Tải bản đầy đủ (.doc) (38 trang)

Chuyên đề phương trình lượng giác bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (335.24 KB, 38 trang )

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LƯỢNG GIÁC
PHẦN 1
Bài 1. Giải phương trình:

2 3 sin x.  1  cos x   4 cos x.sin 2
2sin x  1
Hướng dẫn giải

x
3
2
0

� 
x �  k

1
� 6
, k , l �� (*).
Điều kiện: sin x � � �
2
�x �5  l
� 6
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
2 3 sin x.  1  cos x   4 cos x.sin 2

x
3  0
2

� 2 3 sin x  2 3 sin x.cos x  2 cos x  1  cos x   3  0



�2






 



3 sin x  cos x  3sin 2 x  2 3 sin x.cos x  cos 2 x  0
� 3 sin x  cos x  0
3 sin x  cos x  2  0 � �
� 3 sin x  cos x  2

3 sin x  cos x  0 � cot x  3 � x   k , k ��
6

�

� �
3 sin x  cos x  2 � 2 �
sin x cos  cos x sin � 2 � sin �x  � 1
6
6�

� 6�


3 sin x  cos x

TH1:
TH2:
� x





 
2
  k 2 � x 
 k 2 , k ��
6 2
3

Đối chiếu điều kiện ta thấy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm
x

7
2
 k 2 , x 
 k 2 , k ��.
6
3

Bài 2. Tìm tất cả các nghiệm x �(2009; 2011) của phương trình : cos x  sin x  cos 2 x 1  sin 2 x  0
Bài 3. Chứng minh rằng:


1  sin 2a
� �
 cot 2 �
a �
.
1  sin 2a
� 4�

x
y 1
Bài 4. Cho: sin x  sin y  2sin  x  y  , với x  y �k , k ��. Chứng minh rằng: tan  tan  .
2
2 3
3
1  cot x
2
 2cos 2 x  0
Bài 5. Giải phương trình : 3 tan 2 x 
cos 2 x
1  cot x
Trang 1


Bài 6. Cho tam giác ABC với các kí hiệu thông thường, biết: sin
rằng tam giác ABC cân.
Bài 7. Giải phương trình sau:

A
B
B

A
.cos 3  sin .cos 3 . Chứng minh
2
2
2
2

2(sin x  3 cos x)  3cos 2 x  sin 2 x.

2
Bài 8. Tìm a để bất phương trình đúng với mọi x: 3sin x  2sin x.cosx  cos2 x  a �3
Bài 9. Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a , b , c , độ dài ba đường phân giác trong tương ứng với
các góc A , B , C lần lượt là l a , l b , l c .
l l l l l l
1. Chứng minh rằng: a b  b c  c a �3 3.
c
a
b

2. Nhận dạng tam giác, biết: a  b  tan

C
(a tan a+btanb).
2


ax 2  a  y  cos x

Bài 10. Định a để hệ: � 2
có nghiệm duy nhất.

sin x  y 2  1

2 cos 2 x  sin 2 x
Bài 11. Chứng minh rằng nếu x  2 x 2 thì:
 16
sin 2 x.cos2 x
Bài 12. Tìm m để hệ phương trình sau đây có nghiệm và hãy giải hệ phương trình tương ứng với những

s inx.cos2 y  m 4  2m 2  2

.
giá trị tìm được của m: �
cos x.cos2 y  m3  1

Bài 13. Cho hai phương trình sau:
2sin 7 x  (1  sin  a).sin x  a.sin 3 x
(1)

(a  1)(1  cos 2 x)  2sin 6 x  2sin 2 x  2( a  1)3

(2)

a. Giải các phương trình trên với a  2 .
b. Tìm tất cả các giá trị của a để hai phương trình (1) và (2) tương đương.

3 3
sin x  sin y  sin z 


2 .

Bài 14. Giải hệ phương trình: �
3

cos x  cos y  cos z 


2

Bài 15. Tìm tất cả các giá trị x � 0; 2  sao cho: 2 cos x � 1  sin 2 x  1  sin 2 x �2.
Bài 16. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất để phương trình sau có nghiệm:
3 x
� x  �
cos 2 (a  x )  2cos (a  x)  cos
.cos �  � 2  0.
2a
�2a 3 �
3 2
Bài 17. Cho tam giác ABC có tan A  tan C  2 tan B . Chứng minh rằng: cos A  cos C �
.
4
Trang 2


Bài 18. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh thoả mãn hệ thức:
góc: 3 A  B.

BC
AB  BC

. Tính tổng số đo

AB  BC
AC


Bài 19. Xét các tam giác ABC thoả mãn ràng buộc: Max  A, B, C � . Tìm giá trị lớn của biểu thức:
2
P  sin A  sin 2 B  sin 3 C.
Bài 20. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: (2m  1)(sin x  cos x)  (sin x  cos x)  2m 2  2m  2  0
Bài 21. Chứng minh rằng với mọi x �� ta luôn có sin x  cos x �1 .
Bài 22. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm
m  sin x  cos x  1  sin 2 x  sin x  cos x  2
Bài 23. Giải phương trình: cos 2 x  cos3x  sin x  cos 4 x  sin 6 x .
2x  1
2x  1
2x  1
 sin
 3co s 2
 0 thỏa
Bài 24. Tìm tổng nghịch đảo các nghiệm của phương trình sin
x
3x
3x
1
mãn điều kiện x �
10
 5
Bài 25. Tìm m để phương trình mcosx  cos3x  cos2x  1 có đúng 8 nghiệm trên khoảng ( ; )
2 2
Bài 26. Trong tất cả các tam giác ABC cho trước, tìm tam giác có P  cos2A  cos2 B  cos2C lớn nhất.
Bài 27. Giải phương trình : 8cos 4 x.cos 2 2 x  1  cos3 x  1  0

