13 bài toán CHỨNG MINH TIẾP TUYẾN

Phan Đình Ánh – Lộc Hà – Hà Tĩnh

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TIẾP TUYẾN
I. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
1. Phương pháp 1:
Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng (d) bằng bán kính R.
( Phương pháp này thường được dung khi chưa biết giao điểm của (d) và (O) )

2. Phương pháp 2:
Nếu biết đường thẳng (d) và (O) có một giao điểm A.  Ta chỉ cần chứng minh minh
OA ⊥ d .

3. Phương pháp 3:
A

M

B

C

Nếu MA2 = MB.MC → MA là tiếp tuyến
Hoặc : Nếu GócMAB = gócMCA → MA là tiếp tuyến

4. Phương pháp 4: Phương pháp trùng khít( Phản chứng)
Để chứng minh một đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (O) ta dựng đường thẳng (d’)
là tiếp tuyến của (O) sau đó chứng minh (d) và (d’) trùng nhau. Do đó (d) là tiếp
tuyến của (O).

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG.

µBài toán 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Ax, By là 2 tia tiếp tuyến của (O)
(Ax, By cùng nửa mặt phẳng bờ là đt AB). Trên Ax lấy điểm C, trên By lấy điểm D
sao cho ∠COD = 900. Chứng minh rằng: CD tiếp xúc với đường tròn (O).

1


Phan Đình Ánh – Lộc Hà – Hà Tĩnh

@Hướng dẩn giải
Vẽ OH ⊥ CD ( H ∈ CD ) . Ta chứng minh OH = R O =

C

H

OB.
Tia CO cắt tia đối của tia By tại E.

D

Ta có: ∆OAC = ∆OBF ( g .c.g ) ⇒ OC = OE
Tam giác DEC có DO vừa là đường cao vừa là trung
tuyến nên là tam giác cân. Khi đó DO cũng là đường
phân giác.

O

A

B

OH ⊥ DC , OB ⊥ DE ⇒ OH = OB .
Ta có OH ⊥ CD, OH = OB = RO
 CD là tiếp xúc với (O) tại H.

µBài

toán 2:

E

Cho tam giác ABC vuông tại A,

đường cao AH. Đường tròn đường kính BH cắt AB tại D, đường tròn đường kính CH cắt AC
tại E. Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến chung của (I) và (J).

@Hướng dẩn giải

A

Để chứng minh DE là tiếp tuyến của
đường tròn tâm I đường kính BH ta
chứng minh

E
O

ID ⊥ DE hay ∠DOE = 90o

D

Vì D, E lần lượt thuộc đường tròn đường
kính BH và HC nên ta có:.

∠BDH

=∠CEH = 900

B

I

H

J

C

 tứ giác ADHE là hình chữ nhật.
Gọi O là giao điểm của AH và DE, khi đó
ta có OD = OH = OE = OA.


∆ODH cân tại O ⇔∠ODH = ∠OHD

Ta cũng có ∆IDH cân tại I ⇔∠IDH = ∠IHO.
 có: ∠IDO +∠OHD =∠IHD + ∠IHA = 900 ⇔∠IDO = 900 ⇔ ID ⊥ DE
Ta có ID ⊥ DE , D ∈ ( I )  DE tiếp xúc với (I) tại D.
Chứng minh tương tự ta cũng có DE tiếp xúc với (J) tại E.

2


Phan Đình Ánh – Lộc Hà – Hà Tĩnh

µBài toán

3: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Gọi I là

trung điểm của BC. Chứng minh rằng ID, IE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam
giác ADE.

@Hướng dẩn giải
Gọi O là trung điểm của AH.
Tam giác ADH vuông tại D có DO là trung tuyến nên ta có: DO =

AH
= OA = OH
2

Tam giác AEH vuông tại E có EO là trung tuyến nên ta có: EO =

AH
= OA = OH .
2

⇒ OA = OD = OE, do đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.
Tam giác OAD cân tại O) ⇒∠ODA = ∠OAD (1)

∆BDC vuông tại D có DI là trung tuyến ⇒ DI =

⇒

∠IDC = ∠DIC

BC
= IC , ⇒ tam giác ICD cân tại I,
2

(2)

H là giao điểm hai đường cao BD và CE
⇒ H là trực tâm của ∆ABC,

A

⇒ AH ⊥ BC tại F.

·
·
Khi đó ∠OAD
+ ICD
= 90o (2)
Từ (1) , (2) và (3) ta có

∠ODA + ∠IDC = ∠OAD +∠ICD = 900

E

Ta có OD ⊥ DI , D ∈ ( O ) ⇒ ID tiếp xúc với
(O) tại D.

Chứng minh tương tự ta cũng có IE tiếp xúc
với (O) tại E. (DPCM)

µBài toán 4:

D

O

B

H

F

I

C

(Ta chứng minh bài 1 với phương pháp này.)

3


Phan Đình Ánh – Lộc Hà – Hà Tĩnh

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Ax, By là 2 tia tiếp tuyến của (O) (Ax, By cùng
nửa mặt phẳng bờ là đt AB). Trên Ax lấy điểm C,
trên By lấy điểm D sao cho ∠COD = 900. Chứng
minh rằng: CD tiếp xúc với đường tròn (O).

C

D

@Hướng dẩn giải

H

Từ C vẽ tiếp tuyến CD’ của đường tròn (O) (D’ thuộc
By) tiếp xúc với (O) tại tiếp điểm H.
Ta có OC là phân giác của góc AOH (t/c hai tiếp tuyến
cắt nhau)
Và OD’ là phân giác của góc BOH.

