Giải nhanh nguyên hàm, tích phân và ứng dụng bằng máy tính Casio
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.31 MB, 44 trang )
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
Bài 1. NGUYÊN HÀM
I.
Lý thuyết
1. Nguyên hàm
f x dx F x C
2. Tính chất
-
f x dx ' f x và f x dx f x C
k. f x dx k f x dx k 0
f x g x dx f x dx g x dx
3. Bảng nguyên hàm
kdx kx C k const
x dx
x 1
C
1
1
1
u dx
u 1
C
1
1
x dx ln x C
u dx ln u C
e dx e
e dx e
x
x
C
u
u
C
ax
a dx ln a C
cos xdx sin x C
au
a dx ln a C
cos udx sin u C
sin xdx cos x C
sin udx cos u C
x
1
cos
2
x
1
sin
2
x
1
dx tan x C
cos
dx cot x C
sin
a2
x x a2 x2
a x dx 2 arcsin a 2 C
dx
1
ax
a 2 x 2 2a ln a x C
x 2
a
2
2
2
2
2
x a dx 2 x a 2 ln x x a C
2
u
2
Hoàng Văn Bình
2
u
1
2
u
1
dx tan u C
dx cot u C
arcsin
x
C
a
a x
dx
1
x
a 2 x 2 a arctan a C
dx
2
x 2 k ln x x k C
2
2
4. Các phương pháp tìm nguyên hàm
a. Phương pháp đổi biến số
f x dx F x C thì f u x .u ' x dx F u x C
Nếu
Đặt t u x dt u ' x dx . Khi đó
f t dt F t C F u x C
Cách đặt biến:
Dạng 1: Đặt biến thường
f ax b dx đặt t ax b
f
x dx đặt t
x
f tan x dx đặt t tan x
f cot x dx đặt t cot x
f ln x
dx đặt t ln x
x
f e e dx đặt t e
x
f x .xdx đặt t x
n 1
n 1
f sin x cos xdx đặt t sin x
x
x
f cos x sin xdx đặt t cos x
Dạng 2: Đặt lượng giác:
a2 x2
x a tant
1
2
2
x a cot t
a x
1
2
a x2
a2 x2
x a sin t
1
x a cos t
2
2
a x
a
x2 a2
x
sin t
1
2
x a
2
x
a
cos t
Sau khi tìm được nguyên hàm theo t thì ta thay ngược lại vào f x .
b. Phương pháp nguyên hàm từng phần
Hoàng Văn Bình
x
Cho hai hàm số u u x và v v x liên tục và có đạo hàm trên đoạn a; b thì khi đó ta có
udv uv vdu
Cách làm: đặt theo quy tắc: “nhất loga – nhì đa – thức tam – lượng tứ mũ”
c. Dạng nguyên hàm hữu tỉ
dx
1
-
Nguyên hàm dạng:
ax b a ln ax b C
-
Nguyên hàm dạng:
ax
-
Nguyên hàm dạng:
P x
G x dx
Nếu Q x là tích các nghiệm đơn Q x x x1 x x2 ... x xn thì ta tách
P x
A1
G x dx x x
1
2
x x1
dx
1
ln
C với 0
bx c a x1 x2 x x2
An
A2
...
dx
x x2
x xn
Nếu Q x là tích các nghiệm đơn và nghiệm bội giả sử như Q x x x1 x x2 x x3 thì ta
n
tách
A
P x
Bn1
Bn
A2
B1
B2
1
d
x
...
dx
n 1
n
G x x x1 x x2 x x3 x x 2
x x3
x x3
3
Nếu Q x là tích các nghiệm đơn và một tam thức bậc hai vô nghiệm giả sử
x x1 x x2 x2 px q , p 2 4q 0
thì ta tách
P x
A1
G x dx x x
1
d. Dạng nguyên hàm vô tỉ
-
Nguyên hàm dạng R x,
Nguyên hàm dạng R x,
a x đặt x a tant
a
x a đặt x
cos t
x a sin t
Nguyên hàm dạng R x, a 2 x 2 đặt
x a cos t
2
2
2
2
-
ax
Nguyên hàm dạng R x,
đặt x a cos 2t
a x
-
ax b
ax b
Nguyên hàm dạng R x, n
đặt t n
cx d
cx d
Hoàng Văn Bình
A2
Bx C
2
dx
x x2 x px q
-
Nguyên hàm dạng R
1
ax b x
n
2
x
đặt t
1
ax b
e. Dạng nguyên hàm lượng giác
m, n
-
Nguyên hàm dạng sin n x.cos xmdx
m, n chẵn thì dùng công thức hạ bậc
m lẻ thì đặt u sin x , n lẻ thì đặt u cos x
f. Một số dạng tích phân đặc biệt
-
Cho hàm số f x liên tục là hàm chẵn trên a; a thì ta có
Cho hàm số f x liên tục là hàm lẻ trên a; a thì ta có
a
a
a
0
f x dx 2 f x dx .