sin A sin B sin C


Bài 28. Tính số đo các góc trong tam giác ABC , biết
1
2
3
2
2
Bài 29. Giải phương trình 2cos x  1  cot x   2sin x  1  0
Bài 30. Tam giác ABC thỏa mãn đẳng thức cos 2 A  2  cos 2 B  cos 2C   2  0
Bài 31. Tìm
số
tự
nhiên
a

nhất
để
phương
trình
sau
3x
 x  
cos 2  (a  x )  2 cos  (a  x )  cos
. cos
   2 0;
2a
 2a 3 
Bài 32. Cho tam giác ABC có : tanA+tanC=2tanB.CMR : cos A  cos C 




nghiệm

:

3 2
;
4

Bài 33. Giải phương trình: 1  tan x.tan 2 x  cos 3 x
Bài 34. Trong tam giác ABC biết số đo ba góc A, B, C lập thành cấp số cộng với A �B �C và thỏa hệ
thức cos A  cos B  cos C 

1 3
. Tính số đo các góc A, B, C .
2


 5x �
2 9x

2cos

2
�4 2 �

Bài 35. Giải phương trình cos3x  sin7x  2sin � 
2


Bài 36. Tìm

m

để

phương trình

sau



4

nghiệm

phân

biệt

trong

khoảng

�  �
:
� ; �
� 2 2�


� 4x
x�
4cos2 x  16m�
sin  cos4 � 14m 1 0
4�
� 4

Bài 37. Giải phương trình : cosx.cos2x = 1/4

Trang 3


Hướng dẫn giải
x=kπ không phải là nghiệm.nhân thêm sinx vào hai vế để đưa về pt sin4x=sinx
Suy ra x=k2π/3 ; x=π/5 +k2π/5
vì x≠kπ nên pt có các nghiệm x=±2π/3 +k2π; x=±π/5 +k2π; x=±3π/5 +k2π
Bài 38. Giải phương trình:

(cos x  1)(2cos x  1)
 1  sin 2 x  2cos 2 x.
sin x

Bài 39. Cho phương trình: (m  3)sin 3 x  ( m  1)cos 3 x  cos x  ( m  2)sin x  0
a) Giải phương trình khi m  5 .
� 5 �
,
b) Xác định tham số m để phương trình có đúng một nghiệm x ��
.
� 4�


Bài 40. Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thỏa mãn hệ thức:
1
1
1
1
1
1





cos A cos B cos C sin A sin B sin C
2
2
2
Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.
 x
2sin 2 (  )s inx - cos3 x
4 2
Bài 41. Giải phương trình :
 0.
3
3
sin x  cos x
4x
2x
 cos 2
 m 0 có nghiệm.
Bài 42. Tìm m để phương trình cos 2

x 1
x 1
ABC
Bài 43. Tam
giác

ba
góc
thỏa
mãn
hệ
8 cos A sin B sin C  4 3 (sin A  cos B  cos C )  17 0 . Hãy tính các góc của tam giác đó.
cos 2 x  3cos x  1
 1
Bài 44. Giải phương trình:
sin x  1
Bài 45. Giải phương trình sau sin 2 x   sin x  cos x  1  2sin x  cos x  3   0 .
Hướng dẫn giải
2
PT
�  sin x  cos x   1   sin x  cosx  1  2sin x  cos x  3  0

thức

:

�  sin x  cos x  1  sin x  cos x  1   sin x  cosx  1  2sin x  cos x  3   0
�  sin x  cos x  1   sin x  2 cos x  4   0

x  k 2


sin x  cos x  1


��

, (k ��)


sin x  2 cos x  4(VN )
x   k 2

� 2
Vậy phương trình có hai họ nghiệm: x  k 2 , x 
Bài 46. Cho cos2  


 k 2 , (k ��)
2

�

4

với     . Tính giá trị của biểu thức: P   1  tan  cos�   �
5
2
�4



Hướng dẫn giải
Trang 4


Do


    nên sin  0,cos  0 . Ta có:
2

cos2  

1  cos2 1
1
 � cos  
,
2
10
10

sin2   1  cos2  

9
3
sin
� sin 
, tan 
 3
10
cos

10

Khi đó: P   1  tan  .

1
2

� 1
3 � 2 5



� 
5
2 � 10
10 �

 cos  sin    1  3 . 1

1  cot x
2 cos x  1
Hướng dẫn giải

1


cos x �

�x ��  k 2
,  k , l ��

3
2 ��
Ñieàu kieän xaùc ñònh �


sin x �0

�x �l
Bài 47. Tìm tập xác định của hàm số y 

Bài 48. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  cos 2 x  tan 2 x
Hướng dẫn giải
1
2
1
* y  cos x 
cos 2 x
2
* cos x 

1
�2
cos 2 x

* y �1 � GTNN y = 1
*

2
y = 1 � cos x 


1
� cos 4 x  1 � sin x  0 � x  k , k ��
cos 2 x

3 cos 2 x  sin 2 x  2
Hướng dẫn giải
3
1
3 cos 2 x  sin 2 x  2 �
cos x  sin 2 x  1
2
2

