Giáo án đại số giải tích 11 tiết 49

Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai

Giáo án ĐS> 11

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
Ngày soạn: 24/12/2016
TIẾT 49:
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I. MỤC TIÊU:
Kiến thức:
 Biết khái niệm giới hạn của dãy số, chủ yếu thông qua các ví dụ và minh hoạ cụ thể.
 Biết định nghĩa và các định lí về giới hạn của dãy số trong SGK.
Kĩ năng:
 Biết vận dụng định nghĩa giới hạn của dãy số vào việc giải một số bài toán đơn giản liên quan
đến giới hạn.
 Biết vận dụng các định lí về giới hạn để tính giới hạn các dãy số đơn giản.
Thái độ:
 Tư duy các vấn đề của toán học một cách lôgic và hệ thống.
II. CHUẨN BỊ:
Giáo viên: Giáo án.
Học sinh: SGK, vở ghi. Ôn tập các kiến thức đã học về dãy số.
III.PHƯƠNG PHÁP:
Vấn đáp, gợi mở
IV. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
1. Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số lớp.
2. Kiểm tra bài cũ: (3')
1
H. Xét tính tăng, giảm của dãy số (un) với un = . Biểu diễn dãy số trên trục số.
n
Đ. Dãy giảm.
3. Giảng bài mới:

Hoạt động của Giáo viên
Hoạt động của Học sinh
Nội dung
Hoạt động 1: Tìm hiểu khái niệm giới hạn của dãy số
I. Giới hạn hữu hạn của dãy số
1
 Xét dãy số (un) với un = .
1. Định nghĩa
n
ĐN1: sgk
un  0
H. Nhận xét khoảng cách từ un tới
Kh: nlim
��
0 thay đổi thế nào khi n trở nên rất Đ. Khi n rất lớn u rất gần số
n
hay un 0 khi n +
lớn.
0
1
1
 GV nêu định nghĩa 1 và đưa
 0 , lim 2 = 0
*Vd: nlim
� �
n � � n
n2
thêm một vài VD về dãy số có
giới hạn 0.
Hs nắm bài

 GV nêu định nghĩa 2.
ghi chép vào vở
ĐN 2:

lim  vn  a   0 � lim vn  a

n ��

(vn  2) ?
H. Xét nlim
��

Đ.

VD:

lim (vn  2) = lim 1 = 0
n��
n��n
 lim vn = 2.
n��

(vn  1) ?
H. Xét nlim
��

GV: PHẠM THỊ MINH HIỆP

n ��

Đ.
lim (vn  1) = lim 2 = 0
n��
n��n

a) Cho dãy số (vn) với vn =

2n  1
.
n

vn = 2.
CMR: nlim
��
b) Cho dãy số (vn) với vn =
vn = –1.
CMR: nlim
��

2 n
.
n


Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai

Giáo án ĐS> 11

Hoạt động 2: Tìm hiểu một số giới hạn đặc biệt
 GV nêu các kết quả.

H1. Tính các giới hạn sau:
1
a) lim
n��n  1
n

Đ1.
1
=0
n��n  1

a) lim

n

1�
b) lim �
��=0
n���
3�
c) lim 2016 = 2016

1�
b) lim �
��
n���
3�
c) lim 2016

n � �

n � �

2. Một vài giới hạn đặc biệt
Định lí 1:
1
1
a) lim  0; lim k  0
n��n
n��n
(nZ+)
n
u q 1
b) lim q  0 ne�
n��

c) Nếu un = c
thì lim un  lim c  c
n��

n��

Chú ý: Từ nay về sau thay cho
lim un  a ta viết lim un = a.
n��

4. Củng cố:
- Nhấn mạnh kí hiệu giới hạn dãy số
- Nhấn mạnh một vài giới hạn đặc biệt
Câu hỏi trắc nghiệm:

1/Cho (un) và (vn) là hai dãy số có giới hạn. Khẳng định nào sau đây là Đúng?
un lim un
A. lim 
B. lim un  lim un
vn lim vn
1
1
C. lim 
D. lim 3 un  3 lim un
un lim un
1
2/ lim 2
bằng:
3n  n
1
A. 3
B. �
C.
D. 0
3
9
2/ lim 5n  n bằng:
A. 5
B. �
C. 0
D. 6
n
�
(1) �
3/ lim � n �bằng:

�2 �
1
A. 2
B. 
C. 0
D. 1
2





5. Dặn dò:
 Đọc tiếp bài "Giới hạn của dãy số".
 Làm BTLT
6. BTLT
8n  1
1/ Tính lim
,
n ��
n
 2 n 
2/ Chứng minh a/ lim ( )  1 1 ;
 5

2  5n
5

b. lim
2n

2
7.Rút kinh nghiệm
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
GV: PHẠM THỊ MINH HIỆP


Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai

Giáo án ĐS> 11

Ngày soạn: 26/12/2016
TIẾT 50 :
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (tt)
I. MỤC TIÊU:
Kiến thức trọng tâm: định nghĩa và các định lí về giới hạn của dãy số, tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Kĩ năng:
 Biết vận dụng các định lí về giới hạn để tính giới hạn các dãy số đơn giản.
 Biết nhận dạng các cấp số nhân lùi vô hạn và vận dụng công thức vào giải một số bài toán liên
quan có dạng đơn giản.
Thái độ: Tư duy các vấn đề của toán học một cách lôgic và hệ thống.
II. CHUẨN BỊ:
Giáo viên: Giáo án.
Học sinh: SGK, vở ghi. Ôn tập các kiến thức đã học về dãy số.
III.PHƯƠNG PHÁP:
Vấn đáp, gợi mở
IV. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
1. Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số lớp.
2. Kiểm tra bài cũ: (3')
9n  3

9n  3
9.
H. Tính lim
. Đ. lim
n
n
3. Giảng bài mới:
Hoạt động của Giáo viên
Hoạt động của Học sinh
Nội dung
Hoạt động 1: Tìm hiểu các định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số
II. Định lí về giới hạn hữu hạn
Hs theo dõi, nắm bài , ghi chép Định lí 1:
 GV nêu định lí.
vào vở
a) Nếu limun = a và limvn = b thì:
 lim(un+vn) = a + b
 lim(un – vn) = a – b
 lim(un.vn) = a.b
un a
 lim  (nếu b �0 )
vn b
b) Nếu un �0 với mọi n
và limun = a thì a �0 và
lim un  a
Hoạt động 2: Luyện tập vận dụng định lí giới hạn hữu hạn của dãy số
Hướng dẫn cụ thể cho HS  bậc cao nhất là bậc 2
VD1: Tìm các giới hạn:
2
nắm được cách làm

Chia 2 tử và mẫu cho n
3n2  n
a)
lim
đưa về các giới hạn dạng
1
1 n2
3
đặc biệt và áp dụng các định
2
n
3n  n lim
2n  1
lí để có kết quả.
a) lim
=
=3
b) lim 2
1
2
+ Nếu biểu thức có dạng
1 n
3n  4n  1
1
n2
phân thức mà mẫu và tử đều
chứa các lũy thừa của n, thh́ì
2 1
2
 2

c) lim 1 4n
chia tử và mẫu cho nk, với k
n
n
0
b)  lim
1 2n
là số mũ cao nhất.
4 1
3


+ Nếu biểu thức có chứa n
n n2
dưới dấu căn, thì có thể
d) lim( n2  3n  4  n)
1
nhân tử số và mẫu số với
4
2
2
1

4
n
cùng một biểu thức liên
n
c) lim
= lim
= –1

hợp.
1
1 2n
2
GV lần lượt hướng dẫn cho
n
GV: PHẠM THỊ MINH HIỆP


Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai
hs từng ý và trình bày câu a.
+ Cho hs xác định bậc cao
nhất.
+chia cả tử và mẫu cho n có
bậc cao nhất.
+ vận dụng
Câu a, bậc cao nhất là bậc
mấy
Chia cả tử và mẫu cho gì?

d /  lim

Giáo án ĐS> 11
3n  4

n  3n  4  n
4
3
3
n

 lim

2
3 4
1  2 1
n n
2

Hoạt động 3: Tìm hiểu cấp số nhân lùi vô hạn
III. Tổng của CSN lùi vô hạn
 GV nêu khái niệm CSN
1 1 1
1
1
,
,
,...,
,...
(
q

)

 CSN vô hạn (un) có công bội q,
lùi vô hạn.
2 4 8
2
2n
H. Cho VD về CSN lùi vô
với q < 1 đgl CSN lùi vô hạn.