a
f x dx 0 .
a
-
-
Cho hàm số f x liên tục là hàm chẵn trên ; thì ta có
Cho hàm số f x liên tục trên 0; thì ta có
2
a
f x
dx
a x 1 0 f x dx .
2
f sin x dx f cos x dx .
0
0
2
II. Sử dụng máy tính cầm tay
Bấm máy tính như sau:
d
DA
dx
x X
DB
1. Tích phân hữu tỉ
Dạng
P x
Q x
trong đó bậc của P x Q x . Ta thực hiện phép chia đa thức. Áp dụng phương
pháp r100
Ta giả sử Q x x x1 x x2 x x3 (nhiều hay ít hơn cũng làm tương tự):
P x
A
B
C
R x trong đó R x là biểu thức dư của phép chia.
Q x x x1 x x2 x x3
P x
d
A
dx x x2 x x3 x x1
P x
d
Tìm B
.
dx x x1 x x3 x x2
P x
C d
dx x x1 x x2 x x3
Hoàng Văn Bình
Tìm R x
P x
d
A
B
C
sử dụng cách tách 100
dx x x1 x x2 x x3 x x1 x x2 x x3 x 100
Dạng f x
Cách 1. Bấm:
A
B
ax b
cần tách đưa về dạng
x x1 x x2
x x1 x x2
aX b
d
X x1 X x2
dx
x X
r X x1 A
r X x2 B
Cách 2. Bấm:
aX b
. X x1
X x1 X x2
r X x1 0, 0000001 A
r X x2 0, 0000001 B
A
Cách 3: Bấm
B
d ax b
dx x x2 x x1
d ax b
dx x x1 x x2
Cả ba cách trên nếu tìm nguyên hàm đều cho dạng: A ln x x1 B ln x x2 C .
VD. Tách F x
F x
Bấm:
x2 2 x 6
thành các phân thức tối giản
x3 7 x 2 14 x 8
x2 2x 6
x2 2x 6
A
B
C
3
2
x 7 x 14 x 8 x 1 x 2 x 4 x 1 x 2 x 3
X 2 2X 6
d
X 1 X 2 X 4
dx
r X 1 hệ số A 3
r X 2 hệ số B 7
Hoàng Văn Bình
x X
r X 4 hệ số C 5
x2 2x 6
3
7
5
Vậy F x 3
2
x 7 x 14 x 8 x 1 x 2 x 3
VD. Tính
1
dx
x 1
3
Đặt t 3 x 1 3t 2 dt dx
3t 2
dt
1 t
Thực hiện phép chia bằng máy tính:
3t 2
t 1
Ta nhẩm lấy hệ số cao nhất của tử chia cho mẫu ta được
3t 2
3t
t
Nhập màn hình: r X 100 ta được
Ta để ý vì bậc tử chia bậc mẫu ra bậc nhất nên ta tách
Sửa màn hình:
Ta được
Vậy
3
3
101 t 1
3t 2
3
3t 2 3t 2
3t 3
3t 3ln 1 t C
t 1
1 t
t 1 2
Hoàng Văn Bình
300
được hệ số tự do là 3 .
