Bài tập toán 11: Chỉnh hợp, tổ hợp

Khóa học TOÁN 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG (Moon.vn)

www.facebook.com/Lyhung95

Tài liệu bài giảng (Tổ hợp – Xác suất 11)

03. CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
Thầy Đặng Việt Hùng – MOON.VN
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Group thảo luận bài tập : www.facebook.com/groups/Thayhungdz

1. Chỉnh hợp (không lặp):
Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1 ≤ k ≤ n) theo một thứ tự nào đó được gọi
là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A.
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:

Ank = n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 1) =

n!
(n − k )!

• Công thức trên cũng đúng cho trường hợp k = 0 hoặc k = n.
• Khi k = n thì Ann = Pn = n!
2. Chỉnh hợp lặp:
Cho tập A gồm n phần tử. Một dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể được lặp lại nhiều lần,
được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của tập A.
Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử: Ank = n k
Bài 1: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau:
A=

C=

E=

A52
P2

+

5
A10

B = P1 A21 + P2 A32 + P3 A43 + P4 A54 − P1P2 P3 P4

7P5

12
11
A49
+ A49
10
A49

−

10
9
A17
+ A17

39A10

49

11
38A10
49 + A49

P
P
P
P 
D =  5 + 4 + 3 + 2  A52
 A 4 A3 A2 A1 
 5
5
5
5

8
A17

+

12!(5!− 4!)
13!4!

F=

Đ/s: A = 46; B = 2750;
C = 1440;
Bài 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:

a)

Pn+2

Ann−−14 .P3

= 210

21( P3 − P2 )

P
P
P
P 
20  5 + 4 + 3 + 2 
 A 4 A3 A2 A1 
 5
5
5
5
D = 42

b) 2( An3 + 3 An2 ) = Pn+1

c) 2Pn + 6 An2 − Pn An2 = 12

Bài 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
9
8
a) A10

x + Ax = 9 Ax .

b) Px . Ax2 + 72 = 6( Ax2 + 2Px )

c) 2 Ax2 + 50 = A22x

Bài 4: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
a)

Axy++11.Px − y
Px −1

= 72.

b) Pn+3 = 720A5n .Pn −5

c) An6 + An5 = An4

Bài 5: [ĐVH]. Giải các bất phương trình:
Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG (Moon.vn)

a) An3 + 15 < 15n

b) An3 < An2 + 12

Bài 6: [ĐVH]. Tìm các số âm trong dãy số x1, x2 , x3 ,... , xn với: xn =

www.facebook.com/Lyhung95

c)
An4+ 4
Pn+2

An1+1
Pn+2
−

−

143
<0
4 Pn−1

143
(n = 1, 2, 3, ...)
4.Pn

63
23
; n2 = 2, x2 = − .
4
8
Bài 7: [ĐVH]. Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ. Người ta chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành
3 cặp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Đ/s: n1 = 1, x1 = −

3
Đ/s: Có A10
. A63 cách

Bài 8: [ĐVH]. Trong không gian cho 4 điểm A, B, C, D. Từ các điểm trên ta lập các vectơ khác vectơ –
không. Hỏi có thể có được bao nhiêu vectơ?
Đ/s: A42 = 12 vectơ
Bài 9: [ĐVH]. Một lớp học chỉ có các bàn đôi (2 chỗ ngồi). Hỏi lớp này có bao nhiêu học sinh, biết rằng chỉ
có thể sắp xếp chỗ ngồi cho học sinh của lớp này theo 132 sơ đồ khác nhau? (Số chỗ ngồi vừa đủ số học
sinh)
Đ/s: An2 = 132 ⇔ n = 12
Bài 10: [ĐVH]. Từ 20 học sinh cần chọn ra một ban đại diện lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 1 thư ký.
Hỏi có mấy cách chọn?
Đ/s: 6840.
Bài 11: [ĐVH]. Huấn luyện viên một đội bóng muốn chọn 5 cầu thủ để đá quả luân lưu 11 mét. Có bao
nhiêu cách chọn nếu:
a) Cả 11 cầu thủ có khả năng như nhau? (kể cả thủ môn).
b) Có 3 cầu thủ bị chấn thương và nhất thiết phải bố trí cầu thủ A đá quả số 1 và cầu thủ B đá quả số 4.
Đ/s: a) 55440.
b) 120.
Bài 12: [ĐVH]. Một người muốn xếp đặt một số pho tượng vào một dãy 6 chỗ trống trên một kệ trang trí. Có
bao nhiêu cách sắp xếp nếu:
a) Người đó có 6 pho tượng khác nhau?
b) Người đó có 4 pho tượng khác nhau?
c) Người đó có 8 pho tượng khác nhau?
Đ/s: a) 6!.
b) 360.
c) 20160.
Bài 13: [ĐVH]. Từ các chữ số 0, 1, 2, …, 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số:
a) Các chữ số khác nhau?