1
u1  q 
hạn ?
 Cho CSN lùi vô hạn (un) có công
3
bội q. Khi đó:
1
H. Xác định u1 và q ?
u
1
S = u1 + u2 + … = 1  q  1
S= 3 
1 2
Yêu cầu hs dựa vào công
1 q
1
thức lên bảng trình bày
3
VD2:
Đ. Các số hạng lập thành CSN lùi a) Tính tổng của CSN lùi vô hạn
1
1
(un) với un = n
H. Nhận xét các số hạng của vô hạn với q =  .
2
3
tổng S ?
1
2
b)

Tính
tổng

1 3
n1
S=
1
� 1�
1 1 1
S
=
1    ...  �
 � ,...
2
2 4 8
� 2�
4. Củng cố
2
2
2n 2  5n  3
1/ lim
bằng? A. 3
B. �
C. 
D.
2
3
3
3n  n
5n  3

5
2/ lim 2
bằng?
A. -5
B. �
C. 0
D.
3n  n
3
3/ Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là có giới hạn là – 1 ?
2n  3
n 2  n3
n2  n
n3
A. lim
B. lim 3
C. lim
D.
lim
2  3n
2n  1
2 n  n 2
n2  3
5. Dặn dò:
- Xem lại kiến thức trong bài, nắm kỹ phương pháp tìm giới hạn dãy số, làm bài tập 3 sgk
- Xem tiếp nội dung phần còn lại của bài
6.BTLT
1/ Tìm các giới hạn sau:
2
6n  1

3n2  n  5
3n  5.4n
, b) lim
,c) lim
, d) lim 9n  n  1
3n  2
4n  2n
2n2  1
4n  2
n
1
1
(1)
2/ Tính tổng S = 1 
 ... 
 ...
2
10 10
10n1
7. Rút kinh nghiệm:
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

a) lim

GV: PHẠM THỊ MINH HIỆP


Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai

Giáo án ĐS> 11

Ngày soạn: 27/12/2016
TIẾT 51:
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (tt)
I. MỤC TIÊU:
Kiến thức trọng tâm: khái niệm giới hạn vô cực của dãy số; một số qui tắc tính giới hạn vô cực
Kĩ năng: Biết vận dụng các định lí về giới hạn vô cực để tính giới hạn các dãy số đơn giản.
Thái độ: Tích cực xây dựng bài, tự giác làm bài
Trọng tâm: Vận dụng định lý, tính giới hạn vô cực
II. CHUẨN BỊ:
Giáo viên: Giáo án.
Học sinh: SGK, vở ghi. Ôn tập các kiến thức đã học về dãy số.
III.PHƯƠNG PHÁP: Vấn đáp, gợi mở
IV. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
1. Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số lớp.
2. Kiểm tra bài cũ:
3. Giảng bài mới:
Hoạt động của Giáo viên
Hoạt động của Học sinh
Nội dung
Hoạt động 1: Tìm hiểu khái niệm giới hạn vô cực
Đưa ra hoạt động 2 trong sgk:
IV. Giới hạn vô cực
1. Định nghĩaSgk .
 Cho HS quan sát và nhận xét về
Kh: limun = +
giá trị của un khi n tăng lên vô
hạn.
hay un + khi n +

 Dãy số (un) đgl có giới hạn –
 GV nêu định nghĩa giới hạn vô Hs theo dõi nắm bài
khi n + nếu lim (–un) = +.
cực.
Kh: limun = –
hay un – khi n +
 Xét dãy số (un) với un = n2.
Nhận xét:
H. Nhận xét giá trị của un khi n Đ. un rất lớn.
 limun=+  lim(–un)= –
tăng lên vô hạn ?
Hoạt động 2: Tìm hiểu một số giới hạn đặc biệt
2. Một vài giới hạn đặc biệt
a) limnk  � với k  Z+

 GV nêu một số kết quả thừa
nhận và minh hoạ.

 Gọi HS tính.

b) limqn  � với q >1
 HS thực hiện.
a) +
b) +

VD1: Tính các giới hạn sau:
a) lim12n

Hoạt động 3: Tìm hiểu một số qui tắc tính giới hạn vô cực
 GV nêu định lí, giải thích và

nhấn mạnh cách sử dụng định HS chú ý theo dõi, ghi chép kiến
thức
lí.
 GV hướng dẫn cách vận dụng Bậc cao nhất là bậc 2
1�
định lí.
2
2� 2
1  �
Đ n  2n  1 n �
H. Bậc của cao nhất là bao
� n n2 �
nhiêu? Đặt n có bậc cao nhất
làm nhân tử chung ta có được Đ. limn2 = +
điều gì?
� 2 1�
H. Tính limn2 và
lim�
1  �= 1
� n n2 �
GV: PHẠM THỊ MINH HIỆP

n

3�
b) lim�
��
�2 �
3. Định lí:
a) Nếu limun = a và limvn = 

u
thì lim n  0 .
vn
b) Nếu limun = a >0, limvn = 0
và vn > 0 với n thì
u
lim n  �.
vn
c) Nếu limun=+ và limvn=


Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai
� 2 1�
lim�
1  �?
� n n2 �
H. Bậc của n ở tử và mẫu cao
nhất là bao nhiêu? Như vậy ta
tính giới hạn bằng cách nào?
Gọi hs lên bảng trình bày
GV theo dõi sửa sai cho hs

H. Bậc của n ở tử và mẫu cao
nhất là bao nhiêu? Như vậy ta
tính giới hạn bằng cách nào?
� 5�
2  �và lim3n ?
H. Tính lim�
� n�

Giáo án ĐS> 11

a>0 thì limunvn = +.
VD2: Tìm các giới hạn sau:
Đ . Bậc cao nhất là bậc 3. Ta chia tử a) lim(n2  2n  1)
và mẫu cho n3.
n3  1
b) lim
n
2n  5
c) lim
n.3n
Giải:
a/
lim(n2  2n  1) =
Đ . Bậc cao nhất là bậc 1. Ta chia tử
� 2 1 �
lim n 2 �
1  2 �
và mẫu cho n
n n �
�
5
2
2
Mà limn = +
a) 2n  5 
n
� 2 1�
n.3n

3n
lim�
1  �= 1
� n n2 �
� 5�
2  �= 2,
Đ. lim�
Vậy lim(n2  2n  1) = +
� n�
lim3n = +
1
1 3
3
n 1
2n  5
n =0
 lim
b/ lim
 lim
=
0
1
n
n
n.3
n2
5
2
2n  5
c/

=0
lim
 lim n n
n
n.3
3
Vậy lim(n2  2n  1) = +

4. Củng cố
Nhấn mạnh cách vận dụng các qui tắc tìm giới hạn vô cực của dãy số.
Câu hỏi trắc nghiệm:
1/ Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là � ?
n 2  3n  2
n 3  2n  1
2n 2  3n
n2  n  1
A. lim
B. lim
C. lim 3
D. lim
n2  n
n  2n 3
n  3n
2n  1
2/Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0 ?
2n  1
2n  3
1  n3
(2n  1)( n  3) 2
A. lim n n

B. lim
C.
D.
lim
lim
3.2  3
1  2n
n 2  2n
n  2n3
5. Dặn dò:
 Xem lại nội dung tiết học, nắm qui tắc tìm giới hạn vô cục
 Chuẩn bị bài tập tiết sau luyện tập.
6. BTLT
1. Tìm các giới hạn sau:
a) lim(n3  2n 2  n  1)
b) lim(n 2  5n  2)
c) lim( n 2  n  n)
d) lim( n 2  n  n)
7. Rút kinh nghiệm
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
GV: PHẠM THỊ MINH HIỆP


Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai

Giáo án ĐS> 11

.........................................................................................................................................................
Ngày soạn: 8/1/2016

TIẾT 52:
LUYỆN TẬP
I. MỤC TIÊU:
Kiến thức:
 Nắm được giới hạn hữu hạn của dãy số, và giới hạn vô cực của dãy
 Nắm các định lí về giới hạn của dãy số
Kĩ năng: Biết vận dụng các định lí về giới hạn để tính giới hạn các dãy số đơn giản.
Thái độ: Tích cực xây dựng bài
Trọng tâm : Nhận dạng và tính được giới hạn dãy số.
II. CHUẨN BỊ:
Giáo viên: Giáo án.
Học sinh: SGK, vở ghi. Ôn tập các kiến thức đã học về dãy số.
III.PHƯƠNG PHÁP:
Vấn đáp, gợi mở
IV. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
1. Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số lớp.
2. Kiểm tra bài cũ: lồng vào luyện tập
3. Bài mới:
Hoạt động của Giáo viên
Hoạt động của Học sinh
Nội dung
Hoạt động 1: Luyện tập tính giới hạn hữu hạn của dãy số
H. Tính giới hạn bằng cách nào? Đ . Chia tử và mẫu cho n.
1. Tìm các giới hạn sau:
Mời HS lên bảng làm câu a,b
1
6n  1
6
a)
lim

