1 DAI SO & GIAI TICH 11 CB _ TIET 1-48.doc

Trường THPT Nuyễn Chí Thanh

Giáo án Đại số và giải tích 11

Tiết 1–2–3–4–5.
Lớp 11B3 – 11B11

Ngày soạn:
Ngày giảng:

/
/

/2007
/2007

§1. HÀM SỐ LƯNG GIÁC.
I. Mục đích yêu cầu: Giúp cho học sinh nắm được:
Về kiến thức:
– Học sinh nhớ lại bảng giá trị lượng giác.
– Hàm số y = sinx, hàm số y = cosx: sự biến thiên, tính tuần hoàn, đồ thị và các tính chất
của hai hàm số này.
– Hàm số y = sinx, hàm số y = cosx: sự biến thiên, tính tuần hoàn, đồ thị và các tính chất
của hai hàm số này.
– Tìm hiểu tính tuần hoàn của hàm số lượng giác.
Về kỹ năng:
– Vận dụng các kiến thức đã học vào giải bài tập (tập xác định, tập giác trị, tính chất
chẵn, tính chất lẽ, tính tuần hoàn, chu kỳ, khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của các hàm số
lượng giác...)
– Vẽ được các đồ thị của các hàm số lượng giác.
– Rèn luyện các kỹ năng và kỹ xảo giải bài tập.

Về thái độ:
– Xây dựng tư duy logíc, linh hoạt, biết quy lạ về quen.
– Học sinh học tập nghiêm túc, cẩn thận trong làm bài tập, tỉ mỉ trong giải bài tập.
II/ Chuẩn bị bài của giáo viên và học sinh:
Giáo viên: Cần chuẩn bị hệ thống câu hỏi nhằm ôn tập toàn bộ kiến thức lượng giác ở
lớp 10. Phiếu học tập, đồ dùng dạy học. Tài liệu hướng dẫn dạy học toán lớp 11, sách giáo viên
Đại số và giải tích lớp 11.
Học sinh: Đọc bài và nghiên cứu trước ở nhà (ôn tập lại kiến thức lượng giác ở lớp 10), giải các
bài tập trong sách giáo khoa. Chuẩn bị một số dụng cụ như thước kẻ, bút chì, bút để vẽ đồ thị hàm
số, bút, vở, sách,....
III/ Phương pháp: Hỏi đáp – Thuyết trình – Đặt vấn đề.
VI/ Tiến trình bài giảng:
1. Ổn định tổ chức: Kiểm tra só số, ...
2. Bài cũ:
3. Bài mới:
Tiết 1
/

/07

HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY
HOẠT ĐỘNG 1:
I. Định nghóa:
* Em hãy dùng máy tính bỏ túi điền các giá trị thích
hợp vào bảng sau.
x

π

π

6

4

1,5

2

3,1

4,25

HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ

5

sinx
cosx

Từng cá nhân học sinh lấy máy tính
y
bỏ túi tính kết quả điền vào bảng bên.
B

* Gọi một học sinh lên bảng điền vào bảng trên. Các
em còn lại nhận xét bài làm của bạn.
Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình

A’

O

B’

M2

M1

Trang 1
A

Hình 1.1

x


Trường THPT Nguyễn Chí Thanh

Giáo án Đại số và giải tích 11

HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY
* Gọi một học sinh lên bảng biểu diễn điểm cuối của
cung AM có số đo x là:

HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ

π π
6

;

4

Em hãy dựa vào hình vẽ trên bảng của bạn và cho
biết số đo của cung AM1; AM2.
Cung AM1 có số đo là:
Ở lớp 10 các em đã được học về hàm số lượng giác.
Một em hãy lên bảng xác định điểm cuối của cung

Cung AM2 có số đo là:

π
6

π
4

.
.

t

AM có số đo bằng α trên đường tròn lượng giác.