b) Hai chữ số kề nhau phải khác nhau?
Đ/s: a) 9.A94

b) Có 95 số

Bài 14: [ĐVH]. Với 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và thoả:
a) Số chẵn.
b) Bắt đầu bằng số 24.
c) Bắt đầu bằng số 345.
d) Bắt đầu bằng số 1? Từ đó suy ra các số không bắt đầu bằng số 1?
ĐS: a) 312.
b) 24.
c) 6.
d) 120 ; 480.
Bài 15: [ĐVH]. Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Có thể lập được bao nhiêu số n gồm 5 chữ số khác
nhau đôi một lấy từ X trong mỗi trường hợp sau:
a) n là số chẵn?
Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG (Moon.vn)

www.facebook.com/Lyhung95

b) Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1?
Đ/s: a) 3000.
b) 2280.
Bài 16: [ĐVH].
a) Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 6, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3.
b) Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau sao cho trong các chữ số đó

có mặt số 0 và số 1.
c) Từ 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết
phải có mặt chữ số 4.
Đ/s: a) 18.
b) 42000.
c) 13320.
Bài 17: [ĐVH].
a) Tính tổng của tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một được tạo thành từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5,
7, 8.
b) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Tính tổng của
các số này.
Đ/s: a) 37332960.
b) 96 ; 259980.
Bài 18: [ĐVH].
a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 10 (chữ số hàng vạn khác 0).
b) Cho 10 chữ số 0, 1, 2, ..., 9. Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600000 xây dựng từ 10 chữ
số đã cho.
Đ/s: a) 3024.
b) 36960.
Bài 19: [ĐVH]. Một túi chứa 6 viên bi trắng và 5 viên bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đó, có bao nhiêu cách
lấy được:
a) 4 viên bi cùng màu?
b) 2 viên bi trắng, 2 viên bi xanh?
ĐS: a) 20.
b) 150.
Bài 20: [ĐVH]. Từ 20 người, chọn ra một đoàn đại biểu gồm 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn, 1 thư ký và 3 ủy
viên. Hỏi có mấy cách chọn?
ĐS: 4651200.
Bài 21: [ĐVH]. Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi một
khác nhau), người ta muốn chọn ra một bó hóa gồm 7 bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn bó hoa trong đó:

a) Có đúng 1 bông hồng đỏ?
b) Có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ?
ĐS: a) 112
b) 150.
Bài 22: [ĐVH]. Từ một tập thể 14 người gồm 6 năm và 8 nữ trong đó có An và Bình, người ta muốn chọn
một tổ công tác gồm có 6 người. Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau:
a) Trong tổ phải có cả nam lẫn nữ?
b) Trong tổ có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ?
ĐS: a) 2974.
b) 15048.
Bài 23: [ĐVH]. Một đồn tàu có 3 toa chở khác. Toa I, II, III. Trên sân ga có 4 khách chuẩn bị đi tàu. Biết
mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi:
a) Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên 3 toa.
b) Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên tàu có 1 toa có 3 trong 4 vị khách nói trên.
ĐS: a) 99.
b) 24.
Bài 24: [ĐVH]. Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học
Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG (Moon.vn)

www.facebook.com/Lyhung95

sinh đó thành hai tổ, mỗi tổ 8 học sinh sao cho mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất hai học sinh
khá.
ĐS: 3780

LỜI GIẢI BÀI TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau:

A=

C=

E=

A52
P2

+

5
A10

B = P1 A21 + P2 A32 + P3 A43 + P4 A54 − P1P2 P3 P4

7P5

12
11
A49
+ A49
10
A49

10
9
A17
+ A17

−

8
A17

39A10
49

38A10
49

+

11
A49

Đ/s: A = 46;

P
P
P
P 
D =  5 + 4 + 3 + 2  A52
 A 4 A3 A2 A1 
 5
5
5
5

+

12!(5!− 4!)
13!4!

