Nghiên cứu họ hệ mật WG trong mật mã hạng nhẹ

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến thầy TS. Hồ Văn Canh, đã tận
tâm, tận lực hướng dẫn, định hướng cho tôi, đồng thời, cũng đã cung cấp nhiều tài liệu và
tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu để tôi có thể hoàn thành
luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn đến các thầy, cô trong Bộ môn Quản lý hệ thống thông
tin và Khoa Công nghệ thông tin, Trường Đại học Công nghệ - Đại học Quốc gia Hà Nội
cùng với ban lãnh đạo nhà trường đã nhiệt tình giảng dạy và truyền đạt những kiến thức,
kinh nghiệm qúy giá trong suốt quá trình học tập rèn luyện tại trường.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các bạn học viên lớp K22-QLHTTT, nhóm bảo mật UET
đã đồng hành cùng tôi trong suốt quá trình học tập. Cảm ơn gia đình, bạn bè đã quan tâm
và động viên giúp tôi có nghị lực phấn đấu để hoàn thành tốt luận văn này.
Do kiến thức và thời gian có hạn nên luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót
nhất định. Tôi rất mong nhận được những sự góp ý quý báu của thầy cô, đồng nghiệp và
bạn bè.
Một lần nữa xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc.
Hà Nội, 27 tháng 12 năm 2017
Học viên thực hiện

Nguyễn Thị Thuỳ Dung

1


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam các kết quả đạt được trong luận văn “Nghiên cứu họ hệ mật WG trong
mật mã hạng nhẹ” do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS. Hồ Văn Canh.
Trong toàn bộ nội dung nghiên cứu của luận văn, các vấn đề được trình bày đều là
những tìm hiểu và nghiên cứu của cá nhân tôi hoặc là trích dẫn các nguồn tài liệu và một
số trang web đều được đưa ra ở phần Tài liệu tham khảo.
Tôi xin cam đoan những lời trên là sự thật và chịu mọi trách nhiệm trước thầy cô và

hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ.
Hà Nội, 27 tháng 12 năm 2017

Nguyễn Thị Thùy Dung

2


MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN.............................................................................................................................................. 1
LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................................................................ 2
MỤC LỤC.................................................................................................................................................... 3
DANH MỤC HÌNH VẼ .............................................................................................................................. 5
DANH MỤC BẢNG.................................................................................................................................... 6
DANH SÁCH CÁC TỪ VIẾT TẮT .......................................................................................................... 7
MỞ ĐẦU ...................................................................................................................................................... 9
CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ HỌ HỆ MẬT WG ............................................................................... 11
1.1 Lịch sử mật mã dòng WG [2], [7] ..................................................................................................... 11
1.2 Cơ sở toán học [6] ............................................................................................................................. 12
1.2.1 Mô đun số học ............................................................................................................................ 12
1.2.2 Nhóm và trường ......................................................................................................................... 12
1.2.3 Trường hữu hạn.......................................................................................................................... 14
1.2.4 Lựa chọn cơ sở ........................................................................................................................... 16
1.2.5 Thanh ghi dịch phản hồi tuyến tính LFSR [6] ........................................................................... 17
1.3 Họ hệ mật WG [3],[5] ....................................................................................................................... 22
1.3.1 Cơ sở .......................................................................................................................................... 22
1.3.2 Nguyên tắc hoạt động của họ hệ mật WG.................................................................................. 23
1.3.3 Khởi tạo khóa và hoạt động của mật mã .................................................................................... 27
1.4 Phân tích họ hệ mật WG [3],[9] ........................................................................................................ 30

1.4.1 Các thuộc tính ngẫu nhiên của dòng khóa ................................................................................. 30
1.4.2 Chuyển đổi WG ......................................................................................................................... 31
1.4.3 An ninh chống lại các cuộc tấn công ......................................................................................... 31
1.5 Công nghệ RFID và họ hệ mật WG [6], [8]...................................................................................... 34
CHƯƠNG 2 CÁC HỆ MẬT WG-8 VÀ WG-16 ..................................................................................... 37
2.1 Tổng quan hệ mật WG-8 [8] ............................................................................................................. 37
2.1.1 Giới thiệu WG-8 ........................................................................................................................ 37
2.1.2 Thuật ngữ và ký hiệu ................................................................................................................. 37
2.1.3 Đặc tả cấu trúc mật mã dòng WG-8 ........................................................................................... 38

3


2.1.4 Đánh giá các tấn công mật mã dòng WG-8 ............................................................................... 40
2.2 Hệ mật WG-16 [1] ............................................................................................................................ 43
2.2.1 Giới thiệu WG-16 ...................................................................................................................... 43
2.1.2 Thuật ngữ và ký hiệu ................................................................................................................. 44
2.1.3 Đặc tả cấu trúc mật mã dòng WG-16 ......................................................................................... 45
2.1.4 Đánh giá các tấn công mật mã dòng WG-16 ............................................................................. 47
CHƯƠNG 3 ĐỀ XUẤT CẢI TIẾN HỆ MẬT WG – UET VÀ CHƯƠNG TRÌNH DEMO............... 50
3.1 Đề xuất cải tiến hệ mật WG-UET ..................................................................................................... 50
3.2 Bài toán và cài đặt chương trình ....................................................................................................... 53
KẾT LUẬN ................................................................................................................................................ 55
HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO ................................................................................................... 56
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................................................ 57

4


DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1.1 Sơ đồ khối của LFSR ................................................................................................................... 17
Hình 1.2 LFSR 3 trạng thái ......................................................................................................................... 18
Hình 1.3 LFSR 4 trạng thái ......................................................................................................................... 19
Hình 1.4 Mạch LFSR 3 bít .......................................................................................................................... 20
Hình 1.5 Đa thức đặc trưng cài đặt LFSR................................................................................................... 20
Hình 1.6 Đa ứng dụng cài đặt LFSR........................................................................................................... 21
Hình 1.7 Cài đặt phép chia LFSR ............................................................................................................... 21
Hình 1.8 Sơ đồ mô tả mật mã WG .............................................................................................................. 23
Hình 1.9 Sơ đồ khối của chuyển đổi WG ................................................................................................... 24
Hình 1.10 Sơ đồ khối cài đặt chuyển đổi WG ........................................................................................... 25
Hình 1.11 Pha khởi tạo khóa của mật mã WG ............................................................................................ 28
Hình 1.12 Hệ thống RFID ........................................................................................................................... 35
Hình 2.1 Pha thực thi của mật mã WG-8 .................................................................................................... 40
Hình 2.2 Pha khởi tạo của mật mã dòng WG-16 ........................................................................................ 45
Hình 2.3 Pha thực thi của mật mã WG-16 .................................................................................................. 47
Hình 3.1 Sơ đồ giao thức xác thực lẫn nhau của RFID sử dụng WG-5 ...................................................... 53