101
3 3 x 1
2
2
3 3 x 1 3ln 1 3 x 1 C
VD. Tính nguyên hàm
Ta biến đổi:
1 2sin x
dx
3
x cos 4 x
2sin x.cos
1 2sin x
1 2sin x cos x
1 2sin x cos x
1
dx
dx
.
dx
3
4
3
4
2sin x cos x cos x
2 tan x 1 cos 4 x
x cos x
2sin x.cos
1
2 tan x
2
1
tan 2 x 1 2 tan x
cos x
. 2 dx
d tan x
2 tan x 1
cos x
2 tan x 1
Ta thực hiện phép chia đa thức tử chia cho mẫu:
Đặt X tan x
X 2 2X 1
2X 1
X2 1
X
Ta chia bậc cao nhất của tử cho mẫu ta được
2X 2
Nhập màn hình: r X 100
Vì thương của phép chia là bậc 1, mà hạng tử chứa bậc 1 đã là
1
X nên tiếp theo ta sẽ được
2
150 3
201 4
Sửa màn hình: r X 100
Tách
1
1
1
.
804 4 2 X 1
Vậy ta được thương là
1
3 1
1
1
3 1
1
X .
tan x .
2
4 4 2X 1 2
4 4 2 tan x 1
3 1
1
1
3
1
1
2
Suy ra tan x .
d tan x tan x tan x ln 2 tan x 1 C
4 4 2 tan x 1
4
4
8
2
Ta thực hiện
Hoàng Văn Bình
Tách phân thức
ax b a
K
cx d c cx d
aX b a
cX d CALC X 10 K
Nhập máy tính:
cX d c
Khi đó:
ax b
a
K
cx d dx c cx d dx
VD. Tách F x
ax
Kc ln cx d
c
2x 1
2x 1
2x 1
K
1
2x 1
2x 1
2x 1
1 2 x 1 r x 10 K 2
Bấm
2x 1
Vậy F x
2x 1
2
1
2x 1
2x 1
Tách phân thức dạng:
A
P x
Bn1
Bn
A2
B1
B2
1
d
x
...
dx
n 1
n
G x x x1 x x2 x x3 x x 2
x
x
x
x
3
3
3
VD. Phân tích hàm số F x
Ta có
x
x 1 x 1
2
x
x 1 x 1
A
B
C
x 1 x 1 x 12
Ta sẽ tìm được A, C dễ hơn tìm B
Bấm:
x
d
2
x 1 x 1
dx
x X
Tìm A r X 1 ta được A
Để tìm C ta bấm
x
x 1 x 1
2
r X 1, 00001 ta được C
Hoàng Văn Bình
1
4
x 1
1
2
2
2
thành các phân thức tối giản
Để tìm B ta bấm:
x
x 1 x 1
2
x 1
2
r X 1, 00001 ta được
sau đó trừ đi
đem chia cho x 1
B
1
2
xấp xỉ
1
vậy
4
1
4
Vậy F x
x
x 1 x 1
2
1
1
1
4 x 1 4 x 1 2 x 12
Bài này khá phức tạp vì tìm B không r được như bình thường. Các bạn chú ý theo dõi kỹ chỗ
tìm B : khi r được kết quả nào thì trừ cho phần nguyên của số đó. Rồi đem chia cho mẫu của
phân thức ta cần tìm hệ số.
VD. Tách F x
F x
1
thành các phân thức tối giản
x 1
3
1
A
Bx C
2
x 1 x 1 x x 1
3
Tìm hệ số A bấm
1
d 3
x 1
dx
x 1
1
3
Tìm Bx C ta có:
1 2
x x 1 Bx C x 1 1 2
1
1
Bx C
3
x x 1 Bx C x 1 1
x 3 1 3 x 1 x 2 x 1
x3 1
3
Bx C
1
Vậy Bx C
Hoàng Văn Bình
1 2
x x 1
3
. Đến đây để tìm B, C ta vào hệ w2 nhập hàm bên r x i
x 1
1
2
x
3
3
1
2
x
1
1
3
Vậy F x 3
3
x 1 3( x 1) x 2 x 1
III. Ví dụ
VD. Tìm nguyên hàm của hàm số f x x 2 2 x 1
A. F x
1
B. F x x3 x 2 x C
3
1 3
x 2x x C
3
C. F x 2 x 2 C
1
D. F x x3 2 x 2 x C
3
Ta có: f x dx x 2 2 x 1 dx x 2 dx 2 xdx 1dx
VD. Nguyên hàm của hàm số f x
A. ln x ln x 2 C
Ta có:
1
C
x
1
1
là
5x 1
B. ln 5 x 1 C
C.
1
ln 5 x 1 C
5
1
ax b dx a ln ax b C
Áp dụng:
1
1
5x 1 dx 5 ln 5x 1 C
VD. Tìm nguyên hàm của f x 3 x là:
4
A.