Quan sát và chỉnh sữa bài làm
6n  1
n =2
3n  2
 lim
a) lim
của HS.
2
3n  2
3n2  n  5
3
b)
lim
n
2n2  1
1 5
3 
9n2  n  1
3n2  n  5
n n2
c)
lim
 lim
b) lim
=
4n  2
1
2n2  1
2
3n  5.4n

n2
d)
lim
H. Đối với câu c: Bậc của n cao Đ . Bậc cao nhất là bậc 1
4n  2n
nhất là bao nhiêu?
H. Như vậy, ta tìm giới hạn bằng Đ Ta chia tử và mẫu cho n.
cách nào?
H. Nếu n ở ngoài căn bậc 2 mà Đ Đưa n vào trong căn bậc 2 thì thành n2.
ta đưa vào trong căn bậc 2 thì
1 1
bằng bao nhiêu?
9  2
2
n n
Mời HS lên bảng trình bày.
c) 9n  n  1 =
2
4n  2
4
H. Đối với câu d: Ở tử và mẫu,
n
lũy thừa có cơ số lớn nhất là bao Đ . Cơ số lớn nhất là cơ số 4
nhiêu?
H. Như vậy ta tính giới hạn bằng Đ . Ta chia tử và mẫu cho 4n
n
cách nào?
�3 �
Mời HS lên bảng làm câu d.
� � 5

n
n
Quan sát và chỉnh sửa bài làm d) lim3  5.4  lim�4 �
n
của HS.
4n  2n
�1 �
1 � �
�2 �
Hoạt động 2: Luyện tập tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
GV: PHẠM THỊ MINH HIỆP


Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai

Giáo án ĐS> 11

H. Nhận xét các số hạng của Đ. Các số hạng lập thành CSN lùi 2. Tính tổng
tổng S ?
vô hạn.
1
1
(1)n
S
=

1




...

 ...
H. u1=?, q=?
1
10 102
Đ . u1= -1, q = 
10n1
10
H. Ta áp dụng công thức nào?
u1
Mời HS lên bảng trình bày.
Đ. S
1 q
Quan sát chỉnh sửa bài làm của
1
10
HS.

S=
1
11
1
10
Hoạt động 3: Luyện tập tính giới hạn vô cực
Nêu cách biến đổi và qui tắc cần sử a. Rơi vào dạng � �. Cách làm là rút 3. Tìm các giới hạn sau:
dụng?
n bậc cao nhất ra làm nhân tử chung
a) lim(n3  2n 2  n  1)
a. Rơi vào dạng nào? Cách làm?

b. Rút n bậc cao nhất ra.
b) lim( n 2  n  n)
b. Tương tự câu a
c. Rút n bậc cao nhất ra.
c. Rơi vào dạng vô định nào?
a) lim(n3  2n 2  n  1)
Cách khử dạng vô định?
2 1 1
3
= lim n (1   2  3 )  �
Gọi hs lên bảng trình bày
n n n
Nhận xét chỉnh sửa bài làm của hs
b) lim( n 2  n  n)
1
 1)  �
n
4. Củng cố: Nhắc lại cách tính giới hạn một số dạng thường gặp
Trắc nghiệm củng cố:
= lim n( 1 

3n2  2n  5
Câu 1/ Kết quả của lim
là:
7n2  n  8
3
B. 0
7
Câu 2/Chọn mệnh đề đúng:
3n  4.7 n

A. lim n
1
n �� 2  2.7 n
3n  4.7 n
C. lim n
3
n �� 2  2.7 n
A.

Câu 3. Tính lim



C. �

D. �

3n  4.7 n
2
n �� 2 n  2.7 n
3n  4.7 n
D. lim n
4
n �� 2  2.7 n
B. lim



n 2  6n  12  n là

A. 0
B. �
C. �
D. 3
5. Dặn dò:
- Về xem lại các bài tập đã giải.
- Làm thêm các bài tập trong sách bài tập về giới hạn của dãy số hữu hạn và tính tổng của CSN lùi
vô hạn.
- Đọc bài “ Giới hạn của hàm số”.
6. BTLT
Tính giới hạn sau
3
3
2.n 6  6n  5
n 2  4n  5
2n n  1
n

n
lim
a) lim
;b) lim 2
; c) lim
; d)
2
3
n.  n  3  3n  1
3(n  2) 2
n 3 n 2
n2

7. Rút kinh nghiệm

GV: PHẠM THỊ MINH HIỆP


Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai

Giáo án ĐS> 11

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
Ngày soạn: 15/1/2017
Tiết 53:
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I. MỤC TIÊU:
Kiến thức: Nắm được định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm và định lí về giới hạn hữu hạn của h.số
Kĩ năng:
 Biết áp dụng định nghĩa để tìm giới hạn của một số hàm số.
 Biết áp dụng các định lí về giới hạn hữu hạn để tìm giới hạn của một số hàm số.
Thái độ: Tích cực xây dựng bài, tham gia hoạt động nhóm.
II. CHUẨN BỊ:
Giáo viên: Giáo án, phiếu học tập.
Học sinh: SGK, vở ghi. Ôn tập kiến thức đã học về giới hạn của dãy số.
III. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
1. Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số lớp.
2. Kiểm tra bài cũ: (5')
n 1
xn
a/ Cho  xn  với xn 

Tìm nlim
��
n
b/ lim



n 2  2n  n



3. Giảng bài mới:
TL Hoạt động của Giáo viên
Hoạt động của Học sinh
Hoạt động 1: Tìm hiểu khái niệm giới hạn của hàm số tại một điểm

 GV dẫn dắt từ VD cụ thể
2
Hs theo dõi, nắm bài
x 1
Cho hàm số f ( x) 
x 1
Hàm số f(x) không xác
định tại x=1. TXĐ:
Tìm TXĐ của hàm số này?
�  1
Cho x những giá trị x1 ; x2 ; x3 ; ….; xn khác 1,
*
tức là xn �1, n �� và lim xn  1 .
Khi đó các giá trị tương ứng của hàm số

f  x1  ; f  x2  ; f  x3  ; ….; f  xn 

Cũng lập thành một dãy số , ta kí hiệu là  f  xn  
Tìm f  xn  ? khi xn � 1 ; f  xn  � ?

f (xn) 



  x 1

(xn  1) xn  1
xn  1

n

Khi
xn � 1 thì f  xn  � 2

 xn  bất
f  xn  � L

 xn  � x0

kỳ,

1. Giới hạn hữu hạn của
hàm số tại một điểm
a) Định nghĩa (sgk)
Ta viết: lim f (x)  L

x�x0

hoặc f (x) � L khi x � x0
b) Chú ý:
Hàm số f(x) không xác
định tại x= x0 nhưng có
thể có giới hạn tại x= x0 .
c)Nhận xét:
a) lim c  c (c: hằng số)
x�x0

+GV giới thiệu khái niệm giới hạn của hàm số
Hs theo dõi và tiếp thu
tại một điểm.
Số L đgl giới hạn của hs y=f(x) khi  xn  dần về
x0 nếu với dãy

Nội dung

x a
b) xlim
�x
0

 xn  �K và

ta có
+ Giới thiệu nhận xét
Hoạt động 2: Tìm hiểu định lí về giới hạn hữu hạn
 GV giới thiệu định lí Minh hoạ hs thực hiện theo hướng

bằng VD.
dẫn
Hướng dẫn hs khử dạng giới hạn vô
2
định
a. lim x  4  0  4  2
x �0 x  2
02
GV: PHẠM THỊ MINH HIỆP

2. Một số định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí : (sgk)
Ghi nhớ:
x0
+ Hs f(x) xđ tại
thì


Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai
- Gặp dạng giới hạn xlim
�x

0

f  x

g  x

với

Giáo án ĐS> 11
b. lim x2 2  22 2  0
x �2 x  1
2 1
c.

lim f  x   f  x0 

x � x0

+ Nếu thế giá trị x0 vào hàm số mà
f(x), g(x) là các đa thức và f( x0
0
x2  4
xuất hiện dạng ta phải khử dạng
x
lim

lim
x

2

4
)=g( 0 )=0 .Phương pháp khử


0
x �2 x  2
x �2

dạng vô định này là phân tích cả tử d.
Ví dụ: Tìm giới hạn
và mẫu thành nhân tử với nhân tử
x2
x2  4
x  39
a.
b. lim 2
lim

lim
chung là (x- x0 )
x
�
2
x �0 x  2
x �6
x 1
 x  6 x  3  3
2
f  x
x 4
c.
d.
x3 3
- Gặp dạng giới hạn xlim
với
lim
lim
1