5


DANH MỤC BẢNG
Bảng
Bảng
Bảng
Bảng
Bảng

1.1 Bảng các tiên đề định nghĩa nhóm.............................................................................................. 13
1.2 Bảng các tiên đề định nghĩa trường ............................................................................................ 13
1.3 Bảng dải tần RFID ...................................................................................................................... 34

3.1 Bảng biểu diễn vi phân trong 22 bước........................................................................................ 51
3.2 Bảng tấn công WG với các cặp khoá/IV có kích thước lớn hơn 80 bít ...................................... 52

6


DANH SÁCH CÁC TỪ VIẾT TẮT
TT

TỪ VIẾT
TẮT

1

WG

2

LFSR

3

TMD

4

ML

5

RF

6

UMTS

7

LTE

8

WGP

9

WGT

10

MLD

11

RFID

12

ISO

13

IEC

14
15
16

EPC
DSS
AES

17

AIDC

18
19
20

PB
NB
LS

TIẾNG ANH
Welch Gong
Linear Feedback Shift Register
Time memory data
Maximum Likelihood
Radio Frequency

Universal Mobile
Telecommunications System
Long Term Evolution
Welch Gong Permutation
Wech Gong Tranformation
Maximum Likelihood Decoding
Radio Frequency Identification
Organization for Standardization
International Electro-technical
Commission
Electronic Product Code
Digital Signature Standard
Advanced Encryption Standard
Automated Identification and
Data Capture
Polynomial basis
Normal basis
Linear span

7

THUẬT NGỮ MẬT MÃ
Thuật toán Welch Gong
Thanh ghi dịch chuyển hồi
quy tuyến tính
Tấn công về các mặt thời
gian, bộ nhớ, dữ liệu
Thuật toán giải mã Maximum
Likelihood
Tần số vô tuyến

Hệ thống viễn thông di động
toàn cầu
Công nghệ Long Term
Evolution
Mô đun hoán vị Welch Gong
Mô đun chuyển đổi Welch
Gong
Giải thuật Maximum
Likelihood Decoding
Công nghệ nhận dạng đối
tượng bằng sóng vô tuyến
Tiêu chuẩn Organization for
Standardization
Tiêu chuẩn International
Electro-technical Commission
Mã sản phẩm điện tử
Chuẩn chữ ký số
Chuản mã hoá nâng cao
Công nghệ nhận dạng tự động
không dây
Cơ sở đa thức
Cơ sở thông thường
Khoảng tuyến tính


21

AI

22

DFT

23
24
25
26

LF
HF
UHF
SHF

Algebraic immunity
Discrete Fourier Transform
Low frequency
High frequency
Ultra-high frequency
Super-high frequency

8

Khả năng miễn dịch đại số
Tấn công Chuyển đổi Fourier
rời rạc
Tần số thấp
Tần số cao
Tần số cực cao
Tần số siêu cao

MỞ ĐẦU
Ngày nay, hội nhập kinh tế sâu rộng đã mang đến cho đất nước Việt Nam cơ hội tiếp
cận với những xu hướng hiện đại của thế giới. Con người dần chuyển sang sử dụng các dịch
vụ thông minh hơn, tiện lợi hơn để đáp ứng các nhu cầu cuộc sống một cách hiện đại nhất, tối
ưu nhất. Công nghệ RFID được hiểu là công nghệ nhận dạng tần số sóng vô tuyến. Công nghệ
này được sử dụng ngày càng phổ biến với nhiều ứng dụng trong cuộc sống hàng ngày từ kiểm
soát hàng hóa, quản lý và chấm công nhân trong các siêu thị, nhận dạng và kiểm soát tại những
bãi gửi xe thông minh, các công ty bảo mật hàng đầu cũng đang sử dụng. Công nghệ này cho
phép nhận biết các đối tượng thông qua hệ thống thu phát tần số sóng vô tuyến, từ đó con
người có thể giám sát, quản lý hoặc lưu vết từng đối tượng. Đây là một phương pháp nhận
dạng tự động dựa trên việc lưu trữ dữ liệu từ xa, sử dụng thiết bị thẻ RFID và một đầu đọc
RFID. Khoảng cách “không tiếp xúc” để tần số sóng vô tuyến tiếp nhận dữ liệu có thể lên tới
hơn 10m. Ngoài ra sự ưu việt của công nghệ này còn thể hiện ở khả năng đọc được thông tin
xuyên qua các môi trường, vật liệu như: bê tông, tuyết, sương mù, băng đá, sơn và các điều
kiện môi trường thách thức khác mà mã vạch và các công nghệ khác không thể phát huy hiệu
quả.
Công nghệ RFID được sử dụng rộng rãi trong nhiều ứng dụng nhưng mối quan tâm
chính trong công nghệ RFID là bảo mật và riêng tư. Do sự giao tiếp giữa thẻ và đầu đọc
diễn ra thông qua không dây, nghĩa là thông tin trao đổi giữa chúng diễn ra trên một kênh
không an toàn. Nói chung, các kênh truyền thông không an toàn dễ bị phá bởi các loại tấn
công khác nhau. Do đó, khi một người hoặc một đối tượng sở hữu thẻ cần phải được đảm
bảo được sự riêng tư và an ninh dữ liệu trên thẻ. Để khắc phục những mối đe dọa này
trong các thẻ RFID, một trong những giải pháp là triển khai các giải pháp mật mã trong
các thẻ RFID.
Vì cả hai vấn đề bảo mật và riêng tư trong các hệ thống RFID cần phải được giải
quyết bằng các giải pháp mật mã. Đó là một nhiệm vụ đầy thách thức chủ yếu là do môi
trường hạn chế về mặt tài nguyên và truyền thông, dẫn đến chi phí cao hơn. Do những yếu
tố này, việc thiết kế các giải pháp mật mã trong các hệ thống RFID không phải là một
nhiệm vụ dễ dàng. Do đó, việc thiết kế các thuật toán mật mã và các giao thức đã được đề

xuất là mật mã học hạng nhẹ. Để tính đến các yêu cầu nghiêm ngặt của các thẻ RFID như
khu vực, năng lượng và chi phí, việc thiết kế các hệ thống mã đối xứng và bất đối xứng
hạng nhẹ cần phải nằm trong phạm vi hạn chế của RFID. Lợi thế của khoá đối xứng đối
với hệ bất đối xứng là nó có tính toán toán học giới hạn. Cho phép thiết kế phần cứng của
hệ thống khóa đối xứng hiệu quả về mặt diện tích và điện năng để thực hiện chúng trên bất
kỳ nền tảng phần cứng nào. Các nghiên cứu gần đây cho thấy các mật mã dòng yêu cầu ít
tài nguyên tính toán về diện tích, năng lượng và hiệu năng so với mật mã khối và các hàm
9