1
D. ln x C
x
1
1
1
1
dx dx 2 dx ln x C
2
x
x
x
1
ln 5 x 1 C
5
Ta có:
C. ln x
f x dx x x
VD. Nguyên hàm của hàm số f x
A.
1 1
là
x x2
1
B. ln x C
x
1
x3
x 2 x C . Chọn B.
3
3 x
5
5
C
C. 4 3 x C
5
Ta có: u dx
Hoàng Văn Bình
u 1
C
1
B.
3 x
5
5
C
D. 4 3 x C
5
D. ln 5x 1 C
Áp dụng:
3 x
4
dx
3 x
5
5
C
VD. Biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x
1
3
và thỏa mãn F 0. Tính
x 3x 2
2
2
F 3 .
Ta có: f x
D. F 3 ln 2
1
1
A
B
x 3x 2 x 1 x 2 x 1 x 2
2
Đồng nhất thức ta được
Ta có
C. F 3 2ln 2
B. F 3 2ln 2
A. F 3 ln 2
A B 0
A 1
A B x 2A B
A
B
1
x 1 x 2
x 1 x 2
x 1 x 2
2 A B 1 B 1
1
1
dx
dx ln x 1 ln x 2 C
x 1
x2
3
f 0 C 0 . Vậy f 3 ln 2 .
2
Qua ví dụ trên ta lưu ý:
Có thể nhớ nhanh công thức:
hợp
1
1
1
x a x b dx b a ln
1
ax b
ax b cx d dx ad bc ln cx d
xb
C hay tổng quát hơn cho trường
xa
C
VD. Xét I x 3 4 x 4 3 dx. Bằng cách đặt u 4 x 4 3 . Khẳng định nào sau đâu đúng?
5
A. I
1 5
u du
4
B. I
1
u 5 du
12
Đặt u 4 x 4 3 du 16 x 3dx x 3dx
C. I
1
u 5 du
16
D. I u 5du
5
1
du
u 5 du.
thay vào I x 3 4 x 4 3 dx. ta được
16
16
VD. Giả sử F x ax2 bx c e x là một nguyên hàm của hàm số f x x 2e x . Tính S a b c
A. S 1
B. S 0
C. S 5
Ta có F ' x 2ax b e x e x ax 2 bx c e x ax 2 2a b x b c e x x 2
a 1
a 1
2a b 0 b 2
b c 0
c 2
Hoàng Văn Bình
D. S 2
Hoặc một cách khác: dựa vào bản chất của nguyên hàm từng phần mà ta có:
Tạm ký hiệu như sau: u ', u '', u ''',... là đạo hàm lần 1, 2, 3 …. Của u x . v1 , v2 , v3 ,... là nguyên hàm
lần 1,2,3… của v x .
Ta có được: uv1 u ' v2 u '' v3 ... ...
Áp dụng: u x 2 u ' 2 x, u '' 2 ; v ex v1 e x , v2 e x , v3 e x
x2 .e x 2 x.e x 2e x e x x 2 2 x 2 vậy ta cũng đã xác định được a, b, c nhanh chóng.
Vậy S a b c 1 2 2 1
Bấm máy tính như sau: y
Tách: 9802 10000 200 2 x 2 2 x 2 F x 1 2 2 1. Chọn A.
VD. Tìm nguyên hàm của hàm số f x cos 2 x
A.
1
sin 2 x C
2
B.
D. 2sin 2x C
C. 2sin 2x C
Đặt t 2 x dt 2dx dx
Thay ngược lại ta được
1
sin 2 x C
2
dt 1
dt
thay vào cos xdx cos t sin t C
2 2
2
1
sin 2 x C
2
Ta có công thức nhanh: cos ax b dx
1
1
sin ax b C ; sin ax b dx sin ax b C
a
a
VD. Cho a, b là hai số thực thỏa mãn F x a cos x b sin x e x là nguyên hàm của hàm số
f x e x cos x . Tính P a b
A. 2
B. 1
C. 4
D. 3
Đây là dạng nguyên hàm lặp lại, vì khi ta nguyên hàm hai lần sẽ quay lại đề bài ban đầu.