1
� x0 g  x 
x �2 x  2
x �6
 lim

x6
x �6
6
x

3

3
f(x), g(x) chứa căn (cùng bậc) và
f( x0 )=g( x0 )=0 .
Phương pháp khử dạng vô định
này là nhân lượng liên hợp để khử
thành phần có giới hạn 0.
4. Củng cố: Nhắc lại dạng giới hạn vô định 0/0 và phương pháp khử.
Câu hỏi trắc nghiệm củng cố:
1
x2
2
1/ Kết quả của lim 3
là : A.
B. 2
C. 3
D.
x �3

2
x  x6
2









2 x2  2x
là: A. 2
B. �
C. -2
D. �
x �1
x 1
1
1
1 x 1
3/ Kết quả của lim
là: A.
B. 
C. 0
D. �
x �0
2
2

x
5. Dặn dò
+ Xem lại bài, các ví dụ, nhớ phương pháp khử dạng vô định trong bài, xem và soạn tiếp các phần còn lại
của bài
6. BTLT
Tìm giới hạn
2 x3  3
x3  8
2 x2  5x  2
x  2 1
a. lim
b.
c.
d.
lim
lim
lim
x �1
x �2 x  2
x �2 x 2  x  6
x �( 1)
x2  3
x 1
7. Rút kinh nghiệm
.........................................................................................................................................................
2/ Kết quả của lim

GV: PHẠM THỊ MINH HIỆP

Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai

Giáo án ĐS> 11

Ngày soạn: 16/1/2017
Tiết 54:
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I . MỤC TIÊU
Kiến thức Hs nắm được đn giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực ,giới hạn 1 bên
Kỹ năng :Tìm giới hạn ở vô cực,tìm giới hạn 1 bên
Tư duy, thái độ : Tích cực học tập, trả lời các câu hỏi.
Trọng tâm: Tính được giới hạn một bên, giới hạn hàm số tại vô cực
II .PHƯƠNG PHÁP: Thuyết trình, giảng giải
III. CHUẨN BỊ
* GV : GA, bài tập
* HS :ôn phần đã học và xem trước phần tiếp theo
IV. TIẾN TRÌNH DẠY
1. Ổn định tổ chức lớp
x2  1
2. Kiểm tra bài cũ Tính xlim
� -1 x 2  2x-3
3. Bài mới:
HĐ của GV
HĐ của HS
Nội dung ghi bảng
-Giới thiệu đn2 và
3.Giới hạn một bên
định lí 2 và gọi hs -Đọc và ghi nhớ
a) Định nghĩa 2: sgk
đọc lại

Kí hiệu: lim f ( x )  L ; lim f ( x)  L
x � x0
x � x0
-Đọc và ghi nhớ
b) Định lý 2:
lim f ( x)  L  lim f ( x)  lim f ( x)  L
x � x0
x � x0
x � x0
c) VD:
khi x �1
�5 x  2
Cho hàm số f ( x )  � 2
khi x  1
�x  3
Tìm lim f ( x), lim f ( x), lim f ( x) nếu có.
x �1

-HD hs tính
lim f ( x), lim f ( x)
x �1

x �1

f ( x)
-KL lim
x �1
không tồn tại

x �1

x �1

Giải
+Lên bảng trình bày
theo hd của gv

Ta có:
lim f ( x )  lim  x 2  3  12  3  2
x �1

x �1

x �1

x �1

lim f ( x)  lim  5 x  2   5.1  2  7
lim f ( x)
x �1

lim f ( x)
x�1

f ( x) không tồn tại.
Vậy : lim
x �1
II.Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực:
1. Định nghĩa 3: sgk
f ( x)  L hay f(x)  L khi x + .

Kí hiệu : xlim
��

Hs theo dõi ghi bài
Giới thiệu định
nghĩa 3

GV: PHẠM THỊ MINH HIỆP

lim f ( x )  L hay f(x)  L khi x - .

x ��

3x 2  2 x
f ( x)
2. VD: Cho hàm số f(x) =
. Tìm xlim
��
x2  1
Giải:


Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai

Giáo án ĐS> 11

2
Hs theo dõi hướng dẫn
3x  2 x
x  30  3

f ( x)  lim
 lim
2
của giáo viên và làm xlim
� �
x �� x  1
x ��
1
1 2 1 0
GV cho ví dụ minh bài
x
họa
3. Chú ý:
+ Chia tử và mẫu cho a) Với c, k là hằng số và k nguyên dương:
bậc cao nhất
c
lim c  c
lim k  0
Khi x  thì
x ���
x ��� x
giống giới hạn dãy,
b) Định lý 1 khi x x0 vẫn đúng khi x  .
như vậy ở ví dụ này
VD: Tính:
ta làm như thế nào
5x2  x  1
+Đọc chú ý
để tính giới hạn?
x2  4x  x

a) lim
b) lim
3
3

2

x 2

x ��

-Gọi hs đọc phần
chú ý
- HD hs giải ví dụ
Câu a
+ Nhận xét bậc của
tử và mẫu
+ Chia tử và mẫu
cho x2
+ Áp dụng định lí 1
Câu b
+ Nhân tử và mẫu
với lượng liên hiệp
là x 2  4 x  x
- Gọi hs lên bảng
giải
- Nhận xét và chỉnh
sửa

3x 2  5 x  1

lim
x ��
x2  2
5
1
3  2
x
x
 lim
x ��
2
1 2
x
300

3
1 0



x2  4x  x

lim ( x 2  4 x  x)

x�

�

 lim
x�

x�

�

4 x
x2  4 x  x

4
 2
2



( x 2  4 x  x)( x 2  4 x  x)

�

 lim

�

�

5 1
1
 2 3
5x  x  1
x  0  0  0  0 b)
lim

 lim x x
3
x ��
x ��
2
x 2
1 0
1 3
x
2

Nhân tử và mẫu với lượng liên hiệp là

lim ( x 2  4 x  x)
x�

x2  4x  x
4 x
x2  4x  x

 lim
x�

�

4
4
1 1
x

4
 2
2

4. Củng cố:Nhấn mạnh phương pháp tìm giới hạn của hàm số tạo vô cực và giới hạn 1 bên
Câu hỏi trắc nghiệm:
Câu 1: Cho hàm số

A.

lim f ( x)  3

x �2 

�x 2  x  2
�
f  x  � x  2
� 4 x
�

f ( x)  3
;B. xlim
�2

Câu 2: Chọn mệnh đề đúng
 x 3  5 x  1 1
A. lim 2

x �� 2 x  3 x 3  1
2

khi x > 2
khi x �2

chọn phương án đúng nhất.

f ( x)  2
C. xlim
�2

f ( x)  3
D. lim
x �2

1  5x2
5

x �� 2 x 3  3 x 2  1
2
2
2
x  2 x  4 x  1 3
( 4 x 2  x  2 x)  �
C. xlim
C. lim

� �
x ��
2  5x
5

5. Dặn dò: Xem lại các ví dụ , chuẩn bị tiếp phần còn lại của bài
6. BTLT: 1,2/132 sgk

GV: PHẠM THỊ MINH HIỆP



3

- Hs lên bảng thực hiện

 lim



�

Giải:
a) Chia tử và mẫu cho x , ta có

- Theo dõi hướng dẫn

x�

x�

B. lim


Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai

Giáo án ĐS> 11

x 3  6 x  15
25 x 2  5  3x
b)
lim
x �� 4  2 x 2  4 x 3
x ��
4  7x
x

2
khi
x
�
2
�
f ( x), lim f ( x), lim f ( x) nếu có.
4) Cho hàm số f ( x )  � 2
Tìm xlim
x �2
�2 
x �2
x

5
khi
x


2
�
7. Rút kinh nghiệm
…………………………………………………………………………………………………………………
Ngày soạn: 5/2/2017
Tiết 55:
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (tt)
I .MỤC TIÊU
Kiến thức: Hs nắm được đn giới hạn vô cực của hàm số và các quy tắc tìm giới hạn vô cực
Kỹ năng: Tính được giới hạn vô cực của hàm số.
Tư duy, thái độ: Tích cực học tập, trả lời các câu hỏi.
Trọng tâm: Vận dụng được định lý tìm giới hạn vô cực.
II. PHƯƠNG PHÁP : thuyết trình và giảng giải
III. CHUẨN BỊ
* GV : GA, bài tập
* HS :kiến thức bài cũ, vở, sgk
IV. TIẾN TRÌNH DẠY
1. Ổn định tổ chức lớp
2. Kiểm tra bài cũ
3 x 3  2 x  6
Tính lim 2
x �� x  2 x 3  5
3. Bài mới:
HĐ của GV
HĐ của HS
Nội dung ghi bảng
-Giới thiệu đn4 và các
III. Giới hạn vô cực của hàm số:
giới hạn đặc biệt và gọi -Đọc và ghi nhớ
1. Giới hạn vô cực:

hs đọc lại
a) Định nghĩa 4: sgk
f ( x)  �hay f(x)  - khi x +.
Kí hiệu: xlim
��
3)Tính: a) lim

f ( x )  �� lim   f ( x)   �
b) Nhận xét: xlim
��
x ��
2. Một vài giới hạn đặc biệt :
a ) lim x k  � ( k nguyên dương)
x � �

