NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Trường THPT Lấp Vò 2

Ths: Quang Minh – Thùy Trang

Chủ đề: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
A. NGUYÊN HÀM
I. Bảng các nguyên hàm. Với a là hằng số khác 0
Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của những hàm số hợp đơn giản
thường gặp

1dx  x  C

 kdx  kx  C

 1

x

 x dx    1  C   1


1

 xdx  ln x  C  x  0
1

x

2

1
dx    C  x  0 
x

 e dx  e
x

x

ax
 a dx  ln a  C  0  a  1
x

 cos xdx  sin x  C
 sin xdx   cos x  C



2

x

dx  tan x  C

1
dx   cot x  C
sin 2 x

1
dx  2 x  C  x  0 

x

x

2

1
1
xa
dx 
ln
 C  a  0
2
a
2a x  a

C



1

b

1

1

1



b

 (ax  b) dx   a ax  b  C  x   a 
2

1 axb
e
C
a
a mxn
mx  n
a dx 
 C  0  a  1
m ln a
1
cos
ax

b
d
x

sin  ax  b   C



a
1

sin  ax  b  dx   cos  ax  b   C
a
1
1
dx  tan  ax  b   C
2
cos  ax  b 
a
ax b

dx 





1

1

 sin  ax  b  dx   a cot  ax  b   C
2



1
2
dx 
ax  b  C
a

ax  b

1

1

b 

x 

a 


xa

 ( x  a)( x  b) dx  b  a ln x  b  C  a.b  0

 Các công thức lượng giác cần thiết
1. Công thức nhân đôi:
* sin2a = 2sina.cosa ;
* cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a
2 tan 
* tan 2 
1  tan 2 
2 . Công thức hạ bậc:
1  cos 2a
1  cos 2a
* sin2a =
* cos2a =
2

2
4. Công thức lượng giác cơ bản
1
2
2
2
* sin   cos   1
* 1  tan  
cos 2 

Nguyên hàm - Tích phân

 1



1

 (1+tan x)dx   cos
2
 (1+cot x)dx 

1

1  ax  b 
dx 
a  1
  1

 ax  bdx  a ln ax  b  C  x   a 

e

C

2

  ax  b 



3. Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
* cos a.cos b  cos(a  b)  cos(a  b) 
2
1
* sin a.cos b  sin(a  b)  sin(a  b) 
2
1
* sin a.sin b   cos(a  b)  cos(a  b) 
2

* 1  cot

1

2



1

sin 2 


Trường THPT Lấp Vò 2

Ths: Quang Minh – Thùy Trang

NHẮC LẠI ĐẠO HÀM
1. Các quy tắc tính đạo hàm:
Hàm số

Phép tính: Đạo hàm của hàm số

Hàm số tổng, hiệu: u  v

(u  v) '   u  '  v  '

Hàm số tích: u.v

 u.v  '   u  '.v   v  '.u
 k.u  '  k. u  '

Đặc biệt: v = k (k: hằng số)
Hàm số thương:

u
v

'

 u  (u )'.v  (v)'.u
  
v2
v
'

(v)'
1
    2 ; (v  0)
v
v

Đặc biệt: u = 1
2. Các công thức tính đạo hàm

Đạo hàm của các hàm số hợp

Đạo hàm các hàm số cơ bản.

C  '

 0

[ u = u(x) ]
'

( x ) '   .x – 1

1
1

    2
 x  (u )x'   .u – 1.u '

'

1
1
   2
x
 x

u'
1
   2
u
u

 x   21x

 u   2u 'u

 sin x  '  cos x

 sin u  '  u '.cos u

 cos x  '  – sin x

 cos u  '  –u '.sin u

'

'

 tan x  ' 

1
cos 2 x

 cot x  '  

1
sin 2 x

e  '  e
 a  '  a .ln a
x

x

x

x

 ln | x | ' 

1
x

1
x.ln a

II. Các tính chất nguyên hàm.
a)  [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx ;

 log a | x | ' 

'

 tan u  ' 

 cot u  '  

u'
sin 2 u

 e  '  u '.e
 a  '  u '.a .ln a
u

u

 ln | u | ' 

u

u

u'
u

 log a | u | ' 

u'
u. ln a

b)  k. f ( x)dx  k  f ( x)dx (k  0)