I
B
H

y

J
M

x
A’

O

z

x

K

A

x

B’

Hình 1.2
Em hãy quan sát hình 1.2 và cho biết giá trị của
Ta có: sinx = OH ; cosx = OK ;
sinx = ?; cosx = ?; tanx = ?; cotx = ?.
tanx = OI ; cotx = OJ .
Giáo viên phát biểu định nghóa hàm số y = sinx.
1. Hàm số y = sinx và y = cosx
a. Hàm số y = sinx
+ Quy tắc cho tương ứng mỗi số thực x với sin của

góc lượng giác có số đo rian bằng x được gọi là
hàm số sin, kí hiệu là y = sinx.
sin: R  R
x  y = sin
Trong đó R là tập xác định của hàm số y = sinx
Tương tự như hàm số y = sinx em hãy phát biểu định
nghóa hàm số y = cosx.

Cá nhân học sinh tiếp thu, ghi chép.

+ Quy tắc cho tương ứng mỗi số thực x
với cosin của góc lượng giác có số đo
rian bằng x được gọi là hàm số
cosin.

b. Hàm số y = cosx
+ Quy tắc cho tương ứng mỗi số thực x với cosin của
góc lượng giác có số đo rian bằng x được gọi là
hàm số côsin. Kí hiệu: y = cosx.
cos: R  R
Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình

Trang 2


Trường THPT Nguyễn Chí Thanh

Giáo án Đại số và giải tích 11

HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY

x  y = cosx
Trong đó R là tập xác định của hàm số y = cosx.
Em hãy cho biết tập xác định của các hàm số
= sinx, y = cosx?

HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ

y Tập số thực R.

2. Hàm số y = tanx và y = cotx
Giáo viên phát biểu định nghóa hàm số y = tanx.
a. Hàm số y = tanx
Hàm số tang là hàm số được xác định bởi
sin x
(cos x ≠ 0).
công thức: y =
cos x
Kí hiệu: y = tanx
Em hãy cho biết tập xác định và tập giá trị của hàm
số y = tanx.

Tập xác định của hàm số y = tanx
là:

Tương tự em hãy phát biểu định nghóa hàm số
= cotx.

y

π


D = R \  + kπ , k ∈ Z  .
2


Tập giá trị của hàm số y = tanx:R.

a. Hàm số y = cotx
Hàm số cotang là hàm số được xác định bởi
cos x
(sin x ≠ 0).
công thức: y =
sin x
Kí hiệu: y = cotx
Em hãy cho biết tập xác định và tập giá trị của hàm
số y = cotx.
Tập xác định của hàm số y = cotx là:
Em hãy so sánh hai giá trị sin450 và sin(–450)
Từ đó em hãy so sánh hai giá trị sinx và sin(–x)
Em hãy so sánh hai giá trị cos60 và sin(–60 )
0

0

Từ đó em hãy so sánh hai giá trị cosx và cos(–x)

D = R \ { kπ , k ∈ Z} .

Tập giá trị của hàm số y = cotx: R
Hai giá trị này đối nhau.

Hai giá trị này đối nhau.
Hai giá trị này bằng nhau.

Thông qua các vấn đề so sánh trên và từ các định
nghóa về hàm số lượng giác ở trên em hãy cho biết Hai giá trị này bằng nhau.
hàm số lượng giác nào là hàm số chẵn, hàm số lượng
giác nào là hàm số lẻ.

Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình

Trang 3


Trường THPT Nguyễn Chí Thanh

Tiết 2
/

/07

Giáo án Đại số và giải tích 11

HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY
II. Tính tuần hoàn của các hàm số hàm số lượng
giác:
Em hãy chỉ ra một số giá trị của T sao cho
sin(x + T) = sinx.

Em hãy chỉ ra một số giá trị của T sao cho
+ T) = tanx.

tan(x

HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ
Các hàm số y = sinx, y = tanx,
y = cotx laø haøm số lẻ
Hàm số y = cosx là một hàm chẵn

Theo tính chất của giá trị lượng giác
ta có những số T có dạng là 2π; 4π;...
kπ với k ∈ Z.