B = 2750;

F=

C = 1440;

21( P3 − P2 )

P
P
P
P 
20  5 + 4 + 3 + 2 
 A 4 A3 A2 A1 
 5
5
5
5
D = 42
Lời giải:

5! 10!
A52 A105
120 3628800
1) A =
+

= 3! + 5! =
+
= 10 + 36 = 46
P2 7 P5 2! 7.5! 6.2 7.120.120
2!
3!
4!
5!
+ 2!. + 3!. + 4!. − 1!2!3!4!
1!
1!
1!
1!
= 1.2 + 2.6 + 6.24 + 24.120 − 1.2.6.24 = 2750
49! 49! 17! 17!
+
+
12
11
10
9
A49 + A49 A17 + A17 37! 38! 7! 8!
3) C =
−
=
−
= 38.39 + 39 − ( 9.8 + 9 ) = 1440
10
49!
17!

A49
A178
39!
9!
21( 3!− 2!)
21( 3!− 2!)
21( P3 − P2 )
4) F =
=
=
P P 
P
P


 5!+ 4!2!+ 3!3!+ 2!4! 
20 
20  54 + 43 + 32 + 21 



5!
4!
3!
2!
5!


 A5 A5 A5 A5  20  + + + 
5! 5! 5! 5!



 1! 2! 3! 4! 

2) B = P1 A21 + P2 A32 + P3 A43 + P4 A54 − P1 P2 P3 P4 = 1!.

=

21. ( 6 − 2 ) .120

20 (120 + 24.2 + 6.6 + 2.24 )

=

21.4.120
=2
20.252

Bài 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
a)

Pn+2

Ann−−14 .P3

b) 2( A n3 + 3A n2 ) = Pn+1

= 210

c) 2Pn + 6 An2 − Pn An2 = 12

Lời giải:
a) ĐK: n ≥ 4, n ∈ N .
Ta có:

Pn +2

A nn−−14 .P3

= 210 ⇔

( n + 2 )! = 210 ⇔ ( n + 2 )! = 210 ⇔ A 3 = A 3 ⇔ n + 2 = 7 ⇔ n = 5 TM
( )
n +2
7
( n − 1)! .3!
( n − 1)!
3!

b) ĐK: n ≥ 3, n ∈ N .
Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG (Moon.vn)

Ta có: 2 ( An3 + 3 An2 ) = Pn +1 ⇔ 2.

www.facebook.com/Lyhung95

n!

n!
2
6
+ 6.
= ( n + 1) n ! ⇔
+
= n +1
( n − 3) ! ( n − 2 ) !
( n − 3) ! ( n − 2 ) !

2
6
2 6

VT = n − 3 ! + n − 2 ! < 1! + 2! = 2 + 3 = 5
(
) (
)
Với n > 4 thì 
⇒ vô nghiệm
VP = n + 1 > 5

2
6
2 6

VT = n − 3 ! + n − 2 ! > 1! + 2! = 2 + 3 = 5
(
) (
)

Với n < 4 thì 
⇒ vô nghiệm
VP = n + 1 < 5

2
6
2 6

VT = n − 3 ! + n − 2 ! = 1! + 2! = 2 + 3 = 5
(
) (
)
Với n = 4 thì 
⇒ PT có nghiệm x = 4.
VP = n + 1 = 5

Vậy PT có nghiệm x = 4.
c) ĐK: n ≥ 2, n ∈ N .

2 Pn + 6 An2 − Pn An2 = 12 ⇔ 2.n !+ 6n ( n − 1) − n !.n ( n − 1) = 12 ⇔ n !( n 2 − n − 2 ) − 6 ( n 2 − n − 2 ) = 0

 n = 3 (TM )

⇔ ( n !− 6 ) ( n 2 − n − 2 ) = 0 ⇔ n ! = 6 = 3! ⇔ n 2 − n − 2 = 0 ⇔  n = 2 (TM )
 n = −1 Loai
(
)

Vậy PT có nghiệm là n = 3 và n = 2.

Bài 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
9
8
a) A10
x + Ax = 9 Ax .

b) Px . Ax2 + 72 = 6( Ax2 + 2Px )

c) 2 Ax2 + 50 = A22x

Lời giải:
a) ĐK: x ≥ 10, x ∈ N . Ta có:
9
8
10
A10
x + Ax = 9 Ax ⇔ Ax +

x!
x!
x!
x!
= 9.
⇔ Ax10 +
. ( x − 10 ) = 9.
. ( x − 10 )( x − 9 )
( x − 9 )! ( x − 8)!
( x − 10 )!
( x − 10 )!

10
10
10
10
⇔ A10
x + ( x − 10 ) Ax = 9 ( x − 10 )( x − 9 ) Ax ⇔ Ax 
9 ( x − 10 )( x − 9 ) − 1 − x + 10  = 0 ⇔ 9 ( x − 9 )( 9 x − 91) Ax = 0

x − 9 = 0
 x = 9 ( Loai )

⇔ 9 x − 91 = 0
⇔
 x = 91 ( loai )
 A10 = 0 ( Loai )
9

 x
Vậy PT vô nghiệm
b) ĐK: x ≥ 2, x ∈ N .