III. Các phương pháp tìm nguyên hàm
1) Phương pháp 1. Dựa vào bảng nguyên hàm cơ bản
Ví dụ 1. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
Nguyên hàm - Tích phân

u'
cos 2 u

2


Trường THPT Lấp Vò 2

Ths: Quang Minh – Thùy Trang

b) f ( x) 

a) f ( x)  x( x  1)( x  2)

1
1
3
x
x

Giải

c) f ( x)  (2 x  3)3

a) F ( x)   f ( x)dx   ( x 3  3x 2  2 x)dx   x 3dx   3x 2dx   2 xdx

x 4 3x3 2 x 2
x4


 C   x3  x 2  C
4
3
2
4
x1/ 2 x 2/3
3
b) F ( x)   f ( x)dx   ( x 1/2  x 1/3 )dx 

 C  2 x  3 x2  C .
1/ 2 2 / 3
2
4
3
8 x 36 x 54 x 2
c) F ( x)   f ( x)dx   (8x3  36 x 2  54 x  27)dx 


 27 x  C  2 x 4  12 x3  27 x 2  C
4

3
2
Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm:
x3  3x 2  x  1
x 2  3x  2
4x  3
a) 
b) 
d)  2 x1.5x dx .
dx
dx
dx c) 
2
x
2x 1
2x 1
Giải
3
2
2
x  3x  x  1
1 1
x
1

a)
dx   x  3   2  dx   3x  ln x   C .
2
x
x x 

2
x

4x  3
1 
1

b) 
dx    2 
 dx  2 x  ln 2 x  1  C .
2x 1
2x 1 
2





c)



x 2  3x  2
x2 7
1
 x 7 1/ 4 
d
x




d
x

 2x 1
  2 4 2 x 1  4  4 x  8 ln 2 x 1  C .

10 x
d)  2 .5 dx  2 2 .5 dx  210 dx  2
C .
ln10
Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm:
x1

x

x

a)  sin(2x  1)dx

x

x

; b)  sin x.cos 2 xdx

; c)  (x  cos2 x)dx

; d)  e3 x4dx .

Giải
1
a)  sin(2x  1)dx   cos(2 x 1)  C .
2
1
1
1
1 1

b)  sin x.cos 2 xdx   (sin3x  sin x)dx    cos3x  cos x   C   cos3x  cos x
2
2 3
6
2


x2 1
1
 1  cos2 x 
c) (x  cos2 x)dx   x 
d
x

 x  sin2x  C .

2
2 2
4



1
d)  e3 x4dx  e3 x4  C .
3
x2  2x  3
Ví dụ 4. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x) 
biết F 1  3 .
x
Giải
2
x  2x  3
3
x2

dx   x  2   dx   2 x  3ln x  C
Ta có F ( x)  f  x  dx 
x
x
2












12
 2.1  3ln1  C  3  C  1/ 2
2
x2
Vậy nguyên hàm cần tìm là: F ( x)   2 x  3ln x  1/ 2
2
Ví dụ 5. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x)  1  sin 3x biết F  / 6   0 .
Do F 1  3 nên

Giải
Nguyên hàm - Tích phân

3


Trường THPT Lấp Vò 2

Ths: Quang Minh – Thùy Trang

1
Ta có F ( x)   f  x  dx   1  sin3x  dx  x  cos3x  C
3
 1


 
Do F    0 nên  cos  C  0  C  
6 3
2
6

6
1

Vậy nguyên hàm cần tìm là: F ( x)  x  cos3x  .
3
6
1
Ví dụ 6. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x)  3x 2   4e x biết F 1  1 .
x
Giải
1


Ta có F ( x)   f  x  dx    3x 2   4e x  dx  x3  ln x  4e x  C
x


3
1
Do F 1  1 nên 1  ln 1  4e  C  1  C  4e

Vậy nguyên hàm cần tìm là: F ( x)  x3  ln x  4e x  4e .
Bài tập rèn luyện
Bài tập 1. Tính nguyên hàm các hàm số sau: (sử dụng trực tiếp công thức)
2 x4  3
1
x 1
a) f ( x)  x 2 – 3x 
b) f ( x) 
c) f ( x)  2

