CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN, GIỚI HẠN DÃY SỐ

CHỦ ĐỀ: CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN - GIỚI HẠN DÃY SỐ
I. Kiến thức cần nhớ:
a) Các định nghĩa:
 Cấp số cộng: (u n ) là cấp số cộng   n;u n+1 = u n + d ( d là hằng số và được
gọi là công sai).
 Cấp số nhân: (u n ) là cấp số nhân   n; u n+1 = u n .q ( d là hằng số và được
gọi là công bội).
 limu n = 0  Mọi | u n | đều nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước kể từ
một số hạng nào đó trở đi.
 u n = u1 + (n-1) d
 limu n =   Mọi u n

đều lớn hơn một số dương tùy ý cho trước kể từ

một số hạng nào đó trở đi.
 limu n =   Mọi u n đều nhỏ hơn một số âm tùy ý cho trước kể từ một số

hạng nào đó trở đi.
b) Các tính chất của cấp số cộng và cấp số nhân
 Định lý về ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng:
(u n ) là cấp số cộng  u k =


u k-1 + u k+1
(k  2)
2

Công thức của số hạng tổng quát của cấp số cộng (u n ) :
u n = u1 + (n-1) d ( d là công sai).

 Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng (u n ) :

Sn =


n(u1 + u n )
n[2 u1 + (n  1) d]
hay Sn =
2
2

Định lý về ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân:
(u n ) là cấp số nhân  u 2k = u k-1u k+1 (k  2)

 Công thức của số hạng tổng quát của cấp số nhân (u n ) :

u n = u1 .q n-1 ( d là công bội).


Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (u n ) :
Sn =

u1 (1  q n )
1 q

c) Các định lý về giới hạn hữu hạn của dãy số




Nếu limun = L  R thì

lim | u n |=| L |;lim 3 u n  3 L;lim u n  L(u n  0n)



Nếu limu n = L  R,limvn = M  R thì
lim(u n ± v n ) = L± M;limu n .v n  L.M;
limcu n  cL;lim

un L
 (M  0)
vn M

( c là hằng số)
II. Một số bài tập cơ bản:
1) Cấp số cộng (u n ) có u17 - u 20 = 9 và u 217  u 220 = 153 . Hãy tìm số hạng
đầu và công sai cấp số cộng đó.
2) Cấp số cộng (u n ) có u12 - u 20 = 9 và u 213  u 220 = 154 . Hãy tìm số hạng
đầu và công sai cấp số cộng đó.
3) Cấp số cộng (u n ) có u10 - u12 = 15 và u 24  u 210 = 15 . Hãy tìm số hạng đầu
và công sai cấp số cộng đó.
4) Cấp số cộng (u n ) có u5 - u10 = 20 và u 7  u 21 = 53 . Hãy tìm số hạng đầu
và công sai cấp số cộng đó.
5) Cấp số cộng (u n ) có u 4 - u8 = 15 và 6 u1  u8 = 45 . Hãy tìm số hạng đầu
và công sai cấp số cộng đó.
6) Tính tổng các số hạng của một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 102,
số hạng thứ hai bằng 105 và số hạng cuối bằng 999.
7) Tính tổng các số hạng của một cấp số cộng có số hạng đầu bằng
hạng thứ hai bằng 

1

, số
3

1
và số hạng cuối bằng -2007.
3

8) Cho cấp số cộng (u n ) có d > 0, u31  u34 = 11 và u 231  u 234 = 101 . Hãy
tìm số hạng tổng quát của số cộng đó.
9) Cấp số nhân (u n ) có 6 u 2  u5 = 1 và 3u3  2 u 4 = 1 . Hãy tìm số hạng
tổng quát của cấp số nhân đó.
10) Cấp số nhân (u n ) có u 2  u 5 = 6 và u3  8u 4 = 12 . Hãy tìm số hạng
tổng quát của cấp số nhân đó.
11) Tính tổng các số hạng của một cấp số nhân biết số hạng đầu bằng 2 ,
số hạng thứ hai bằng -2 và số hạng cuối bằng 64 2 .
12) Cho dãy số (u n ) xác định bởi u1 = 2; u n+1 = 3u2n -10 n  1.


Chứng minh rằng (u n ) vừa là cấp số cộng, vừa là cấp số nhân.
13) CMR hai dãy số (u n ) , (vn ) với
1+ cosn 2
n+ sin 7 n
có giới hạn là 0.
un =
; vn =
3n+1
3n 2 +1

14) CMR hai dãy số (u n ) , (vn ) với
un =

2cos 5n
nsin(7 n  4)
có giới hạn là 0
; vn =
3n+1
3n 2 +1

15) Tìm lim u n với
a) u n =

1+ cosn
nsin 9 n
cosn
nsin15n
; un = 3 ; un = 4
; un = 2
3n+1
n +1
n +1
n + 2 n1

n 2 + 3n+ 6
n2  9 n
n2  9 n
2n + 3n
b) u n = 2
; un =
; un = 5
; un =

n + 2 n+ 6
n+1
n +1
5.3n +1

c) u n =

n 2 + 3n+ 6
n4  9 n
n8  9 n
4110n + 3n
8
4
10
;
u
=
;
u
=
;
u
=
n
n
n
n 2 + 2 n+ 6
n 4 +1
n 5 +1
5.4110n +1

d) u n =

n 2 + 3n+ 6 4 n 4  9 n
n 8  9 n 10 4110n + 3n
8

;
u
=

n
n 2 + 2 n+ 6
n 4 +1
n 5 +1
5.4110n +1

e) u n =

n 2 + 3n+ 6
n2  9 n n2  9 n
2n + 3n
n3

5


3

2

n 2 + 2 n+ 6
n+1
n 5 +1
5.3n +1
n+ 2

f) u n = 3 n3 + 3n+ 2 - n ; u n = 4 n 4 + 3n+ 2 - n ; u n = 4 n 4 + 3n+ 2 - 3 n 3  1