-Giới thiệu quy tắc tính
giới hạn vô cực

x k  � (k lẻ)
b) xlim
��
-Theo dõi và ghi nhớ

c)

lim x k  � (k chẵn)
x ��

x5  �, lim x 6  �
VD: xlim

��
x ��
3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực:
a)Qui tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)
�lim f(x)  L �0
�
x�x
Nếu � 0
lim g(x)  �(hoa�
c �)
�
x�x0
�
thì lim f(x).g(x) được tính là:
x�x0

��ne�
u L va�lim g(x) cu�
ngda�
u
�
x�x0
lim f (x)g(x)  �
u L va�lim g(x) tra�
i da�
u
x�x0
��ne�
x�x0
�

GV: PHẠM THỊ MINH HIỆP


Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai

Giáo án ĐS> 11
b) Qui tắc tìm giới hạn của thương

- HD hs dùng các quy
tắc để giải vd
Gọi hs lên bảng trình
bày bài giải

�0 ne�
u lim g(x)  ��
x� x0
f (x) �
lim
�

�
ne�
u
lim g(x)  0 va�
L .g(x)  0
x� x0 g(x) �
x� x0
�
u lim g(x)  0 va�
L .g(x)  0

�� ne�
x� x0
�

-Lên bảng trình bày theo
Chú ý: Các qui tắc trên vẫn đúng khi xx0+, xx0–, x+,
hd của gv
x–

VD: Tính:

 x3  2 x 
a) xlim
��

Nhắc học sinh không
được trình bày:
lim  x 3  2 x 

c) lim
x �1

x �1

2x  3
x 1

x 3
x 1

Giải:
� 2 �
x3 �
1  2 � �
a) xlim
 x3  2 x   xlim
��
��
� x �

� 2 �
 lim x �
1 2 �
x ��
� x �
 �.1  �
3

x �1

b) lim

2

x � �

lim

f(x)
g(x)

�lim x 3  �
�x ��
Vì: � � 2 �
1  2 � 1  0
�xlim
�
���� x �
2x  3
 �
b) lim
x �1 x  1
�lim  2 x  3  1  0
x �1
�
�
Vì: �lim  x  1  0
�x �1

�
�x  1  0 khi x � 1
x2  3
c) lim
 �
x �1 x  1
�lim  x 2  3  2  0
�x �1
�
Vì: �lim  x  1  0
�x �1


�
�x  1  0 khi x � 1

2 x  3 1

 �
x 1
0

4. Củng cố:Nhấn mạnh qui tắc tìm giới hạn của tích, thương, một vài giới hạn đặc biệt
Trắc nghiệm:
Câu 1: Chọn phương án đúng
3
2
3
2
A/ lim ( 2 x  x  3 x  1)  �; B/ lim (2 x  x  3x  1)  �
x ��

x ��



(  x  x  5 x  3)  � ; D/ lim
C/ xlim
��
x ��
4

3



x 2  1  x  �

Câu 2: Chọn phương án đúng nhất
x 1
x 1
x 1
 � B/ lim
 � C/ lim
1
A/ lim
x �3 x  3
x �3 x  3
x �3 x  3
5. Dặn dò:
- Xem lại các ví dụ vừa giải
- Xem kỹ qui tắc tìm giới hạn của tích, thương
6. BTLT
GV: PHẠM THỊ MINH HIỆP

D/ lim
x �3

x 1
�
x3

Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai
Tìm các giới hạn sau:
x3  x 2  1
x 2  2 x  15
1) lim
2
)
lim
x � � 2 x 3  x
x �3
x2  9

Giáo án ĐS> 11

3) lim
x �5

3x  1  4
x  7 x  10
2



2
4) lim 2 x  1  4 x  4 x  3
x ��



7. Rút kinh nghiệm
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………….
Ngày soạn: 5/2/2017
TIẾT 56:
LUYỆN TẬP
I. MỤC TIÊU:
Kiến thức: Củng cố các định lí, các qui tắc về giới hạn của hàm số, nhận dạng giới hạn vô định và phương
pháp khử các dạng vô định
Kĩ năng: Tính được
- Giới hạn của hàm số tại một điểm.
- Giới hạn của hàm số tại ��.
0 �
- Một số giới hạn dạng ; ; � �
0 �
Thái độ: Tích cực xây dựng bài
Trọng tâm : Nắm được phương pháp tìm giới hạn hàm số
II. CHUẨN BỊ:
Giáo viên: Giáo án. Hệ thống bài tập.
Học sinh: SGK, vở ghi. Ôn tập các kiến thức đã học về giới hạn của hàm số.
III.PHƯƠNG PHÁP:
- Vấn đáp, gợi mở
IV. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
1. Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số lớp.
2. Giảng bài mới:
Hoạt động của Giáo viên
Hoạt động của Học sinh
Nội dung
H. Cách tìm giới hạn ở câu a?
Đ. Câu a không rơi vào dạng vô định. 1. Tính các giới hạn sau:

Chỉ cần thay -3 vào.
x2  1
a)
lim
2
x 1 8

 4
x�3 x  1
2

a/ lim

H.Câu b rơi vào dạng nào?
Cách làm dạng bài này?

x�2

H. Cách làm câu d?

GV: PHẠM THỊ MINH HIỆP

x1

2

b) lim 4  x
0
x�2 x  2
Đ. Câu b rơi vào dạng . Phân tích tử

0
thành nhân tử
3x  5
c) lim
2  x  2  x

x�2 (x  2)2
b/  lim
x�2
x 2
 lim  2  x  4

H. Cách làm câu c?

x�3

a
Đ. Câu c rơi vào dạng . Xét giới hạn
0
tử, giới hạn mẫu, dấu biểu thức dưới
mẫu
3x  5
c / lim
 �
x�2 (x  2)2
Đ. Nhân lượng liên hợp

d)lim

x�1

2x  2  3x  1
x1


Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai

Giáo án ĐS> 11

d)lim

x�1

Hd hs nhận dạng cách làm
H. Câu a rơi vào dạng nào?
Cách khử dạng vô định này?
Câu b, c tương tự câu a.
Mời hs lên bảng trình bày bài làm.
Quan sát chỉnh sửa bài làm của hs.

 x  1 

x 1

1

 lim



2x  2  3x  1


1
4

2x  2  3x  1
Đ. dạng � �
Rút x có bậc cao nhất trong ngoặc ra
làm nhân tử chung. Sử dụng qui tắc về
2. Tính:
giới hạn vô cực.
4
2
a) lim (x  x  x  1)
x��
1 1 1
4
a/  lim x (1

 )  � b) lim (2x3  3x2  5)
2
3
x��
x��
x
x x4
2
3 5
c) lim x  2x  5

b/  lim x3(2  )  �
x
�

�
3
x��
x x
x�1

c/  lim  x 1
x��

2 5

 �
x x2

4. Củng cố:
Nhấn mạnh phương pháp tính giới hạn hàm số, các dạng vô định và phương pháp khử tương ứng.
Câu hỏi trắc nghiệm
2x 1
Câu 1: Tính lim 2
:
x �1 x  2
A. -2
B. 2
C. -3
D. -1
x 2

Câu 2: Tính lim 2
:
x � 2 x  2
1
A. 1
B.
C. 2
D.
2 2
x 1
Câu 3: Tính lim 2
:
x �1 x  1
1
1
A. 2
B. 1
C.
D.
2
2
Câu 4: Giới hạn nào dưới đây có kết quả là 3?
3x
3 x
3x
A. lim
B. lim
C. lim
D. Cả ba hàm số trên
x �1 x  2

x �1 2  x
x �1 x  2
2 x 3
Câu 5: Tính xlim
:
��
x2  x  5
A. 1
B. -1
C. 2
D. -2
2
x  x  2x
Câu 6: Tính lim
x ��
2x  3
1
3
1
3
A.
B.
C.
D.
2
2
2
2
(2 x  1) x 2  3
x ��

x  5x2

Câu 7:: Tìm giới hạn lim
2
A. 5

1
B. 5

2
C. 5

GV: PHẠM THỊ MINH HIỆP

1
D. 5


Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai

Giáo án ĐS> 11

5. Dặn dò
- Về nhà xem lại các dạng tốn đã làm.
- Làm thêm các bài tập tương tự
6. BTLT Tính a) lim

x3  x2  x  1

x�1

d) lim

4x  1  3

2
b) lim 1 x  1
x�0
x

x2  3x  2

e) lim

c) lim

x4  16

x�2 x3  2x2

x 2  2

x�2 x  7  3
x2  4
7. Rút kinh nghiệm
…………………………………………………………………………………………………………………
x�2