2
x
x
x
2
2
( x  1)
1
2
d) f ( x) 
e) f ( x)  x  3 x  4 x
f) f ( x) 
3
2
x
x
x
x
g) f ( x)  2sin 2
h) f ( x)  tan 2 x
i) f ( x)  cos2 x
2
1
cos 2 x
k) f ( x) 
l) f ( x) 
m) f ( x)  2sin3x cos 2 x
2
2
sin x.cos x

sin 2 x.cos 2 x
e x 
x
x x

n) f ( x)  e e – 1
o) f ( x)  e  2 
p) f ( x)  e3 x1 .
2 
cos x 

Bài tập 2. Tính nguyên hàm các hàm số sau (tách mẫu)
x2  1
dx
dx
a) 
b) 
c)  2 dx
x 1
x( x  1)
( x  1)(2 x  3)
dx
dx
dx
d)  2
e)  2
f)  2
x  7 x  10
x  6x  9
x 4

x3
x
x
dx
g) 
h)  2
i)  2
dx
dx
x  3x  2
2 x  3x  2
( x  1)(2 x  1)
Bài tập 3. Tính nguyên hàm các hàm số sau (công thức lượng giác)
a)  sin 2 x sin 5x.dx
b)  cos x sin 3xdx
c)  (tan 2 x  tan 4 x)dx

x
f)  cos 2 dx
2
1
g)  sin 2 x.cos 2 xdx
h)  sin 3x cos5 xdx
i) 
dx
2
 sin x  cos x 
Bài tập 4. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
F (1)  3
a) f ( x)  x3  4 x  5;

b) f ( x)  3  5cos x;
F ( )  2
d)

cos 2 x

e)  sin 2 xdx

 1  sin x cos xdx

3  5x2
;
x
x3  1
e) f (x)= 2 ;
x
c) f ( x) 

g) f ( x)  sin 2 x.cos x;
Nguyên hàm - Tích phân

x2  1
;
x

F (e)  1

d) f ( x) 

F (2)  0

f) f ( x)  x x 

 
F 0
3

F (1) 

3
2

1
;
F (1)  2
x
3x 4  2 x3  5
; F (1)  2
h) f ( x) 
x2
4


Trường THPT Lấp Vò 2

Ths: Quang Minh – Thùy Trang

x
  
k) f ( x)  sin 2 ; F   

2
2 4

x3  3x3  3x  7
i) f ( x) 
; F (0)  8
( x  1)2
Câu hỏi trắc nghiệm tự luyện
Câu 1. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x) 

1
là:
2x  5

1
A. F ( x)  ln 2 x  5  2017 B. F ( x)  ln 2 x  5
2

C. F ( x)  

2

 2 x  5

D. F ( x)  

2

1
Câu 2. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x)  x3   sin10 là:

2
4
4
x
x 1
1

A.
C.
B. F ( x)  x 4  ln 2  cos10
   sin10  x
4
4
4 2

x
Câu 3. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x)  3 là:

A. F ( x) 

3x
ln 3

B. F ( x) 

3x1
x 1

C. F ( x)  3x

D. F ( x) 

1

 2 x  5

2

D. F ( x)  3x 2

3x
x 1

3
Câu 4. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x)  x 2   2 x là:
x
3
x
4 3
x3
4 3
A. F ( x)   3ln x 
B. F ( x)   3lnx 
x
x
3
3
3
3
x3 3 4 3

x3
4 3
C. F ( x)   2 
D. F ( x)   3ln x 
x
x
3 x 3
3
3
Câu 6. Một nguyên hàm của hàm số f  x   sin 2 x  3x 2 là:
1
1
1
B. F  x   cos 2 x  6 x C. F  x    cos 2 x  x3 D. F  x    cos 2 x  x3
2
2
2

A. F  x   cos 2 x  6 x
Câu 7. Kết quả của

 tan

A. tan x  x  C

2

xdx là:

B. tan x  1  C

C. cot 2 x  C





2

D. 1  tan 2 x  C

Câu 8. Một nguyên hàm của hàm số f ( x)  e2 x là:
B. 2e2 x

2x
A. e

2 

Câu 9. Kết quả của e x  3  5 x  dx là:
xe 

1
1
A. 3e x  4  C
B. 3e x  4  C
2x
2x

C.

e 2 x1
2x 1

D.