Bài 49. Giải phương trình

Trang 5




 sin 2 x.sin  1
6
6
� �
� cos �
2 x  � 1
6�


� 2 x   k 2

6

� x    k , k ��
12
� cos 2 x.cos

��
0; �:
Bài 50. Tìm tất cả giá trị thực m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt thuộc �
� 2�
cot 2 x  2  m  1 cot x  3m  1  0
Hướng dẫn giải

��
0; �� t  0
* t = cotx , x ��
� 2�
2
* cot x  2  m  1 cot x  3m  1  0 (1)

� t 2  2  m  1 t  3m  1  0 (2)
��
0; �� pt(2) có 2 nghiệm dương phân biệt
Pt(1) có 2 nghiệm phân biệt x ��
� 2�
'  0


� �S  0
�P  0


� keát quaû ñuùng : m < - 1 v 0 < m<

1
3

3

Bài 51. Giải phương trình (7  5 2) cos x  (17  12 2) cos x  cos 3 x
Hướng dẫn giải
Tập xác định: D = R.
Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
3

(1  2)3cos x  (1  2) 4cos x  4 cos3 x  3cos x
� (1  2)3cos x  3cos x  4 cos 3 x  (1  2) 4cos

3

x

Xét hàm số f(t) = (1  2) t  t , ta có f(t) đồng biến với mọi t nên ta có: f(3cosx) = f(4cos3x)  3cosx =
4cos3x

Trang 6


 cos3x = 0  x =

 k


,kZ
6 3

Bài 52. Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x. 1 + 2cosx+ 1 + sin2x 2m – 1
Hướng dẫn giải
Đặt f(x) = 1 + 2cosx + 1 + 2sinx. Bài toán trở thành: tìm m sao cho maxf(x)  2m – 1.
Ta có f2(x) = 6 + 4(sinx + cosx) + 21 + 2(sinx + cosx) + 4sinxcosx
Đặt t = sinx + cosx,  2 �t � 2 . Ta có:
f2(x) = g(t) = 6 + 4t + 22t2 + 2t – 1 với  2 �t � 2 .
g (t )  4( 2  1) 2
Xét sự biến thiên của g(t) ta có: �max
2; 2�




Vì f(x)  0 nên ta có:
maxf(x) =

max f 2 ( x)  max g (t )  2( 2  1)

3 2 2
.
2
1
1
1

 ... 

Bài 53. Rút gọn tổng S =
trong đó n là một số tự
cos x cos 2 x cos 2 x cos 3x
cos nx cos(n  1) x
Vậy ta có: 2( 2 �
1) ۳2m 1

m

nhiên.
Bài 54. Biết rằng sin2x + sin2y =
Bài 55. Rút gọn : P = cos

1
, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S = tg2x + tg2y.
2


2
3
n
cos
cos
... cos
.
2n  1
2n  1
2n  1
2n  1


tg 1  cos 2 

Bài 56. Chứng minh rằng nếu ta có
thì sin(3   ) 7 sin(   ) .
tg 1  sin 2 

Bài 57. Trong tam giác ABC có A = 360, AB = AC = 1 và BC = x. Giả sử x 

p q
, hãy tìm cặp số
2

nguyên (p, q).
sin 8 x cos 8 x
1
sin 4 x cos 4 x
1


Bài 58. Cho
. Chứng minh rằng:
, (a > 0, b > 0).


3
3
a
b
( a  b) 3
a

b
a b

Trang 7


Bài 59. Cho tg 2 xtg 2 y  tg 2 ytg 2 z  tg 2 ztg 2 x  2tg 2 xtg 2 ytg 2 z 1 . Tính giá trị của biểu thức

P sin 2 x  sin 2 y  sin 2 z
1
1
1
Q



3
5 .
Bài 60. Tính giá trị của biểu thức:
cos
cos
cos
7
7
7

Bài 61. Cho tam giác ABC bất kỳ. Tìm đặc điểm của tam giác khi biểu thức M cos

A
B

C
đạt
cos cos
2
2
2

giá trị lớn nhất.
Bài 62. Cho các số thực a, b, c thoả mãn a 2  b 2  c 2 4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu


thức T a  b 2 sin x  c sin 2 x , trong đó x  (0; ) .
2
x
 
; ].
Bài 63. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  f ( x)   sin 2 x với x  [
2
2 2
n

n

1  
1 

Bài 64. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f ( x) 1 
  1 
 với n là số tự nhiên.
2

2
 sin x   cos x 
Bài 65. Cho tam giác ABC thoả mãn: 2tgB = tgA + tgC. Chứng minh rằng:


a) B  ,
3

b) cosA+ cosC 

Bài 66. Cho tam giác ABC thoả mãn: tg
ABC vuông là sin

3 2
.
4

A B 1
tg  . Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác
2 2 2

A
B
C 1
sin sin  .
2
2
2 10

Bài 67. Tính tổng S = sin 39 0  sin 69 0  sin 1830  sin 2130 .

Bài 68. Chứng minh rằng: 3 cos

2
7

 3 cos

4
7

 3 cos

5  33 7
.
3
7
2

6

 
Bài 69. Cho x, y, z, t là các số thực nằm giữa
và thoả mãn:
2
2

sin x  sin y  sin z  sin t 1

 cos 2 x  cos 2 y  cos 2 z  cos 2t 10 .


