mãn
Tx − Ty ≤ x − y

∀x, y ∈ C

được gọi là một ánh xạ không giãn.
Ví dụ 1.1.34 Ánh xạ A : R → R, Ax = 2x không phải là một ánh xạ
không giãn vì tồn tại x = 1, y = 2 thỏa mãn
|Ax − Ay| = 3 > |x − y| = 1.
Ví dụ 1.1.35 Ánh xạ A : R → R, Ax = x là một ánh xạ không giãn vì
với mọi x, y ∈ R, |Ax − Ay| = |x − y|.
Định nghĩa 1.1.36 Ánh xạ A được gọi là giả co nếu
Ax − Ay ≤ x − y

2

+ (I − A)x − (I − A)y

trong đó I là ánh xạ đồng nhất.

2

, ∀x, y ∈ D(A)


13

Định nghĩa 1.1.37 Ánh xạ A : X → X được gọi là γ−giả co chặt nếu
với mỗi x, y ∈ D(A), tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
Ax − Ay, j(x − y) ≤ x − y

2

− γ x − y − (Ax − Ay)

2

với mỗi γ ∈ (0, 1).
Định nghĩa 1.1.38 Cho C là một tập con lồi đóng và khác rỗng của
không gian Banach X. Tập hợp {T (s) : s > 0} được gọi là một nửa
nhóm ánh xạ không giãn trên C nếu nó thỏa mãn:
(i) Với mỗi s > 0, T (s) là một ánh xạ không giãn trên C;
(ii) T (0)x = x với mọi x ∈ C;
(iii) T (s1 + s2 ) = T (s1 ) ◦ T (s2 ) với mọi s1 , s2 > 0;
(iv) Với mỗi x ∈ C, ánh xạ T (·)x từ (0, ∞) vào C là liên tục.
Ví dụ 1.1.39 Cho ánh xạ T (t) : R → R xác định bởi
T (t)x = e−3t x,

x ∈ R.

Khi đó {T (t) : t ≥ 0} là một nửa nhóm ánh xạ không giãn trên R với
tập điểm bất động chung F = {0}. Thật vậy, hiển nhiên các điều kiện
(ii) và (iv) thỏa mãn. Với t > 0, thì T (t)x = e−3t x là ánh xạ không giãn,
đồng thời T (t + s)x = e−3t−3s x = e−3t (e−3s x), nên điều kiện (iii) cũng
thỏa mãn.
Lại có, với mọi t ≥ 0, T (t)x = x ⇔ e−3t x = x ⇔ x = 0 suy ra tập
điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ không giãn này là F = {0}.
Ví dụ 1.1.40 Cho ánh xạ T (t) : R3 → R3 xác định như sau

 
cos(2t) − sin(2t) 0
x1

 

T (t)x =  sin(2t) cos(2t) 0 x2  ,
0

0

1

x3

ở đây t cố định và x = (x1 , x2 , x3 )T ∈ R3 . Khi đó {T (t) : t ≥ 0} là
nửa nhóm ánh xạ không giãn trên R3 với tập điểm bất động chung
F = {x ∈ R3 : x = (0, 0, x3 )T }.


14

Thật vậy, với mọi t ≥ 0 và x, y ∈ R3 ta có
T (t)x = (cos(2t)x1 − sin(2t)x2 , sin(2t)x1 + cos(2t)x2 , x3 )
và
T (t)y = (cos(2t)y1 − sin(2t)y2 , sin(2t)y1 + cos(2t)y2 , y3 ).
Suy ra
(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + (x3 − y3 )2 .