băm. Trong khi đó, các hệ thống khoá bất đối xứng hay khóa công khai có các phép tính
số học có độ phức tạp trên các trường hữu hạn lớn hơn. Các phép toán này liên quan đến
hàng trăm bit do đó cần một lượng lớn kích thước bộ nhớ để lưu trữ chúng. Do đó, không
tận dụng thiết kế và điện năng tốn nhiều hơn so với các hệ mã hóa đối xứng. Vì vậy, các
hệ mật khóa công khai không được ưa chuộng để sử dụng trong các hệ thống RFID trong
những năm qua.
Họ hệ mật WG được đánh giá là hệ mật có độ bảo mật an toàn cao và hiệu quả hơn
nhiều so với hệ mật mã hạng nhẹ khác. Trong phạm vi luận văn này, tôi đặt ra vấn đề nghiên
cứu ứng dụng mật mã dòng WG vào thẻ RFID nhằm đảm bảo an ninh cho các giao dịch
trên các thẻ.
Mục đích nghiên cứu:
Luận văn đề cập đến việc nghiên cứu chuyên sâu họ hệ mật WG trong mật mã hạng
nhẹ, đánh giá các tấn công đối với các phiên bản gần đây và phát triển ứng dụng vào các
thẻ RFID. Phần lý thuyết trình bày các kiến thức liên quan về họ hệ mật WG, Mật mã dòng
WG-16 và WG-8. Phần thực nghiệm sử dụng cơ sở lý thuyết ở trên cài đặt mật mã WG-5
vào thẻ RFID nhằm đảm bảo an ninh trong thẻ.
2. Nội dung của đề tài, các vấn đề cần giải quyết:
a. Hướng nghiên cứu:
- Thiết kế thuật toán mã hoá WG và đưa ra các đề xuất phù hợp cài đặt trong môi
trường có tài nguyên hạn chế.

- Nghiên cứu tấn công họ hệ mật mã WG.
- Ứng dụng mật mã dòng WG-5 trong hệ thống RFID.
b. Ngoài phần mở đầu, kết luận, nội dung luận văn gồm những chương sau:
Chương 1: Tổng quan họ hệ mật WG
Chương 2: Các hệ mật WG-16 và WG-8
Chương 3: Đề xuất cải tiến hệ mật WG-UET và chương trình demo.

10


CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ HỌ HỆ MẬT WG
1.1 Lịch sử mật mã dòng WG [2], [7]
Phiên bản đầu tiên của mật mã WG được Nawaz and Gong công bố năm 2005, được đệ
trình lên dự án eSTREAM với tư cách như một mật mã được định hướng cứng hoá. Mật
mã WG bao gồm một LFSR với 11 phần tử trên F2 . Cấu trúc của các phiên bản sau này
29

cũng cũng tương tự như vậy, ngoại trừ việc chuyển đổi WG được kết hợp với phần tử cuối
cùng của thanh ghi (ban đầu là S0). Mặc dù kích thước của LFSR là cố định nhưng nó cho
phép sử dụng các khóa có kích cỡ khác nhau (80, 69, 112 và 128 bit). Các vector IVs có
thể có cùng kích thước như các khóa, nhưng vector IV cũng có thể ngắn hơn 64 hoặc 32
bit. Sự khác biệt duy nhất giữa các kích cỡ này là cách tải các khóa và các vector IV này
vào LFSR .
Chỉ sau 2 tháng đã có cuộc tấn công thành công vào phiên bản này, Wu và Preneel đã trình
bày cuộc tấn công mật mã, cuộc tấn công này tập trung vào việc có thể khôi phục được
khóa mà không cần quan tâm đến kích cỡ khóa/IV. Để đáp lại cuộc tấn công này, người
tạo ra mật mã WG đã đề xuất ý kiến tăng gấp đôi hoặc thậm chí gấp bốn lần số chu kỳ cho
pha khởi tạo.
Phiên bản cuối cùng của mật mã WG (nay được gọi là họ hệ mật mã dòng) được công bố
năm 2013. Nó chuyển sự chuyển đổi WG về cuối LFSR, chính sự thay đổi này làm cho

mật mã có thể chống lại cuộc tấn công IV đã được đề cập ở trên mà không cần tăng thêm
chu kỳ cho pha khởi tạo.
Mật mã WG cuối cùng cũng bị loại khỏi dự án mã dòng - eSTREAM vào cuối giai đoạn 2,
với 2 lý do chính:
(1) Về vấn đề an ninh. Trong năm 2007, một cuộc tấn công vào máy sinh bộ lọc chung
trên F2 đã được Rønjom và Helleseth trình bày. Cuộc tấn công nhằm khôi phục lại trạng
m

thái bên trong của mật mã WG. Tuy nhiên, đặc tả mật mã không cho phép có nhiều hơn 245
bít dòng khóa được tạo ra với cùng một cặp khóa/IV. Trong khi đó cuộc tấn công này cần
ít nhất 245.0415 bit dòng khóa để cuộc tấn công có thể thành công. Mặc dù mật mã WG an
toàn chống lại cuộc tấn công này nhưng nó đã rút khỏi eSTREAM với một nghi ngờ rằng
mật mã rất có thể bị phá nếu chỉ một chút sơ xuất.
(2) Phía eSTREAM cho rằng độ hiệu quả của mật mã khi cài đặt trong phần cứng chỉ
tương đương với một số mật mã khác. Điều này chủ yếu là do WG-128 - phiên bản gốc
của WG, có nhiều phép tính trong F2 yêu cầu nhiều không gian khi triển khai trong phần
29

cứng. Tất cả các thành phần của họ hệ mật WG sử dụng nhiều trường hữu hạn nhỏ hơn để
giải quyết vấn đề này.

11


Mật mã WG-16: Năm 2013 Fan and Gong trình bày mật mã dòng WG-16. Nó được thiết
kế dùng trong mạng 4G-LTE. Hai ông cũng chỉ ra các thuật toán bí mật và toàn vẹn sử
dụng mật mã WG-16 của họ. Để chứng minh tính thực tiễn của mật mã WG-16, họ đưa ra
các lý lẽ cho rằng các mật mã hiện tại trong chuẩn 4G-LTE rất khó để phân tích và những
giải thuật hiện tại cũng dễ bị phá vỡ. WG-16 sử dụng các khóa và bộ mã hoá 128-bit cùng
với LFSR có chứa 32 phần tử trên F2 .