(

)

Px . Ax2 + 72 = 6( Ax2 + 2 Px ) ⇔ Ax2 ( Px − 6 ) − 2 ( Px − 6 ) = 0 ⇔ Ax2 − 2 ( Px − 6 ) = 0
2
 2
x = 2
⇔  Ax = 2 = A2 ⇔ 

(TM )
x = 3
 Px = 6 = P3
Vậy PT có nghiệm là x = 2 và x = 3.
c) ĐK : x ≥ 2, x ∈ N .

Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG (Moon.vn)

www.facebook.com/Lyhung95

 x = 5 (TM )
2 Ax2 + 50 = A22x ⇔ 2 x ( x − 1) + 50 = 2 x ( 2 x − 1) ⇔ 2 x 2 − 50 = 0 ⇔ 
 x = −5 ( Loai )
Vậy x = 5 là nghiệm của PT.
Bài 4: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
a)

Axy++11.Px − y
Px −1

= 72.

b) Pn+3 = 720A5n .Pn −5

c) An6 + An5 = An4

Lời giải:

a) ĐK: x ≥ y; x ≥ 1; x, y ∈ N
Axy++11.Px− y
Px−1

( x + 1)! . x − y !
(
)
x − y )!
(
( x + 1) x ( x − 1)! = 72 ⇔ x 2 + x − 72 = 0 ⇔  x = 8 (TM )
= 72 ⇔
= 72 ⇔
 x = −9 ( Loai )
( x − 1)!
( x − 1)!


Vậy x = 8 là nghiệm của PT
b) ĐK : n ≥ 5, n ∈ N .
Pn +3 = 720A5n .Pn−5 ⇔ ( n + 3) ! = 720.

( n + 3)! = 720 ⇔ A3 = A3
n!
. ( n − 5)! ⇔
n +3
10
n!
( n − 5)!

⇔ n + 3 = 10 ⇔ n = 7 (t/m). Vậy n = 7 là nghiệm của PT

c) ĐK: n ≥ 6, n ∈ N .

 An6 = 0 ( Loai )

An6 + An5 = An4 ⇔ An6 + ( n − 6 ) An6 = ( n − 6 )( n − 5 ) An6 ⇔ An6 ( n − 5 )( n − 7 ) = 0 ⇔  n = 5 ( Loai )
 n = 7 ( TM )

Vậy n = 7 là nghiệm của PT

Bài 5: [ĐVH]. Giải các bất phương trình:
a) An3 + 15 < 15n

b) An3 < An2 + 12

c)

An1+1
Pn+2

−

143
<0
4 Pn−1

Lời giải:
a) ĐK: n ≥ 3, n ∈ N

(

)

Ta có: An3 + 15 < 15n ⇔ n ( n − 1)( n − 2 ) − 15 ( n − 1) < 0 ⇔ ( n − 1) n2 − 2n − 15 < 0
 n < −3
⇔ ( n − 1)( n + 3)( n − 5 ) < 0 ⇔ 
1 < n < 5
Kết hợp với điều kiện ⇒ n = 3 và n = 4 là giá trị cần tìm
b) ĐK: n ≥ 3, n ∈ N .

A n3 < A n2 + 12 ⇔ n ( n − 1)( n − 2 ) < n ( n − 1) + 12 ⇔ n 3 − 3n 2 + 2n < n 2 − n + 12 ⇔ n 3 − 4n 2 + 3n − 12 = 0

(

)

⇔ ( n − 4 ) n 2 + 3 = 0 ⇔ n = 4 (TM

)

Vậy n = 4 là nghiệm của BPT
c) ĐK: n ≥ 1, n ∈ N .

An1+1 143
n +1
143
1
143
−
<0⇔
−

<0⇔
<
Pn+ 2 4 Pn −1
( n + 2 )( n + 1) n ( n − 1)! 4 ( n − 1)!
( n + 2) n 4
Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG (Moon.vn)

Do n ≥ 1, n ∈ N nên

1
1 143
≤
<
⇒ bất PT có nghiệm với mọi n ≥ 1, n ∈ N .
n ( n + 2 ) 1.2
4

Bài 6: [ĐVH]. Tìm các số âm trong dãy số x1, x2 , x3 ,... , xn với: xn =
Đ/s: n1 = 1, x1 = −

www.facebook.com/Lyhung95

An4+ 4 143
−
(n = 1, 2, 3, ...)
Pn+ 2 4.Pn

63
23
; n2 = 2, x2 = − .
4
8

Lời giải:
ĐK: n ∈ N .
Ta có: xn =

An4+ 4 143
( n + 4 )( n + 3)( n + 2 )( n + 1) − 143 < 0 ⇔ n + 4 n + 3 − 143 < 0
−
<0⇔
(
)(
)
Pn + 2 4.Pn
4n !
4
( n + 2 )( n + 1) n !