Ngày soạn: 5/2/2017
Tiết 57

LUYỆN TẬP
I. MỤC TIÊU:
Kiến thức: Củng cố các định lí, các qui tắc về giới hạn của hàm số, nhận dạng giới hạn vơ định và phương
pháp khử các dạng vơ định
Kĩ năng: Tính được
- Giới hạn của hàm số tại một điểm.
- Giới hạn một bên
- Giới hạn vơ cực của hàm số
Thái độ: Tích cực xây dựng bài :
Trọng tâm: Tính được giới hạn hàm số cơ bản.
II. CHUẨN BỊ:
Giáo viên: Giáo án. Hệ thống bài tập.
Học sinh: SGK, vở ghi. Ơn tập các kiến thức đã học về giới hạn của hàm số.
III.PHƯƠNG PHÁP: Vấn đáp, gợi mở
IV. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
1. Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số lớp.
2. Kiểm tra bài cũ:
3. Giảng bài mới:
HĐ của GV
HĐ của HS
Nội dung ghi bảng
-Giao bài tập và cho học
- Nhận bài tập và nêu Bài 1 : Tính các giới hạn sau :
sinh nhận dạng, nêu cách
cách giải
x3  2 x  3
x3  8
a)
b)
lim

lim
giải
x �2 x 2  3 x  2
x �1
x2  2 x
-Gọi hs lên bảng trình bày
x- x  2
bài giải
( 4 x 2  5 x  3  2 x)
c) lim
d) xlim
��
x �2 3 x  6
Giải :
- Nhận xét câu a có thể tính
3
trực tiếp giới hạn của hàm
lim x  2 x  3 =     3 = 2
a)
Ta
có
x
1
số khơng?
1 2
3
x2  2x
+Lên bảng trình bày theo
3
2

x 8
( x  2)( x  2 x  4)
b) lim 2
 lim
- Gọi hs lên bảng tính
hd của gv
x �2 x  3 x  2
x �2
( x  1)( x  2)

- Câu b tính như câu a dược
khơng? Vì sao? Nêu cách
giải?

- Hs trả lời theo hiểu biết

- Câu c, d hướng dẫn hs
- Làm theo hướng dẫn
bằng cách nhân lượng liên
của gv
GV: PHẠM THỊ MINH HIỆP

( x 2  2 x  4) 4  4  4
 lim

 12
x �2
( x  1)
1
x- x  2

x2  x  2
 lim
x �2
x �2
3x  6
3x  6
c. Ta có
 x  1  x  2   lim x  1  1
 lim
x �2
x �2
3 x  2
3
lim


Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai
hợp
- Gọi hs lên giải

Giáo án ĐS> 11

- Hs lên bảng giải

d ) lim ( 4 x 2  5 x  3  2 x)
x � �

 lim

-Chính xác hóa lời giải

( 4 x 2  5 x  3  2 x)( 4 x 2  5 x  3  2 x)

4 x2  5x  3  2 x
(4 x 2  5 x  3  4 x 2 )
5x  3
 lim
 lim
2
2
x ��
x ��
4 x  5x  3  2 x
4 x  5x  3  2x
x ��

 lim

x ��

5x  3
4 x 2  5x  3  2 x

 lim

x ��

3
x
5

3
4  2 2
x x
5

5
5

22 4
Bài 2: Tính các giới hạn:
x3
x2  4
a) lim
b) lim 
x �7 x  7
x � 2  2 x  4


- Giao bài tập
Chép bài tập và suy nghĩ
- Cho hs nhận dạng Hs lên bảng
và tìm cách giải
+ Gọi hs lên bảng
trình bày
+ Chính xác hóa lời
giải

-

x3

lim
 �
a) x �7 x  7
�lim  x  3  10  0
x �7
�
�
 x  7  0
�xlim

��7 
�
�x � 7 � x  7  0
Vì:
x2  4
lim 
 �
b) x � 2 2 x  4

Giải:

�lim  x 2  4   8  0
�x � 2 
�
�lim   2 x  4   0
�x � 2
�x � 2 � 2 x  4  0
�

Vì:

4. Củng cố : Nhấn mạnh cách trình bày giới hạn 1 bên, phân tích đa thức thành nhân tử
Câu hỏi trắc nghiệm
1 2x 1
Câu 1:
Kết quả lim
A. 2
B. 1 C. ½
D. Không tồn tại
x �0
x
x 3  x 2  x  10
Câu 2: Tính lim
A. 15
B. -15
C. 1
D. Tất cả đều sai
x � 2
x 2  3x  2
Câu 3: Trong các phương pháp tìm giới hạn lim ( 1  x  x ) dưới đây, phương pháp nào là phương
x  

pháp thích hợp?
A. Nhân với biểu thức liên hợp ( 1  x  x ) .
B. Chia cho x 2
C. Phân tích nhân tử rồi rút gọn
D. Sử dụng định nghĩa với x  
Câu 4: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng :
GV: PHẠM THỊ MINH HIỆP

Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai

Giáo án ĐS> 11

x4  x
x4  x
x4  x
x4  x
B. lim
C. lim
D. lim
1

0

x   1  2 x
x   1  2 x
x   1  2 x
x   1  2 x
5. Dặn dò :
- Xem lại các bài tập vừa giải.
- Yêu cầu học sinh nắm kỹ phương pháp khử các dạng vô định
6. BTLT : Tính các giới hạn sau
3
3
4x  1
2x2  x  1
4x  2
1  x 1
3)

lim
;
4)
lim
;
;
;
1) lim
2) lim
x��
x��
x �2
x �0
x2
x
4x2  3
x x2  1
A. lim

5) lim



x ��



x 1  x ;

6) lim



x ��

x2  x 1  x



7) lim

x � �

x 2  7x  12
;
3 x  17

8) lim

x ��

x4  4
x4

7. Rút kinh nghiệm
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
Ngày soạn: 12/2/2017
Tiết 58:
HÀM SỐ LIÊN TỤC

I. MỤC TIÊU:
1.Kiến thức :Biết khái niệm hàm số liên tục tại 1 điểm, hàm số liên tục trên 1 khoảng, các định lí cơ bản
2.Kỹ năng: Biết xét tính liên tục của một hàm số tại 1 điểm, chứng minh pt có nghiệm
3. Thái độ: Cẩn thận ,chính xác, tích cực tham gia xây dựng bài
4. Trọng tâm: Hàm số liên tục tại 1 điểm
II. CHUẨN BỊ:
Giáo viên: Giáo án, phiếu học tập.
Học sinh: SGK, vở ghi. Ôn tập kiến thức đã học về giới hạn của dãy số.
III. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
1. Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số lớp.
�x 2 , khi x �1
2
f
(
x
)

x
2. Kiểm tra bài cũ: (5')Cho hai hàm số:
và g(x) = �
2, khi x  1
�
a, Tính giá trị hàm số tại x = 1 và so sánh giới hạn (nếu có) của hàm số khi x  1
b, Nêu nhận xét về đồ thị của mỗi hàm số tại điểm có hoành độ x = 1 (GV treo bảng phụ)
3. Giảng bài mới:
Hoạt động của Giáo
TL
Hoạt động của Học sinh
Nội dung
viên

GV nêu câu hỏi:
I. Hàm số liên tục tại một điểm
15' Thế nào là hàm số liên
Định nghĩa1: sgk
tục tại 1 điểm?
HS nêu Định nghĩa về hàm
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x0
số liên tục tại 1 điểm
f ( x)  f ( x0 )
nếu xlim
 x0
Tìm TXĐ của hàm
* Hàm số y = f(x) không liên tục tại x0 được
số?
gọi là gián đoạn tại điểm đó.
Xét tính liên tục của
Ví dụ:
hàm số tại x0 = 2 ta
1.Xét tính liên tục của hàm số:
kiểm tra điều gì?
TXĐ D = R\ {3}
2x
f ( x) ?
f(x)=
tại x0 = 2
Hãy tính lim
x 2
x 3
lim f ( x)  f (2) ?
x 2

f(2)=?
TXĐ : D = R\{3}
Kết luận gì về tính liên
lim f ( x)  4
2x
2 .2
x 2
lim f ( x) lim

 4
tục của hàm số tại x0 =
x 2
x 2 x  3
2 3
f(2)
=
-4
2?
2.2
Hàm số liên tục tại x0 = 2
 4
f(2) =
2 3
GV: PHẠM THỊ MINH HIỆP


Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai
Hàm số liên tục
tại x0 = 0 khi nào?
Tính f(0)?