T (t)x − T (t)y = x − y =

Như vậy T (t) là ánh xạ không giãn, điều kiện (i) thỏa mãn. Ta có

   
x1
1 0 0

x1

   
T (0)x = 0 1 0 x2  = x2 
x3
x3
0 0 1
với mọi x ∈ R3 do đó điều kiện (ii) thỏa mãn. Với mọi t1 , t2 ≥ 0, ta có
T (t1 ) ◦ T (t2 )x


cos(2t2 )x1 − sin(2t2 )x2


= T (t1 ) sin(2t2 )x1 + cos(2t2 )x2 
x3

 
cos(2(t1 + t2 )) − sin(2(t1 + t2 )) 0
x1

 
=  sin(2(t1 + t2 )) cos(2(t1 + t2 )) 0 x2  = T (t1 + t2 )x.
0
0
1
x3
Do đó điều kiện (iii) thỏa mãn. Dễ thấy điều kiện (iv) thỏa mãn.
Lại có, T (t)x = x với mọi t ≥ 0 khi và chỉ khi
(cos(2t)x1 − sin(2t)x2 , sin(2t)x1 + cos(2t)x2 , x3 ) = (x1 , x2 , x3 )

với mọi t ≥ 0. Điều này tương đương với x1 = x2 = 0. Do đó tập điểm
bất động chung là F = {x ∈ R3 : x = (0, 0, x3 )T }.
Bổ đề 1.1.41 (xem [6]) Cho C là tập con khác rỗng, bị chặn, lồi và
đóng trong không gian Banach lồi đều X. Cho {T (s) : s ≥ 0} là nửa
nhóm ánh xạ không giãn trên C. Khi đó, với bất kì r > 0 và h ≥ 0,
lim sup

t→∞ y∈C∩Br

1
T (h)
t

ở đây Br = {x ∈ X :

t
0

x ≤ r}.

1
T (s)yds −
t

t

T (s)yds = 0,
0

15

1.2
1.2.1

Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach
Bất đẳng thức biến phân đơn điệu

Bài toán 1.2.1 Cho C là tập con khác rỗng lồi đóng của không gian
Banach X và ánh xạ A : X → X ∗ , ở đây X ∗ là không gian đối ngẫu của
X. Bài toán bất đẳng thức biến phân, ký hiệu là VI(A, C), được phát
biểu như sau:
Tìm phần tử x0 ∈ C thỏa mãn: Ax0 , x − x0 ≥ 0 ∀x ∈ C.

(1.1)

Ví dụ 1.2.2 Cho A là hàm số khả vi trên [a, b] ⊂ R. Tìm x0 ∈ [a, b] sao
cho
A(x0 ) = min A(x).
[a,b]

(1) Nếu x0 ∈ (a, b) thì A (x0 ) = 0;
(2) Nếu x0 = a thì A (x0 ) ≥ 0;
(3) Nếu x0 = b thì A (x0 ) ≤ 0.
Trong cả ba trường hợp ta đều có A (x0 )(x − x0 ) ≥ 0. Đây là một bất
đẳng thức biến phân dạng (1.1).
Ví dụ 1.2.3 Cho A là một hàm số khả vi trên tập con lồi đóng C của
không gian Rn . Tìm x0 ∈ C thỏa mãn:
Ax0 = min Ax.
x∈C

Giả sử x0 là điểm cực tiểu cần tìm, x là một phần tử tùy ý của C. Do
C là một tập lồi nên
(1 − t)x0 + tx = x0 + t(x − x0 ) = x0 + t(x − x0 ) ∈ C
Hàm
φ(t) = A(x0 + t(x − x0 ) ∀t ∈ [0; 1]
đạt cực tiểu tại t = 0. Suy ra φ (t) ≥ 0. Hay
φ (t) = A (x0 + t(x − x0 )).(x − x0 ).
Như vậy,
φ (0) = ∇Ax0 , x − x0 ≥ 0 ∀x ∈ C.

∀t ∈ [0; 1].