95
19
5
<0⇔− 4
2
2
Kết hợp với điều kiện suy ra n = 1 và n = 2 là giá trị cần tìm.

⇔ n 2 + 7n −

Với n = 1 thì x 1 = −

63
.
4

23
.
8
Bài 7: [ĐVH]. Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ. Người ta chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành
3 cặp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Với n = 2 thì x 2 = −

3
Đ/s: Có A10
. A63 cách

Lời giải:
- Chọn có thứ tự 3 nam trong tổng số 10 nam, ta sẽ có A103 cách chọn
- Chọn có thứ tự 3 nữ trong tổng số 6 nữ, ta sẽ có A63 cách chọn

⇒ Có: A103 . A63 cách chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp.
Bài 8: [ĐVH]. Trong không gian cho 4 điểm A, B, C, D. Từ các điểm trên ta lập các vectơ khác vectơ –
không. Hỏi có thể có được bao nhiêu vectơ?
Đ/s: A42 = 12 vectơ
Lời giải:
Vì vecto có chiều và khác không, nên từ 4 điểm A, B, C, D đã cho ta lập các vecto khác vecto không cũng
tương đương với việc chọn có thứ tự 2 điểm trong 4 điểm đã cho.

⇒ Có A42 = 12 vectơ
Bài 9: [ĐVH]. Một lớp học chỉ có các bàn đôi (2 chỗ ngồi). Hỏi lớp này có bao nhiêu học sinh, biết rằng chỉ
có thể sắp xếp chỗ ngồi cho học sinh của lớp này theo 132 sơ đồ khác nhau? (Số chỗ ngồi vừa đủ số học
sinh)
Đ/s: An2 = 132 ⇔ n = 12
Lời giải:
Gọi số học sinh của lớp là n (n ≥ 1)
Sắp xếp chỗ ngồi cho học sinh của lớp, và lớp chỉ có các bàn đôi tức là sắp xếp có thứ tự 2 học sinh của n
học sinh.
n!
⇒ An2 = 132 ⇒
= 132 ⇔ n(n − 1) = 132 ⇒ n 2 − n − 132 = 0 ⇒ n = 12
(n − 2)!
Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG (Moon.vn)

www.facebook.com/Lyhung95

Vậy lớp học có 12 học sinh.
Bài 10: [ĐVH]. Từ 20 học sinh cần chọn ra một ban đại diện lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 1 thư ký.
Hỏi có mấy cách chọn?
Đ/s: 6840.
Lời giải:
Từ 20 học sinh cần chọn ra một ban đại diện lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 1 thư ký tức là chọn có thứ
tự 3 học sinh trong tổng số 20 học sinh.
3
⇒ Có: A20
= 6840 cách chọn.

Bài 11: [ĐVH]. Huấn luyện viên một đội bóng muốn chọn 5 cầu thủ để đá quả luân lưu 11 mét. Có bao
nhiêu cách chọn nếu:
a) Cả 11 cầu thủ có khả năng như nhau? (kể cả thủ môn).
b) Có 3 cầu thủ bị chấn thương và nhất thiết phải bố trí cầu thủ A đá quả số 1 và cầu thủ B đá quả số 4.
Đ/s: a) 55440.
b) 120.
Lời giải:
a) Chọn 5 cầu thủ để đá quả luân lưu, phải bố trí người từ quả số 1 đến quả số 5
⇒ Chọn có thứ tự 5 cầu thủ trong số 11 cầu thủ: A115 = 55440
b) Có 3 cầu thủ bị chấn thương ⇒ Còn lại: 11 − 3 = 8 cầu thủ.
Bố trí cầu thủ A đá quả số 1, cầu thủ B đá quả số 4 nên còn lại 6 cầu thủ cho 3 vị trí. Chọn có thứ tự 3 cầu thủ
trong 6 cầu thủ, ta có : A63 = 120 cách chọn.