u ' sin x, u '' cos x
u cos x
Đặt
(ở đây có một quy ước nhỏ là v1 , v2 là nguyên hàm)
x
x
dv e dx v1 e dx
Hoàng Văn Bình
1
1
Ta có I cos x.e x sin x.e x e x cos xdx 2 I e x cos x sin x I e x cos x sin x
2
2
Vậy a b
1
S a b 1
2
Ta có công thức giải nhanh:
ax
e cos bxdx
eax
a cos bx b sin bx C
a 2 b2
eax
e sin bxdx a 2 b2 a sin bx b cos bx C
ax
VD. Biết
xe
A. ab
1
4
2x
dx axe2 x be2 x C a, b
B.
ab
.Tính ab
1
4
C. ab
1
8
D. ab
du dx
u x
Đặt
1 2x
2x
dv e dx v e
2
1
a
1
x
x
1
1
2
ab
Ta có: e 2 x e 2 x dx e 2 x e 2 x C
2
2
2
4
8
b 1
4
Bấm máy tính như sau:
Tách:
199 200 1 2 x 1 x 1
1
a.b
4
4
4 4 2 4
8
VD. Cho F x
f ' x ln x .
f x
1
. Tìm nguyên hàm của hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
3
3x
x
ln x
1
2 C
3
5x
x
A.
ln x
1
2 C
3
5x
x
B.
C.
ln x
1
2 C
3
3x
x
D.
Hoàng Văn Bình
ln x
1
2 C
3
5x
x
1
8
F ' x
f x 1
1
4 f x 3
x
x
x
Xét nguyên hàm
1
u ln x
du dx
x
f ' x ln xdx đặt
dv f ' x dx
v f x
f ' x ln xdx ln x. f x
f x
ln
1
dx 3 3 C
x
x 3x
VD. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x e x 2 x thỏa mãn F 0
A. F ( x) e x x 2
3
2
B. F ( x) 2e x x 2
C. F ( x) e x x 2
5
2
D. F ( x) e x x 2
Ta có:
e
F 0
x
3
. Tìm F x .
2
1
2
1
2
2 x dx e x 2 x 2 C
3
3
1
1
e0 02 C C . Vậy F ( x) e x x 2
2
2
2
2
VD. Cho hàm số y f x thỏa mãn f ' x x 1 e x và
f x dx ax b e
x
C với a, b .
Tính a b
A. 0
B. 3
C. 2
D. 1
Ta có F x ax b e x C là nguyên hàm của f x và f ' x x 1 e x
Đặt F '' x f ' x
f ' x dx x 1 e dx xe
x
f x dx xe dx x 1 e
x
x
x
C f x
C
Vậy a 1, b 1 a b 0
VD. Tìm nguyên hàm của hàm số
A. ln x 2
1
C
x
Hoàng Văn Bình
2 x3 1
x x3 1 dx bằng
B. ln x 2
1
C
x
C. ln x
1
C
x2
D. ln x
1
C
x2
Sử dụng phương pháp tách
2 x3 1
A Bx 2
3
x x 3 1 x x 1
r X 0, 000001
hệ số A 1
r X 1, 0000001
hệ số B 3
Suy ra:
2 x3 1
1 3 x 2
3
x x 3 1 x x 1
d x3 1
1 3x 2
2 x3 1
1
Khi đó:
dx 3 dx dx 3
x
x 1
x x3 1
x x 1
ln x ln x3 1 C ln
x3 1
1
C ln x 2 C
x
x
Bấm máy trực tiếp: qy
VD. Tìm nguyên hàm f x của hàm số f ' x
A.
sin x
2 sin x
Ta có:
2
C
cos x
2 sin x
2
B.
dx
cos x
2 sin x
1
C
2 cos x
d 2 sin x
2 sin x
2
2
C.
1
C
2 sin x
D.
sin x
C
2 sin x
1
C . Chọn C
2 sin x
VD. Giả sử một nguyên hàm của hàm số f x
x2
1 x3
1
x 1 x
2
có dạng a 1 x3
Tính a b
A. 2
Hoàng Văn Bình
B.
8
3
C. 2
D.
8
3
b
.