3


Chứng minh rằng: 0 x, y, z, t  .
6
Trang 8


Bài 70. Tìm GTNN của hàm số y 

1
1


, x  (0; ) .
sin x cos x
2

Bài 71. Tìm GTNN, GTLN của hàm số: y sin

Bài 72. Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y 

2x
4x
 cos
1.
2
1 x
1 x2


2 cos 2 x  cos x  1
cos x  1

.

Bài 73. Cho tam giác ABC có C = 2B = 4A. Gọi O, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm của
tam giác ABC . Tính tỷ số

OH
trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
R

Bài 74. Cho tam giác ABC vuông ở C. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác, ma , mb lần lượt là
độ dài các đường trung tuyến của tam giác kẻ từ A, B. Tìm giá trị lớn nhất của:

r2
.
ma2  mb2

Bài 75. Giải các phương trình sau:
1/ sin 3 x  cos 3 x  sin 3 x cot gx  cos 3 xtgx  2 sin 2 x .
2/ 2 cos x  2 sin 10 x 3 2  2 cos 28 x. sin x .
3/

sin 3 x sin 5 x

.
3
5


4/ 2 3 sin( x 








) cos( x  )  2 cos 2 ( x  )  3  4sin 2 x  cos(  x) cos(  x)
8
8
8
3
3



5/ 2 sin 5 x(16 sin 4 x  20 sin 2 x  5) 1 .
6/ (16 sin 4 x  20 sin 2 x  5)(16 sin 4 5 x _ 20 sin 2 5 x  5 1
Bài 76. Chứng minh rằng: 4cos36 0  cot g 7 0 30 1  2  3  4  5  6
Bài 77. Cho

1
1
1
1




7 . Tính sin 2 2 x .
2
2
2
tg x cot g x sin x cos 2 x

Bài 78. Chứng minh rằng: cos


2 1
 cos
 .
5
5
2

Bài 79. Thu gọn tổng S = tga.tg 2a  tg 2a.tg 3a  ...  tg (na).tg (n  1)a .
Bài 80. Thu gọn P = (2cosa-1)(2cos2a-1)... (2 cos 2 n  1 a  1)
Trang 9


Bài 81. Tính các tổng:
1

S = 2 2
sin
7
tg 6




1
3
sin 2
7



1
sin 2

6 ,
7

8
P = tg


5
7
 tg 8
 tg 8
,
18
18
18

R=



5
7
 tg 6
 tg 6
18
18
18

Bài 82. Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số F(x)=cos(2006x)+kcos(x   ) trong đó k, 
là các tham số thực. Chứng minh rằng: M 2  m 2 2
Bài 83. Hãy xác định dạng của tam giác ABC nếu các góc của tam giác ABC thoả mãn đẳng thức sau:

A
B
C
tg
tg
1
2
2
2



B C
C A
A B
A B C
1  tg tg
1  tg tg

1  tg tg
4tg tg tg
2 2
2 2
2 2
2 2 2
tg

PHẦN 2
Câu 1:

Giải các phương trình sau đây: sin x 1  sin 2 x  cos 2 x
Hướng dẫn giải:
Ta có:

sin x  sin x  cos 2 x  cos x

1
1
�  sin x  sin x   cos 2 x  cos x
4
4
2

2

1� �
1�

� � sin x  � �

cos x  �
2� �
2�


cos x  1

1
1



sin
x


cos
x


sin x  0

2
2 � � sin x  cos x  1 � �
��


cos x �0

� sin x  1  1  cos x

� sin x   cos x



2 2
sin x  cos 2 x




Trang 10


x  k 2 , k �Z

cos x  1


cos x �0


cos x �0
��
��



� 2

1 � 5


sin
x

sin
x

1

0

sin x  �




2 .

x  k 2


� 5 1 �
��
k , m ��
x    arcsin �

m
2



� 2 �




Câu 2:

Giải các phương trình lượng giác sau:
a)  sin x  cos x   3 cos 2 x  2
2

b)

t anx  1
 2 s inx
cot x  1

c) 4(cos 4 x  sin 4 x )  1  sin 2 x
Hướng dẫn giải:
a)  sin x  cos x   3 cos 2 x  2
2

� sin 2 x  3 cos 2 x  1

1
� sin(2 x  ) 
3
2



�  

2 x    k 2
x    k


3 6
12
��
��
 5



2x  
 k 2
x   k


6
4
� 3
b)

k �Z

t anx  1
 2 s inx
cot x  1


s inx �0


cos x �0
Điều kiện: �

cot x �1


Trang 11


s inx  cos x
s inx
.
 2 s inx
cos x
cos x  s inx
s inx

 2 s inx  0
cos x
1
� s inx(
 2)  0
cos x
s inx  0




1

cos x 

2

 pt  �

Với sinx  0 , không thỏa mãn điều kiện
Với cos x 

1

� x  �  k 2 0
 k �Z
4
2

Giá trị x  


 k 2 0
 k �Z bị loại do điều kiện cot x �1
4

Vậy pt đã cho có họ nghiệm là: x 


 k 2 0
 k �Z

4

c) 4(cos 4 x  sin 4 x )  1  sin 2 x
� 4(1  2sin 2 x.cos 2 x)  1  sin 2 x
1
� 4(1  sin 2 2 x)  1  sin 2 x
2
� 2sin 2 2 x  sin 2 x  3  0
sin 2 x  1



3

sin 2 x  

2
� sin 2 x  1

� x   k
4
Câu 3:

.

 k �Z

Giải phương trình cosx.cos 2x 

1

.
4
Hướng dẫn giải

x  k không phải là nghiệm.nhân thêm sin x vào hai vế để đưa về pt sin 4 x  sin x .
Suy ra x 

k 2
 k 2
; x 
.
3
5
5

Trang 12


2

3
Vì x �k nên pt có các nghiệm x  �  k 2 ; x  �  k 2 ; x  �  k 2 .
3
5
5
Câu 4:

Giải phương trình

5  sin 2 x  s inx  2cosx .