Bài 12: [ĐVH]. Một người muốn xếp đặt một số pho tượng vào một dãy 6 chỗ trống trên một kệ trang trí. Có
bao nhiêu cách sắp xếp nếu:
a) Người đó có 6 pho tượng khác nhau?
b) Người đó có 4 pho tượng khác nhau?
c) Người đó có 8 pho tượng khác nhau?
Đ/s: a) 6!.
b) 360.
c) 20160.
Lời giải:
a) Sắp xếp 6 pho tượng khác nhau vào 1 dãy có 6 chỗ trống
⇒ Có: A66 = 6! = 720 cách xếp
b) Chọn có thứ tự 4 pho tượng xếp vào 6 dãy chỗ trống:

⇒ Có: A64 = 360 cách xếp.
c) Chọn có thứ tự 6 pho tượng trong 8 pho tượng khác nhau:

⇒ Có: A86 = 20160 cách xếp.
Bài 13: [ĐVH]. Từ các chữ số 0, 1, 2, …, 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số:
a) Các chữ số khác nhau?
b) Hai chữ số kề nhau phải khác nhau?
Đ/s: a) 9.A94

b) Có 95 số

Lời giải:
a) Gọi số tự nhiên đó là: abcde a, b, c, d , e ∈ {0;1; 2..;9} , a ≠ 0
Số cách chọn a là 9 cách
Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG (Moon.vn)

www.facebook.com/Lyhung95

Sau khi chọn a, số cách chọn 4 số còn lại khác a và có sắp xếp là: A94
Theo quy tắc nhân có 9 A94 = 27216 số thõa mãn
b) Số cách chọn a là 9 cách
Sau khi chọn a, số cách chọn b
Sau khi chọn b, số cách chọn c
Sau khi chọn c, số cách chọn d
Sau khi chọn d, số cách chọn e

khác a
khác b
khác c
khác d

là: 9 cách
là: 9 cách
là: 9 cách
là: 9 cách

Vậy theo quy tắc nhân có 95 = 59049 số thõa mãn
Bài 14: [ĐVH]. Với 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và thoả:
a) Số chẵn.
b) Bắt đầu bằng số 24.
c) Bắt đầu bằng số 345.
d) Bắt đầu bằng số 1? Từ đó suy ra các số không bắt đầu bằng số 1?
ĐS: a) 312.
b) 24.
c) 6.
d) 120 ; 480.
Lời giải:

a) Chọn bất kỳ ta có 3 cách chọn chữ số cuối chẵn, chọn 4 số trong 5 số còn lại có A54 , như vậy có 3 A54 số.
Xét trường hợp chữ số 0 đứng đầu, chọn chữ số cuối cùng chẵn có 2 cách, chọn 3 số trong 4 số còn lại có A43 .
Loại trường hợp chữ số 0 đứng đầu có 3 A54 − 2 A43 = 312 .

b) Chọn số 24 đứng đầu, chọn 3 số trong 4 số còn lại, vậy có A43 = 24 số còn lại.
c) Chọn số 345 đứng đầu, chọn 2 số trong 3 số còn lại có 6 cách.
d) Chọn chữ số 1 đứng đầu, chọn 4 số từ 5 số còn lại có A54 số tức 120 số. Chọn bất kỳ thì ta có A65 − A54 số.
Như vậy ta thu được A65 − A54 − A54 = 480 .

Bài 15: [ĐVH]. Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Có thể lập được bao nhiêu số n gồm 5 chữ số khác
nhau đôi một lấy từ X trong mỗi trường hợp sau:
a) n là số chẵn?

b) Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1?
Đ/s: a) 3000.
b) 2280.
Lời giải:
a) Chọn bất kỳ để là số chẵn ta có 4 cách chọn chữ số cuối. Chọn 4 chữ số còn lại có A74 cách.
Chọn chữ số 0 đứng đầu, chọn chữ số cuối chẵn có 3 cách. Vậy có A63 cách.
Tóm lại chúng ta có 4 A74 − 3 A63 = 3000 số.

b) Xét bất kỳ, ta chọn vị trí cho số 1 có 3 cách. Chọn 4 chữ số còn lại, suy ra 3 A74 cách.
Xét trường hợp chữ số 0 đứng đầu, chọn vị trí cho số 1 có 2 cách. Vậy 2 A63 cách.
Tóm lại thu được 3 A74 − 2 A63 = 2280 số cần lập.