Tính lim f ( x) ?
x 0

f ( x) ?
Tính xlim
 0

f ( x) và
Nhận xét xlim
 0
lim f ( x) ?

x 0

Giáo án ĐS> 11

 lim f ( x)  f (2)
lim f ( x)  lim f ( x)  f (0)

x 0

x 0

x 2

Vậy hàm số liên tục tại x0 =2

f(0) = 0
lim f ( x)  lim x 0

�x 2  1 khi x  0
2. Cho hàm số f(x) = �
�x khi x �0
lim f ( x)  lim ( x 2  1) 1
x 0
x 0
Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0
lim f ( x) lim f ( x)
Ta có: TXĐ: D = R, f(0) = 0
x 0
x 0
f ( x)  lim x 0
Hàm số không liên tục tại x0= 0 xlim
 0
x 0
lim f ( x)  lim ( x 2  1) 1
x 0

x 0

x 0

Kết luận gì?

x 0

f ( x) lim f ( x)
Vì xlim
 0
x 0

f ( x) không tồn tại do đó hàm số
Nên lim
x 0
không liên tục tại x0 = 0.
II. Hàm số liên tục trên một khoảng.
Định nghĩa 2:
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên 1
khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của
khoảng đó.
+ hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên
[a ; b] nếu nó liên tục trên(a ;b)
và lim f ( x)  f ( a) ; lim f ( x)  f (b)

5’
 GV giới thiệu định Hs theo dõi nắm bài.
nghĩa hàm số liên tục
trên khoảng, đoạn

x a

x b

Chú ý: đồ thị của 1 hàm số liên tục trên 1
khoảng là 1 “đường liền” trên khoảng đó.
10 Gv giới thiệu định lý cơ
III,Một số định lí cơ bản.
’ bản, nhấn mạnh định lý
ĐL 1: SGK
3

ĐL 2: SGK.
ĐL 3: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên
[a ; b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x)
Cho hs làm ví dụ
a = -1 ; b = 1
= 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong (a ; b).
a = ?, b = ?
hàm số f(x) = x 5 + x -1 liên
Ví dụ : Chứng minh rằng phương trình x 5
hàm số f(x) = x 5 + x -1 tục trên R nên liên tục trên đoạn + x -1=0 có nghiệm trên(-1;1).
liên tục ko?
[-1;1]
Giải: Xét f(x) = x 5 + x -1
Tính f (-1)?
f(-1) = -3
Hàm số f(x) liên tục trên R nên f(x) liên tục
f(1) ?
f(1) = 1
trên [-1; 1] .
Kết luận gì về dấu của f( -1) .f(1) = -3 < 0
f( -1) .f(1) = -3 < 0.
f(-1)f(1)?
Vậy phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc
( -1; 1).
4. Củng cố: Nhấn mạnh cách chứng minh hàm số liên tục tại 1 điểm và pt có ít nhất 1 nghiệm
Câu hỏi trắc nghiệm:
Câu 1: Khẳng định nào sau đây là đúng:
A. Hàm số có giới hạn tại điểm
thì liên tục tại
.

B. Hàm số có giới hạn trái tại điểm

thì liên tục tại

C. Hàm số có giới hạn phải tại điểm
D. Hàm số có giới hạn trái và phải tại điểm
Câu 2: Cho một hàm số

thì liên tục tại

.
.

thì liên tục tại

. Khẳng định nào sau đây là đúng:

GV: PHẠM THỊ MINH HIỆP

.


Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai
A. Nếu

thì hàm số liên tục trên

B. Nếu hàm số liên tục trên

thì

thì phương trình

Câu 3: Cho hàm số

có nghiệm.

. Khẳng định nào đúng:

A. Hàm số chỉ liên tục tại điểm
C. Hàm số chỉ liên tục phải tại

.
.

C. Nếu hàm số liên tục trên
và
D. Cả ba khẳng định trên đều sai.

B. Hàm số chỉ liên tục trái tại

Giáo án ĐS> 11

.
.
.

D. Hàm số liên tục tại điểm
.
5. Dặn dò: Xem lại bài, các ví dụ, làm bài tập vê nhà

6. BTLT: 2,3/sgk
7. Rút kinh nghiệm
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................

Ngày soạn: 14/2/2017
Tiết 59:
LUYỆN TẬP
I. MỤC TIÊU:
Kiến thức : khái niệm hàm số liên tục tại 1 điểm, hàm số liên tục trên 1 khoảng, các định lí cơ bản
Kỹ năng:
- Biết ứng dụng các định lí nói trên để xét tính liên tục của một hàm số đơn giản.
- Biết chứng minh một phương trình có nghiệm dựa vào định lí về hàm số liên tục.
Thái độ:
Cẩn thận ,chính xác.
II. CHUẨN BỊ
Giáo viên: Giáo án, phiếu học tập.
Học sinh: SGK, vở ghi. Ôn tập kiến thức đã học về giới hạn của dãy số.
III. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
1. Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số lớp.
2. Kiểm tra bài cũ: (5') Nêu các bước chứng minh hàm số liên tục tại
x
điểm 0 , pp cm phương trình: f (x)  0có nghiệm x0 �(a; b)
f (x), lim f (x) )
TL: B1:Tìm TXD, x0 �D, tính f (x0 )  ? B2: Tính lim f (x) ( hoặc xlim
� x0
x� x0
x� x0

B3:so sánh kết quả B2, B3 và kết luận:Hàm số liên tục( hay gián đoạn) tại x0

* Để cm pt: f (x)  0 có nghiệm x0 �(a; b) thì ta cần cm:
+) f (x) liên tục trên  a; b
+) f (a). f (b)  0
3. Giảng bài mới:
TL Hoạt động của Giáo viên
Hoạt động của Học sinh
Hoạt động 1:
GV: PHẠM THỊ MINH HIỆP

Nội dung


Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai
- Gv tổng kết lại lý thuyết,
các kiến thức cần nhớ rồi
dẫn vào bài mới “ Luyện
tập về hàm số liên tục”.
-Gv ghi đề bài 1, bài 2 lên
bảng và gọi 2 học sinh lên
bảng làm bài 1
- Gv xuống dưới lớp kiểm tra
vở bài tập của học sinh dưới
lớp, đồng thời quan sát học
sinh trên bảng làm bài

Giáo án ĐS> 11

- 2 học sinh lên làm
bài 1, học sinh ở dưới
lớp theo dõi bài làm của học sinh

trên bảng.

- Sau khi học sinh nhận xét
gv chữa bài cho học sinh.

Bài 1: Xét tính liên tục của của hàm
số sau:
�x2  3x  2
, x �2
�
f (x)  � x  2
�
1
,x  2
�
a) Tại điểm x0  2
b) Trên R
Giải
a)Ta có:
TXĐ :D=R
x0  2 �D, f (2)  1
lim f (x)  lim

x2  3x  2

x 2
(x  1)(x  2)
 lim
 lim(x  1)  1
x�2

x�2
x 2
x�2

- Gv cho điểm bài làm của
học sinh.

x�2

f (x)  f (2)  1
+) Ta thấy: lim
x�2
� f (x) liên tục tại x0  2

- Gv gọi học sinh đứng dậy
nhận xét bài làm của bạn.
- Sau khi gv chữa bài xong
học sinh sửa bài vào vở bài
tập.

BT đã cho về nhà, gọi hs Hs thực hiện theo yêu cầu gv
lên bảng sửa lấy điểm
+) TXĐ: D = R, x0  0�D
Gọi hs nhận xét bài làm của
f (x0 )  f (0)  a
bạn
1 x2  1
Hoàn chỉnh bài làm của hs +)
lim f (x)  lim
x�0

x�0
và cho điểm
x

 lim

1 x2  1

b)TXD: D=R
+) Khi x �2,
x2  3x  2
xác định
f (x) 
x 2
� f (x) liên tục
+) Khi x  2,ta xét tương tự câu a và
có được kết quả như câu a.
Vậy: Hàm số f (x) liên tục trên R
Bài 2: Định a để hàm số
� 1 x2  1
�
, x �0
f (x)  � x
�a
x 0
�
Liên tục tại x  0
0

x( 1 x  1)

x
 lim
0
x�0
1 x2  1
Hàm số liên tục tại x0  0
� lim f (x)  f (0) � a  0
x�0

2

x�0

Gv ghi đề bài 3

* Ta cm f (x) liên tục trên  0;1
+) f (x) liên tục trên R
� f (x) liên tục trên  0;1 (1)
�f (0)  1
* Mặt khác: �
�f (1)  1
� f(0). (1)  1 0 (2)

GV: PHẠM THỊ MINH HIỆP

Bài 3: Chứng minh rằng các phương
trình sau:
a) x3  x  1 0 có ít nhất một
nghiệm dương nhỏ hơn 1.
b) 4x4  2x2  x  3  0 có ít nhất 2

nghiệm phân biệt thuộc khoảng
(1;1) .


Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai

Giáo án ĐS> 11

� pt: f (x)  0có ít nhất 1 nghiệm
x0 �(0;1)
4. Củng cố
+ Nhấn mạnh phương pháp chứng minh hàm số liên tục tại 1 điểm
+ Nhấn mạnh phương pháp chứng minh phương trình có ít nhất 1 nghiệm
5. Dặn dò
+ Xem lại bài
+ Làm bài tập vê nhà
6. BTLT
�x  1, x  0
�
1. Xét tính liên tục của hàm số f (x)  �x  1, x  0 Tại x0  0
�
1
,x  0
�
�x2  5x  14
, x 2
�
� 4(x  2)
2. Định a để hàm số g(x)  �
liên tục tại x0  2

1
�
ax 
, x �2
�
� 4
4
2
có ít nhất 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (1;1) .
3. Cmr phương trình 4x  2x  x  3  0
7. Rút kinh nghiệm
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
Ngày soạn: 21/2/2016
TIẾT 60:
ÔN TẬP CHƯƠNG IV
I. MỤC TIÊU:
Kiến thức:
Củng cố:
 Các khái niệm, định nghĩa, các định lí, qui tắc và các giới hạn đặc biệt trong SGK.
 Khái niệm và tính chất hàm số liên tục.
Kĩ năng:
 Có khả năng áp dụng các kiến thức lí thuyết vào việc giải các bài toán thuộc các dạng cơ bản:
tính giới hạn của dãy số, tính giới hạn của hàm số, xét tính liên tục của hàm số, chứng minh sự
tồn tại nghiệm của phương trình, tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
Thái độ:
 Tư duy các vấn đề của toán học một cách lôgic và hệ thống.
II. CHUẨN BỊ:
Giáo viên: Giáo án. Hệ thống bài tập.
Học sinh: SGK, vở ghi. Ôn tập các kiến thức đã học trong chương IV.

III.PHƯƠNG PHÁP: Vấn đáp, gợi mở
IV. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
1. Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số lớp.
2. Kiểm tra bài cũ: (Lồng vào quá trình luyện tập)
3. Giảng bài mới:
Hoạt động của Giáo viên
Hoạt động của Học sinh
Nội dung
Gọi HS lên bảng giải
Đặt n làm nhân tử ở cả tử và mẫu rồi
1. Tìm các giới hạn sau:
rút gọn.
1
n(3  )
Nêu cách làm?
3n  1
n
a, lim
= lim
3n  1
2
n2
lim
=3
n(1  )
n2
n
Nêu kết quả?
GV: PHẠM THỊ MINH HIỆP

Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai
nhân cả tử và mẫu cho lượng liên hiệp
là n 2  2n  n
Nêu phương pháp giải ?

( n 2  2n  n)( n 2  2n  n)
=?
lim

2n
2

( n  2n  n)
thế nào?

giải như

Phương pháp giải ?

( n 2  2n  n)( n 2  2n  n) =
n 2 2n  n 2 = 2n.
Đặt n làm nhân tử chung cho cả tử
và mẫu rồi rút gọn.
2n
2
lim
=
=1
2

n( 1   1)
1  0 1
n
Đặt n làm nhân tử ở cả tử và mẫu rồi
rút gọn.
1
2
n(
 )
n 2
n n
lim
lim
7
3n  7
n(3  )
n
n 2
lim
0
3n  7

lim q n 0 nếu IqI<1

n  

Nêu kết quả?

Đặt nhân tử chung là 4 n ở tử và mẫu

Sử dụng công thức nào cho
bài toán này?
Đặt nhân tử chung là gì ở tử
và mẫu?

Thay 2 vào.

Cách giải?
Thay -3 vào thì tử và mẫu
bằng bao nhiêu?
Giải bài toán này như thế
nào?

Thay -3 vào thì cả tử và mẫu đều bằng
0
Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử
(x+3) rồi rút gọn.

lim ( x  4) 0

x 4

x-4<0 , x  4
lim (2 x  5) 2.4  5 3  0
x 4

lim ( x  4) = ?

x 4

x  4 ,dấu của x -4?
lim (2 x  5) =?
x 4

(2 x  5)
dấu của xlim
 4
Phương pháp giải?

2x  5
= -
x 4 x  4
Đặt x 3 làm nhân tử chung ,ta được:
1 2
1
lim x 3 ( 1   2  3 )
x  
x x
x
lim

lim x 3 

x  

GV: PHẠM THỊ MINH HIỆP

Giáo án ĐS> 11
1
n = 3  0 3

= lim
2
1 0
1
n
b,lim ( n 2  2n  n)
3

= lim
= lim
= lim

( n 2  2n  n)( n 2  2n  n)
( n 2  2n  n)

n 2  2n  n 2
( n 2  2n  n)
2n

( n 2  2n  n )
2n
= lim
=
2
n( 1   1)
n

2
1  0 1

=1

1
2
 )
n 2
n n
c. lim
lim
7
3n  7
n (3  )
n
1
2

n n  0  0 0
= lim
7
30
3
n
3n
4n ( n  5)
n
n
3  5 .4
4
lim
d. lim

n
1
1 4
4 n ( n  1)
4
3
( )n  5
0 5
5
= lim 4
=
1 n
0

1
( ) 1
4
2. Tìm các giới hạn sau:
x 3
23
1


a. lim 2
x 2 x  x  4
424 2
2
x  5 x  6 lim ( x  2)( x  3)
b. lim
= x  3

x  3
x ( x  3)
x 2  3x
x 2  32 1


= lim
x  3
x
3
3
2x  5
c. lim
x 4 x  4
Ta có: lim ( x  4) 0 , x-4<0 , x  4
n(

x 4

(2 x  5) 2.4  5 3  0
Và xlim
 4
Vậy lim
x 4

2x  5
= -
x 4

Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai
3

x ?
Tính xlim
 
Tính xlim
( -1 +
 
1 2
1
 2  3)?
x x
x
Nhận xét gì về dấu của
lim ( -1 + 1  2  1 )
x  
x x 2 x3
Kết luận gì về bài toán?

lim ( -1 + 1 
x
1
lim ( -1 + 
x  
x
x  

Giáo án ĐS> 11
2

1
 3 ) = -1
2
x
x
2
1
 3 ) = -1 <0
2
x
x

2x  5
?
x 4 x  4
( x 3  x 2  2 x  1)
d. xlim
 

Kết luận gì về lim

1 2
1
 2  3)
x x
x
3
x 
Vì xlim
 

3
= lim x (  1 
x  

lim ( x3  x 2  2 x  1) = - 

x  

lim ( -1 + 1  2  1 ) = -1 <0
x x 2 x3
3
2
Vậy lim ( x  x  2 x  1) = - 
x  

x  

4. Củng cố: Nhấn mạnh các dạng toán.
5. Dặn dò:
 Chuẩn bị BT ôn tập tiết còn lại để kiểm tra 1 tiết chương IV.
6. Rút kinh nghiệm
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................

Ngày soạn: 22/2/2016
TIẾT 61:
ÔN TẬP CHƯƠNG IV
I. MỤC TIÊU:
Kiến thức:

Củng cố:
 Các khái niệm, định nghĩa, các định lí, qui tắc và các giới hạn đặc biệt trong SGK.
 Khái niệm và tính chất hàm số liên tục.
Kĩ năng:
 Có khả năng áp dụng các kiến thức lí thuyết vào việc giải các bài toán thuộc các dạng cơ bản:
tính giới hạn của dãy số, tính giới hạn của hàm số, xét tính liên tục của hàm số, chứng minh sự
tồn tại nghiệm của phương trình, tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
Thái độ:
 Tư duy các vấn đề của toán học một cách lôgic và hệ thống.
II. CHUẨN BỊ:
Giáo viên: Giáo án. Hệ thống bài tập.
Học sinh: SGK, vở ghi. Ôn tập các kiến thức đã học trong chương IV.
III. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
1. Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số lớp.
2. Kiểm tra bài cũ: (Lồng vào quá trình luyện tập)
3. Giảng bài mới:
Hoạt động của Giáo viên
HĐ1:
Bài 1:
1 x2
f ( x)  2 ,
x
3
x  x 2 1
g ( x) 
x2
-Gọi 2 HS tính các giới hạn
GV: PHẠM THỊ MINH HIỆP

Hoạt động của Học sinh

1 x2
-HS1: Hàm số f ( x )  2
x
- Tiến hành bài làm

Nội dung
1 x2
x3  x 1
Bài1: f ( x)  2 , g ( x )
x
x2
1 x2
lim f ( x) lim 2
x o
x 0
x
2
Ta có lim x 0 , x2 > 0, x
x 0

lim(1  x 2 ) 1
x 0