16

Định nghĩa 1.2.4 Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian
Banach X. Ánh xạ A : C → X ∗ được gọi là:
(i) đơn điệu trên C nếu
Ax − Ay, x − y ≥ 0 ∀x, y ∈ C;

(1.2)

(ii) đơn điệu chặt trên C nếu dấu ” = ” trong (1.2) xảy ra khi và chỉ
khi x = y;
(iii) đơn điệu đều trên C nếu tồn tại một hàm liên tục và tăng ngặt
α : [0, ∞) → [0, ∞) với α(0) = 0 và α(t) → ∞ khi t → ∞ sao cho
Ax − Ay, x − y ≥ α( x − y ) x − y

∀x, y ∈ C;

(iv) η-đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại hằng số η > 0 sao cho
Ax − Ay, x − y ≥ η x − y

2

∀x, y ∈ C;

(v) đơn điệu cực đại nếu A đơn điệu và đồ thị G(A) = {(x, Ax) ∈
C × X ∗ : x ∈ C} của A không thực sự bị chứa trong đồ thị của một ánh
xạ đơn điệu nào khác.
Định nghĩa 1.2.5 Cho C là một tập con lồi đóng của không gian Banach X. Ánh xạ A : C → X ∗ được gọi là liên tục trên không gian
con hữu hạn chiều của X nếu với mọi không gian con hữu hạn chiều
U ⊂ X, thu hẹp của ánh xạ A trên C ∩ U là liên tục yếu, tức là ánh xạ
A : C ∩ U → X ∗ là liên tục yếu.
Định nghĩa 1.2.6 Ánh xạ A : C → X ∗ được gọi là bức trên C nếu tồn
tại y ∈ C sao cho
Ax − Ay, x − y
→ +∞ khi
x−y

x → +∞.

Định nghĩa 1.2.7 Ánh xạ A : X → X ∗ được gọi là liên tục theo tia
tại điểm x ∈ X nếu A(x + th)
Ax, khi t → 0 và A được gọi là liên
tục theo tia trên X nếu nó liên tục theo tia tại mọi x ∈ X.
Nhận xét 1.2.8 Nếu A là một ánh xạ liên tục, thì A là liên tục theo
tia. Điều ngược lại không đúng. Ngoài ra nếu A : X → X ∗ là ánh xạ

17

đơn điệu và liên tục theo tia với D(A) = X thì A là ánh xạ đơn điệu
cực đại.
Chú ý 1.2.9 Nếu A là ánh xạ đơn điệu thì bài toán (1.1) được gọi là
bất đẳng thức biến phân đơn điệu.
Bổ đề 1.2.10 (Bổ đề Minty) (xem [10]) Cho C là một tập con lồi đóng
khác rỗng của X và A : C → X ∗ là ánh xạ đơn điệu và liên tục trên
không gian con hữu hạn chiều của X. Khi đó, x0 ∈ C là nghiệm của
(1.1) khi và chỉ khi
Ax, x − x0 ≥ 0 ∀x ∈ C.

(1.3)

Định lý 1.2.11 (xem [4]) Cho C là một tập con khác rỗng lồi đóng của
không gian Banach X và A : C → X ∗ là ánh xạ đơn điệu và liên tục
theo tia với C = D(A). Khi đó tập nghiệm của bài toán (1.1) là khác
rỗng. Ngoài ra nếu A là ánh xạ đơn điệu chặt thì nghiệm của (1.1) là
duy nhất.
1.2.2

Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu

Cho X là không gian Banach và j : X → X ∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn
tắc đơn trị của X. Trong phần này ta luôn giả sử ánh xạ A : X → X là
đơn trị.
Bài toán 1.2.12 Bài toán bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu, ký hiệu
là VI∗ (A, C), được phát biểu như sau:
Tìm x0 ∈ C thỏa mãn: Ax0 , j(x − x0 ) ≥ 0 ∀x ∈ C,