1 x
Tính
x2
1 x
x2
1 x
Tính
x2
f x dx
Ta có
3
3
x 1 x
2
dx
2
2
2
2
1 x3 A
dt t C1
3
3
3
3
1
x 1 x
Vậy a b
1
dx đặt t 1 x3 2tdt 3x 2 dx
dx
1 x3
dx
2
dx 2
1
1 x
2
d 1 x
2
C2 B 2
1 x
8
3
VD. Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số f x 2 x , thỏa mãn F 0
thức T F 0 F 1 F 2 ... F 2017
A. T 1009.
22017 1
ln 2
B. T 22017.2018
C. T
22017 1
ln 2
1
. Tính giá trị biểu
ln 2
D. T
22018 1
ln 2
2x
C
Ta có F x 2 dx
ln 2
x
Mà F 0
1
2x
C 0 F x
ln 2
ln 2
T F 0 F 1 F 2 ... F 2017
20
2
21
22017
1 1 22018 22018 1
...
ln 2 ln 2 ln 2
ln 2 ln 2 1
ln 2
Bấm máy: ta cũng biến đổi để ra được F x
2x
ln 2
Bấm: qi
ta được
đáp án đã rút gọn
. Chọn D.
Hoàng Văn Bình
bấm gán vào A, lấy A trừ đi
Bài 2. TÍCH PHÂN
I.
Lý thuyết
1. Tích phân
b
f x dx F b F a
a
2. Tính chất
Tích phân của tổng thì bằng tổng các tích phân:
Có thể đưa hằng số ra ngoài tích phân:
b
b
b
a
a
a
f x g x dx f x dx g x dx
b
b
a
a
kf x dx k f x dx
a
Tích phân tại một điểm bằng 0:
f x dx 0
a
Chèn điểm c a; b vào cận ta có:
b
Tính bất biến của tích phân:
b
c
b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx
b
b
a
a
f x dx f t dt f y dy...
a
II. Sử dụng máy tính cầm tay
Sử dụng chức năng y để tính tích phân.
III. Ví dụ
1. Tích phân dạng hàm
VD. Cho hàm số f x có đạo hàm trên 1; 4 và thỏa mãn f 1 1,
4
f ' x dx 2 . Giá trị f 4 là
1
A. 2
Ta có:
B. 3
4
4
1
1
f ' x dx f x
C. 4
D. 1
f 4 f 1 2 f 4 3.
VD. Cho hàm số f x liên tục trên
và F x là nguyên hàm của f x , biết
9
f x dx 9 và
0
F 0 3 . Tính F 9
Hoàng Văn Bình
A. – 6
B. – 12
C. 12
D. 6
b
Ta có
f x dx F b F a từ đó ta có thể tính được một yếu tố khi biết hai yếu tố còn lại.
a
9
f x dx 9 F 9 F 0 F 9 9 3 6 . Chọn D.
0
4
VD. Cho hàm số f x liên tục trên 1; 4 , f 4 2017, f ' x dx 2016 . Tính f 1
1
A. f 1 3
D. f 1 2
C. f 1 1
B. f 1 1
4
f ' x dx f 4 f 1 2017 f 1 2016 f 1 1 . Chọn B.
Ta có:
1
VD. Cho hàm số f x liên tục trên 1; 2 và F x là nguyên hàm của f x , biết
2
f x dx 1 và
1
F 1 1 . Tính F 2
A. 2
B. 0
C. 3
D. 1
Chọn A.
VD. Cho hàm số f x thỏa mãn
5
2
2
f x dx 10 . Tính I 2 4 f x dx
5
D. I 40
C. I 36
B. I 34
A. I 32
2
2
2
2
5
5
5
5
5
2
Từ I 2 4 f x dx 2dx 4 f x 2 x 4 f x 6 40 34
Hoặc
b
Mẹo:
K
f x dx K f x b a
a
5
Áp dụng:
f x dx 10 f x
2
10
3
10
I 2 4 f x dx 2 4. 34
3
5
5
2
2
VD. Cho hàm số f x thỏa mãn
Hoàng Văn Bình
10
6
2
10
0
2
0
6
f x dx 7 và f x dx 3 . Tính I f x dx f x dx
A. I 10
Áp dụng tính chất
D. I 4
C. I 7
B. I 4
b
c
b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx
Ta có:
10
2
6
10
2
10
2
10
0
0
2
6
0
6
0
6
f x dx f x dx f x dx f x dx 7 f x dx 3 f x dx f x dx f x dx 4
2
VD. Cho
4
f x dx 1,
2
4
f y dy.
f t dt 4 . Tính I
2
2
A. – 5
B. – 3
C. 3
4
2
4
2
4
2
2
2
2
2
D. 5
f y dy f y dy f y dy f x dx f t dt 1 4 5
x2
VD. Tính F ' 0 của hàm số F 0 cos tdt
x 0 .