Vậy người ta đã chứng minh được với T = 2π là số Theo tính chất của giá trị lượng giác
dương bé nhất sao cho sin(x + 2π) = sinx và ta có những số T có dạng là π; 2π;...
cos(x + 2π) = cosx, với mọi x ∈ R.
kπ với k ∈ Z.
tan(x + π) = tanx, ∀x ∈

cot(x + π) = cotx, ∀x ∈

π

D = R \  + kπ , k ∈ Z 
2


D = R \ { kπ , k ∈ Z }

Em hãy cho biết hàm soá y = sin; y = coax; y = tanx và
y = cotx tuần hoàn với chu kì T là bao nhiêu?

III. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số lượng giác:
1. Hàm số y = sinx.
Em hãy cho biết tập xác định của hàm số y = sinx.
Em hãy cho biết tập giá trị của hàm số y = sinx.
Em hãy cho biết hàm số y = sinx là hàm số chẵn hay
là hàm số lẻ.
Em hãy cho biết hàm số y = sinx tuần hoàn với chu
kỳ T bằng bao nhiêu?
Em hãy quan sát hình 3 trang 7 sách giáo khoa và hãy
cho biết hàm số y = sinx đồng biến hay nghịch biến
 π
π

trong từng đoạn 0;  và  ; π  .
2
2




Dựa vào tính biến thiên của hàm số đã trình bày ở
trên một em hãy lên bảng vẽ bảng biến thiên của
hàm số trong [0; π]

Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình

– Hàm số y = sinx và y = cosx tuần
hoàn với chu kì T = 2π .
– Hàm số y = tanx và y = cotx tuần

hoàn với chu kì T = π .

Tập xác định là D = R.
Tập giá trị là T = [–1; 1].
Hàm số y = sinx là hàm số lẻ.
Hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn
với chu kỳ T = 2π.

Hàm số y = sinx đồng biến trên đoạn
 π
0; 2  và nghịch biến trên đoạn


π

 2 ; π .



Trang 4


Trường THPT Nguyễn Chí Thanh

Giáo án Đại số và giải tích 11

HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY

HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ
x

Để vẽ đồ thị hàm số y = sinx ta cần vẽ đồ thị của nó
trên một đoạn thẳng có độ dài bằng bao nhiêu?

Do hàm số y = sinx lẻ nên lấy đối xứng đồ thị hàm số
trên đoạn [0; π] qua gốc tọa độ O ta được đồ thị hàm
số trên đoạn [-π; 0]. Từ đó có đồ thị hàm số trên đoạn
[-π; π]. Gọi một học sinh lên bảng vẽ đồ thị hàm số y
= sinx trên một đoạn thẳng có độ dài bằng 2π.
Em hãy quan sát hình 5 trang 9 sách giáo khoa. Đây
là đồ thị của hàm số y = sinx khi ta thực hiện dời đồ
thị hàm số ở hình 4 trang 8 sách giáo khoa sang bên
trái và sang bên phải theo phương song song với trục
hoành một đoạn thẳng có độ dài bằng 2π.

π

0

y = sinx

–1

–1

Để vẽ đồ thị hàm số y = sinx ta cần
vẽ đồ thị của nó trên một đoạn thẳng
có độ dài bằng 2π.

y

-π

−

π
2

x
O

y
1
-1

π

2
1

π
2

π

x
O

2. Hàm số y = cosx.
Em hãy cho biết tập xác định của hàm số y = cosx.

Em hãy cho biết tập giá trị của hàm số y = cosx.
Em hãy cho biết hàm số y = cosx là hàm số chẵn hay
là hàm số lẻ.
Em hãy cho biết hàm số y = cosx tuần hoàn với chu
kỳ T bằng bao nhiêu?

Tập xác định là D = R.
Tập giá trị là T = [–1; 1].
Hàm số y = cosx là hàm số chẵn.

Em hãy quan sát hình 6 trang 9 sách giáo khoa và hãy
cho biết hàm số y = cosx đồng biến hay nghịch biến
trong đoạn [0; π] .

