Sóng rayleigh trong các bán không gian đàn hồi không tự do đối với ứng suất

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

----------  ----------

Trịnh Thị Thanh Huệ

SÓNG RAYLEIGH TRONG CÁC
BÁN KHÔNG GIAN ĐÀN HỒI
KHÔNG TỰ DO ĐỐI VỚI ỨNG SUẤT

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

Hà Nội - 2017


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

----------  ----------

Trịnh Thị Thanh Huệ

SÓNG RAYLEIGH TRONG CÁC
BÁN KHÔNG GIAN ĐÀN HỒI
KHÔNG TỰ DO ĐỐI VỚI ỨNG SUẤT
Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn
Mã số: 62 44 01 07

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

Chủ tịch Hội đồng

Người hướng dẫn khoa học

GS. TSKH. Nguyễn Đông Anh

GS. TS. Phạm Chí Vĩnh

Hà Nội - 2017


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số
liệu và kết quả được trình bày trong luận án là trung thực và chưa từng
được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Nghiên cứu sinh

Trịnh Thị Thanh Huệ


LỜI CẢM ƠN

Luận án này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa
học của GS. TS. Phạm Chí Vĩnh, người đã tận tình giúp đỡ tôi trên con
đường khoa học. Thầy đã dìu dắt tôi trên con đường làm cơ học, luôn
tạo ra những thử thách giúp tôi tự học hỏi, tìm tòi và sáng tạo. Tôi xin
bày tỏ lòng biết ơn vô cùng sâu sắc đến Thầy.
Tôi muốn bày tỏ sự cảm ơn chân thành đến ban Giám hiệu Trường
Đại học Xây dựng, ban chủ nhiệm Khoa Xây Dựng Dân dụng và Công
nghiệp và đặc biệt là các thầy cô Bộ môn Cơ học lý thuyết trường Đại

học Xây dựng đã động viên, khuyến khích,tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn
thành luận án. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Bộ môn Cơ
học, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại
học Quốc gia Hà Nội, các anh chị trong nhóm sermina của thầy Phạm
Chí Vĩnh đã hướng dẫn, chia sẻ kinh nghiệm, tạo một môi trường nghiên
cứu khoa học tốt nhất cho bản thân tôi.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi đã
luôn luôn giúp đỡ, động viên và ủng hộ tôi trong suốt quá trình làm luận
án.
Nghiên cứu sinh

Trịnh Thị Thanh Huệ


Mục lục
MỞ ĐẦU

1

1 TỔNG QUAN
1.1 Sóng Rayleigh tự do ứng suất . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Sóng Rayleigh không tự do ứng suất . . . . . . . . . . .
1.2.1 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi chịu
điều kiện biên trở kháng . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2
Sóng Rayleigh trong bán không gian quay chịu
điều kiện biên trở kháng . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi phủ
lớp mỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Phương pháp vectơ phân cực . . . . . . . . . . .

1.3 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4
4
7
7
8
9
11
11

2 SÓNG RAYLEIGH TRONG BÁN KHÔNG GIAN

ĐÀN HỒI CHỊU ĐIỀU KIỆN BIÊN TRỞ KHÁNG 13
2.1
2.2

2.3

Hệ thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng,
nén được chịu điều kiện biên trở kháng . . . . . . . . . .
2.2.1 Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Phương trình tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Một số trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . .
Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi được tạo bởi
vật liệu monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = 0, nén
được chịu điều kiện biên trở kháng . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Phương trình cơ bản dưới dạng ma trận . . . . .
2.3.2 Sóng Rayleigh. Phát biểu Stroh . . . . . . . . . .

2.3.3 Phương trình tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . .

13
17
17
19
21

23
23
26
28


2.4

2.5

2.6

2.3.4 Các trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . .
Sóng Rayleigh trong bán không đàn hồi trực hướng, không
nén được chịu điều kiện biên trở kháng . . . . . . . . . .
2.4.1 Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Phương trình tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Một số trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . .
Sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi không
nén được được tạo bởi vật liệu monoclinic với mặt phẳng
đối xứng x3 = 0, không nén được chịu điều kiện biên trở
kháng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5.1 Phương trình cơ bản dưới dạng ma trận . . . . .
2.5.2 Sóng Rayleigh. Phát biểu Stroh . . . . . . . . . .
2.5.3 Phương trình tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4 Các trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . .
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30
34
34
36
37

39
39
42
43
45
48

3 SÓNG RAYLEIGH TRONG BÁN KHÔNG GIAN

ĐÀN HỒI CÓ ỨNG SUẤT TRƯỚC CHỊU ĐIỀU
KIỆN BIÊN TRỞ KHÁNG
50
3.1

3.2

3.3

3.4

Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi, nén được có
ứng suất trước chịu điều kiện biên trở kháng . . . . . . .
3.1.1 Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Phương trình tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Một số trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . .
Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi, không nén
được có ứng suất trước chịu điều kiện biên trở kháng . .
3.2.1 Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Phương trình tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Các trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . .
Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi không nén
được, có biến dạng trước: chịu đồng thời kéo (nén) và cắt,
chịu điều kiện biên trở kháng . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Các phương trình cơ bản dưới dạng ma trận . . .
3.3.2 Sóng Rayleigh. Phát biểu Stroh . . . . . . . . . .
3.3.3 Phương trình tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Các trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . .
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50
50
53
55
57
57
59
62

63
63
69
71
73
76


4 SÓNG RAYLEIGH TRONG BÁN KHÔNG GIAN

ĐÀN HỒI QUAY CHỊU ĐIỀU KIỆN BIÊN
TRỞ KHÁNG
77
4.1

4.2

4.3

Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi monoclinic
x3 = 0 quay, nén được chịu điều kiện biên trở kháng . . . 77
4.1.1 Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1.2 Sóng Rayleigh. Phát biểu Stroh . . . . . . . . . . 80
4.1.3 Phương trình tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi được gia cố
cốt sợi, không nén được, quay chịu điều kiện biên trở kháng 89
4.2.1 Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2.2 Sóng Rayleigh. Phát biểu Stroh . . . . . . . . . . 92
4.2.3 Phương trình tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5 SÓNG RAYLEIGH TRONG BÁN KHÔNG GIAN

ĐÀN HỒI MONOCLINIC CÓ MẶT PHẲNG
ĐỐI XỨNG x3 = 0 ĐƯỢC PHỦ LỚP MỎNG 101
5.1

5.2

Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi monoclinic
có mặt phẳng đối xứng x3 = 0 nén được phủ lớp mỏng
đàn hồi monoclinic có mặt phẳng đối xứng x3 = 0 nén được102
5.1.1 Phương trình cơ bản cho bán không gian và lớp
mỏng đàn hồi monoclinic có mặt phẳng đối xứng
x3 = 0 nén được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.1.2 Điều kiện biên hiệu dụng bậc hai cho lớp mỏng đàn
hồi monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = 0 nén
được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.1.3 Sóng Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.1.4 Phương trình tán sắc xấp xỉ bậc hai đối với độ dày
lớp của sóng Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . 108
Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi monoclinic
có mặt phẳng đối xứng x3 = 0 không nén được phủ lớp
mỏng đàn hồi monoclinic có mặt phẳng đối xứng x3 = 0
không nén được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2.1 Phương trình cơ bản cho bán không gian và lớp
mỏng đàn hồi monoclinic có mặt phẳng đối xứng
x3 = 0 không nén được . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.2.2

5.3

Điều kiện biên hiệu dụng bậc hai cho lớp mỏng
đàn hồi monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = 0
không nén được . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Sóng Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4 Phương trình tán sắc xấp xỉ bậc hai đối với độ dày
lớp của sóng Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . .
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

114
115
117
120
121

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ
LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
123
Tài liệu tham khảo

124


MỞ ĐẦU

Lý do chọn đề tài nghiên cứu
Các bài toán truyền sóng trong các môi trường đàn hồi (xem, chẳng
hạn [3], [7], [11], [26]), nổi bật là sóng mặt Rayleigh, là cơ sở lý thuyết
cho nhiều ứng dụng khác nhau trong khoa học công nghệ.
Sóng mặt Rayleigh truyền trong môi trường đàn hồi đẳng hướng nén
được, mà Rayleigh [52] tìm ra hơn một trăm năm trước, và vẫn đang
được nghiên cứu một cách mạnh mẽ vì những ứng dụng to lớn của nó
trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học và công nghệ như địa chấn
học, âm học, địa vậy lý, công nghệ truyền thông và khoa học vật liệu. Có
thể nói rằng những nghiên cứu của Rayleigh về sóng mặt truyền trong
bán không gian đàn hồi có ảnh hưởng sâu rộng đến cuộc sống hiện đại.
Nó được sử dụng để nghiên cứu động đất, thiết kế mobile phone và nhiều
thiết bị điện tử cực nhỏ, ... như Adams và các cộng sự [4] đã nhấn mạnh.
Đã có một số lượng nghiên cứu rất lớn về sóng mặt Rayleigh. Như đã
viết trong [92], Google.Scholar, một trong những công cụ tìm kiếm mạnh
nhất về khoa học, cho chúng ta hơn một triệu đường links cho yêu cầu
tìm kiếm "Rayleigh waves". Kết quả tìm kiếm thu được thật đáng kinh
ngạc! Nó chỉ ra rằng, sóng mặt Rayleigh có vị trí cao trong khoa học, đã
và đang được sự quan tâm rất lớn của các nhà khoa học trong và ngoài
nước.
Tuy nhiên, trong hầu hết các nghiên cứu trước đây về sóng Rayleigh,
bán không gian đàn hồi được giả thiết là tự do đối với ứng suất. Có rất
ít nghiên cứu dành cho bán không gian đàn hồi không tự do đối với ứng
suất. Chính vì lý do này mà luận án đi nghiên cứu các bài toán truyền
sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi không tự do đối với ứng
suất.

Mục đích của luận án
• Mục tiêu thứ nhất của luận án là phát triển phương pháp vectơ phân
cực cho trường hợp khi ma trận Stroh là ma trận phức (được gọi là

"phương pháp vectơ phân cực phức").
• Mục tiêu thứ hai của luận án là tìm ra các phương trình tán sắc
dạng hiện (dạng tường minh) của sóng Rayleigh truyền trong các
1


bán không gian đàn hồi không tự do đối với ứng suất.

Đối tượng nghiên cứu
Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi không tự do đối với
ứng suất như bán không gian chịu điều kiện biên trở kháng, bán không
gian phủ lớp mỏng.

Phạm vi nghiên cứu
Sóng Rayleigh trong các môi trường đàn hồi tuyến tính.

Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp điều kiện biên hiệu dụng (xem tài liệu [88]) để đưa
các bài toán cần nghiên cứu về bài toán truyền sóng Rayleigh trong các
bán không gian không tự do đối với ứng suất.
- Phương pháp vectơ phân cực phức (được trình bày trong mục 2.1.
Hệ thức cơ bản) để tìm ra các phương trình tán sắc dạng tường minh của
sóng. Ngoài ra, trong luận án còn sử dụng phương pháp truyền thống
(tham khảo tài liệu [1]) để thiết lập các phương trình tán sắc của sóng.

Những đóng góp mới của luận án
1. Phát triển phương pháp vectơ phân cực
2. Tìm được phương trình tán sắc chính xác dạng tường minh của
sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi dị hướng (trực hướng và
monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = 0) nén được và không nén được

chịu điều kiện biên trở kháng.
3. Xây dựng được phương trình tán sắc chính xác dạng hiện của sóng
Rayleigh trong bán không gian đàn hồi có ứng suất trước (chịu kéo nén
thuần túy và đồng thời chịu kéo nén và cắt) chịu điều kiện biên trở
kháng.
4. Thiết lập được phương trình tán sắc chính xác dạng hiện của sóng
Rayleigh trong bán không gian đàn hồi monoclinic với mặt phẳng đối
xứng x3 = 0 quay chịu điều kiện biên trở kháng và sóng Rayleigh trong
bán không gian đàn hồi không nén được quay có gia cố cốt sợi chịu điều
kiện biên trở kháng.
5. Dẫn ra được phương trình tán sắc xấp xỉ của sóng Rayleigh trong
bán không gian đàn hồi dị hướng (nén được và không nén được) được
phủ lớp mỏng đàn hồi dị hướng (nén được và không nén được). Phương
trình tán sắc tìm được có dạng bậc hai đối với độ dày của lớp mỏng.
Một số kết quả chính của luận án đã được công bố trên các tạp chí
quốc tế (SCI: hai bài), hai báo cáo tại Hội nghị Cơ học vật rắn biến dạng
toàn quốc.
2


Cấu trúc của luận án
Luận án gồm 5 chương cấu trúc như sau:
Chương 1: Tổng quan
Trình bày tổng quan tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước về
sóng mặt Rayleigh trong các bán không gian tự do và không tự do đối
với ứng suất.
Chương 2: Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi chịu điều
kiện biên trở kháng
Phát triển phương pháp vectơ phân cực khi ma trận Stroh là ma trận
phức (được gọi là "phương pháp vectơ phân cực phức"). Tìm phương

trình tán sắc chính xác dạng hiện của sóng Rayleigh trong bán không
gian đàn hồi dị hướng (trực hướng, monoclinic với mặt phẳng đối xứng
x3 = 0), nén được (không nén được) chịu điều kiện biên trở kháng.
Phương pháp áp dụng trong chương này là phương pháp truyền thống
và phương pháp vectơ phân cực phức.
Chương 3: Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi có ứng suất
trước chịu điều kiện biên trở kháng
Áp dụng phương pháp truyền thống và phương pháp vectơ phân cực
phức, tác giả luận án xây dựng phương trình tán sắc chính xác dạng
hiện của sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi có ứng suất trước
(chịu kéo nén thuần túy và đồng thời chịu kéo nén và cắt) chịu điều kiện
biên trở kháng.
Chương 4: Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi quay
chịu điều kiện trở kháng
Sử dụng phương pháp vectơ phân cực phức, tác giả luận án thiết lập
được phương trình tán sắc dạng tường minh của sóng Rayleigh trong
các bán không gian đàn hồi quay chịu điều kiện trở kháng. Cụ thể là
bán không gian đàn hồi monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = 0, nén
được, quay, chịu điều kiện biên trở kháng và bán không gian đàn hồi
không nén được, quay, có gia cố cốt sợi, chịu điều kiện biên trở kháng.
Chương 5: Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi monoclinic
với mặt phẳng đối xứng x3 = 0 được phủ lớp mỏng đàn hồi
Áp dụng phương pháp điều kiện biên hiệu dụng và phương pháp
vectơ phân cực phức đưa ra được phương trình tán sắc xấp xỉ dạng
tường minh của sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi monoclinic
với mặt phẳng x3 = 0 nén được (không nén được) được phủ lớp mỏng
đàn hồi monoclinic với mặt phẳng x3 = 0 nén được (không nén được).

3

Chương 1
TỔNG QUAN

Một bán không gian đàn hồi mà trên mặt biên của nó véctơ ứng suất
bằng không được gọi là “bán không gian tự do đối với ứng suất”. Sóng
Rayleigh truyền trong bán không gian này được gọi là “sóng Rayleigh tự
do ứng suất” hay sóng Rayleigh thông thường. Một bán không gian đàn
hồi mà trên mặt biên của nó véctơ ứng suất không triệt tiêu được gọi
là “bán không gian không tự do đối với ứng suất”. Sóng Rayleigh truyền
trong bán không gian này được gọi là “sóng Rayleigh không tự do ứng
suất” hay sóng Rayleigh suy rộng.

1.1

Sóng Rayleigh tự do ứng suất

Sóng Rayleigh tự do ứng suất truyền trong môi trường đàn hồi đẳng
hướng nén được, mà Rayleigh [52] tìm ra hơn 120 năm trước, vẫn đang
được nghiên cứu một cách mạnh mẽ vì những ứng dụng to lớn của nó
trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học và công nghệ như địa chấn
học, âm học, địa vật lý, công nghệ truyền thông và khoa học vật liệu,
như đã nhấn mạnh ở phần mở đầu.
Đối với sóng Rayleigh nói chung, phương trình tán sắc dạng tường
minh (dạng hiện) có ý nghĩa đặc biệt quan trọng. Nó được sử dụng để
giải bài toán thuận: khảo sát sự phụ thuộc của vận tốc sóng vào các
tham số vật liệu, đặc biệt, nó là cơ sở lý thuyết để giải bài toán ngược:
xác định các tham số vật liệu từ các giá trị đo được của vận tốc sóng
(xem [72]). Do vậy, phương trình tán sắc dạng tường minh là mục tiêu
đầu tiên và quan trọng nhất đối với các nghiên cứu liên quan đến sóng

Rayleigh tự do cũng như không tự do ứng suất.
4


Đối với các bán không gian đàn hồi đẳng hướng hoặc trực hướng,
phương trình tán sắc của sóng Rayleigh tự do ứng suất được tìm ra
bằng phương pháp truyền thống, dựa vào phương trình đặc trưng của
sóng (xem chẳng hạn [3], [7]). Tuy nhiên, đối với các môi trường đàn hồi
có tính dị hướng cao hơn (chẳng hạn môi trường monoclinic, hoặc môi
trường đàn hồi dị hướng chịu ảnh hưởng của các yếu tố khác như điện
trường, từ trường, sự quay vi mô), phương trình đặc trưng của sóng mất
tác dụng, phương pháp truyền thống không còn hiệu lực. Và để tìm ra
phương trình tán sắc dạng hiện của sóng Rayleigh tự do ứng suất đối
với các môi trường phức tạp, các phương pháp mới đã được đề ra. Đó là
"Phương pháp vectơ phân cực" [63], "Phương pháp tích phân đầu" [41]
và "phương pháp ma trận trở kháng" [28]. Phương pháp vectơ phân cực
do Taziev [63] đề ra vào năm 1989, và được phát triển bởi Ting ([67],
[69]), Destrade [22], Collet và Destrade [17]. Phương pháp tích phân đầu
được Mozhaev [41] đưa ra vào năm 1995, sau đó Destrade [19], Phạm
Chí Vĩnh [1] phát triển thành công cho sóng Rayleigh hai thành phần.
Ngoài những tiến bộ kể trên trong hơn hai thập kỷ qua, cũng cần
nói đến các tiến bộ trong việc tìm ra các công thức của vận tốc sóng
Rayleigh tự do ứng suất. Đối với sóng Rayleigh tự do ứng suất, vận tốc
của nó là đại lượng được các nhà nghiên cứu trong các lĩnh vực khoa học
khác nhau quan tâm. Nó được nói đến trong hầu hết các sách chuyên
khảo về sóng âm truyền trong các vật thể đàn hồi. Nó liên quan đến hàm
Green trong nhiều bài toán động lực học của bán không gian đàn hồi,
và là một công cụ mạnh cho đánh giá không phá hủy các đặc trưng cơ
học của kết cấu trước và trong khi chịu tải. Do vậy công thức dạng hiện
của vận tốc sóng Rayleigh tự do ứng suất có ý nghĩa biệt quan trọng về

cả phương diện lý thuyết lẫn thực hành.
Năm 1995, Rahman and Barber [51] đã tìm được công thức chính
xác đầu tiên cho vận tốc sóng Rayleigh tự do ứng suất truyền trong vật
thể đàn hồi đẳng hướng nén được bằng cách sử dụng lý thuyết phương
trình bậc ba. Tuy nhiên công thức này được biểu diễn bằng hai biểu thức
khác nhau phụ thuộc vào dấu biệt thức của một phương trình bậc ba (là
phương trình tán sắc của sóng sau khi hữu tỉ hóa) nên không thuận tiện
khi sử dụng. Sử dụng lý thuyết bài toán Riemann, Nkemzi [46] đã dẫn
ra công thức cho vận tốc sóng Rayleigh tự do ứng suất, nó là một hàm
liên tục của γ = µ/(λ + 2µ), với λ, µ là các hằng số Lame. Công thức đó
khá là phức tạp [20] và kết quả cuối cùng trong bài báo của Nkemzi là
không chính xác [39]. Malischewsky [39] đã tìm được công thức biểu diễn
vận tốc sóng Rayleigh bằng cách sử dụng công thức Cardan, công thức
5


lượng giác của nghiệm phương trình bậc ba và MATHEMATICA. Tuy
nhiên Malischewsky không chứng minh được công thức này. Đến năm
2004, Vinh and Ogden [73] đã chứng minh một cách chặt chẽ công thức
của Malischewsky, và tìm ra được một công thức khác. Đối với vật liệu
trực hướng, không nén được, Ogden and Vinh [48] đã đưa ra được công
thức dạng hiện dựa trên lý thuyết phương trình bậc ba. Sau đó, Vinh
và Ogden [74], Vinh và Ogden [75] đã tìm được các công thức dạng hiện
cho vận tốc sóng Rayleigh tự do ứng suất trong môi trường đàn hồi trực
hướng, nén được. Gần đây, các công thức chính xác của vận tốc sóng
Rayleigh tự do ứng suất trong môi trường đàn hồi có biến dạng trước
được tìm ra bởi Vinh và Giang [82], Vinh [82, 84].
Nhiều ứng dụng thực tế đòi hỏi các công thức của vận tốc của sóng
mặt Rayleigh đơn giản, dễ sử dụng. Do vậy, việc tìm ra các công thức
xấp xỉ của chúng là hết sức có ý nghĩa và cần thiết, vì chúng thường có

biểu diễn đơn giản hơn nhiều so với công thức chính xác. Yêu cầu cơ bản
cho các công thức xáp xỉ là: độ chính xác toàn cục của chúng phải cao,
ít nhất thỏa mãn các yêu cầu của người sử dụng, của đòi hỏi thực tế.
Đối với sóng Rayleigh tự do ứng suất trong bán không gian đàn hồi
đẳng hướng, công thức xấp xỉ đầu tiên cho vận tốc sóng do Bergmann
[8] thiết lập vào năm 1948, và được sử dụng rất rộng rãi. Sau đó, một số
xấp xỉ khác được thiết lập bởi Achenbach [3], Brekhovskikh [10], Briggs
[12], Nesvijski [44]. Tuy nhiên, độ chính xác của các công thức này chưa
cao. Gần đây, các công thức xấp xỉ với độ chính xác cao đươc thiết lập
bởi Li [36], Vinh và Malischewsky [76, 77, 78, 79, 80] dựa trên phương
pháp bình phương tối thiểu.
Đối với các môi trường đàn hồi phức tạp hơn, có rất ít công thức xấp
xỉ được thiết lập bởi vận tốc khi đó phụ thuộc vào nhiều tham số nên
việc sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu gặp nhiều khó khăn về
mặt toán học. Khi đó, phương pháp nhiễu được sử dụng.
Như vậy có thể nói rằng, trong hơn hai thập kỷ qua, lĩnh vực nghiên
cứu về sóng mặt Rayleigh tự do ứng suất đã có những phát triển đáng
kể, được trang bị thêm một số công cụ mới như: “Phương pháp véctơ
phân cực”, “Phương pháp tích phân đầu”, “Phương pháp ma trận trở
kháng”, “Phương pháp lý thuyết phương trình bậc ba”, “Phương pháp
bài toán Riemann” (hay còn gọi là “Phương pháp hàm biến phức”) ,
“Phương pháp bình phương tối thiểu” và “Phương pháp nhiễu”. Với sự
giúp đỡ của những phương pháp này, nhiều bài toán mới được được giải
quyết, một số bài toán cũ sẽ được hoàn thiện và phát triển.

6


1.2

Sóng Rayleigh không tự do ứng suất

Như đã định nghĩa ở trên, sóng Rayleigh không tự do ứng suất là
sóng Rayleigh truyền trong các bán không gian đàn hồi không tự do đối
với ứng suất. Ngoài cấu trúc gồm chỉ một bán không gian (không tự do
ứng suất), các cấu trúc sau:
i) Bán không gian đàn hồi phủ một lớp đàn hồi,
ii) Bán không gian đàn hồi liên kết với một bán không gian đàn hồi
khác, cũng đưa được về mô hình “một bán không gian đàn hồi không tự
do đối với ứng suất”, bằng cách thay thế toàn bộ ảnh hưởng của lớp đàn
hồi hay bán không gian đàn hồi bằng một “điều kiện biên hiệu dụng”
trên mặt phân chia giữa bán không gian và lớp, giữa bán không gian và
giữa bán không gian. Điều kiện biên hiệu dụng là một hệ thức dưới dạng
véctơ liên hệ tuyến tính véctơ ứng suất và véctơ chuyển dịch trên mặt
biên của bán không gian. Chú ý rằng, lớp (bán không gian) đàn hồi có
thể thay thế bằng một lớp chất lỏng (một bán không gian chất lỏng).
Luận án quan tâm nghiên cứu sóng Rayleigh không tự do ứng suất
truyền trong các môi trường sau:
- Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi chịu điều kiện biên
trở kháng.
- Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi có ứng suất trước chịu
điều kiện biên trở kháng.
- Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi quay chịu điều
kiện biên trở kháng.
- Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi phủ lớp mỏng.

1.2.1

Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi
chịu điều kiện biên trở kháng

Trong các nghiên cứu trước đây về sóng Rayleigh, hầu hết đều giả
thiết bán không gian là tự do đối với ứng suất. Tuy nhiên, trong nhiều
bài toán thực tế như trong lĩnh vực âm học hay điện từ học, bán không
gian thường chịu một điều kiện biên được gọi là "điều kiện biên trở
kháng" (xem [29]). Điều kiện này là một liên hệ tuyến tính giữa các hàm
cần tìm và các đạo hàm của chúng trên biên của bán không gian. Chúng
ta có thể tham khảo ở các tài liệu tham khảo [5, 13, 40, 50, 95, 96] đối
với các bài toán âm học hay [6, 31, 55, 61] đối với các bài toán điện từ
7


học.
Trong luận án, điều kiện biên trở kháng được xét có dạng sau
σ12 + ωZ1 u1 = 0,

σ22 + ωZ2 u2 = 0 tại x2 = 0

(1.1)

trong đó, σij là các thành phần ứng suất, uj là các thành phần chuyển
dịch, ω là tần số góc của sóng, Zk là tham số trở kháng. Sự truyền sóng
Rayleigh trong bán không gian đàn hồi đẳng hướng nén được chịu điều
kiện biên (1.1) được Malischewsky [38] nghiên cứu năm 1987. Tác giả
đã thu được phương trình tán sắc của sóng dưới dạng tường minh. Tuy
nhiên sự tồn tại và duy nhất của sóng chưa được khảo sát. Gần đây, vào
năm 2012, Godoy và các cộng sự [29] mới nghiên cứu sự tồn tại và duy
nhất của sóng này cho một trường hợp đặc biệt của điều kiện biên (1.1)
khi ứng suất pháp σ22 bằng không.
Các vấn đề chưa được giải quyết:

i) Sự tồn tại và duy nhất của sóng cho trường hợp tổng quát khi bán
không gian đàn hồi đẳng hướng chịu điều kiện biên trở kháng (1.1).
ii) Phương trình tán sắc của sóng trong bán không gian đàn hồi dị
hướng (trực hướng, monoclinic) nén được và không nén được chịu điều
kiện biên trở kháng (1.1).
iii) Phương trình tán sắc của sóng trong bán không gian đàn hồi nén
được và không nén được có ứng suất trước chịu điều kiện biên trở kháng
(1.1).

1.2.2

Sóng Rayleigh trong bán không gian quay
chịu điều kiện biên trở kháng

Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi quay với một vận tốc
không đổi có nhiều ứng dụng thực tế, xem Lao [35], Kawasaki và các cộng
sự [34], Jahangir và các cộng sự [32], Pohl và các cộng sự [49], Jose và
các cộng sự [33]. Nghiên cứu đầu tiên về sóng Rayleigh trong bán không
gian đàn hồi đẳng hướng được thực hiện bởi Schoenberg và Censor [54].
Các tác giả chỉ ra rằng, khác với trường hợp không quay, sóng Rayleigh
trong các bán không gian quay là tán sắc. Tuy nhiên, các tác giả không
rút ra phương trình tán sắc. Clarke và Burdess [15] xét sự quay của một
bán không gian đẳng hướng quanh trục Ox3 vuông góc với mặt phẳng
chuyển động, tốc độ quay được giả thiết là nhỏ. Các kết quả của nghiên
cứu này sau đó được Clarke và Burdess [16] mở rộng cho trường hợp
8


tốc độ quay bất kì. Lao (1980) [35], Wauer (1999) [93], Grigorevskii và
các cộng sự (2000) [30] khảo sát những bài toán tương tự nhưng bỏ qua

lực ly tâm. Fang và các cộng sự (2000) [27], Zhou and Jiang (2001) [97]
nghiên cứu sóng mặt trog các bán không gian đàn-điện quay. Destrade
(2003) [21] thu được phương trình tán sắc dạng hiện cho sóng Rayleigh
trong bán không gian monoclinic x3 = 0 quay quanh trục Ox3 . Destrade
(2004) [22] cũng nghiên cứu sóng Rayleigh trong bán không gian trực
hướng quay quanh các trục tọa độ, cũng là các trục đối xứng của vật
liệu. Tác giả cũng đã rút ra được các phương trình tán sắc dạng hiện cho
cả ba trường hợp bằng cách sử dụng phương pháp véctơ phân cực. Ting
(2004) [68] nghiên cứu sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi
quay, dị hướng tổng quát, dựa trên phát biểu Stroh (1962) [60].
Các vấn đề chưa được giải quyết: chưa có nghiên cứu nào về sóng
Rayleigh trong bán không gian đàn hồi quay chịu điều kiện biên trở
kháng.

1.2.3

Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi
phủ lớp mỏng

Cấu trúc "một lớp mỏng gắn với một lớp dày", mô hình hóa như
một bán không gian phủ lớp mỏng, đang được sử dụng rộng rãi trong
công nghệ hiện đại. Việc đánh giá không phá hủy các tính chất cơ học
của chúng trước và trong quá trình sử dụng là quan trọng và hết sức
cần thiết (xem Makarov và các cộng sự [37] và các tài liệu tham khảo ở
đây). Chú ý rằng có một tạp chí lớn "Thin Solid Films" (và International
Journal of Thin Films Science and Technology) dành riêng công bố các
kết quả nghiên cứu liên quan đến cấu trúc mỏng này.
Để đánh giá không phá hủy các tính chất cơ học của cấu trúc này,
sóng mặt Rayleigh (không tự do ứng suất) là công cụ tiện lợi (theo Every
[25]). Khi đó, phương trình tán sắc của chúng được sử dụng như là cơ

sở lý thuyết để xác định các tính chất cơ học của cấu trúc từ các dữ liệu
(các giá trị của vận tốc sóng) đo được từ thực nghiệm.
Sử dụng giả thiết lớp mỏng, các phương trình tán sắc xấp xỉ được
tìm ra bằng cách thay thế toàn bộ ảnh hưởng của lớp mỏng bằng một
"điều kiện biên hiệu dụng", bằng cách coi lớp như bản mỏng [2, 64],
hoặc khai triển Taylor ứng suất tại mặt trên của lớp theo độ dày của
lớp (được giả thiết là nhỏ) (xem Bovik [9], Niklasson và các cộng sự [45],
9


Rokhlin và Huang [53]).
Tiersten (1969) [64], Bovik (1996) [9] và Tuan (2008) [71] rút ra được
các xấp xỉ bậc hai của phương trình tán sắc (chúng không trùng nhau).
Trong khi đó Achenbach và Keshava (1967) [2] tìm ra được phương trình
tán sắc xấp xỉ bậc bốn. Tuy nhiên, phương trình này chứa một hằng số
chưa xác định nên không thuận tiện khi sử dụng. Steigmann (2007) [57]
giả thiết lớp mỏng là đẳng hướng ngang và có ứng suất dư, bán không
gian là đẳng hướng, và đã tìm được phương trình tán sắc xấp xỉ bậc hai
bằng cách khai triển Taylor thế năng biến dạng đàn hồi theo độ dày của
lớp (mỏng).
Đối với các môi trường phức tạp hơn, chẳng hạn như bán không gian
đẳng hướng phủ một lớp dẫn điện [94], các phương trình xấp xỉ thu được
chi dừng lại ở bậc một.
Trong các nghiên cứu nêu trên, bán không gian được giả thiết là đàn
hồi đẳng hướng, và trừ xấp xỉ bậc bốn của Achenbach-Kesheva (còn phụ
thuộc vào một hằng số chưa xác định, không tiện lợi khi sử dụng) các
xấp xỉ thu được có bậc cao nhất là bậc hai. Để tăng độ chính xác, cần
thiết thiết lập các xấp xỉ bậc cao hơn, và để mở rộng phạm vi ứng dụng
cần xem xét các bán không gian dị hướng.
Gần đây, các phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba của sóng Rayleigh

(không tự do ứng suất) đã được thiết lập bởi Vinh và Linh [88, 89] cho
bán không gian đàn hồi trực hướng (nén được và không nén được) phủ
lớp mỏng trực hướng (nén được và không nén được), cho bán không gian
đàn hồi chịu biến dạng trước phủ lớp mỏng có ứng suất trước. Biến dạng
trước được giả thiết là thuần nhất và kéo-nén thuần túy.
Các vấn đề chưa được giải quyết:
i) Sóng Rayleigh trong các bán không gian monoclinic (nén được và
không nén được) phủ lớp mỏng dị hướng (trực hướng, monoclinic).
ii) Bài toán nêu trên khi tính chất nén được và không nén được của
bán không gian và lớp là khác nhau, chẳng hạn: bán không gian là nén
được, lớp là không nén được.
iii) Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi chịu biến dạng
trước vừa kéo-nén và trượt (nén được và không nén được) phủ lớp mỏng
chịu biến dạng trước (nén được và không nén được).

10


1.2.4

Phương pháp vectơ phân cực

Phương pháp vectơ phân cực là một phương pháp dùng để tìm ra
phương trình tán sắc dạng hiện của sóng Rayleigh trong các bán không
gian đàn hồi, dựa trên các phương trình xác định vectơ biên độ chuyển
dịch tại biên của bán không gian, được gọi là vectơ phân cực. Phương
pháp này được Currie [18] sử dụng đầu tiên vào năm 1979, để tìm ra
phương trình tán sắc dạng hiện của sóng Rayleigh trong môi trường đàn
hồi dị hướng tổng quát. Tuy nhiên, ngay sau đó, tác giả phát hiện ra
rằng phương trình tán sắc thu được là một đồng nhất thức. Việc sửa

chữa được tiến hành bởi Taylor và Currie [62] vào năm 1981 và phương
trình tán sắc thực sự đã được tìm ra. Đó là phương trình (12) trong tài
liệu tham khảo [62]. Mặc dù vậy, phương trình này chứa các vectơ trục
của năm ma trận phản đối xứng. Vì vectơ trục của một ma trận phản
đối xứng xác định chính xác đến một nhân tử hằng số tùy ý, tính đúng
đắn của phương trình này là một câu hỏi mà cho đến nay vẫn chưa có
câu trả lời. Taziev [63] (1989) sử dụng thành công phương pháp vectơ
phân cực để tìm ra phương trình tán sắc dạng hiện của sóng Rayleigh
trong môi trường đàn hồi dị hướng tổng quát. Phương pháp vectơ phân
cực tiếp tục được phát triển bởi Ting [69], Collet và Destrade [17] dựa
trên phát biểu Stroh [59].
Phương pháp vectơ phân cực được xây dựng và phát triển bởi các
tác giả trên chỉ áp dụng được khi ma trận Stroh của sóng Rayleigh là
thực. Tuy nhiên, trong nhiều bài toán thực tế, ma trận Stroh của sóng
Rayleigh là phức như bài toán truyền sóng trong bán không gian phủ
lớp mỏng, trong môi trường đàn nhớt... Do vậy, phát triển phương pháp
vectơ phân cực cho các phát biểu Stroh với ma trận phức (xem tài liệu
[90, 91]) là việc làm hết sức có ý nghĩa (được gọi là phương pháp vectơ
phân cực phức). Đó là một trong các mục tiêu của luận án. Cơ sở toán
học của phương pháp này được trình bày trong mục 2.1 chương 2.

1.3

Kết luận

Như vậy, những vấn đề cần quan tâm về sóng Rayleigh không tự do ứng
suất bao gồm:
- Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi dị hướng (trực hướng
hoặc monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = 0) nén được và không nén
được chịu điều kiện biên trở kháng.

11


- Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi có ứng suất trước (chịu
kéo nén thuần túy hoặc đồng thời chịu kéo nén và cắt) chịu điều kiện
biên trở kháng.
- Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi monoclinic với mặt
phẳng đối xứng x3 = 0 quay chịu điều kiện biên trở kháng và sóng
Rayleigh trong bán không gian đàn hồi không nén được quay có gia cố
cốt sợi chịu điều kiện biên trở kháng.
- Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi dị hướng (nén được
và không nén được) được phủ lớp mỏng đàn hồi dị hướng (nén được và
không nén được).
Cụ thể, luận án sẽ tập trung giải quyết các vấn đề sau:
- Phát triển phương pháp vectơ phân cực phức
- Xây dựng các phương trình tán sắc dạng hiện (dạng tường minh)
của sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi được kể ở trên.

12


Chương 2
SÓNG RAYLEIGH TRONG BÁN KHÔNG GIAN
ĐÀN HỒI CHỊU ĐIỀU KIỆN BIÊN TRỞ KHÁNG

Nội dung của chương này là nghiên cứu bài toán truyền sóng Rayleigh
trong các bán không gian đàn hồi chịu điều kiện biên trở kháng. Nội dung
chính của chương gồm các phần:
- Hệ thức cơ bản
- Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi dị hướng (trực hướng,

monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = 0), nén được và không nén
được, chịu điều kiên trở kháng.

2.1

Hệ thức cơ bản

Như đã nói ở chương 1, khi nghiên cứu bài toán sóng Rayleigh thì
việc tìm phương trình tán sắc dạng tường minh (dạng hiện) của sóng là
mục tiêu quan trọng. Đối với các môi trường đàn hồi đẳng hướng hoặc
trực hướng thì phương trình đặc trưng của sóng là phương trình trùng
phương nên dễ dàng biểu diễn được biểu thức nghiệm của nó. Khi đó, ta
có thể áp dụng phương pháp truyền thống để tìm phương trình tán sắc
của sóng. Tuy nhiên, đối với các môi trường đàn hồi có tính dị hướng
cao hơn (chẳng hạn như môi trường đàn hồi monoclinic), phương trình
đặc trưng của sóng là bậc bốn đầy đủ nên phương pháp truyền thống bị
mất tác dụng. Do vậy, để tìm ra các phương trình tán sắc dạng hiện của
sóng, phải sử dụng phương pháp khác như: "phương pháp sử dụng định
lý Viet", "phương pháp tích phân đầu" và "phương pháp vectơ phân
cực". Tuy nhiên, các phương pháp này chỉ áp dụng được khi ma trận
13


Stroh của sóng Rayleigh là ma trận thực.
Tuy nhiên, trong thực tế có rất nhiều bài toán mà ma trận Stroh
của sóng Rayleigh là ma trận phức. Vì lí do này mà luận án phát triển
phương pháp vectơ phân cực để có thể áp dụng tìm phương trình tán
sắc dạng hiện của các bài toán này ta có thể tạm gọi là "phương pháp
vectơ phân cực phức". Cơ sở toán học của phương pháp này là hệ thức
cơ bản được trình bày dưới dạng mệnh đề sau đây

Mệnh đề 2.1: Nếu véctơ 2m chiều Y(y) là nghiệm của bài toán:
Y = iPY, 0 ≤ y < +∞, Y(+∞) = 0
trong đó dấu phẩy là kí hiệu của đạo hàm theo biến y và:


P1 P2

P=
P3 P4

(2.1)

(2.2)

với các ma trận Pk cấp m × m là các ma trận hằng số (không phụ thuộc
vào biến y) và chúng thõa mãn các hệ thức sau:
¯ T , P3 = P
¯ T , P4 = P
¯T,
P2 = P
2
3
1

(2.3)

¯ T (0)ˆIPn Y(0) = 0 ∀ n ∈ Z
Y

(2.4)

Khi đó, ta có
trong đó

ˆI = 

0 I
I 0




(2.5)

với I là ma trận đơn vị cấp m × m.
Ta gọi phương trình (2.4) là hệ thức cơ bản.
Chứng minh:
Bổ đề 2.1: Giả sử rằng ma trận P được biểu diễn ở phương trình (2.2)
là ma trận khả nghịch:


(−1)
(−1)
P1
P2
P−1 =  (−1) (−1) 
(2.6)
P3
P4
và hệ thức (2.3) đúng cho các ma trận con Pk . Khi đó, các hệ thức này

(−1)
cũng đúng với các ma trận con Pk .
14


Chứng minh: Từ hệ thức PP−1 = I ta có:


P1 P(−1) + P2 P(−1) = I, P1 P(−1) + P2 P(−1) = 0
1
3
2
4

(2.7)


P3 P(−1) + P4 P(−1) = 0, P3 P(−1) + P4 P(−1) = I
1
3
2
4
Lấy chuyển vị và liên hợp phức hai vế của các phương trình trong hệ
phương trình (2.7) và sử dụng các hệ thức (2.3) ta có:

T
T
T
T


P(−1) P2 + P(−1) P4 = I, P(−1) P2 + P(−1) P4 = 0
3
1
4
2
(2.8)
T
T
T
T

P(−1) P1 + P(−1) P3 = 0, P(−1) P1 + P(−1) P3 = I
3
1
4
2
hay tương đương với phương trình sau:



T
T
(−1)
(−1)
P2
  P1 P2 
 P4
=I

T

T 
(−1)
(−1)
P3 P4
P3
P1

(2.9)

Tức là:

P

−1

(−1)

T

(−1)

T



P2
 P4

=
T

T 
(−1)
(−1)
P3
P1

(2.10)

Từ các phương trình (2.6), (2.10) và tính duy nhất của ma trận P−1 ta
suy ra:
(−1)

P2

(−1)

= P2

T

(−1)

, P3

(−1)

= P3

T

(−1)

, P4

(−1)

T

= P1

(2.11)

Vậy bổ đề 2.1 đã được chứng minh.
Bổ đề 2.2: Giả sử ma trận P được biểu diễn bởi phương trình (2.2)
là khả nghịch và hệ thức (2.3) đúng với các ma trận con Pk . Khi đó, với
mọi n ∈ Z ma trận Pn được biểu diễn dưới dạng:


(n)
(n)
P1 P2
Pn =  (n) (n)  , n = 0, P0 = I
(2.12)
P3 P4
(n)

trong đó các hệ thức (2.3) vẫn đúng cho các ma trận con Pk .
15

Chứng minh: + Rõ ràng, các hệ thức (2.3) luôn đúng cho các ma trận
(0)
(1)
con Pk và Pk .
(n)
+ Giả sử rằng hệ thức (2.3) đúng cho các ma trận con Pk , với n > 1.
Khi đó, không khó để chỉ ra rằng các hệ thức này cũng thỏa mãn cho
(n+1)
các ma trận con Pk
. Tức là các hệ thức (2.3) luôn đúng cho các ma
(n)
trận con Pk với mọi n ∈ Z, n ≥ 0.
+ Từ bổ đề 2.1, các hệ thức (2.3) cũng đúng cho các ma trận con
(n)
Pk với mọi n ∈ Z, n ≤ 0. Vậy bổ đề 2.2 đã được chứng minh.
Bổ đề 2.3: Giả sử rằng ma trận P được biểu diễn bởi hệ thức (2.2)
là khả nghịch và các ma trận con Pk thỏa mãn các hệ thức (2.3). Khi
đó, ta có:
T
ˆIPn = ˆIPn , ∀ n ∈ Z
(2.13)
(n)

Chứng minh: Từ bổ đề 2.2, các ma trận con Pk phải thỏa mãn hệ
thức (2.3) với mọi n ∈ Z. Từ điều này có thể thấy rằng:




ˆIPn = 

(n)
P3
(n)
P1

(n)
P4
(n)
P2

T

 → ˆIPn = 


(n)
P3
(n)

P1

T

(n)
P4

T

(n)

P2

T
T

 ˆ n
 = IP

Chứng minh mệnh đề 2.1:
¯ ˆIPn ta thu
Nhân phía trước hai vế của phương trình (2.68)1 với Y
được:
¯ T ˆI Pn Y = i Y
¯ T ˆI Pn+1 Y
Y
(2.14)
Lấy chuyển vị và liên hợp phức hai vế của phương trình (2.14) và sử
dụng phương trình (2.13) ta suy ra:
¯ T ˆI Pn Y = −i Y
¯ T ˆI Pn+1 Y
Y

(2.15)

Từ phương trình (2.14) và (2.15) ta thu được phương trình sau:
d ¯ Tˆ n
¯ T ˆI Pn Y = C ∀ y ∈ [0 + ∞]
Y IP Y = 0 → Y
dy

trong đó C là một hằng số. Do Y(+∞) = 0 (xem phương trình (2.1))
nên hằng số C phải bằng không.
Cho y = 0, phương trình (2.16) dẫn về hệ thức cơ sơ (2.4). Vậy hệ
thức cơ sở (2.4) đã được chứng minh.
16


Nhận xét 2.1:
i) Hệ thức cơ bản (15) trong bài báo [17] là một trường hợp đặc biệt của
hệ thức (2.4) khi P là một ma trận thực.
ii) Từ hệ thức (2.4) ta thu được nhiều nhất (2m − 1) phương trình độc
lập tuyến tính (theo định lý Cayley-Hamilton).
iii) Hệ thức (2.4) được sử dụng để tìm phương trình tán sắc dạng hiện
(dạng tường minh) của một loạt các bài toán về sóng mặt.
iv) Từ chứng minh của mệnh đề 2.1, ta chỉ ra rằng hệ thức cơ bản (2.4)
không chỉ đúng tại y = 0 mà tại mọi y ∈ [0 + ∞), tức là:
¯ T (y)ˆIPn Y(y) = 0 ∀ n ∈ Z, ∀ y ∈ [0 + ∞)
Y

2.2

(2.16)

Sóng Rayleigh trong bán không gian
đàn hồi trực hướng, nén được chịu điều
kiện biên trở kháng

2.2.1

Các phương trình cơ bản

Xét vật thể chiếm bán không gian x2 ≥ 0. Xét bài toán biến dạng
phẳng với các thành phần chuyển dịch ui , (i = 1, 2, 3) có dạng

Hình 2.1: Bán không gian đàn hồi trực hướng, nén được x2 ≥ 0
ui = ui (x1 , x2 , t), i = 1, 2, u3 ≡ 0
17

(2.17)