(1.4)

với j(x − x0 ) ∈ J(x − x0 ).
Định nghĩa 1.2.13 Ánh xạ A : X → X được gọi là
(i) J-đơn điệu nếu tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
Ax − Ay, j(x − y) ≥ 0 ∀x, y ∈ D(A);
(ii) J-đơn điệu ngặt nếu dấu bằng ở bất đẳng thức trên chỉ đạt được
khi x = y;


18

(iii) J-đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm tăng γ(t), t ≥ 0, γ(0) = 0 và
j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
Ax − Ay, j(x − y) ≥ γ( x − y ) ∀x, y ∈ D(A);
(iv) η-J-đơn điệu mạnh nếu γ(t) = ηt2 , η > 0 là một hằng số.
Bổ đề sau nêu mối liên hệ giữa ánh xạ J-đơn điệu và giả co.
Bổ đề 1.2.14 (xem [8]) Cho T : D(T ) ⊂ X −→ X là một ánh xạ. Khi
đó, T là ánh xạ J-đơn điệu khi và chỉ khi I − T là ánh xạ giả co, với I
là ánh xạ đơn vị trong X.
Bổ đề 1.2.15 (xem [8]) Cho X là không gian Banach trơn và A : X →
X là ánh xạ η-j-đơn điệu mạnh và γ-giả co chặt với η + γ > 1. Khi đó,
(i) Ánh xạ I − A là ánh xạ co với hệ số co

(1 − η)/γ.

(ii) Với mọi λ ∈ (0, 1), I − λA là ánh xạ co với hệ số co 1 − λτ , trong
đó τ = 1 − (1 − η)/γ ∈ (0, 1).
Định nghĩa 1.2.16 Ánh xạ QC : X → C được gọi là phép co rút không

giãn theo tia từ X lên C nếu QC thỏa mãn:
(i) QC là phép co rút trên C, tức là Q2C = QC ;
(ii) QC là ánh xạ không giãn;
(iii) QC là ánh xạ theo tia, tức là với mọi 0 < t < ∞
QC (QC (x) + t(x − QC (x))) = QC (x).
Tập C được gọi là tập co rút không giãn theo tia nếu tồn tại phép co
rút không giãn theo tia QC từ X lên C.
Bổ đề 1.2.17 (xem [3]) Cho C là tập con khác rỗng lồi đóng của không
gian Banach trơn X và QC : X → C là phép co rút từ X lên C. Khi đó,
các phát biểu sau là tương đương:
(i) QC là ánh xạ không giãn theo tia.
(ii) x − QC (x), j(y − QC (x)) ≤ 0 ∀x ∈ X, y ∈ C.
Chú ý 1.2.18 Khi X là không gian Hilbert H thì ánh xạ QC chính là
phép chiếu mêtric PC từ H lên C.


19

1.2.3

Phương pháp lai ghép đường dốc nhất

Khi A : X → X là ánh xạ L-liên tục Lipschitz và η-j-đơn điệu mạnh
thì ánh xạ QC (I − λA), với λ ∈ (0, 2η/L2 ) là ánh xạ co. Theo Nguyên
lý ánh xạ co Banach, dãy lặp Picard xác định bởi
un+1 = QC (I − λn A)un

(1.5)

hội tụ mạnh về điểm x0 là nghiệm bất đẳng thức biến phân (1.4).

Trong trường hợp A = ϕ, trong đó ϕ : H → R ∪ {∞} là hàm lồi
khả vi Gâteaux thì bất đẳng thức biến phân cổ điển
Tìm điểm x0 ∈ C thỏa mãn: Ax0 , x − x0 ≥ 0 ∀x ∈ C

(1.6)

chính là điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu lồi, minx∈C ϕ(x), trên tập
C và khi đó dãy lặp Picard được viết dưới dạng
un+1 = PC (I − λn

ϕ)un

còn được gọi là phương pháp chiếu gradient.
Năm 2001, Yamada [18] đã đề xuất phương pháp lai ghép đường dốc
giải bất đẳng thức biến phân bằng cách thay ánh xạ chiếu mêtric PC
bởi ánh xạ không giãn T và giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên
tập ràng buộc C := Fix(T ), tập điểm bất động của ánh xạ T , bằng dãy
lặp
un+1 = T (un ) − λn+1 A(T un ).
Phương pháp này hội tụ mạnh về một thành phần nằm trong tập điểm
bất động Fix(T ) của ánh xạ không giãn T , đồng thời là nghiệm duy
nhất của bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.6) khi C := Fix(T ) với
một số điều kiện đặt lên dãy tham số λn .