Hướng dẫn giải

VT  5  sin 2 x � 5 .
Theo BĐT Bunhiacôpski s inx  2cosx � (12  22 )(s in 2 x  cos 2 x)  5 .
Vậy phương trình xảy ra khi và chỉ khi
� k
x

sin
2
x

0

� 2
��
(Hệ phương trình vô nghiệm).

2
1 �

sin x  2 cos x  5


sin( x   )  1; �
sin  
;cos  


5

5�


Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Câu 5:

Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình cos( x 2 )  cos[ (x 2  2 x  1)] .
Hướng dẫn giải

x 2  x 2  2 x  1  2k
cos( x 2 )  cos[ (x 2  2 x  1)] �  x 2  �
[ (x 2  2 x  1)]; k ��� �2
x  ( x 2  2 x  1)  2k

2 x  1  2k  0 (1)

�� 2
2 x  2 x  1  2k  0 (2)

Ta có:
(1) � x 

1  2k
1
; k ��� xmin  (nghiệm dương nhỏ nhất khi k  1 ).
2
2

� �۳
4k 1 0

(2) có 

(2) có hai nghiệm x1 

k

1
4

k 1 (do k nguyên).

1  4k  1
1  4k  1
 0; x2 
 0.
2
2

1  3
Suy ra nghiệm dương x1 nhỏ nhất khi k  1 . Khi đó x1min 
0
2
Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của pt là x1min 

1  3
.
2
Trang 13



Câu 6:

Cho phương trình: cos 2 x –  2m  1 cos x  m  1  0 .
a. Giải phương trình khi m 

3
.
2

� 3 �
�.
�2 2 �

b. Tìm m để phương trình có nghiệm x �� ;

Hướng dẫn giải
a. khi m 

3
phương trình  2 cos 2 x  8 cos x  5 0  4 cos 2 x  8 cos x  3 0 .
2


� x  �  k 2
3

(k �) .

� 3 �
�.

�2 2 �

b. Tìm m để phương trình có nghiệm x �� ;

1

cos x 

phương trình  2 cos x  (2m  1) cos x  m 0 
2.
cos x m

2

1
� 3 �
�ta có  1 cos x  0 nên cos x  2 không thoả mãn.
�2 2 �

với x �� ;

� 3 �
�� 1 �m  0 .
�2 2 �

Do đó phương trình đã cho có nghiệm x �� ;
Câu 7:

Tìm nghiệm của phương trình cos x  sin x  cos 2 x. 1  sin 2 x 0 thỏa mãn điều kiện:
2004  x  2005 .

Hướng dẫn giải

cos x  sin x  cos 2 x. 1  sin 2 x 0 (*)
+ 1  sin 2 x  cos x  sin x
cos2 x   cos x  sin x   cos x  sin x 





+  * �  cos x  sin x  1   cos x  sin x  cos x  sin x  0
� cos x  sin x  0  1 hoặc  cos x  sin x  cos x  sin x  1  2 
+  1 � cos2 x  0 (1)
+  2  �  1  sin 2 x   1  sin 2 x   1 � sin 2 x  0 (vì sin 2 x  0 không thể xảy ra)
Trang 14


Ta có:  * � cos2 x  0 hoặc sin 2 x  0 � sin 4 x  0 � x  k


,  k �� .
4

+ Với điều kiện 2004  x  2005 , chọn số nguyên k  2552 . Vậy x  638 .
Câu 8:

Cho phương trình m sin x  cos x  1  m (1) ( m là tham số).
a. Giải phương trình (1) với m  1 .
b. Tìm m để phương trình có nghiệm.
Hướng dẫn giải

a. Với m  1 . Thay vào phương trình  1 ta được:

 1 � sin x  cos x  0 �



� �
� �
2 sin �x  � 0 � sin �x  � 0 � x   k � x    k .
4
4
� 4�
� 4�

2
�
1 �
1 
m۳
b. Phương trình có nghiệm �m�

2

Câu 9:

m 2 1 1 2m m 2

m 1.

�x  �

(2  3) cos x  2sin 2 �  �
�2 4 � 1
2cos x
Hướng dẫn giải
Điều kiện: cos x �0 .
Giải phương trình:

Ta có:

�x  �
(2  3) cos x  2sin 2 �  �
�2 4 � 1
2 cos x

�x  �
� 2  3 cos x  2sin 2 �  � 2 cos x
�2 4 �







� �
�  3 cos x  �
1  cos �x  �
� 0 � sin x  3 cos x  1
� 2�





1
3
1

 1
sin x 
cos x  � sin x.cos  cos x.sin 
2
2
2
3
3 2

�  
� 
x    k 2
x   k 2



� �
3 6
2
� sin �x  � sin � �
��
,  k �� .
7




6
� 3�


x      k 2
x
 k 2

� 6
6
� 3
Vậy phương trình có họ nghiệm là x 


7
 k 2 và x 
 k 2 ,  k �� .
2
6

Trang 15


Câu 10: Cho phương trình m sin x   m  1 cos x 

m
. Tìm các giá trị của m sao cho phương trình đã

cos x

cho có nghiệm.
Lời giải
ĐKXĐ: cos x �0 . Với điều kiện đó chia hai vế của phương trình cho cos x , ta được:
m tan x  m  1  m  1  tan 2 x  � m tan 2 x  m tan x  1  0