16

Mật mã WG-7: Mật mã WG-7 là tiền nhiệm của WG-8, cũng được thiết kế nhắm đến các
thiết bị bị hạn chế tài nguyên. Nó được công bố bởi Luo et al năm 2010. Nó sử dụng các
khóa 80-bit và vector IV 80-bit. LFSR chứa 23 phần tử trên F2 . Tuy nhiên, vào năm 2012
7

mật mã bị phá bởi Orumiehchiha et al.
Mật mã WG-5: Aasgaard, Gong và Mota thảo luận về việc triển khai phần cứng và các vấn
đề bảo mật của mật mã dòng WG-5. Mật mã này nhằm vào các thẻ RFID thụ động và chỉ
cung cấp mức bảo mật thấp. Nó chỉ chống lại các cuộc tấn công chỉ khi dữ liệu được mã
hóa với một cặp khóa/ IV không vượt quá 256 kilobyte, đây là một ràng buộc chấp nhận
được đối với các thẻ RFID thụ động.
1.2 Cơ sở toán học [6]
1.2.1 Mô đun số học
Modul số học đã và đang dần trở lên quan trọng trong lĩnh vực mật mã. Lý thuyết
mô đun số học được sử dụng trong các thuật toán mã hoá khoá công khai như thuật
toán RSA và Diffie-Hellman, các thuật toán khoá đối xứng như AES, IDEA và
RC4. Ưu điểm chính của việc sử dụng mô đun số học là nó cho phép chúng ta thực
hiện phép nhân nhanh hơn. Ví dụ với phép toán phức tạp, việc tính toán đa thức đó
(nhân đa thức) với 1 lượng số nguyên lớn thì việc sử dụng mô đun số học sẽ làm
giảm thời gian tính toán của các phép toán lớn này. Áp dụng vào ứng dụng sửa mã
lỗi, bằng việc sử dụng lý thuyết mô đun số học mỗi chữ số của mã được liên kết
đến các phần tử của trường hữu hạn.
Toán tử modulo (mod n) ánh xạ tới tất cả các số nguyên trong tập {0, 1, 2, ... (n −
1)} và tất cả các phép toán số học được thực thi trong tập hợp này. Kỹ thuật này
được gọi là mô đun số học.
Tập các số nguyên và các số nguyên khác 0 của mod n được ký hiệu bởi Zn và Z*n.
Ví dụ: cộng và nhân modul trên modulo 23
Giả sử, 12 + 20 = (12 + 20) mod 23 = 32 mod 23 = 9 vì 32 chia cho 23 dư 9.

Tương tự, trong phép nhân; 8 × 9 = 72 mod 23 = 3, vì khi 72 chia cho 23 dư 3.
1.2.2 Nhóm và trường
Trong đại số trừu tượng, chúng ta làm việc với các tập mà các phần tử được thao
tác một cách đại số. Ví dụ, chúng ta có thể nói rằng bằng cách kết hợp hai phần tử
của một tập theo nhiều cách khác nhau, ta có thể tạo ra được phần tử thứ ba của tập
12


hợp. Tất cả các phép toán sẽ tuân theo một số quy tắc cụ thể được định nghĩa trong
tập. Một số định nghĩa:
Nhóm:
Định nghĩa 1: Một Nhóm (G) được định nghĩa như là 1 cặp (S, •), với S là tập khác
rỗng, toán tử • sao cho tuân theo tiên đề từ A1-A4 được định nghĩa ở bảng bên dưới.
Toán tử • có thể gọi là phép cộng, phép nhân hay 1 phép toán nào khác.
Ở đây tập S là đại diện của nhóm G, i là phần tử định danh trong G.
Tiên đề
Ý nghĩa
A1. Đóng kín
Cho a, b thuộc G , a • b sẽ thuộc G
A2. Kết hợp
Cho tất cả a, b, c thuộc G, a •(b •c) = (a •b) •c
A3. Định danh
Tồn tại phần tử e thuộc G, cho a thuộc G với a •e = e •a = a
hay đúng hơn ∃e ∈ G, ∀ a ∈ G, a • e = e • a = a
A4. Nghịch đảo
Với mọi a thuộc G tồn tại phần tử x thuộc G sao cho a•x =
x•a = e hay nói cách khác ∀a ∈ G, ∃x ∈ G, a•x = x•a=e
Bảng 1.0.1 Bảng các tiên đề định nghĩa nhóm
Định nghĩa 2: (A5) Một nhóm được gọi là nhóm abel nếu nó thoả mãn điều kiện
với mọi a, b thuộc G thì a •b = b •a

Định nghĩa 3: Một nhóm được gọi là cyclic nếu có 1 hoặc nhiều phần tử mà có thể
sinh ra tất cả các phần tử trong nhóm, hay có nói cách khác: ∃ g ∈ G, ∀ a ∈ G, ∃ k,
a = gk.
Ví dụ: p là số nguyên tố và (
Nhóm cyclic (

*
7

*
p

, ) là nhóm cyclic.

, ) , với p = 7, số phần tử của nhóm là 6. Ta có, phần tử 3 và 5 là

phần tử sinh của nhóm

*
7

 {1,2,3,4,5,6} , các luỹ thừa của 3 modulo 7 là:

1 = 36 , 2 = 32 , 3 = 3 1 , 4 = 3 4 , 5 = 35 , 6 = 3 3
Trường:
Định nghĩa: Một trường F được định nghĩa là một tập các phần tử với 2 toán tử nhị
phân ,  , được biểu diễn là ( F , , ) và tuân theo các tiên đề bên dưới:
Tiên đề
(A1-A5)
(A1-A3) và A5

A6. Phần tử
nghịch đảo

Ý nghĩa
F tạo thành 1 nhóm abel đối với phép cộng
F tạo thành một vị nhóm giao hoán
Cho mỗi a thuộc F, nếu a  0 , tồn tại một phần tử x thuộc F,
sao cho a  x  x  a  1 , hay có thể nói ∀ a  0 ∈ F, ∃ x ∈ F,
a x  xa 1