20

Chương 2

Phương pháp lặp ẩn lai ghép

đường dốc nhất giải bất đẳng thức
biến phân
Chương này giới thiệu ba phương pháp lặp ẩn giải bất đẳng thức biến
phân:
Tìm điểm x0 ∈ F sao cho: Ax0 , j(x − x0 ) ≥ 0 ∀x ∈ F,

(2.1)

trong không gian gian Banach X lồi đều có chuẩn khả vi Gâteaux đều,
ở đây A : X → X là ánh xạ η-j-đơn điệu mạnh và γ-giả co chặt với η
và γ là các hằng số dương nhỏ hơn 1 thỏa mãn η + γ > 1, F là tập điểm
bất động chung của nửa nhóm ánh xạ không giãn {T (t) : t ≥ 0} trên X
được giả thiết là khác rỗng, nghĩa là F := ∩s≥0 Fix(T (s)) = ∅.
Nội dung của chương được viết trên cơ sở bài báo [17] và được trình
bày trong hai mục. Mục 2.1 mô tả ba phương pháp lặp ẩn lai ghép đường
dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân và trình bày sự hội tụ mạnh của
từng phương pháp. Mục 2.2 trình bày ví dụ số minh họa cho sự hội tụ
của từng phương pháp.


21

2.1

Phương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất

2.1.1

Mô tả phương pháp

Mục này giới thiệu ba phương pháp lặp ẩn dựa trên tư tưởng phương
pháp lai ghép đường dốc nhất của Yamada [18] giải bất đẳng thức biến
phân (2.1) trong không gian Banach lồi đều có chuẩn khả vi Gâteaux
đều.
Phương pháp 2.1.1 Xuất phát từ điểm u1 bất kỳ thuộc không gian
Banach X, dãy lặp {uk } được xây dựng như sau:
uk = γk Fk uk + (1 − γk )Tk uk ,

k ≥ 1,

(2.2)

với γk ∈ (0, 1), λk ∈ (0, 1] và tk > 0 thỏa mãn λk → 0, tk → ∞ khi
k → ∞, ở đây Fk và Tk lần lượt được xác định bởi
Fk x = (I − λk A)x,
và
Tk x =

1
tk

x∈X

(2.3)

tk

T (s)xds,

x ∈ X.

(2.4)

0

Nếu thay tích phân Tk xác định bởi (2.4) bằng ánh xạ T (tk ) thì ta
nhận được phương pháp lặp sau.
Phương pháp 2.1.2 Xuất phát từ điểm v1 bất kỳ thuộc không gian
Banach X, dãy {vk } xác định bởi:
vk = γk Fk vk + (1 − γk )T (tk )vk ,

k ≥ 1,

(2.5)

với λk ∈ (0, 1], γk ∈ (0, 1) và tk > 0 thỏa mãn
γk
lim tk = lim
= 0.
k→∞
k→∞ tk
Bằng cách lấy hợp thành của hai ánh xạ Tk và Fk , ta nhận được dãy
lặp sau.
Phương pháp 2.1.3 Xuất phát từ điểm w1 bất kỳ thuộc không gian
Banach E, dãy {wk } xác định theo phương trình:
wk = Tk Fk wk ,

k ≥ 1,

với λk ∈ (0, 1] và tk > 0 sao cho λk → 0 và tk → ∞ khi k → ∞.

(2.6)