2
Đặt tan x  t , ta được phương trình: mt  mt  1  0  *
Do phương trình tan x  t có nghiệm với mọi t nên phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

 *

m �0

2
có nghiệm �   m  4m �0 � �
.
m �4


�

cot 3 x  sin    2 x   2 cos 5 x  0
Câu 11: Giải phương trình sin �  2 x �
�2

Lời giải
ĐKXĐ: sin 3 x �0 .
�


cot 3x  sin    2 x   2 cos 5 x  0
Ta có: sin �  2 x �
�2

cos 3 x
 sin 2 x  2 cos 5 x  0
sin 3x
� cos 2 x cos 3 x  sin 2 x sin 3 x  2 cos 5 x sin 3 x  0
� cos 2 x





� cos 5 x 1  2 sin 3 x  0


� 
� 
.
x k
5 x   k


10
5
2
cos 5 x  0






2
��
��
3 x   k 2
��
x k
 k �� .
2

� 12

4
3
sin 3x 



2


2


3 x     k 2
x k


� 4
4
3
Câu 12: Giải phương trình 2 tan x  cot 2 x  2sin 2 x 

Điều kiện: x �k

1
sin 2 x
Lời giải


.
2

Trang 16


1
sin 2 x
1  cos 2 x
� 2 tan x  2sin 2 x 
sin 2 x
2sin 2 x
� 2 tan x  2sin 2 x 
 2sin 2 x  tan x
2sin x cos x
� tan x  2sin 2 x
2 tan x  cot 2 x  2sin 2 x 


.

� 4sin x  4 cos x  1  0
2

� sin x  2 cos 2 x  1  0


sin x  0  l 
2



1 � 2x  �  k 2 � x  �  k ,  k �� .

3
3
cos 2 x  

2
Câu 13: Giải phương trình sin 2 3 x  cos 2 4 x  sin 2 5 x  cos 2 6 x
Lời giải
2
2
2
2
sin 3 x  cos 4 x  sin 5 x  cos 6 x
� 1  cos 6 x  1  cos8 x  1  cos10 x  1  cos12 x
�  cos12 x  cos 6 x    cos10 x  cos8 x   0
�  sin 9 x.sin 3 x  2sin 9 x.sin x  0

� sin 9 x  sin 3 x  sin x   0
� 2sin 9 x.sin 2 x.cos x  0




sin 9 x  0
9 x  k

xk


9
��
sin 2 x  0 � �
2 x  k
��
 k �� . .



� 
xk

cos x  0


x   k
2


� 2
Câu 14: Giải phương trình 3cos x  2 sin x  2
Lời giải
2
3cos x  2 sin x  2 � 2 sin x  2  3cos x (Điều kiện: cos x � )
3
2
2
� 4  1  cos x   4  12 cos x  9cos x
� 13cos 2 x  12 cos x  0
cos x  0



12

cos x 
13



� cos x  0 � x   k ,  k �� .
2
 l

.

Câu 15: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình cos 2 x  4 cos x  m  0 có nghiệm.
Lời giải
Trang 17



Đặt t  cos x , điều kiện 1 �t �1 .
2
2
Phương trình cos 2 x  4 cos x  m  0 (1) trở thành t  4t  m  0 � f  t   4t  t  m (2).

Để (1) có nghiệm thì (2) phải có nghiệm t � 1;1 .
Lập bảng biến thiên của f  t  , dựa vào bảng biến thiên ta có điều kiện cần tìm là 5 �m �3 .
Câu 16: Với giá trị nào của m thì phương trình sin 2 x  3 cos 2 x  1  m có nghiệm?
Lời giải
sin 2 x  3 cos 2 x  1  m �
� sin 2 x cos

1
3
1 m
sin 2 x 
cos 2 x 
2
2
2


 1 m
�  � 1 m
 cos 2 x sin 
� sin �
2 x  �
3

3
2
3� 2


1 m
1 m
 ���1���

1 ��1
Phương trình có nghiệm ۣ
2
2

2 1 m 2

3 m 1.

� �
 ;0�
Câu 17: Cho 3 số thực a  b  c  0 . Số nghiệm của phương trình a sin x  b cos x  c trên khoảng �
�2 �

A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. thay đổi theo a, b, c .

Lời giải


a sin x  b cos x  c �

a
a b
2

2

sin x 

� sin  x     sin  (2) (vì 0 

b
a b

c
a 2  b2

2

2

cos x 

c
a  b2
2

(1)


1)

� �
Trên khoảng � ; 0 �thì phương trình có 1 nghiệm duy nhất.
�2 �

Giải thích: Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác, các họ nghiệm của phương trình sin u  sin v
sẽ được biểu diễn bởi 2 điểm đối xứng với nhau qua Oy , mà ở đây đề bài chỉ cho trên 1 góc phần
tư thứ IV nên chỉ có 1 nghiệm duy nhất.
Câu 18: Với giá trị nào của m thì phương trình cos 2 x  2sin x cos x  sin 2 x  m có nghiệm
Lời giải
Trang 18


� �
2
2
2 x  � m
Ta có: cos x  2sin x cos x  sin x  m � cos 2 x  sin 2 x  m � 2 sin �
4�

� � m
� sin �
2 x  �
.
4� 2


m
�1 �  2 �m � 2 .