Bài 16: [ĐVH].
a) Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 6, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3.
b) Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau sao cho trong các chữ số đó
có mặt số 0 và số 1.
c) Từ 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết
phải có mặt chữ số 4.
Đ/s: a) 18.
b) 42000.
c) 13320.
Lời giải:
Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG (Moon.vn)

www.facebook.com/Lyhung95

a) Rõ ràng bộ (1;3;6;9) bị loại vì không chia hết cho 3. Số 1 không xuất hiện trong số cần lập. Vậy hoán vị 4

chữ số 0,3,6,9 bỏ đi trường hợp số 0 (hoán vị 3 số 3,6,9) chúng ta có 4!− 3! = 18 số.
b) Chọn chữ số đứng đầu ta có 9 cách chọn. Các trường hợp xảy ra
Hai chữ số có 1 số 10; Ba chữ số chọn chỗ số 0 có 2 cách, chọn chỗ số 1 có 3 cách, vậy có 2.3.8 số.
Bốn chữ số, chọn chỗ cho số 0 có 3 cách, chọn chỗ số 1 có 4 cách, chọn 2 số còn lại có A82 …
Cứ như vậy ta có 1 + 2.3.8 + 3.4. A82 + 4.5. A83 + 5.6. A84 + 6.7. A85 + 7.8 A86 + 8.9 A87 + 9.10 A88 = 42000 .

c) Chọn bất kỳ cho chữ số 4 ta có 6 vị trí, chọn 5 chữ số trong 7 chữ số còn lại có A75 cách. Xét trường hợp
chữ số 0 đứng đầu, chọn chỗ cho chữ số 4 có 5 vị trí, chọn 4 chữ số trong 6 chữ số còn lại có A64 cách. Vậy có
6. A75 − 5 A64 = 13320 số cần lập.

Bài 17: [ĐVH].
a) Tính tổng của tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một được tạo thành từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5,
7, 8.
b) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Tính tổng của
các số này.
Đ/s: a) 37332960.
b) 96 ; 259980.
Lời giải:
a) Hoán vị ta có A65 tức 720 số tạo thành. Số lượng số có tổng bởi 5 số trong 6 số bằng nhau.
A65
Sự xuất hiện của mỗi chữ số ở mỗi hàng là như nhau và là
. Suy ra tổng các chữ số hàng đơn vị của 720
6
A65
số trên là (1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8 )
= 3360 .
6
Đó cũng là tổng của các chữ số ở mỗi hàng chục, hàng trăm, nghìn,…nên tổng 720 số đang xét là
3360 (1 + 10 + 102 + ... + 105 ) = 37332960 .

b) Chọn số đầu tiên có 4 cách. Chọn 3 số còn lại, vậy có 24 cách, suy ra 4.24 tức 96 số.
Xét trường hợp với 4 số 1, 2, 3, 4 thì tương tự câu a ta có tổng bằng 259980.
Bài 18: [ĐVH].
a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 10 (chữ số hàng vạn khác 0).
b) Cho 10 chữ số 0, 1, 2, ..., 9. Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600000 xây dựng từ 10 chữ
số đã cho.
Đ/s: a) 3024.
b) 36960.
Lời giải:
a) Chọn chữ số cuối cùng bằng 0. Chọn 4 chữ số còn lại từ 9 số còn lại ta có A94 = 3024 số.
b) Chọn chữ số đầu tiên chẵn nhỏ hơn 6 có 2 cách (2 và 4). Chọn chữ số lẻ cuối cùng có 5 cách. Chọn 4 chữ
số từ 8 chữ số còn lại có A84 cách. Vậy có 2.5. A84 trong trường hợp này.
Chọn chữ số đầu tiên lẻ nhỏ hơn 6 có 3 cách. Chọn chữ số lẻ cuối cùng có 4 cách. Chọn 4 chữ số từ 8 chữ số
còn lại có A84 , trường hợp này có 3.4 A84 cách. Tóm lại có 22 A84 = 36960 số.

Bài 19: [ĐVH]. Một túi chứa 6 viên bi trắng và 5 viên bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đó, có bao nhiêu cách
lấy được:
a) 4 viên bi cùng màu?
b) 2 viên bi trắng, 2 viên bi xanh?
ĐS: a) 20.
b) 150.
Lời giải:
Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG (Moon.vn)

www.facebook.com/Lyhung95

a) Để lấy được 4 viên bi cùng màu thì có 2 khả năng chúng cùng màu trắng hoặc cùng màu xanh.