0
A. 0
B. – 2
C. 2
D.
2
Đặt y t 2 ydy dt
t 0
y 0
Đổi cận tích phân:
2
y x
t x
x2
x
0
0
Ta được: F x cos tdt 2 y cos ydy
u 2 y
du 2dy
Đặt
dv cos ydy v sin y
x
x
x
x
0
0
0
0
Ta có: 2 y sin y 2 sin ydy 2 y sin y 2 cos y
2 x sin x 2 cos x 2 F x
Ta có f ' x 2 x cos x f 0 0
VD. Cho hàm số f x liên tục trên
4
và thỏa mãn
f x dx 2. Khẳng đinh nào sau đây sai?
2
2
A.
f 2 x dx 1
1
Hoàng Văn Bình
3
B.
3
f x 1 2
2
C.
1
f 2 x dx 2
6
D.
1
f x 2 dx 1
2 0
4
Ta có:
2
1
f x dx 2 f x 4 2 3
2
Bấm:
Đáp án A.
Đáp án B
Đáp án D
Chọn C vì ở câu A ta đã loại được C.
VD. Cho f x liên tục trên 0; 2 thỏa mãn f x 2 f 2 x 2 x. Tính
2
f x dx.
0
A.
4
3
B.
2
3
C.
4
3
D. 2
Cách 1:
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
Từ f x 2 f 2 x 2 x f x dx 2 f 2 x dx 2xdx 4 3 f x dx 4 f x dx
Cách 2:
Chọn x 1 thay vào f x 2 f 2 x 2 x f 1 2 f 1 2
3 f 1 2 f 1
2
2
2
2
2
4
4
f 1dx dx f x dx
3
3
3
3
0
0
0
f x
1 1 2 x dx 4 trong đó y f x là hàm số chẵn trên 1;1 . Khi đó
1
VD. Cho
A. 2
B. 16
C. 4
Vì y f x là hàm số chẵn nên ta chọn f x x 2 . Bấm máy như sau:
Hoàng Văn Bình
1
f x dx
1
D. 8
bằng
4
3
1
Ta thấy tích phân sau gấp đôi tích phân trước, suy ra
f x dx 4.2 8
1
VD. Cho f x là hàm số chẵn, liên tục trên
5
và
1 2 f x dx 15 . Tính I
0
A. 10
Ta có:
B. 5
C. 30
5
f x dx
5
D.
5
5
5
5
5
0
0
0
0
5
15
2
1 2 f x dx 1 dx 2 f x dx 15 f x dx 5 f x dx 5.2 10
Bấm máy tính:
VD. Cho hàm số y f x liên tục và nhận giá trị dương trên 0; thỏa mãn f 1 1,
f x f ' x 3x 1 , với mọi x 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?
B. 2 f 5 3
A. 4 f 5 5
Từ f x f ' x 3x 1
d f x
f x
f ' x
f ' x
1
1
dx
dx
f x
3x 1 f x
3x 1
2
2
2
3 x 1 C ln f x
3x 1 C f x e 3
3
3
2
4
.4
4
3
f 5 e 3 3, 794
Ta có f 1 1 C
3
Chọn C.