Bảng 1.0.2 Bảng các tiên đề định nghĩa trường

13


Ví dụ: Cho trường bất kỳ ( F , , ).( F * , ) tạo thành 1 nhóm abel. Với F * là tập con
của F không bao gồm phần tử 0.
1.2.3 Trường hữu hạn
Trường hữu hạn đóng một vai trò quan trọng trong lĩnh vực mật mã. Hầu hết các
thuật toán mã hoá khoá công khai như DSS, mật mã khóa El Gamal, mật mã trên
đường cong Elliptic phụ thuộc rất nhiều vào các thuộc tính của trường hữu hạn,
ngoài ra nó cũng được sử dụng trong mật mã AES.
Số phần tử của trường hữu hạn phải là một luỹ thừa của một số nguyên tố: pn, trong
đó n là một số nguyên dương. Ở đây xuất hiện hai trường hợp:
(1) Với n = 1, trường hữu hạn có dạng GF(p) trong đó GF là viết tắt của trường
Galois.
(2) Với n > 1, trường hữu hạn có dạng GF(pn). Trường hữu hạn GF(p) có cấu
trúc khác so với trường hữu hạn GF(pn).
Các loại trường hữu hạn:
- Trường nguyên tố: Được định nghĩa là trường có dạng GF(p), với p là số nguyên

tố. Tất cả các phần tử trong trường và các phép toán số học (, ) được thực thi
theo modulo p.
- Trường nhị phân: Được định nghĩa là một trường có dạng GF(pn), trong đó n là
một số nguyên dương. Thông thường trường nhị phân được xây dựng từ trường
nguyên tố.
1.2.3.1 Trường hữu hạn của GF(p)
Cho số nguyên tố p bất kỳ, trường hữu hạn p phần tử, các phần tử của GF(p)
được định nghĩa là tập {0, 1, 2, ... (p-1)}, cùng với các phép toán số học theo
modulo p. GF(p) cũng có thể được ký hiệu bởi tập các số nguyên Zp.
Ví dụ: Các phép toán số học trong trường hữu hạn đơn giản nhất của GF(p)
Trường hữu hạn đơn giản nhất là GF(2), trong đó p = 2, và các phần tử là {0,
1}, đây là trường hợp đặc biệt mà các phép toán số học + và  tương đương
với các phép toán XOR và AND.
1.2.3.2 Đa thức số học
Các phần tử của GF(pn), với n > 1, có thể được biểu diễn dưới dạng đa thức,
các hệ số của đa thức này thuộc GF(p) và có độ nên nhỏ hơn n. Khi p = 2, các
phần tử của GF(pn) được biểu diễn dưới dạng số nhị phân {0, 1}. Điều này có
nghĩa là mỗi ký tự trong một đa thức được biểu diễn bởi một bit trong biểu thức
nhị phân tương ứng.
Định nghĩa: Một đa thức được định nghĩa là một biểu thức toán học liên quan
đến tổng của 1 hoặc nhiều biến nhân với các hằng số của chúng. Một đa thức
với 1 biến và các hằng số của chúng được biểu diễn như sau:

14


f(x) = anxn + an−1xn−1 + ..... + a2x2 + a1x + a0 =

n

a x
i 0

i

i

Với n (là số nguyên n ≥ 0) được gọi là độ của đa thức, và hằng số ai , 0 ≤ i ≤ n.
F cũng được gọi là một tập hợp khi an  0 và có thể có nhiều đa thức được định
nghĩa trên F. Có thể có nhiều luỹ thừa giống nhau của x khi so sánh 2 đa thức
f ( x) và g ( x) trên F.
n

m

i 0

i 0

Cho: f ( x)   ai xi và g ( x)   bi xi
Phép cộng f ( x) và g ( x) :
n

f ( x)  g ( x)   (ai  bi ) xi , với n = m
i 0

Phép nhân f ( x) và g ( x) :
 n
  m
 nm

f ( x)  g ( x)    ai xi     bi xi    ck x k
 i 0
  i 0
 k 0
Với: ck   aibk i  a0bk  a1bk 1  ...  ak 1b1  ak b0.
0 i  k

Phép chia m( x) và p( x) :
Phép chia đa thức trên trường Galois được tính toán dựa trên phép nhân và
phép cộng. Phép chia 2 đa thức m( x)  p( x) được tính bằng phép toán
m( x)  q( x)  p( x)  r ( x) , với thương q( x) và số dư r ( x) là kết quả của phép
chia.
1.2.3.3 Trường hữu hạn của GF(pn)
Trường hữu hạn dưới dạng GF(p) với p phần tử, trong đó p là số nguyên tố.
Các thành phần của GF(p) = Zp = {0, 1, 2, ... (p-1)}, với các phép toán số học
(, ) được thực hiện cùng với phép toán modulo p. Chúng ta sử dụng khái
niệm tương tự để xây dựng trường hữu hạn có dạng GF(pn), gồm q-1 phần tử,
trong đó (q = pn) với phép toán mô đun pn-1.
Một đa thức i( x) được gọi là một đa thức không giảm trên trường F, khi và
chỉ khi i( x) không thể biến đổi thành 2 hoặc nhiều đa thức trên trường F. Một
đa thức không giảm cũng được gọi là một đa thức nguyên tố.
Một phần tử nguyên thủy của GF(pn) là phần tử mà nó là 1 phần tử sinh của
nhóm cyclic GF(pn)*. Một đa thức không giảm trên GF(p) có 0 là phần tử
nguyên thủy trên GF(pn) được gọi là đa thức nguyên thủy trên GF(p). Như vậy
tất cả đa thức không giảm đều là đa thức nguyên thủy.
Gốc của đa thức: Nếu p(x) là 1 đa thức trên F, thì phần tử α ∈ F sao cho p(α)
= 0 được gọi là gốc của đa thức p(x).
15

Trường con: Nếu một tập con S có các phần tử thuộc trường F thỏa mãn các
tiên đề trường cùng với các phép toán số học của F, thì S được gọi là trường
con của F.
GF(pm) là một trường con của GF(pn) khi và chỉ khi m là số chia hết của n ký
hiệu là: GF(pm) ⊂ GF(pn).
Ví dụ: GF(22) ⊂ GF(24) và GF(24) ⊂ GF(212).
Trường mở rộng: Một trường F được gọi là trường mở rộng, nếu S là tập con
nằm trong tập F, ta định nghĩa S là một trường con của F và F là một trường
mở rộng của S. Chúng được ký hiệu F/S và đọc là "F trên S".
Hàm lưu vết
Giả sử, F = GF(pn) và K = GF(p), thì hàm lưu vết TrF/K (x) được định nghĩa
như sau:
Tr ( x)  TrF / K ( x)  x  x p  ...  x p

n1

n 1

 xp , xF
i 1

i 0

Hàm lưu vết Tr(x), GF(p ) → GF(p).
Ví dụ: Cho trường hữu hạn GF(23) được định nghĩa bởi  3    1 . Tìm hàm
lưu vết Tr ( ) và Tr ( 3 )
Từ hàm lưu vết Tr ( x) , với p = 2 và n = 3.
n

Ta có, Tr ( )     2   4     2     2  0 .