2

Phương trình có nghiệm khi

Câu 19: Gọi M , m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2sin x  2 cos x  2sin 2 x . Lời
giải
� �
Đặt t  sin x  cos x  2 cos �x  �,  2 �t � 2 .
� 4�
Ta có t 2   sin x  cos x   1  sin 2 x � sin 2 x  t 2  1 .
2

Ta được hàm số y  2t 2  2t  2,  2 �t � 2 .
Bảng biến thiên:
t

 2

y

2  2 2
5
Suy ra M  ; m  2  2 2 .
2

1
2
5
2


2

2  2 2

2
2
2
Câu 20: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình  m  2  cos x  4m sin x cos x  m  3 vô

nghiệm.
Lời giải

m

2



 2  cos 2 x  4m sin x cos x  m2  3 � m 2  2

�  m2  2  cos 2 x  4m sin 2 x  m 2  4 .





2x
 4m sin x cos x  m
 1  cos
2




2

Phương trình vô nghiệm � m 2  2  16m 2  m 2  4



2

2

3

� m 2  1 � 1  m  1 .

Câu 21: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2sin x  m cos x  1  m có nghiệm
�  �
x ��
 ;
.
� 2 2�


Lời giải
cos

x
 0 không là nghiệm của phương trình.

2

Trang 19


x
2t
1 t2
.
� sin x 
;
cos
x

2
1 t2
1 t2
2t
1 t2
2
Ta được phương trình 2.

m
.
 1  m � t  4t  1  2m  0  1 .
2
2
1 t
1 t


� �
 ;
�  1 có nghiệm t � 1;1 .
Phương trình có nghiệm x ��
� 2 2�

2
Phương trình  1 � t  4t  1  2m là phương trình hoành độ giao điểm parabol
Đặt t  tan

 P  : y  t 2  4t  1 và đường thẳng d : y  2m .
Bảng biến thiên của hàm số y  t 2  4t  1
t

�

1

1

�

2

6

y

2


�  �
 ;
� 2 �2m �6 � 1 �m �3 .
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình  1 có nghiệm x ��
� 2 2�




Câu 22: Phương trình sin x  3 cos x



2

� �
 5  cos �
4 x  �có bao nhiêu nghiệm dương bé hơn 10 ?
3�


Lời giải
� �
� �
�  �.
 5  cos �
4 x  �� 4sin 2 �x  � 5  cos �
4x  �
3�
3�


� 3�

�
� �
2�
0 4sin 2 �x
Ta có: 0 �sin �x �
�1 �
� 4.
� 3�
� 3�
� �
� �
�1
cos
��
4�
x  � 1 4 5 cos �
4x
� 6.
3�
3�



 sin x 

3 cos x




2

� 2�  �
�  
sin �x  � 1
x    k


3

� �

� 3 2


� x   k ,  k ��
Dấu "  " xảy ra



6
� �


4 x     l 2 , k , l ��
cos �
4 x  � 1



3
3�
� �
Vậy có 4 nghiệm dương bé hơn 10 ứng với k  0, k  1, k  2, k  3 .
Câu 23: Biểu diễn tập nghiệm của phương trình cot x  tan x 

2 cos 4 x
trên đường tròn lượng giác ta được
sin 2 x

bao nhiêu điểm?
Lời giải

Trang 20


k
,  k � .
2
2 cos 4 x
cosx sin x
cos 4 x
cot x  tan x 



� cos 2 x  cos 4 x
sin 2 x
sin x cos x sin x.cos x


0 2x
Điều kiện: sin 2 x �۹۹�

k

x

1

cos 2 x   .

2
� 2cos 2 x  cos 2 x  1  0 � �
cos 2 x  1

+ Với cos 2 x  1 � sin 2 x  0 (không thỏa điều kiện).
1

+ Với cos 2 x   � x  �  k ,  k �� (thỏa điều kiện).
2
3
2



Biểu diễn hai họ nghiệm x  �  k ,  k �� trên đường tròn lượng giác ta được 4 điểm.
3
PHẦN 3
(cos x  1)(2 cos x  1)

 1  sin 2 x  2 cos 2 x.
sin x
Hướng dẫn giải.
sin
x
�۹�
0
x
m

(
m
Z
).
Điều kiện:
Phương trình đã cho tương đương với: 2cos 2 x  3cos x  1  sin x  2sin 2 x.cos x  2sin x.cos 2 x .
� cos 2 x  3cos x  2  sin x  cos x(1  cos 2 x)  sin x(1  cos 2 x) .
� cos x 2 x  2(sin x  cos x  1)  cos 2 x(sin x  cos x)  0 .

Bài 1.

Giải các phương trình sau:

� cos 2 x  2  0 .
sin x + cos x  1  0


�  cos 2 x  2   sin x + cos x  1  0 � �

� cos 2 x  2

x  k 2



�� � � 2�
( k �Z ). .


x   k 2
s in �x  �

� 2
� � 4� 2


 k 2 ( k ��).
2
3 �
2 x
2�
.
Giải các phương trình sau: 4sin  3 cos 2 x  1  2 cos �x 

2
� 4 �
Hướng dẫn giải.

Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x 
Bài 2.


� 3 �
2x 
Phương trình đã cho tương đương với 2  1  cos x   3 cos 2 x  1  1  cos �
.

2 �


� 2 cos x  3 cos 2 x   sin 2 x .



1
3
sin 2 x 
cos 2 x  cos x .
2
2
Trang 21


� �
� sin �
2 x  � cos x .
3�

� �
�

� sin �

2 x  � sin �  x �.
3�

�2


2
�  
� 5
2 x    x  k 2
x
k


3 2
18
3
��
��
(k ��).


5



2 x    x  k 2
x
 k 2



� 3 2
� 6
Bài 3.

Giải phương trình sin 2 x  2cos x  0.
Hướng dẫn giải.

Phương trình đã cho tương đương với 2sin x.cos x  2 cos x  0 .
� 2 cos x(sin x  1)  0 .

cos x  0

��
.
sin x  1

� 
x   k


�� 2
� x   k (k ��). .

2

x   k 2
� 2
Bài 4.


Giải phương trình: 2 3.sin 2 x 

3tan 2 x
 3.
2 sin 2 x  1
Hướng dẫn giải.

sin 2 x �0


1

sin 2 x �  * ( nếu thí sinh viết không đủ (*) thì trừ 0,5 điểm).
Điều kiện: �
4

cos2 x �0



Khi đó:

PT (1) � 4 3.sin 2 x  2 3.sin 2 x  3

sin 2 x
cos 2 x

 2 3.sin 2 x  3 .

� 2 3.sin 4 x  3sin 2 x  3 cos 2 x .


Trang 22


� sin 4 x 

3
1
� �
sin 2 x  cos2 x � sin 4 x  sin �2 x  �
2
2
6�




� 
4 x  2 x   k 2
x   k


6
12
��
��

5




x
k'
4 x    2 x   k '2


36
3
6


 k , k ' �Z 

.

Kết hợp với điều kiện (*) ta có nghiệm của phương trình là


5
x ιk�
 ,�
x
12
36
Bài 5.

k'


3


 k, k '

Z , k ' 6m 2, k ' 6m 5, m Z  .

Cho phương trình: sin 4 x  cos 4 x  cos2 4 x  m. ( m là tham số).

1) Giải phương trình khi m 

3
.
2

�  �
 ;
2) Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn �
.
�4 4�


Hướng dẫn giải.
Phương trình đã cho tương đương với:
3  cos 4 x
 cos 2 4 x  m.
4

 4 cos 2 4 x  cos 4 x  4 m  3 (1).
1) Với m 

3

ta có phương trình:
2


� 
cos 4 x  1 �
x k

2
4cos 2 4 x  cos 4 x  3  0 � �
�� 4
.
3

1
3

cos 4 x 

x  � arccos  k

4

4
4
2
2) Đặt t = cos4x ta được: 4t 2  t  4m  3 , (2).
�  �
�  �
 ; �thì t � 1;1 . Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt x ��

 ;
Với x ��
khi và chỉ khi
�4 4�
� 4 4�


phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt t � 1;1 . (3).
Xét g(t) = 4t 2  t với t � 1;1 . ta có bảng biến thiên :
Trang 23


t



1

1
8

1
5

3
g(t)



1

16

Dựa vào bảng biến thiên suy ra (3) xảy ra  
Vậy giá trị m cần tìm là:
Bài 6.

1
47
3
 4m  3 �3 
m�
16
64
2

47
3
m� .
64
2

Giải phương trình:

2sinx.(1 + cos2x) + sin2x = 1+ 2cosx.
Hướng dẫn giải

Ta có PT  (2cosx + 1).(sin2x – 1) = 0 .
2

Đáp số: x  �  k 2 , x   k

3
4

Bài 7.

( k �Z ) .

Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng 2sin A.cos B.sin C  3(cos A  sin B  cos C ) 

17
.
4

Hướng dẫn giải
2

2

2


3 
3 
3
   sin B 
   cos C 
 0 .
Đẳng thức   cos A 
 
 


2
2
2

 
 

Đáp số: A = C = 300 ; B = 1200.
Bài 8.

Giải phương trình : 2 cos x





3 sin x  cos x  1  1 .
Hướng dẫn giải
Trang 24


2 cos x





3 sin x  cos x  1  1 .


� cos 2 x  3 sin 2 x  2 cos x .
� �
� cos �
2x- � cos x .
� 3�

� 
2x-  x  k 2

3
��
.


2x-   x  k 2

� 3
Bài 9.

Giải phương trình: 2sin x +

3 = 0.
Hướng dẫn giải

2sin x +

3 = 0 � sin x  

3
.

2

� �
� sin x  sin �
 �.
� 3�



x    k2

3
��
(k ��) .
4

x
 k2

� 3

Bài 10.

�cos2x sin 2 x �
2

Giải phương trình: 3  cot x  3 �
�.
cosx �
�sinx

Hướng dẫn giải

�cos2x sin 2 x �
3  cot 2 x  3 �

�.
cosx �
�sinx

0 sin 2x
Điều kiện : sin x.cos x �۹۹�
2
PT � 3  cot x  3

� 3  cot 2 x  3
� 3  cot 2 x 

0

x


n , n �.
2

cos 2x cos x  sin 2x sin x
.
sin x cos x

cos x

.
sin x cos x

3
.
sin x

Trang 25


×