A

O

D'

B

Mà hai góc AOH và BOH là hai góc kề bù nên ∠OCD’

= 900.
 ta có ∠COD’ = ∠COD= 900. mà D, D’ đều thuộc By nên suy ra D′ ≡ D .
Vì CD’ là tiếp tuyến của (O)  CD cũng là tiếp tuyến của (O) .

µBài toán 5: Cho tam giác ABC. Tia Ax khác phía với AC đối với đường thẳng AB thỏa

∠xAB = ∠ACB. Chứng minh Ax là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

@Hướng dẩn giải

A

Vẽ tia tiếp tuyến Ay của đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC (Ay cùng phía với Ax đối với
đường thẳng AB)

x

Khi đó ta có ∠yAB = ∠ACB (góc giữa tia tiếp

O

y

B

C

tuyến và dây cùng bằng góc nội tiếp chắn cung
đó)
Mà ∠xAB = ∠ACB ⇔∠xAB =∠yAB

 Ax, Ay cùng phía đối với đường thẳng AB nên  Ax ≡ Ay . Mà Ay là tiếp tuyến của
(ABC)  Ax cũng là tiếp tuyến của (ABC).

II.- NHẬN XÉT:

4


Phan Đình Ánh – Lộc Hà – Hà Tĩnh

1. Phương pháp 1, 2 là tương đối quen thuộc và hầu hết các bài toán chứng minh tiếp
tuyến đều dùng hai phương pháp này vì nó được suy ra trực tiếp từ định nghĩa tiếp
tuyến. Tuy nhiên hạn chế của hai phương pháp này là ta phải biết được tâm cũng như
bán kính của đường tròn.

2. Phương pháp 4 là một phương pháp khá hay và hiệu quả, giúp ta giải được bài toán
nhanh chóng và gọn nhẹ. Tuy nhiên không nhiều học sinh có thể vận dụng thành thạo
để chứng minh các bài toán.

3. Bài 5 cho ta ý tưởng chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
ngoại tiếp một tam giác hoặc tiếp xúc với đường tròn mà tâm hoặc bán kính của nó
xác định một cách khó khăn. Hạn chế của phương pháp này chính là khi chúng ta
dựng tiếp tuyến, phải dựng thật hợp lí để chúng ta có thể chứng minh sự trùng khít dễ
dàng hơn.

4. Tóm lại không có phương pháp nào là hoàn hảo và áp dụng dễ dàng cho mọi bài toán,
chúng ta cần phải vận dụng linh hoạt 4 phương pháp trên trong việc chứng minh một
đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn.

III.- BÀI TẬP RÈN LUYỆN

µBài 1: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Ax, By là hai tiếp tuyến của (O) (Ax,
By cùng phía đối với đường thẳng AB). Trên Ax lấy điểm C, trên By lấy điểm D sao cho

AC.BD =

1
AB 2 . Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
4

HD: AC.BD =

µBài 2:

1
AB 2 → AC.BD = AO.BO → tam giác đồng dạng → đpcm
4

Cho nửa đường tròn đường kính AB. Trên đoạn AB lấy điểm M, gọi H là trung

điểm AM. Đường thẳng qua H vuông góc với AB cắt (O) tại C. Đường tròn đường kính MB
cắt CB tại I. Chứng minh HI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MI.
HD: Dùng tứ giác nội tiếp…

µBài 3: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. C thuộc nửa đường tròn. Vẽ
CH ⊥ AB ( H ∈ AB ) . M là trung điểm CH, BM cắt tiếp tuyến Ax của (O) tại P. Chứng minh
PC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
HD: Dùng góc so le trong và góc trong cùng phía của hình thang

5


Phan Đình Ánh – Lộc Hà – Hà Tĩnh

µBài 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB. M là một điểm trên đoạn OB. Đường thẳng
qua M vuông góc AB tại M cắt (O) tại C và D. AC cắt BD tại P, AD cắt BC tại Q. AB cắt PQ

tại I. Chứng IC và ID là tiếp tuyến của (O).
HD: Tứ giác nội tiếp và tính đối xứng của đường tròn.

µBài 5. Cho tam giác đều ABC cạnh a ngoại tiếp đường tròn (O). Trên các cạnh AB và AC
lấy các điểm M, N sao cho chu vi tam giác AMN bằng a. Chứng minh NM tiếp xúc với (O).
HD: Chứng minh: d = R
A

M

I

E

N
F
K

O
B

C

CM: Kẻ OI vuông góc với MN
- Lấy FK = EM
- CM: Tam giác OEM = tam giác OFK
- CM: Tam giác OMN = tam giác OKN

- Suy ra OI = FO = R

µBài 6:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính BC (AB < AC). T là một điểm

thuộc đoạn OC. Đường thẳng qua T vuông góc với BC cắt AC tại H và cắt tiếp tuyến tại A
của (O) tại P. BH cắt (O) tại D. Chứng minh PD là tiếp tuyến của (O).

6


Phan Đình Ánh – Lộc Hà – Hà Tĩnh

S

P
A
H
B
O

HD:
-

T

D

C

Chứng minh tam giác SAP cân
AP = 1/2SH, DP = 1/2SH
Từ đó c/m được PD là tt theo nhiều cách.

µBài 7:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Phân giác góc BAC cắt BC tại D và

cắt (O) tại M. Chứng minh BM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.

µBài 8: Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến AB,
AC đến (O) (B, C là hai tiếp điểm). Gọi D là điểm đối xứng của B qua O. AD cắt (O) tại E.
Chứng minh OA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE.

µBài 9: Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC (B, C là
các tiếp điểm) sao cho OA = R 2 . Trên các cạnh AB, AC thứ tự lấy các điểm E và F
sao cho AE + EF + FA = 2R. Chứng minh EF là tiếp tuyến của (O; R).
HD : Tương tự bài 6.

7