1 2x
e
2



C. 3e x 

Câu 10. Nguyên hàm của hàm số f(x) = x2 – 3x +

1
C
2x4

D. 3e x 

1
C
2 x4

1
là:
x

x3 3x 2
x3 3x 2 1
x3 3x 2

 ln x  C B.

 2 C
 ln x  C
C. x3  3x2  ln x  C D. 
3
2
3
2
x
3
2
Câu 11. Họ nguyên hàm của f ( x)  x 2  2 x  1 là
1
1
1
A. F ( x)  x3  2  x  C B. F ( x)  2 x  2  C C. F ( x)  x3  x 2  x  C D. F ( x)  x3  2 x 2  x  C
3
3
3
1 1
Câu 12. Nguyên hàm của hàm số f ( x)   2 là:
x x
1
1
A. ln x  ln x2  C

B. lnx –
+C
C. ln|x| +
+C
D. Kết quả khác
x
x
Câu 13. Nguyên hàm của hàm số f  x   cos3x là:
A.

Nguyên hàm - Tích phân

5


Trường THPT Lấp Vò 2

A.

Ths: Quang Minh – Thùy Trang

1
sin 3x  C
3

1
B.  sin 3 x  C
3

Câu 14. Nguyên hàm của hàm số f ( x)  2e x 

C.  sin3x  C

D. 3sin3x  C

1
là:
cos 2 x

e x
C. ex + tanx + C
D. Kết quả khác
)
2
cos x
3
Câu 15. Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x  2 là:
x
3
3
A. x 2   C
B. x 2  2  C
C. x2  3ln x2  C
D. Kết quả khác
x
x
Câu 16. Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là nguyên hàm của f ( x)  sin 2 x
1
1
A. 2cos 2x

B. 2cos 2x
C. cos 2 x
D. cos 2 x
2
2
3
Câu 17. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là nguyên hàm của f ( x)  x  3x2  2 x  1
1
1
A. 3x2  6 x  2
B. x 4  x3  x 2  x
C. x 4  x3  x 2
D. 3x2  6 x  2
4
4
Câu 18. Tìm  (cos6 x  cos 4 x)dx là:
B. ex(2x 

A.2ex + tanx + C

1
1
1
1
A.  sin 6 x  sin 4 x  C B. 6sin 6 x  5sin 4 x  C C. sin 6 x  sin 4 x  C D. 6sin 6 x  sin 4 x  C
6
4
6
4
5

Câu 19. Nguyên hàm của hàm số f ( x)  (1  2 x) là:
1
A.  (1  2 x)6  C
B. (1  2 x)6  C
C. 5(1  2 x)6  C
D. 5(1  2 x)4  C
2
Câu 20. Nếu  f ( x)dx  e x  sin 2 x  C thì f ( x) bằng

A. e x  cos 2 x

B. e x  cos 2 x

C. e x  2cos 2 x

Câu 21. Một nguyên hàm của hàm số: y = cos5x.cosx là:
11
1

A.  sin 6 x  sin 4 x 
B. cos6x
C. F(x) = sin6x
26
4


2 

Câu 22. Kết quả của e x  3  5 x  dx là:
xe 


1
1
1
A. 3e x  4  C
B. 3e x  4  C
C. 3e x  4  C
2x
2x
2x
2
Câu 23. Họ nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x)  sin x là:
1
sin 2 x 
1
sin 2 x 
1
cos 2 x 
A.  x 
  C B.  x 
  C C.  x 
C
2
2 
2
2 
2
2 
1
Câu 24. Họ nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x)  2

là:
x  4x  3
x 3
1 x 1
A. ln x 2  4 x  3  C
B. ln
C
ln
C
x 1
2
x

3
C.

1
D. e x  cos 2 x
2
1  sin 6 x sin 4 x 
D.  


2 6
4 



Câu 25. Nguyên hàm của hàm số f(x) = x3 ‒

x4
 ln x 2  C
A.
4

Nguyên hàm - Tích phân

x3 1
 4  2x  C
B.
3 x

D. 3e x 

1
C
2 x4

D.

1
 x  sin 2 x   C
2

D.

1 x 3
ln
C
2 x 1

1
 2 x là:
2
x

x4 1 2x
 
C
C.
4 x ln 2

6

x4 1
  2 x.ln 2  C
D.
4 x