Tương tự ta có: Tr ( 3 )   3   6   5  (1   )  (1   2 )  (1     2 )  1 .
1.2.4 Lựa chọn cơ sở
*Cơ sở đa thức
Định nghĩa: Xét trường hữu hạn GF(pn) và cho α ∈ GF(pn) là gốc của một đa thức
không giảm, độ n trên GF(p).
Cơ sở đa thức đươc được biểu diễn là {1, α, α2 ... αn-1} của GF(pn) trên GF(p).
Với α là phần tử nguyên thủy của GF(pn)
Ví dụ: Nếu p = 3 và n = 2 thì GF(32) là một trường mở rộng của GF(3) với độ bằng
2. Cho α ∈ GF(32), là gốc của đa thức không giảm x2 + 1 trên GF (3), thì cơ sở đa
thức là {1, α} của GF(32) trên GF(3).
*Cơ sở thông thường
Định nghĩa: Cho số nguyên dương n bất kỳ trên GF(pn), luôn luôn có một cơ sở
thông thường cho trường hữu hạn GF(pn) trên GF(p). Nếu γ ∈ GF(pn) là một phần



tử thông thường, thì cơ sở thông thường được biểu diễn là  ,  2 ,  2 ... 2
1

2

n1

.

Trong đó γ được gọi là phần tử sinh hoặc phần tử thông thường của GF(pn) trên
GF(p), được biểu diễn dưới dạng ma trận n  m và được ký hiệu là M.

16

Ví dụ: Nếu p = 2 và n = 3, thì GF(23) là một trường mở rộng của GF(2) với độ bằng
3. Cho α ∈ GF(23), là gốc của đa thức không giảm x3 + x2 + 1 trên GF(2), thì cơ sở
thông thường là {α, α2, 1 + α + α2} của GF(23) trên GF(2).
Lựa chọn cơ sở cho việc cài đặt phần cứng: Trường hữu hạn đóng 1 vai trò quan
trọng trong mật mã đặc biệt là trong các hệ thống mật mã đối xứng và bất đối xứng
mà có các phép toán số học hữu hạn trường.
Các phép toán số học thông thường trên GF(2n) được thực hiện theo modulo của đa
thức không giảm f (x) trên GF (2). Các phép cộng và trừ số học được thực hiện theo
modulo 2. Phép cộng 2 đa thức thì không có gì nhưng phép toán XOR của biểu diễn
nhị phân trong phép toán nhân thì độ phức tạp tốn nhiều thời gian trên trường
GF(2n). Độ phức tạp còn phụ thuộc vào việc lựa chọn đa thức không giảm và cơ sở
được sử dụng để biểu diễn các phần tử hữu hạn.
Cơ sở đa thức được xem là để tối ưu hóa phần cứng vì trong cơ sở đa thức phép
nhân có thể được thực hiện đơn giản bằng phép toán dịch và phép toán XOR. Trong
thực thi phần cứng lựa chọn cơ sở thông thường thì phép bình phương 1 phần tử
đơn giản chỉ dịch chuyển đúng 1 vòng tròn của tọa độ. Do vậy, phép bình phương
trong cơ sở thông thường rất dễ thực hiện nhưng phép nhân trong cơ sở thông
thường thì lại phức tạp.
1.2.5 Thanh ghi dịch phản hồi tuyến tính LFSR [6]
1.2.5.1 LFSR và mô tả toán học
Thanh ghi dịch phản hồi tuyến tính (LFSR) đã được sử dụng rộng rãi trong máy
sinh dòng khóa của mật mã dòng, máy sinh số ngẫu nhiên trong hầu hết các thuật
toán mã hoá. Mỗi khối vuông trong hình 1.1, là một đơn vị lưu trữ 2 trạng thái (0
hoặc 1). Các đơn vị lưu trữ nhị phân n được gọi là các trạng thái của thanh ghi dịch
và nội dung của chúng ở dạng n bit chiều dài, được gọi là trạng thái nội bộ của
thanh ghi dịch.

Hình 1.1 Sơ đồ khối của LFSR

Cho (a0, a1, a2, ..., an-1) ∈ GF (2n) là trạng thái ban đầu của LFSR và
17


f (x0, x1, x2, ..., xn-1) là hàm phản hồi hoặc đa thức thông tin phản hồi, như thể hiện
trong hình 1.1.
Nếu hàm phản hồi là một hàm tuyến tính thì nó có thể được biểu diễn bằng:
f(x0, x1, x2, ..., xn−1) = c0x0 + c1x1 + c2x2 + ...... + cn−1xn−1, ci ∈ GF(2)
Sau mỗi chu kỳ liên tiếp cộng với LFSR sẽ tạo ra một chuỗi nhị phân đầu ra là
chuỗi nhị phân b có dạng b = a0, a1, ...
Chuỗi đầu ra của LFSR thỏa mãn quan hệ đệ quy sau:
n 1

ak  n   ci ak i , k  0,1,...

(1)

i 0

Đầu ra của LFSR được coi là một chuỗi đệ quy tuyến tính. Nếu hàm phản hồi là
tuyến tính thì chuỗi đầu ra được gọi là chuỗi LFSR tuyến tính. Nếu không, nó được
gọi là chuỗi phi tuyến tính (NLFSR).
Lưu ý: Để b là chuỗi nhị phân. Phương trình hồi quy tuyến tính (1) được biểu diễn
trong đa thức f (x) = xn + cn-1xn-1 + ... + c1x + c0, được xem là đa thức đặc trưng của
LFSR.
Ví dụ 1: Xét một LFSR 3 trạng thái như thể hiện trong hình 1.2 với hàm phản hồi
tuyến tính f (x0, x1, x2) = x0 + x1 với trạng thái ban đầu là (1, 0, 0) tương đương với
(a0, a1, a2). Dãy đầu ra sẽ là 10010111001011 ..... được lặp lại tuần hoàn với chu kỳ
là 7.

Hình 1.2 LFSR 3 trạng thái
1.2.5.2 Các loại chuỗi
- Chuỗi nhị phân: b = bi, bi ∈ GF(2), là một dãy nhị phân trên GF(2).
- Chuỗi - m: Chuỗi đầu ra được tạo ra bởi một LFSR n trạng thái với các giá
trị ban đầu khác không và có chu kỳ cực đại là 2n - 1 được xem là chuỗi có
chiều dài lớn nhất và được gọi tắt là chuỗi-m.

18


-

Chuỗi De-Bruijn: Chuỗi De-Bruijn là đầu ra của một NLFSR n trạng thái.
Từ chuỗi m bất kỳ với chu kỳ là 2n - 1, ta có thể tính được chuỗi de-Bruijin
bằng cách chèn một bít 0 vào chuỗi m.
Ví dụ 2:
Xét một LFSR 4 trạng thái như trong hình 1.3 với đa thức f(x) = x4 + x + 1
và với trạng thái ban đầu là (0, 0, 0, 1) tương đương với (a0, a1, a2, a3, a4).
Đầu ra là một chuỗi-m là 000100110101111000100 ..... được lặp lại định
kỳ với một chu kỳ là 15.

Hình 1.3 LFSR 4 trạng thái
Thuộc tính của LFSR:
Xét độ an toàn của máy sinh dòng khóa dựa trên LFSR khi thiết kế LFSR cần
chú ý các thuộc tính sau:
1. Chu kỳ lớn.
2. Độ phức tạp tuyến tính lớn.
3. Đặc tính thống kê tốt.
Nếu b là một chuỗi nhị phân, thì độ phức tạp tuyến tính của b là độ dài ngắn
nhất của LFSR mà tạo ra b. Được ký hiệu là LS (b). Cho chuỗi b bất kỳ có độ

dài N, ta có thể tính toán khoảng tuyến tính của dãy sử dụng thuật toán
Berlekamp-Massey.
1.2.5.3 Cài đặt phần cứng LFSR trên trường Galios
Trong việc cài đặt phần cứng, LFSR chứa N thanh ghi được kết nối với nhau
để tạo ra một thanh ghi dịch. Nói chung, thanh ghi dịch là một dãy flip-flops,
trong đó đầu ra của flip flop cuối cùng được nối (phản hồi) với các flip flops
trước đó bằng một cổng XOR như thể hiện trong hình 1.4. Giả sử chiều dài của
LFSR là N và nó bao gồm của N trạng thái flip-flops và các bit đã lưu được
điều khiển bởi một đồng hồ đơn. Tại mỗi xung đồng hồ, các bit đã lưu sẽ được
dịch chuyển 1 vị trí sang trạng thái tiếp theo, đồng nghĩa với việc là có sự
chuyển tiếp từ trạng thái này sang trạng thái tiếp theo.

19


Hình 1.4 Mạch LFSR 3 bít
Các thông số thiết kế cần quan tâm khi thiết kế LFSR là số flip flops, cổng
XOR bên trong hoặc bên ngoài, các taps phản hồi (đầu vào cho XOR) và tín
hiệu cài đặt lại. Khi thiết lập cài đặt lại, thanh ghi sẽ cài đặt tất cả 1s và với mục
đích phân tích, ở đây ta sử dụng LFSRs với cổng XOR nội bộ vì mạch của
chúng được kết hợp với các đa thức trên các trường Galois.
LFSR tạo ra một chuỗi bit có độ dài tối đa 2n - 1, trong đó n là kích thước của
trường hữu hạn. Các tap phản hồi trên LSFR sẽ được chọn dựa vào đa thức đã
được lựa chọn trên trường hữu hạn. Các phép toán số học đa thức được thực
thi liên quan tới các phép toán mod 2, tức là các hệ số của đa thức phải là 1
hoặc 0. Những đa thức này được gọi là đa thức đặc trưng hoặc phản hồi. Những
đa thức đặc trưng này sẽ biểu diễn các chuỗi bít LFSR. Giả sử chuỗi bit là
110011 thì đa thức đặc trưng được biểu thị là x5 + x4 + x1 + 1.
Ví dụ: biểu diễn LFSR cho đa thức đặc trưng x5 + x4 + x1 + 1.

Hình 1.5 Đa thức đặc trưng cài đặt LFSR.
Từ ví dụ trên, số mũ của đa thức được biểu diễn như sau: x0 là đầu vào của
LFSR, x1 là đầu ra của flip flop đầu tiên và x2 là đầu ra thứ hai,….. Hơn nữa,
số mũ tối đa của đa thức được thể hiện bằng số flip flops được sử dụng trong
LFSR.

20


1.2.5.4 Nhân và chia đa thức trong LFSR
Phép nhân f(x)×g(x) = (x3+x2+1)×(x3+x)
Mạch sử dụng LFSR được biểu diễn như sau:

Hình 1.6 Đa ứng dụng cài đặt LFSR
Tương tự, phép chia m(x) = x5 + x3 + x2 và p(x) = x3 + x

Hình 1.7 Cài đặt phép chia LFSR

21


Đầu vào cho LFSR là 101100, nó là biểu diễn bít vector của m(x) và được đưa
vào mạch LFSR 1 cách tuần tự theo thứ tự bậc cao hơn. Vào cuối chu kỳ 6,
phần dư r(x) = 100(x2) sẽ được lưu trong các flip flops.
1.3 Họ hệ mật WG [3],[5]
Một mật mã dòng đồng bộ bao gồm một máy sinh dòng khoá, máy này tạo ra một dãy
số nhị phân. Dãy số này được gọi là khoá vận hành hoặc dòng khoá. Dòng khoá được
XOR với bản rõ để tạo ra bản mã. Một khóa bí mật K được dùng để khởi tạo máy sinh
dòng khoá và mỗi khóa bí mật tương ứng sẽ tạo ra một chuỗi sinh đầu ra tương ứng. Vì
khóa bí mật sẽ được chia sẻ giữa người gửi và người nhận, nên ở phía bên người nhận

sinh ra một dòng khoá giống với phía bên người gửi. Kết hợp dòng khoá này với bản
mã để khôi phục lại bản rõ ban đầu.
Mật mã dòng được chia thành hai loại chính:
 Mật mã dòng hướng bít.
 Mật mã dòng hướng từ.
Mật mã dòng hướng bít dựa trên các thanh ghi dịch phản hồi tuyến tính (LFSR) cùng
với các hàm lọc, kết hợp. Chúng có thể được thực thi trong phần cứng rất hiệu quả. Tuy
nhiên, do tính chất định hướng bít nên việc triển khai trên phần mềm khá chậm. Để
khắc phục nhược điểm này nhiều mật mã dòng hướng từ đã được đề xuất. Hầu hết các
mật mã dòng này cũng dựa trên LFSR nhưng chúng hoạt động trên các từ thay vì các
bít. Điều này đã khắc phục được nhược điểm trên, mật mã có thể thực thi hiệu quả trên
phần mềm. Mặc dù những mật mã dòng hướng bít này nhanh chóng được phát triển
trên phần mềm, nó cũng đáp ứng được mức độ bảo mật cao nhưng nó lại không đảm
bảo được các tính chất của dòng khoá như là độ phức tạp tuyến tính hay độ tương quan
lý tưởng cấp hai... Mà trong các ứng dụng truyền thông các thuộc tính này thường là
các điều kiện bắt buộc.
Nhiều mật mã dòng hướng bit như A5, E0 và LILI-128 hoạt động hiệu quả và có thể
được thực thi trong môi trường tài nguyên phần cứng hạn chế. Tuy nhiên, tất cả chúng
đều bị tấn công và không cung cấp thuộc tính mong đợi như chu kỳ, phức tạp tuyến
tính và các thuộc tính thống kê tốt, sự tự tương quan lý tưởng cấp hai.
Mật mã WG tạo ra một dòng khoá, dòng khoá này đáp ứng được các thuộc tính mong
đợi trên và cung cấp mức độ bảo mật cao. Mật mã được thiết kế để tạo ra một dòng
khoá mà đáp ứng được tất cả các thuộc tính mật mã, có thể chống lại các cuộc tấn công
thương mại TMD, các cuộc tấn công đại số và các cuộc tấn công tương quan và cũng
có thể được cài đặt trong phần cứng và thực thi một cách hiệu quả.
1.3.1 Cơ sở
Một số thuật ngữ và ký hiệu cơ bản mô tả họ hệ mật WG và hoạt động của mật mã này:
 F2 = GF(2), trường hữu hạn với 2 phần tử: 0 và 1.
22



F229 = GF(229), trường mở rộng của GF(2) với 229 phần tử. Mỗi phần tử trong

trường này được biểu diễn bởi một vector nhị phân 29 bit.
 Hàm lưu vết Tr ( x)  x  x 2  x 2  ...  x 2 , F2 → F2.
2

28

29

1029

1129
2
2
 Hàm lưu vết Tr29 ( x)  x  x  ...  x
29

, F211x29→ F2 .
29

 Cơ sở đa thức F2 : giả sử α là gốc của đa thức nguyên thủy tạo ra F2 . Ta có,
{1, α, α2, ···, α28} là cơ sở đa thức của F2 trên F2.
29

29

29



Cơ sở thông thường F2 : Cho γ là 1 phần tử của F2 sao cho  ,  2 ,  2 ,...,  2
29

29



sở của F2 trên F2. Ta có  ,  2 ,  2 ,...,  2
29

1

2

28

1

2

 là cơ sở thông thường của F

229

28

 là cơ

trên F2.

1.3.2 Nguyên tắc hoạt động của họ hệ mật WG
Mật mã WG sử dụng khóa có độ dài 80, 96, 112, 128 bít. Một vector khởi tạo IV
32 bít hoặc 64 bít được sử dụng với khoá có độ dài bất kỳ ở trên. Ngoài ra, có thể
sử dụng véc tơ IV có độ dài bằng với độ dài khóa bí mật để tăng thêm mức độ an
ninh cho mật mã. Mật mã WG là một mật mã dòng đồng bộ bao gồm máy sinh
dòng khóa WG. Sơ đồ khối đơn giản của máy sinh dòng khóa WG được thể hiện
trong hình 1.8. Dòng khóa được tạo ra bởi máy sinh được kết hợp bản rõ để tạo ra
bản mã. Như hình 1.8, máy sinh dòng khóa bao gồm một thanh ghi dịch phản hồi
tuyến tính (LFSR) 11 trạng thái trên F2 . Đa thức phản hồi của LFSR là đa thức
nguyên thủy trên F2 và tạo ra một chuỗi có độ dài lớn nhất (chuỗi m) trên F2 ,
chuỗi m này được lọc bởi 1 hàm chuyển đổi WG phi tuyến tính, F2  F2 , để tạo
ra dòng khóa.
29

29

29

29

Hình 1.8 Sơ đồ mô tả mật mã WG

23


Tất cả các phần tử trong F2 được biểu diễn trong cơ sở thông thường và tất cả các

tính toán trường hữu hạn cũng đều trong cơ sở thông thường. Đa thức phản hồi của
LFSR được cho bởi biểu thức:
p(x) = x11 + x10 + x9 + x6 + x3 + x + γ
với F2 được sinh ra bởi đa thức nguyên thuỷ trên F2
g(x) = x29 + x28 + x24 + x21 + x20 + x19 + x18 + x17 + x14 + x12 + x11 +
x10 + x7 + x6 + x4 + x + 1.
Và γ = β464730077 với β là gốc của g(x). Định nghĩa S(1), S(2), S(3),…, S(11) ∈ F2
là trạng thái của LFSR. Ta cũng biểu thị đầu ra của LFSR là bi = S(11 - i), i = 0, 1,
.., 10. Cho i ≥ 11, ta có:
bi = bi−1 + bi−2 + bi−5 + bi−8 + bi−10 + γbi−11, i ≥ 11
29

29

29

* Mô tả toán học của chuyển đổi WG
Xét F2 được sinh ra bởi đa thức nguyên thuỷ g(x) với β là gốc. Cho
29

t ( x)  x  x 2

10

1

 x2

19

 29 1

 x2

19

29 1

 x2

19

 210 1

, x  F229 .

Hình 1.9 Sơ đồ khối của chuyển đổi WG
Hàm chuyển đổi WG từ F2 → F2 được định nghĩa bởi biểu thức : f(x) = Tr(t(x +
29

1) + 1), x ∈ F2 . Hình 1.9 minh hoạ sự chuyển đổi ở trên, 29 bit đầu vào của hàm
29

24


chuyển đổi WG được coi như là một phần tử của F2 được biểu diễn trong cơ sở thông
29

thường. Tất cả các phép toán được biểu diễn trong hình 1.8 và hình 1.9 đều là những

phép toán thông thường. Cơ sở thông thường của F2 được định nghĩa bởi g(x), được
29

tạo ra bởi phần tử γ ∈ F2 với γ được cho ở trên bằng γ = β464730077. Đa thức γ được biểu
29

diễn như sau:
γ = β1 + β2 + β3 + β4 + β5 + β6 + β7 + β10 + β11 + β12 + β13 + β14 + β15 + β16 + β17
+ β20 + β23 + β24 + β26 + β27 .



Cơ sở thông thường có thể định nghĩa là  ,  2 ,  2 ,...,  2
0

2

28

.

Một vài phép tính trong F2 khi các phần tử trường được biểu diễn theo cơ sở thông
29

thường.
 Nếu các phần tử được biểu diễn trong cơ sở thông thường thì phép luỹ thừa có
thể tính được bằng phép dịch phải. Tức là, nếu x ∈ F2 được biểu diễn bởi một
29

véc tơ 29 bit, thì x 2 có thể tính được bằng cách đơn giản là dịch các bít của x

sang phải i bước.
i

Hình 1.10 Sơ đồ khối cài đặt chuyển đổi WG
28

 Nếu γ là máy sinh của cơ sở thông thường thì 1    2 . Tức là, biểu diễn véc
i

i 0

tơ 29 bit bằng 1 vector. Do đó, phép cộng của phần tử trong cơ sở thông thường
25