Nếu cùng màu trắng thì có: C64 cách chọn.
Nếu cùng màu xanh thì có: C54 cách chọn.
Vậy nên sẽ có: C64 + C54 = 20
b) Có C62 cách chọn 2 viên bi trắng, Có C52 cách chọn 2 viên bi xanh, vậy sẽ có: C62 .C52 = 150 cách chọn
2 viên bi trắng, 2 viên bi xanh
Bài 20: [ĐVH]. Từ 20 người, chọn ra một đoàn đại biểu gồm 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn, 1 thư ký và 3 ủy
viên. Hỏi có mấy cách chọn?
ĐS: 4651200.
Lời giải:
Số cách chọn ra 1 trưởng đoàn từ 20 người là: C cách
1
20

Sau khi chọn được trưởng đoán số cách chọn ra 1 phó đoán : C191 cách
Sau khi chọn được trưởng đoán và số đoán số cách chọn ra1 thư ký là: C181 cách
Khi đó, Số cách chọn ra 3 ủy viên trong số 17 người còn lại là: C173
1
Vậy theo quy tắc nhân có: C20
C191 C181 .C173 = 4651200 cách.

Bài 21: [ĐVH]. Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi một
khác nhau), người ta muốn chọn ra một bó hóa gồm 7 bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn bó hoa trong đó:
a) Có đúng 1 bông hồng đỏ?
b) Có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ?
ĐS: a) 112
b) 150.
Lời giải:
a) Số cách chọn ra 1 bông hồng đỏ là: C

1

4

Số cách chọn 6 bông hồng để chọn ra 1 bó từ 5 bồng hồng vàng và 3 bông hồng trắng là: C86
Vậy theo quy tắc nhân có C41C86 = 112 cách

b) TH1: Bó hoa có 3 bông hồng vàng, 1 bông hồng trắng và 3 bồng hồng đỏ có C53 .C31.C43 = 120 cách chọn.
TH2: Bó hoa có 3 bông hồng vàng và 4 bông hồng trắng có: C53 .C44 = 10 cách chọn.
TH3: Bó hoa có 4 bông hồng vàng và 3 bông hồng trắng có: C54 .C43 = 20 cách chọn
Vậy theo quy tắc cộng có 150 cách chọn

Bài 22: [ĐVH]. Từ một tập thể 14 người gồm 6 năm và 8 nữ trong đó có An và Bình, người ta muốn chọn
một tổ công tác gồm có 6 người. Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau:
a) Trong tổ phải có cả nam lẫn nữ?

b) Trong tổ có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ?
ĐS: a) 2974.
b) 15048.
Lời giải:
a) Số cách chọn ra 1 tổ công tác 6 người là: C cách chọn
6
14

Số cách chọn ra 1 tổ công tác chỉ gồm nam là: C66 cách chọn
Số cách chọn ra 1 tổ công tác chỉ gồm nữ là: C86 cách chọn
Số cách chọn ra 1 tổ công tác gồm cả nam và nữ là: C145 − C86 − C66 = 2974 cách chọn

b) Số cách chọn ra 1 tổ trưởng trong 6 người là: C61 = 6 . Vậy có C146 C61 = 18018 cách chọn ra 1 tổ có 1 tổ
trưởng.
Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !

Khóa học TOÁN 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG (Moon.vn)

www.facebook.com/Lyhung95

Số cách chọn mà trong tổ đó đồng thời có mặt An và Bình là: C124 .C61 = 2879
Vậy có 18018 − 2879 = 15048 cách chọn thõa mãn.
Bài 23: [ĐVH]. Một đoàn tàu có 3 toa chở khách. Toa I, II, III. Trên sân ga có 4 khách chuẩn bị đi tàu. Biết
mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi:
a) Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên 3 toa.
b) Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên tàu có 1 toa có 3 trong 4 vị khách nói trên.
ĐS: a) 81.
b) 24.
Lời giải:
a) Vị 1 có 3 cách chọn toa, tương tự như vậy các vị 2, 3, 4 cũng đều có 3 cách chọn toa
Vậy theo quy tắc nhân có 34 = 81 cách
b) Chọn 3 trong 4 vị có C43 = 4 cách chọn, chọn 1 toa cho 3 vị đó có 3 cách chọn
Sau đó vị khách còn lại 1 trong 2 toa còn lại có 2 cách chọn
Vậy có 4.3.2 = 24 cách chọn.
Bài 24: [ĐVH]. Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học
sinh đó thành hai tổ, mỗi tổ 8 học sinh sao cho mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất hai học sinh
khá.
ĐS: 3780
Lời giải
Xét một tổ có 1 học sinh giỏi,số cách chọn học sinh giỏi là 3
TH1: có 2 học sinh khá, số cách chọn học sinh khá là C52 ⇒ số cách chọn học sinh trung bình
là C85 ⇒ có 3.C52 .C85 = 1680 cách chọn
TH2: có 3 học sinh khá, số cách chọn hs khá là C53 ⇒ số cách chọn học sinh trung bình là C84 ⇒ có
3.C53 .C84 = 2100 cách chọn
Vậy theo quy tắc cộng có 3780 cách chọn.

Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn

Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !