Bài tập tự luận và trắc nghiệm tích phân

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (415.84 KB, 17 trang )

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
TÍCH PHÂN
1. Khái niệm tích phân
 Cho F  x  là một nguyên hàm của f  x  và f  x  liên tục trên đoạn  a; b  thì
b

 f ( x)dx  F( x)

b
a

 F ( b)  F ( a )

a

 Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:

b



b

b

a

a

f ( x)dx   f (t )dt   f (u)du  ...  F(b)  F( a)

a

2. Tính chất của tích phân
Giả sử các hàm f , g liên tục trên K và a , b , c là 3 số bất kì thuộc K . Ta có:
a

  f ( x)dx  0
a

b

a

b

  f ( x)dx    f ( x)dx

a

b

b

b

b

a

a

a

b

  kf ( x)dx  k  f ( x)dx , k  
a

a

b

   f ( x)  g( x)  dx   f ( x)dx   g( x)dx

c

b

a

c

  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
a

b

b

b

Chú ý:  f ( x) g( x)dx  
a

a

b

b

f ( x)
dx 
f ( x)dx. g( x)dx , 
g( x)
a

a

 f ( x)dx
a
b

.

 g( x)dx
a

A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
LOẠI 1. DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM, ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT
b

 f ( x)dx  F( x)

b
a

 F ( b)  F ( a )

a

Bài 1:

Tính các tích phân sau:
2

a)  ( x 3  2 x  1)dx .

1

1

b)  ( x 2  x)(2 x  1)dx .
0

2

c). 
1

x3  x
dx
x2

1

d) 
0

x1
dx
2 x  3x  1
2

.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
Biên tập: ĐẶNG NGỌC HIỀN

Page 1

ĐT: 0977802424

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
Bài 2:

Tính các tích phân sau:
2

2

a)  x 2  x dx .









b).  max x 2  3 x  1, x  1 dx

0

0



2

c)  1  cos 2 xdx

d)  min 2 x 2  x  1, x  1 dx
0

0

.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................

MỘT SỐ DẠNG HAY GẶP
f (sin x) cos xdx.


 f (cos x) sin xdx.

Đặt t  cos x
Đặt t  ln x

1

 f (ln x) x dx.
f  x  chỉ chứa 1 lượng căn
1

 f (tan x) cos

2

x

1

 f (cot x) sin
 f (e

x

2

x

n

Đặt t  n ax  b

ax  b

Đặt t  tan x

dx.

Đặt t  cot x

dx.

Đặt t  e x

)e dx.

Biên tập: ĐẶNG NGỌC HIỀN

Đặt t  sin x

x

Page 2

ĐT: 0977802424

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG


.

Dạng 2: Giả sử ta cần tính I   f  x  dx  0 .


f(x) có chứa

Cách đổi biến

a2  x 2

x  a sin t ,



a2  x 2

x  a tan t ,



x2  a2

x

a
,
sin t


2



t
t


2



2
2
  
t    ;  \0
 2 2

Bài 3:

Tính các tích phân sau:

1

x 3 dx
.
2 3
0 (1  x )

a) 

1

b).  x 2  x 2 dx.
0


2





e)  1  sin 5 x .cos xdx f)

ln 2



ex
dx
1  ex

1

c).  x 3 1  x 2 dx
0

1
2

g) 

e

d) 
1

3

dx

h) 

1  3 ln x ln x
dx
x

dx

x 3
2

1 x
0
.........................................................................................................................................................................
0

0

0

2

.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
Biên tập: ĐẶNG NGỌC HIỀN

Page 3

ĐT: 0977802424

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................

LOẠI 3. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
b

b

 udv  u.v a   vdu
a

b

a

b

Dạng :  P( x).Q( x)dx Nhưng chưa tìm được nguyên hàm
a

Để làm dạng này ta tạm định nghĩa các nhóm hàm như sau:





Nhóm hàm lôgarit ln n f ( x),log na f ( x) .(Chưa có nguyên hàm trong bảng)
Nhóm hàm đa thức: f ( x)  a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n .(Có nguyên hàm yếu)

Nhóm hàm lượng giác: sin( ax  b),cos( ax  b) .(Có nguyên hàm trong bảng)





Nhóm hàm mũ: e mx  n , a mx  n . (Có nguyên hàm trong bảng)
Phương pháp:

Nhận dạng: Hàm số dưới dấu nguyên hàm có 2 trong 4 nhóm hàm trên nhân với nhau.

Cách giải: Ưu tiên nhóm hàm chưa có nguyên hàm đặt là u, còn lại là dv. Từ đó ta có
cách đặt u của các dạng nguyên hàm từng phần thường gặp tuân theo câu thần chú sau:
Nhất lô – Nhì đa – Tam lượng – Tứ mũ.
Bài 4:

Tính các tích phân


2

a)  ( x  3) sin xdx .
0

1

b)  ( x  3)e  x dx .
0

e

c)  ( x  2) ln xdx .
1

1

d)  ( e 2 x  x)e x dx
0

.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................

Nếu f (1)  2, f (6)  21 , f ( x) liên tục thì giá trị  f ( x)dx bằng ?
1

B. 19 .

A. 23 .
2

Câu 3.

Nếu  f ( x)dx  3,

5

5

1

2

C. 7 .

B. 13 .
6

Câu 4.

Nếu  f ( x)dx  20 thì giá trị
0

A. 40 .
Câu 5.

D. 19 .

 f ( x)dx  10 thì giá trị  f ( x)dx bằng ?

1

A. 7 .

C. 5 .

D. 3.

3

 f (2 x)dx bằng ?
0

B. 10 .

C. 20. .

3

3

3

1

1

1

D. 24.

Nếu  f ( x)dx  4,  g( x)dx  3 thì giá trị   3 f ( x)  2 g( x) dx bằng ?

A. 6 .
B. 7 .
C. 18
D. 22 .
Câu 6. Cho f ( x) là hàm số liên tục trên  a; b  . Đẳng thức nào sau đây SAI?
b

a

b

A.  f  x  dx    f  x  dx.
a

B.  kdx  k  b  a  ; k  .

b

b

c

b

a

a

c

a





b

a

a

b

C.  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx; c   a; b  . D.  f  x  dx   f  x  dx.
1

Câu 7.

Giả sử  f  x  dx  2;
0

4

4

0

0

4

4

1

0

 f  x  dx  3;  g  x  dx  4 . Khẳng định nào sau đây là SAI?
4

A.  f  x  dx   g  x dx .

B.   f  x   g  x  dx  1.
0

4

C.   f  x   g  x  dx  9 .

4

0

0

D.  f  x  dx   g  x dx.

0

Câu 8.

4

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào SAI?
b

A. Nếu f ( x)  0, x   a; b  thì  f ( x)dx  0 .
a

a

B. Nếu f   x    f  x  , x  a; a  thì  f  x  dx  0 .
a

b

b

b

a

a

a

C.   f  x  .g  x   dx   f  x  dx .  g  x  dx , với mọi hàm số f  x  , g  x  liên tục trên  a; b  .
x2

1
D. Nếu  f  x  dx  F  x   C , C   thì  f  ax  b  dx   F  ax2  b   F  ax1  b   , a  0 .
a
x1
Câu 9.

Nếu hàm số y  f  x  xác định, liên tục và không đổi dấu trên  a; b  thì đẳng thức nào

sau đây là đúng?
b

a

a

b

A.  f  x  dx   f  x  dx .
Biên tập: ĐẶNG NGỌC HIỀN

b

a

a

b

B.  f  x  dx    f  x  dx.
Page 5

ĐT: 0977802424

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
b

a

a

b

b

a

D.  f  x  dx 

C.  f  x  dx    f  x  dx .

 f  x  dx .

a

b

Câu 10. Nếu các hàm số f  x  và g  x  đều xác định, liên tục và có cùng một dấu trên  a; b 
thì đẳng thức nào sau đây là đúng?
a

b
b f  x  dx
a
 a

f  x
A.   f  x  .g  x   dx    f  x  dx  .   g  x  dx  . B. 
dx  a
.
a
a g  x
b
 b

 g  x  dx
b

b

b

C.  f  x   g  x  dx 
a

a


b

a

f  x  dx   g  x  dx .
b

5

Câu 11. Giả sử  f  x  dx  5,
0

a

a

b

D.  f  x   g  x  dx    f  x   g  x   dx .

6

6

 f  x  dx  8. Khi đó  f  x  dx bằng
0

5

B. 3 .

A. 3 .

b

D. 13.

C. 13 .

5

5

4

1

4

1

Câu 12. Nếu  f  x  dx  a ,  f  x  dx  b thì  f  x  dx bằng
A. a  b .

B. b  a .

C. a  b .

D. a  4b .

a

a

0

0

Câu 13. Cho  f  x  dx  5 và f  x  là hàm số chẵn. Khi đó  f  x  dx bằng
A. 0.

C. 5 .

B. 5.
8

D. 10.

3

Câu 14. Cho  f  x  dx  15 . Khi đó  f  3 x  1 dx bằng

1

0

A. 45 .

B. 9 .

C. 5 .

1

7

0

5

D. 24 .

Câu 15. Cho  f  2 x  5  dx  15 . Khi đó  f  x  dx bằng
A.

15
.
2

B. 17 .

C. 21 .

D. 30 .

Loại 2. Dùng bảng nguyên hàm

 dx  x  c ,  kdx  kx  C

  x dx 

 1

x

1 ( ax  b) 1
  ( ax  b) dx  .
 C ,(  1)
a
 1
dx
1 1

 .
 C ,( x  b / a)
2
a ax  b
( ax  b)

 C ,(  1)

 1
dx
1
  2    C ,( x  0)
x
x
3

Câu 16. Tính I   (2 x 2  4 x  1)dx
1

A. I 

7
.
3

B. I 
1

9
.
4



C. I 

10

.
3

D. I 

3
.
5



Câu 17. Giá trị của tích phân  y 3  3 y 2  2 dy là
0

A. 4.

3
B.  .
4

Biên tập: ĐẶNG NGỌC HIỀN

C. 6.

Page 6

D. 3.

ĐT: 0977802424

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
a

Câu 18. Tìm a, biết  (3 x 2  2 x  1)dx  5 .
1

A. a  2 .

B. a  3 .

C. a  4 .

D. a  5 .

b

Câu 19. Tập hợp các giá trị của b sao cho   2 x  4  dx  5 là
0

B. 5; 1 .

A. 5 .

C. 4 .

D. 4; 1 .

m

Câu 20. Biết   2 x  5 dx  6 , tất cả giá trị m là
0

A. m  1, m  6 .

B. m  1, m  6 .

C. m  1, m  6 .

D. 

dx
1
   C ,( x  0) .
2
x
x

Câu 21. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
3

3

A.  x 2 dx  0 .





B.  x 2  1 dx  0 .

3

3

3

C.  x 3 dx  0 .
3

3





D.  x 2  x dx  0.
3

2

dx
bằng
4
1 x
31
31
A. .
B.  .
5

5
2
a
2
dx 
.
Câu 23. Tìm a, biết 
3
100
1  3 x  1

Câu 22. Tích phân I  

B. a  7 .

A. a  6 .
2

Câu 24. Cho  x 3 dx 
1

A. T  8 .

a
b



Câu 25. Cho  2 x  1dx 
1

A. T  8 .

a

C. T  6 .

D. T  8 .

C. T  7 .

D. T  6 .

C. a  3 .

D. a  4 .

4x  2
25
.
dx 
2
3
x
4

B. a  2 .

1

D. a  8 .

a 5 b
với a , b  ; c   . Tính T  a  b  c
c

Câu 26. Tìm a, biết a  N * và 

Câu 27. Cho 

7
.
24



2

2

D. 

a
8  c với a , b , c   ; là phân số tối giản. Tính T  a  b  c 5 .
b

B. T  5 .

A. a  1 .

7
.
24

C. a  4 .

B. T  6 .
3

C.

x x x
a 2 b 2 c
dx 
với a , b , c  ; d   . Tính T  a  b  c  d
x
d
3

3

A. T  5 .

B. T  5 .

C. T  10 .

D. T  10

C. a  e.

D. a 

C. 3.

D.

1

2
2 ln a
.
dx 
2
3
0 (2 x  1)

Câu 28. Tìm a, biết 
A. a  1 .

B. a  2 .

2
.
3

3

Câu 29. Giá trị của tích phân  x 2  x  2 dx là
0

A. 4.

B. 5.
4

Câu 30. Tích phân  x 2  3 x  2 dx 
1

Biên tập: ĐẶNG NGỌC HIỀN

31
.
6

a
a
với a , b   ; là phân số tối giản. Tính T  a  2b .
b
b
Page 7

ĐT: 0977802424

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
A. T  22 .

B. T  17 .

C. T  23 .

D. T  67 .

Loại 2. Dùng bảng nguyên hàm(tt)



dx
 ln x  C ,( x  0)
x



dx
1
 ln ax  b  C ,( x  b / a)
ax  b a

2x3  2x  1
1
dx  2   2 ln a
2
a
x
1
B. a  3 .
C. a  4 .

a

Câu 31. Tìm a, biết a  0 và 
A. a  2 .

D. a  1 .

5

1
dx  ln A , giá trị của A là

2
x
1
1

Câu 32. Giả sử 
A. 3.

B. 9.
5

Câu 33. Giả sử 
3

C. 81.

D. 8.

dx
 ln a. Khi đó giá trị của a là
x 1

A. 2 .

B. 3 .

Câu 34. Tìm a , biết a  1 và
A. a  1 .

C. 5 .



2

B. a  2 .
1

Câu 35. Tính I  
0

D. 15.

2 x  3x  1
1
dx   ln(2 a  1) .
2x  1
2

1
a

C. a  3 .

D. a 

1
.
2

dx
.
x  4x  3
2

3
A. I  ln .
2

1 3
1 3
1 3
B. I  ln .
C. I   ln .
D. I  ln .
3 2
2 2
2 2
1

dx
a
a
Câu 36. Cho  2
 ln với a , b   ; là phân số tối giản. Tính T  2 a  b .
b
b
0 x  5x  6

A. T  3 .

B. T  10 .
1

C. T  11 .

D. T  4 .

C. a  2 .

D. a  3 .

C. J  ln 5 .

D. J  ln 5 .

xdx
a
. Tìm a.


3
32
0 ( x  1)
2

Câu 37. Biết a  0 và 
A. a  2 .

B. a  4 .
2

Câu 38. Tính J  
0

A. J  ln 2 .

(2 x  4)dx
.
x2  4x  3

B. J  ln 3 .
2

Câu 39. Cho 
0

( x  1)
dx  a ln 5  b ln 3 với a , b   . Tính T  a  2b .
x  4x  3
2

B. T  7 .
C. T  9 .
D. T  9 .
x
a c
a c
dx  ln với a , b , c , d   ; , là các phân số tối giản. Tính
Câu 40. Cho  2
b d
b d
2 x 1
A. T  8 .

3

T  a  b  c  d .
A. T  5 .
3

Câu 41. Biết 
2

A. a  1 .

B. T  4

C. T  12 .

D. T  14 .

dx
ln( a  1)

. Tìm a .
2
x  2x  1
B. a  e .

C. a  1  e .

D. a  1  e .

2

Biên tập: ĐẶNG NGỌC HIỀN

Page 8

ĐT: 0977802424

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
Loại 2. Dùng bảng nguyên hàm(tt)

  e x dx  e x  C

  a x dx 

1
  e ax  b dx  e ax  b  C
a
1 amx  n
  amx  ndx  .
C
m Lna

ax
 C ,(0  a  1)
lna
2

Câu 42. Giá trị  2 e 2 x dx bằng
0

B. e 4  1 .

4

A. e .
1

Câu 43. Cho  (1  e 2 x )2 dx  e 2 

0

C. 4e 4 .

D. 3e 4 .

b
e4 b
 với b   ; là phân số tối giản. Trong không gian với
c
a c

hệ trục tọa độ Oxyz gọi điểm M  a; b; c  . Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng Oxy bằng
A. 1 .

B. 4 .

C. 17 .

D. 3 .

1

a 1 1
Câu 44. Cho  (1  e  x )2 dx   2  với a , b , c   . Tính T  a  b  c
e be
c
0

A. T  2 .

B. T  4 .
C. T  6 .
x

 
Câu 45. Nếu I    4  e 2  dx  K  2 e thì giá trị của K là
2 

25
A. 11.
B. 9.
C. . .
2

D. T  8 .

0

1



Câu 46. Tính I   2 x  3 x



2

D. 10.

dx .

0

4
12
9


.
ln 4 ln 6 ln 9
3
10
8


C. I 
.
ln 4 ln 6 ln 9

A. I 

B. I 

3
10
8



.
ln 4 ln 6 ln 9

D. I  ln 2  2 ln 3 .
Loại 2. Dùng bảng nguyên hàm(tt)

  sin xdx   cos x  C

  cos xdx  sin x  C



1
  sin( ax  b)dx   cos( ax  b)  C
a
1
  cos( ax  b)dx  sin( ax  b)  C
a
dx
1

 tan( ax  b)  C

2
cos ( ax  b) a

dx
 tan x  C
cos 2 x
dx
  cot x  C

sin 2 x

dx
1
  cot( ax  b)  C
a
sin ( ax  b)
1
  tan( ax  b)dx   ln cos( ax  b)  C
a
1
  cot( ax  b)dx  ln sin( ax  b)  C
a



  tan xdx   ln cos x  C

  cot xdx  ln sin x  C

2


2

Câu 47. Tính I   (1  cos 2 x)dx .
0

A. I 


2



1
.
2

B. I 

Biên tập: ĐẶNG NGỌC HIỀN


2

.

C. I  0 .
Page 9

D. I 


4

.

ĐT: 0977802424

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG

2

Câu 48. Cho  (1  sin 3 x)dx 
0

A. T  4 .



b
b
 với a , c   ; là phân số tối giản. Tính T  2 a  b  c .
a c
c

B. T  2 .

C. T  6 .

D. T  8 .


2

Câu 49. Cho   sin x  cos x  1 dx 
0


a

 b với a , b   . Trong hệ trục tọa độ Oxyz gọi M  a; b; 3  .

Tính độ dài đoạn OM .
A. OM  17 .

B. OM  7 .

D. OM  8 .

C. OM  17 .


4

Câu 50. Cho  e x ( e  x 
0

ex

)dx  a  với a , b   . Tính T  a  2b .
2
b
cos x
B. T  6 .

A. T  9 .

C. T  2 .

D. T  7


4

Câu 51. Cho 


1
a c
a
với b , c   ; là phân số tối giản. Tính T  a  2b  c .
dx 
2
b

b
sin x.cos x
2

6

A. T  11 .

B. T  5 .

D. T  11 .

C. T  10 .



Câu 52. Cho

4


 sin

b
cos 2 x
b
3 với với b , c   ; a   ; là phân số tối giản. Tính
dx  a 
2
2

c
c
x.cos x

6

T  a  b  c .
A. T  9 .

B. T  5 .

C. T  5 .

D. T  9 .


1
Câu 53. Để   sin 2 t   dt  0, với k   thì x thỏa:
2
0
x

A. x  k 2 .

B. x  k .

C. x 

k
.

2

D. x    k 2

a

Câu 54. Nếu   sin x  cos x  dx  0, 0  a  2 thì giá trị a bằng:
0

A.


4

.

B.


2

.

C.

3
.
2
m

D. 





Câu 55. Với giá trị nào của tham số m thì tích phân I   x  sin 2 x dx bằng

 2  4  8
32

0

A. m  1 .

B. m 



.

6
Câu 56. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

C. m 


3

D. m 

.









2

2

2

2

0

0

0

0

A.  sin xdx   cos xdx .

4

.

B.  sin xdx   tan xdx.









2

2

2

2

0

0

0

0

C.  sin xdx    cos xdx .



?

D.  sin xdx    tan xdx.


3

Câu 57. Tính I   tan xdx


4

Biên tập: ĐẶNG NGỌC HIỀN

Page 10

ĐT: 0977802424

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
6
.
2

A. I  ln

C. I  ln 2 .

B. I  ln 2 .

D. I   ln 2


3
a c
a c
Câu 58. Cho  cot xdx  ln với b , d   ; , là các phân số tối giản. Trong mặt phẳng tọa
b d
b d

4

độ Oxy gọi M  a; b  , N  c; d  . Tính độ dài đoạn thẳng MN

B. MN  4 2 .

A. MN  2 .

C. MN  2 2 .

D. MN  4 .


4

Câu 59. Tính I   sin 2 xdx
0

A. I 


8



1
.
4

B. I 


8



1
.
2

C. I 


8



1
.
2

D. I 


8



1

4


4
a
a 
Câu 60. Cho  cos 2 xdx   với a , c   ; là phân số tối giản. Tính T  a  b  c .
b c
b
0

A. T  11 .

B. T  13 .

C. T  8 .

D. T  9

a

Câu 61. Nếu  sin x cos xdx  0,0  a  2 thì a bằng
0

A. a   .

B. a 


2

C. a 

.

3
.
2

D. a 


4

m

Câu 62. Giải phương trình ẩn m sau đây  cos xdx  0.
0

A. m 


3

B. m 

. .


3

 k 2 , k  . C. m 


6

 k 2 , k  . . D. m  k , k  .


4

Câu 63. Tính I   sin 3 x cos xdx .
0

B. I  1 .

A. I  0 .

C. I 

1
.
2

D. I 

1
.
4


4

Câu 64. Cho  cos 3 x cos xdx 
0

A. T  1 .

a
a
với b   ; là phân số tối giản. Tính T  a  b
b
b

B. T  5 .

C. T  3 .

D. T  3


4
a
a
Câu 65. Cho  sin 3 x sin xdx  với b   ; là phân số tối giản. Trong mặt phẳng tọa độ
b
b
0

Oxy , điểm M  a; b  là tâm đối xứng của đồ thị hàm số nào sau đây?

A. y 

x4
.
x 1

B. I 

1  4x
.
1 x

C. y 

4x  1
.
x1

D. y 

x2

x4


4

1
a
a
dx  với b   ; là phân số tối giản. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,
1  sin 2 x
b
b
0

Câu 66. Cho 

điểm I  a; b  là đỉnh của parabol có phương trình nào sau đây?

A. y  x 2  2 x  3 .

B. y  x 2  4 x  5 .

Biên tập: ĐẶNG NGỌC HIỀN

C. y   x 2  6 x  7 .

Page 11

D. y  x 2  2 x  3 .

ĐT: 0977802424

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG

4

1
a
a
dx  với với b   ; là phân số tối giản. Tính T  a  b
b
1  cos 2 x
b
0

Câu 67. Cho 
A. T  1 .

B. T  1 .

C. T  3 .

D. I  2


2

1
dx  a  b với a   , b   . Tính T  2 a  b .
1  cos x

Câu 68. Cho 


3

A. T  11 .
B. T  5 .
C. T  6 .
Câu 69. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

D. T  7





4





A.  sin  x   dx   sin  x   dx .
4
4


0
0







3
4





B.  sin  x   dx   cos  x   dx .
4
4


0
0



C.  sin  x   dx 
4

0


0







sin  x   dx   sin  x   dx .
4
4


3
4





4





D.  sin  x   dx  2  sin  x   dx .
4
4


0
0

Loại 3. Đổi biến số
1

Câu 70. Tích phân I  
0

x1
dx bằng
x  2x  5
2

8
A. ln .
5

1 8
B. ln .
2 5
1

xdx
Câu 71. Tích phân: J  
bằng
3
0 ( x  1)

8
D. 2 ln .
5

1
.
C. J  2 .
D. J  1 .
4
3
x
a c
a c
Câu 72. Cho  2
dx  ln với b , d   ; a , c   ; , là các phân số tối giản. Tính
b d
b d
2 x 1

A. J 

1
.
8

8
C. 2 ln .
5

B. J 

S  a  b  c  d .
A. S  5 .

B. S  11 .
1

Câu 73. Gọi I  
0

A. I 


2

3

Câu 74. Cho

x
1

D. S  16 .

xdx
thì
x2  1

B. I 

.

C. S  13 .


4

.

C. I 

ln 2
.
2

D. I  ln 2.

a c
a c
1  x 2 dx  
2 với b , d   ; a , c   ; , là các phân số tối giản. Trong
b d
b d

mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi M  a; b  , N  c; d  . Tọa độ trung điểm của đoạn MN là
3 
A.  ; 3  .
2 

B.  3; 3  .

Biên tập: ĐẶNG NGỌC HIỀN

5 
C.  ; 3  .
2 

Page 12

D.  5; 3  .

ĐT: 0977802424

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
1

Câu 75. Tích phân I   x  1  x  dx bằng
19

0

A.

1
.
420

B.

1
.
380

C.

1
.
342

D.

1
.
462

1

Câu 76. Tích phân L   x 1  x 2 dx bằng
0

A. L  1 .

B. L 

1
.
4

C. L  1 .

D. L 

1
.
3

2

Câu 77. Cho I   2 x x 2  1dx và u  x   x 2  1 . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
1

3

2

2
B. I 
27 .
3

A. I   udu .
0

1

Câu 78. Biết tích phân  x 1  xdx 
0

A. 18 .

C. I   udu .
0

M
M
, với
là phân số tối giản. Giá trị M  N bằng:
N
N

B. 19 .
7

dx có giá trị là:
1 x 1
9
3
9
2
B.  3 ln .
C.  3 ln .
2
2

2
3

3
3
A.  3 ln .
2
2

Câu 80. Cho I 



cos  ln x 

1

D. 21

3

0



C. 20 .

1

Câu 79. Tích phân I  

e2

3

2 3
D. I  u 2 .
3 0

x

dx , ta tính được:

B. I  1 .

A. I  cos1 .

9
2
D.  3 ln .
2
3

C. I  sin 1 .

D. I  sin 2  sin 1 .



a

sin x.cos 3 x
a 1

0 cos2 x  1 dx  b  c ln 2 với b   ; a, c   ; b là phân số tối giản. Tính
2

Câu 81. Cho
T  a  b  c .
A. T  2 .

B. T  6 .

C. T  3 .

D. T  1 .


1

Câu 82. Cho tích phân I  
0

A. I  J .

2

x
x3

dx và J  

0

cos x
dx , phát biểu nào sau đây đúng:
3 sin x  12

B. I  2 .

Câu 83. Tích phân I 

0

1
C. J  ln 5 .
3

D. I  2 J .

C.  ln 2 .

D. ln 2 .

cos x

 2  sin x dx có giá trị là:



A. ln 3 .

2

B. 0 .

6

Câu 84. Cho I   sin m x cos xdx 
0

A. 6.

1
. Khi đó m bằng
64

B. 5.

C. 4.

D. 3.


6

Câu 85. Tích phân I   sin 3 x.cos xdx bằng:
0

Biên tập: ĐẶNG NGỌC HIỀN

Page 13

ĐT: 0977802424

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
A. 6 .

C. 4 .

B. 5 .

D.

1
.
64


2

Câu 86. Tính   1  cos x  sin xdx ta được
n

0





2

2

1
A.   1  cos x  sin xdx 
.
2n
0

B.   1  cos x  sin xdx 

n

n

0



1
.
n1



2

2

1

C.   1  cos x  sin xdx 
.
n1
0

D.   1  cos x  sin xdx 

n

n

0

1
.
2n  1





4



Câu 87. Tích phân I   cos 2 x cos 4 x  sin 4 x dx bằng
0

A.

5
.
6

B.

5
7
.
C. .
24
12
e
2
1  ln x
Câu 88. Tích phân I  
dx có giá trị là:
x
1

A.

1
.
3

B.
1

2

.
3

D.

5
.
12

4
D. .
3

C. 1 .

Câu 89. Tích phân I   x.e x 1dx có giá trị là:
2

0

e e
.
2
2

A.

B.

e2  e

.
3

C.

e2  e
.
2

D.

e2  e
.
3


2

Câu 90. Tích phân I   cos xe sin x dx  m thì m thỏa mãn phương trình
0

B. ln  x  1  0 .

A. ln x  1 .
Câu 91. Tích phân I 

2 3



x x2  3

2

A.


6

3

Câu 92. Đặt I 

6


3 2

A. dx 

dx
x x 9
2

D. ln  x  1  1 .

dx bằng:

B.  .

.

C. ln  x  1  0 .

C.

và x 


3

.

D.


2

.

3
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào SAI?
cos t

3 sin t
dt .
cos 2 t

B. I 

sin tdt
.
3 cos t tan t

D.


36

.


3

C. I  


dx
x x 9
2



sin tdt
.
3 cos t tan t

4
a

Câu 93. Tích phân  x 2 a 2  x 2 dx  a  0  bằng
0

A.

 .a 4
8

.

B.

 .a4
16

Biên tập: ĐẶNG NGỌC HIỀN

.

C.

 .a3
16

Page 14

.

D.

 .a3
8

.

ĐT: 0977802424

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
3

2

1

0





Câu 94. Cho  xf  1  x  dx  6 . Tính I   x 2 f 1  x 3  1 dx .
A. I  9 .



Câu 95. Cho  xf 1  e

x

 dx  2000 . Tính I   x f 1  e  dx .
B. I  4000 .

Câu 96. Cho  xf
0



x

3

1

A. I  2000 .
2

D. I  2 .

2

1

A. I 

C. I  4 .

B. I  6 .
4

C. I  1000 .



x 2  1 dx  5 . Tính I 

5
.
2

 xf  x  dx .
1

C. I  5 5 .

B. I  10 .
1

dx

Câu 97. Đổi biến x  2 sin t tích phân 

4  x2

0





6

6

6

0



1
C.  dt .
t
0

B.  dt .
0

D. I  5 .

trở thành:



A.  tdt .

D. I  3000 .

5

3

D.  dt
0

Loại 4. Phương pháp tích phân từng phần
b

b

 udv  u.v a   vdu
a

b

a



Câu 98. Tích phân L   x sin xdx bằng:
0

A. L   .

B. L   .

C. L  2 .

D. L  0 .


3
1  3
Câu 99. Cho  x cos xdx  
với a , b   . Tính T  2 a 2  b .
a
b
0

A. T  5 .

B. T  9 .

C. T  14 .

D. T  16 .

C. 2 2  3 .

D. 2 2  3



Câu 100. Tích phân I   x 2 sin xdx bằng :
0

A.   4 .

B.  2  4 .

2


4

Câu 101. Cho  x.cos xdx 
0

A. T  15 .

 2
a



b

 (2 x  1) ln xdx  a ln 2  c
1

T  a  b  c .
A. T  6 .

B. T  3 .
ln 2

Câu 103. Cho

C. T  11 .

B. T  13 .
2

Câu 102. Cho

2
 c với a , b , c   . Tính T  a  b  c .
b

 xe
0

T  abcd
A. T  3 .

x

dx 

D. T  9 .

b
với c   ; a , b  ; là phân số tối giản. Tính
c
C. T  5 .

D. T  1 .

a
a
c  d ln 2  với b   ; a , c , d   ; là phân số tối giản. Tính

b
b

B. T  5 .

C. T  4 .

D. T  7 .

C. 1.

D. 1 .

1

Câu 104. Giá trị  xe 1 x dx bằng
0

A. 1  e .

B. e  2 .

Biên tập: ĐẶNG NGỌC HIỀN

Page 15

ĐT: 0977802424

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
2

ln x
dx bằng:
2
1 x
1
B.  1  ln 2  .
2

Câu 105. Tích phân I  
A.

1
1  ln 2  .
2

C.

1
 ln 2  1 .
2

D.

1
 1  ln 2  .
4

1

Câu 106. Cho   1  x  e x dx  a.e  b với a , b   . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , khoảng cách từ
0

điểm M  a; b  đến đường thẳng  : x  y  2  0 bằng
A.

5 2
.
2

B.

3 2
.
2

C.

2
.
2

D. 3 .

3

Câu 107. Cho  ln( x 2  x)dx  a  b ln 3 với a , b   . Tính T  a  b .
2

A. T  3 .

B. T  3 .
a

C. T  5 .

D. T  5 .

x
2

Câu 108. Tìm a  0 sao cho  x.e dx  4
0

1
1
.
C. .
D. 2 .
4
2
1
a c

a c
Câu 109. Cho  x 2 e 3 x dx   .e 3 với b , d   ; a , c   ; , là các phân số tối giản. Tính
b d
b d
0

A. 4 .

B.

S  a  b  c  d .
A. S  75 .

B. S  57 .

C. S  61 .

D. S  67 .

Loại 5. Một số dạng đặc biệt
Câu 110. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
3

3

A.  x 2 dx  0 .



3



B.  x 2  1 dx  0 .

3

3

3

C.  x 3 dx  0 .





D.  x 2  x dx  0 .

3

3

Câu 111. Đẳng thức nào sau đây là đúng?


A.



 sin xdx  0 .

B.





 cos xdx  0 .

C.



  sin x 

2



dx  0 .

D.



  cos x 

2

dx  0 .



1

3x 2
dx
x
0 1  2016

Câu 112. Giá trị của tích phân I  

A. 3 .
B. 2 .
Câu 113. Đẳng thức nào sau đây đúng
5

A.



5

C. 1 .

5

D. 0 .


3

sin 2017 x
3x2
. B.

d

x
0
 x dx  0.
2  cos 3 x
5 1  5

3x2
dx  0 .
2
3 x  1

C. 

D.

  sin x  cos x 

2

dx  0.




2

Câu 114. Tích phân I  
0

A. sin 2 x  0 .

cos x
dx  m thì m là nghiệm phương trình nào sau đây?
cos x  sin x

B. cos x  0 .
4



C. sin x  1 .

D. cos 2 x  0 .



Câu 115. Tích phân I   max x 2  2 x  1, x  1 dx .
0

A.