Cách khác:
5
5
f ' x
f ' x
1
1
4
dx
dx
dx
dx
3
f x
f x
3x 1
3x 1
1
1
Hoàng Văn Bình
C. 3 f 5 4
3 x 1 C
D. 1 f 5 2
5
d f x
1
f x
4
ln f x
3
4
f 5 4
f 5 e 3
f 1 3
5
ln
1
VD. Cho hàm số f x thỏa mãn
A. I 0
Từ
1
1
0
0
x f ' x 2 dx f 1 . Tính I f x dx
B. I 1
C. I 1
1
1
1
1
0
0
0
0
D. I 2
x f ' x 2 dx f 1 x. f ' x dx 2xdx f 1 x. f ' x dx f 1 1
1
Xét
x. f ' x dx
0
1
1
u x
du dx
Đặt
xf x f x dx
0
0
dv f ' x dx
v f x
1
1
0
0
f 1 f x dx f 1 1 f x dx 1 . Chọn B
VD. Cho hàm số y f x thỏa mãn
1
x 1 f ' x dx 10 và 2 f 1 f 0 2 . Tính
0
B. I 8
A. I 12
1
I f x dx
0
C. I 12
D. I 8
1
1
u x 1
du dx
Đặt
x 1 f x f x dx 10
0
0
dv f ' x dx
v f x
1
1
0
0
2 f 1 f 0 f x dx 10 f x dx 8
2. Tích phân bình thường
Sau khi tìm nguyên hàm bằng các phương pháp. Ta áp dụng công thức của tích phân để tính giá
trị tích phân.
Bấm máy trực tiếp y.
3. Tích phân chống máy tính cầm tay
Đây là một dạng bài rất hay, tuy nhiên khả năng ra các bài toán về bản chất tích phân vẫn là dạng
bài được ra nhiều hơn. Các cách thường áp dụng cho tích phân chống máy tính cầm tay: giải hệ
phương trình bậc nhất, Table, mũ hóa,….
Hoàng Văn Bình
Về nguyên tắc cơ bản: cần lưu trước tích phân vào biến nhớ. Thường thì các ẩn là số nguyên hoặc
hữu tỉ.
4 ln x 1
dx a ln 2 2 b ln 2
x
2
1
VD. Cho
A. 3
a, b . Tính
B. 9
4a b.
C. 7
D. 5
4 ln x 1
dx A
x
2
1
Gán
a ln 2 2 b ln 3 A
Giải hệ phương trình
với K là các đáp án.
4a b K
Lần lượt thử với các đáp án, vì đề bài nói a, b
nên máy tính báo số nguyên mới nhận. Với
K 9 ta được
Vậy a 2, b 1 4a b 9.
4
VD. Cho
cos x
1
sin x cos x dx a 4 ln b 0 a 1,1 b 3, a, b
Tính tích ab.
0
A.
1
2
B.
1
4
C.
1
6
Gán tích phân vào A
4
cos x
1
dx a ln b a
Từ
sin x cos x
4
0
Hoàng Văn Bình
1
A ln b
4
(rút a theo b )
D.
1
8
1
A ln x
4
Vào w7 Coi hàm của ta là y
, do 1 b 3 nên ta chọn START 1 END 3 STEP 0,25
Ta thấy tại 2
Ta được x 2, y 0,125
4
VD. Biết
x
3
dx
a ln 2 b ln 3 c ln 5
x
2
B. – 2
A. 6
4
Gán
1
1
1
hay b 2, a ab .
8
8
4
x
3
a, b, c . Tính
S a bc.
C. 2
D. 0
dx
A . Khi đó A a ln 2 b ln 3 c ln 5 ln 2a ln 3b ln 5c
x
2
Sử dụng tính chất a eln a ln e a ta có: ln e A ln 2a3b5c e A 2a3b5c
Bấm:
16 24
24.31.55 (Sử dụng chức năng FACT)
tách
15 3.5
Vậy a 4, b c 1 S a b c 2
x2 x 1
b
3 x 1 dx a ln 2 với a, b là các số nguyên. Tính a 2b
5
VD. Biết
A. – 2
Gán tích phân vào A
Hoàng Văn Bình
B. 5
C. 2
D. 10
Ta có: A a ln
b
b
b
A a ln e A a 2e Aa b
2
2
2
Sử dụng w7 nhập hàm số START – 9, END 9, STEP 1
Vậy a 8, b 3 a 2b 2 . Chọn C.
e
VD. Biết
ln x
dx a e b với a, b . Tính P a.b
x
1
B. P 8
A. P 4
C. P 4
D. P 8
Lưu tích phân vào A
Ta có A a e b A a e b Sử dụng w7 nhập hàm số START – 9, END 9, STEP 1
Vậy a 2; b 4 P a.b 8 . Chọn B
5
VD. Cho tích phân: I
4
Hoàng Văn Bình
x3 2
dx a ln 2 b ln 3 c ln 5 d ln 7
x4 5x2 4
a, b, c, d . Tìm
a , b, c , d .