Hàm số y = cosx là hàm số tuần hoàn
với chu kỳ T = 2π.

Dựa vào tính biến thiên của hàm số đã trình bày ở
trên một em hãy lên bảng vẽ bảng biến thiên của
hàm số trong đoạn [0; π] .

Hàm số y = cosx nghịch biến trên
đoạn [0; π] .

Khi ta đã có đồ thị của hàm số y = sinx, để vẽ đồ thị
hàm số y = cosx ta chỉ việc tịnh tiến đồ thị của hàm
số y = sinx sang trái theo phương song song với trục

Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình

x
y = sinx

0
1

π
–1

Trang 5


Trường THPT Nguyễn Chí Thanh

Giáo án Đại số và giải tích 11

HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY
hoành một đoạn có độ dài

π
2

. Vì cosx = sin(x +

HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ

π
2

).

y
1
-1

x
O

Tiết 3
/

/07

3. Hàm số y = tanx.
Em hãy cho biết tập xác định của hàm số y = tanx.
Em hãy cho biết tập giá trị của hàm số y = tanx.

Tập

xác

định

là

π

D = R \  + kπ , k ∈ Z 
2


Em haõy cho biết hàm số y = tanx là hàm số chẵn hay
là hàm số lẻ.
Em hãy cho biết hàm số y = tanx tuần hoàn với chu Tập giá trị là T = R.
kỳ T bằng bao nhiêu?

Hàm số y = tanx là hàm số lẻ.
Em hãy quan sát hình 7 trang 11 sách giáo khoa và
hãy cho biết hàm số y = tanx đồng biến hay nghịch Hàm số y = tanx là hàm số tuần hoàn
 π
với chu kỳ T = π.
0
.
biến trong nữa khoảng  ;


2

Dựa vào tính biến thiên của hàm số đã trình bày ở
Hàm số y = tanx đồng biến trên nữa
trên, một em hãy lên bảng vẽ bảng biến thiên của
 π
0
.
khoảng  ;
 π
0
 2
.
hàm số trong nữa khoảng  ;



2

Do hàm số y = tanx là hàm số lẻ nên lấy đối xứng đồ
 π
0
 qua gốc tọa độ
thị hàm số trên nữa khoảng  ;


2

 π π
O ta được đồ thị hàm số trong khoảng  − ;  .
 2 2
 π π
Từ đó có đồ thị hàm số trên khoảng  − ;  . Gọi
 2 2
một học sinh lên bảng vẽ đồ thị hàm số y = tanx trên
một đoạn thẳng có độ dài bằng π.
Em hãy quan sát hình 9 trang 12 sách giáo khoa. Đây
là đồ thị của hàm số y = tanx khi ta thực hiện dời đồ
thị hàm số ở hình 8 trang 12 sách giáo khoa sang bên
trái và sang bên phải một đoạn thẳng có độ dài bằng
π.
Các ví dụ:
Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình

x

0

π
2

y = sinx

+∞

0

y

x

π
−
2

O

Trang 6

π
2


Trường THPT Nguyễn Chí Thanh

Giáo án Đại số và giải tích 11

HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY
 π
* Hàm số y = sinx nghịch biến trên khoảng 0; 
2

a. Đúng.
b. Sai.
 π
* Hàm số y = cosx nghịch biến trên khoảng 0; 
2

a. Đúng.
b. Sai.
 π
* Hàm số y = tanx nghịch biến trên khoảng 0; 
2

a. Đúng.
b. Sai.

HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ

Sai.

Đúng.

Tiết 4
/

/07

4. Hàm số y = cotx.
Em hãy cho biết tập xác định của hàm số y = cotx.

Sai.

Em hãy cho biết tập giá trị của hàm số y = cotx.
Em hãy cho biết hàm số y = cotx là hàm số chẵn hay
là hàm số lẻ.
Em hãy cho biết hàm số y = cotx tuần hoàn với chu
kỳ T bằng bao nhiêu?
Em hãy quan sát hình 10 trang 13 sách giáo khoa và
hãy cho biết hàm số y = cotx đồng biến hay nghịch
biến trong khoảng (0; π).

Tập xác định là

D = R \ { kπ , k ∈ Z}

Tập giá trị là T = R.
Hàm số y = cotx là hàm số lẻ.

Dựa vào tính biến thiên của hàm số đã trình bày ở Hàm số y = cotx là hàm số tuần hoàn
trên, một em hãy lên bảng vẽ bảng biến thiên của với chu kỳ T = π.
hàm số trong khoảng (0; π).
Hàm số y = cotx nghịch biến trong
Để vẽ đồ thị hàm số y = tanx khoảng (0; π) thì ta vẽ khoảng (0; π).
trên một đoạn thẳng có độ dài bằng π. Gọi một học

sinh lên bảng vẽ đồ thị hàm số y = tanx trên một đoạn
x
0
π
thẳng có độ dài bằng π.
+∞
y = sinx
–∞
Em hãy quan sát hình 11 trang 14 sách giáo khoa.
Đây là đồ thị của hàm số y = cotx khi ta thực hiện dời
đồ thị hàm số ở hình 10 trang 14 sách giáo khoa sang
bên trái và sang bên phải một đoạn thẳng có độ dài
y
bằng π.

Ví dụ: Em hãy chọn khẳng định đúng trong các
khẳng định sau:
a. Tập xác định của hàm số y = tanx là R.
b. Tập xác định của hàm số y = cotx là R.
c. Tập xác định của hàm số y = cosx là R.
Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình

x
O

π

Trang 7

Trường THPT Nguyễn Chí Thanh

Giáo án Đại số và giải tích 11

HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY
1
d. Tập xác định của hàm số y =
là R.
cos x
e. Hàm số y = cotx luôn luôn đồng biến trên tập xác
định của nó.
f. Hàm số y = cotx luôn luôn nghịch biến trên tập xác
định của nó.
h. Hàm số y = tanx luôn luôn nghịch biến trên tập xác
định của nó.
g. Tập xác định của hàm số y = tanx là

Tiết 5
/

/07

π

D = R \  + kπ , k ∈ Z  .
2


HOAÏT ĐỘNG CỦA TRÒ

Các khẳng định đúng là: c; f; g.

VI. Bài tập:
Bài tập 1: Hãy xác định các giá trị của x trên đoạn
3π 

− π ; 2  để hàm số y = tanx:


a. Nhận giá trị bằng 0.
b. Nhận giá trị bằng 1.
c. Nhận giá trị dương.
d. Nhận giá trị âm.
* Hướng dẫn học sinh làm bài

* Gọi một học sinh lên bảng thực hiện so sánh và
a. x ∈ {–π; 0; π; 2π}
các học sinh khác lấy giấy nháp làm, so sánh với
 3π π 5π 
; ;
b. x ∈ −

bài làm trên bảng và rút ra nhận xét.
 4 4 4 
* Uốn nắn, sửa chữa, bổ sung những chổ hay mắc
c.
phải sai lầm và thiếu soùt.
π   π   3π 

x ∈  − π ; −  ∪  0;  ∪  π ;


Bài tập 2: Hãy tìm tập xác định của các hàm số sau:
1 + cos x
a. y =
.
sin x
1 + cos x
b. y =
.
1 − cos x
π

c. y = tan  x −  .
3

π

d. y = cot  x +  .
6


d.



2



2



2 

 π
 π
  3π

x ∈  − ; 0  ∪  ; π  ∪  ; 2π 
 2  2
  2


* Hướng dẫn học sinh cách làm bài toán tìm tập xác
định.

* Gọi một học sinh lên bảng thực hiện so sánh và a. Để hàm số y = 1 + cos x có nghóa
sin x
các học sinh khác lấy giấy nháp làm, so sánh với
khi và chỉ khi sinx ≠ 0
bài làm trên bảng và rút ra nhận xét.
⇔ x ≠ kπ, k ∈ Z.
* Uốn nắn, sửa chữa, bổ sung những chổ hay mắc
Vậy tập xác định của hàm số
phải sai lầm và thiếu sót.
Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình

Trang 8

Trường THPT Nguyễn Chí Thanh

Giáo án Đại số và giải tích 11

HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY
Bài tập 3: Chứng minh rằng sin2(x+kπ) = sin2x với
mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = sin2x.

HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ
y=

* Hướng dẫn học sinh vận dụng tính chất của hàm số
b.
lượng giác để chứng minh sin2(x+kπ) = sin2x và vẽ
đồ thị của hàm số y = sin2x

* Gọi một học sinh lên bảng thực hiện so sánh và
c.
các học sinh khác lấy giấy nháp làm, so sánh với
bài làm trên bảng và rút ra nhận xét.
* Uốn nắn, sửa chữa, bổ sung những chổ hay mắc
d.
phải sai lầm và thiếu sót.

1 + cos x
là:
sin x

D = R \ { kπ , k ∈ Z}

D = R \ { k 2π , k ∈ Z }
 5π

D = R \  + kπ , k ∈ Z 
6

 π

D = R \  − + kπ , k ∈ Z 
 6


Ta có: sin2(x+kπ) = sin(2x+k2π)
=sin2x, k ∈ Z.
Từ đó suy ra hàm số y = sin2x là hàm
số tuần hoàn với chu kỳ π. Hơn nữa
Bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số y = sin2x là hàm số lẻ. Vì
hàm số sau:
vậy, ta vẽ đồ thị của hàm số
y=
a. y = 3 − 2. sin x
 π
sin2x trên đoạn 0;  rồi lấy đối
b. y = 2. cos x +1
 2
xứng qua O, được đồ thị trên đoạn
* Hướng dẫn học sinh vận dụng tập giá trị của hàm số  π π 
y = sinx và y = cosx để tìm trị lớn nhất và nhỏ nhất − 2 ; 2  . Cuối cùng tịnh tiến theo



của các hàm số.
phương song song với trục hoành các
* Gọi một học sinh lên bảng thực hiện so sánh và đoạn có độ dài bằng π, ta được đồ thị
các học sinh khác lấy giấy nháp làm, so sánh với của hàm số y = sin2x trên R.

bài làm trên bảng và rút ra nhận xét.
* Uốn nắn, sửa chữa, bổ sung những chổ hay mắc
phải sai lầm và thiếu sót.

b. Để cos x có nghóa khi và chỉ
khi 0 ≤ cosx ≤ 1
⇔ 0 ≤ cos x ≤ 1
⇔ 0 ≤ 2 cos x ≤ 2
⇔ 1 ≤ 2 cos x + 1 ≤ 3.
⇔ 1 ≤ y ≤ 3.
Vậy hàm số y = 2. cos x +1 đạt giá
trị lớn nhất là: ymax = 3 và đạt giá trị
nhỏ nhất là ymin = 1.
v. Cũng cố – dặn dò: Giáo viên nhắc lại các kiến thức cơ bản cần nhớ và yêu cầu học sinh học
thuộc:
Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình

Trang 9


Trường THPT Nguyễn Chí Thanh

Giáo án Đại số và giải tích 11

– Tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác.
– Tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác.
– Tính tuần hoàn và chu kỳ của các hàm số lượng giác.
– Xác định tính đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị của các hàm số lượng giác.
– Về nhà học nghiên cứu và học thuộc các khái niệm, các tính chất, phương pháp giải các
dạng bài tập để vận dụng vào giải tất cả các bài tập còn lại ở trong sách giáo khoa (thuộc phần này).

Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình

Trang 10


Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
Tiết 6 → 10.
Lớp 11B3 – 11B11

Giáo án Đại số và giải tích 11
Ngày soạn: ………/………/2007
Ngày giảng: ………/………/2007

§2. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN.
I. Mục đích yêu cầu: Giúp cho học sinh nắm được:
Về kiến thức:
– Học sinh nắm được định nghóa và các dạng phương trình lượng giác cơ bản.
– Học sinh nắm được phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản.
Về kỹ năng:
– Yêu cầu học sinh rèn luyện các kỹ năng, kỹ xảo và vận dụng các kiến thức đã học và
có liên quan vào giải bài tập.
– Biết sử dụng máy tính bỏ túi hỗ trợ tìm nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.
Về thái độ:

– Xây dựng tư duy logíc, linh hoạt, biết quy lạ về quen.
– Học sinh học tập nghiêm túc, cẩn thận trong làm bài tập, tỉ mỉ trong giải bài tập.
II/ Chuẩn bị bài của giáo viên và học sinh:
Giáo viên: Cần chuẩn phiếu học tập, bảng phụ (nếu cần), đồ dùng dạy học. Tài liệu
hướng dẫn dạy học toán lớp 11, sách giáo viên Đại số và giải tích lớp 11.
Học sinh: Đọc bài và nghiên cứu trước ở nhà (ôn tập lại kiến thức về công thức lượng giác ở lớp
10), giải các bài tập trong sách giáo khoa. Chuẩn bị một số dụng cụ như thước kẻ, bút chì, bút, vở,
sách,....
III/ Phương pháp: Hỏi đáp – Thuyết trình – Đặt vấn đề.
VI/ Tiến trình bài giảng:
1. Ổn định tổ chức: Kiểm tra só số, ...
2. Bài cũ:
Câu hỏi 1: Em hãy biểu diễn điểm ngọn các cung sau trên đường tròn lượng giác:
π 3π
6

;

5

.

Câu hỏi 2: Em hãy tìm x biết: sinx = 1, sinx = 0, cosx = –1, tanx = 1.
3. Bài mới:
HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY
Tiết 6
....../...../0
7

HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ

Hoạt động 1:
Giáo viên nêu định nghóa.
1. Định nghóa:
Phương trình lượng giác là phương
trình chứa một hay nhiều hàm số
lượng giác của biến số.
* Em hãy nêu một vài ví dụ về
phương trình lượng giác.
2. Phương trình sinx = a
(1).
- Em hãy cho biết miền giá trị của
hàm số y = sinx.

Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình

Ví dụ: 2sin(2x + 1) – 5 = 0
sin3x + tgx = 4

Miền giá trị của hàm số y = sinx là
Trang 11

T


Trường THPT Nguyễn Chí Thanh

Giáo án Đại số và giải tích 11

HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY

HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ

= [-1; 1].
a xảy ra những trường hợp nào?

Có hai trường hợp là:
1
* a ≤
1
* a >

Hướng dẫn học sinh giải phương
trình lượng giác tổng quát sinx = a.
* Nếu a > 1 thì phương trình (1) Nếu
có nghiệm không?
* Nếu a ≤ 1 thì phương trình (1) Nếu
có nghiệm không?

a

> 1 thì phương trình (1) vô nghiệm.

a

≤ 1 thì phương trình (1) có nghiệm.

Nêu phương pháp giải pương trình
lượng giác cơ bản dạng sinx = a.
* Nếu a > 1 thì phương trình (1)

vô nghiệm.
* Nếu a ≤ 1 thì phương trình (1)
có nghiệm.
Đặt sinα = a.
Ta có (1) ⇔ sinx = sinα
⇔
k ∈Z
x = α + k 2π,
x = π −α + k 2π, k ∈Z


Ta xét các ví dụ sau.
- Hướng dẫn học sinh giải phương
trình lượng giác ở ví dụ sau.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
2
2

a. sinx =
= −
c.
d.

b. sinx Trò: lên bảng giải.

1
2

π
 = cos3x

4
sin(2x – 100) = - sin3x.



sin  x −

Qua định nghóa và các ví dụ ở trên
các em có những nhận xét gì? Với u, Tổng quát: sinu = sinv
u = v + k 2π,
v là các hàm theo biến x.
⇔

k ∈Z

u = π − v + k 2π, k ∈Z

Ngoài công thức nghiệm theo đơn vị
radian thì ta có công thức nghiệm
nào nữa của phương trình lượng giác
Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình

sinx = sinα0
Trang 12


Trường THPT Nguyễn Chí Thanh

Giáo án Đại số và giải tích 11

HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY
0

cơ bản sinx = a với (sinα = a) .

HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ

⇔

x = α0 + k 360 0 ,
k ∈Z

0
0
x = π −α + k 360 , k ∈Z


Hay sinx = a
⇔

Em hãy cho biết nghiệm của các
phương trình lượng giác đặc biệt sau:
sinx = 1; sinx = -1; sinx = 0.

k ∈Z
x = arcsin a + k 2π,
x = π −arcsin a + k 2π, k ∈Z


π

+ k 2π , k ∈ Z
2
3π
sin x = −1 ⇔ x =
+ k 2π , k ∈ Z
2

sin x = 1 ⇔ x =

sin x = 0 ⇔ x = kπ , k ∈ Z

Tiết 7
....../...../0
7

Miền giá trị của hàm số y = cosx là
Hoạt động 2:
= [-1; 1].
3. Phương trình cosx = a
(2).
Em hãy cho biết miền giá trị của
Có hai trường hợp là:
hàm số y = cosx.
1
* a ≤
1
* a ≥
a xảy ra những trường hợp nào?

Hướng dẫn học sinh giải phương Nếu

trình lượng giác tổng quát cosx = a.
* Nếu a > 1 thì phương trình (2) Nếu
có nghiệm không?

a

> 1 thì phương trình (2) vô nghiệm.

a

≤ 1 thì phương trình (2) có nghiệm.

* Nếu a ≤ 1 thì phương trình (2)
có nghiệm không?
Nêu phương pháp giải pương trình
lượng giác cơ bản dạng cosx = a.
* Nếu a > 1 thì phương trình (2)
vô nghiệm.
* Nếu a ≤ 1 thì phương trình (2)
có nghiệm.
Đặt cosα = a.
Ta coù (2) ⇔ cosx = cosα
⇔

k ∈Z
x = α + k 2π ,
x = −α + k 2π , k ∈ Z


Ta xét các ví dụ sau.

- Hướng dẫn học sinh giải phương
trình lượng giác ở ví dụ sau.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình

T

Trang 13


Trường THPT Nguyễn Chí Thanh

Giáo án Đại số và giải tích 11

HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY

a. cosx = 1
b. cos(2x + 3) = 3
π

c. cos  x +  = - cos(2x – 1)


HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ

Học sinh lên bảng giải.

5

d. cos(3x – 5) = sin(2x + 1).

Qua định nghóa và các ví dụ ở trên
các em có những nhận xét gì? Với u,
v là các hàm theo biến x.
Tổng quát: cosu = cosv
⇔
Ngoài công thức nghiệm theo đơn vị
radian thì ta có công thức nghiệm
nào nữa của phương trình lượng giác
cơ bản cosx = a với (cosα0 = a) .

u
 = v +k 2π, k ∈Z
 = − +k 2π, k ∈Z
u
v


cosx = cosα0
⇔

x = α 0 + k 360 0 ,
k ∈Z

0
0
x = −α + k 360 , k ∈ Z


Hay sinx = a
⇔

Em hãy cho biết nghiệm của các
phương trình lượng giác đặc biệt sau:
cosx = 1; cosx = -1; cosx = 0.

k ∈Z
x = arccos a + k 2π,
x = −arccos a + k 2π, k ∈Z


cos x = 1 ⇔ x = k 2π , k ∈ Z

cos x = 0 ⇔ x =

π
+ kπ , k ∈ Z
2

cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π , k ∈ Z

Tiết 8

....../...../0
7

Hoạt động 3:
Hàm số
y = tanx xác định khi
4. Phương trình tanx = a
(3).

π
Em hãy cho biết hàm số y = tanx xác x ≠ + kπ , k ∈ Z
2
định khi nào?
Miền xác định của hàm số y = tanx là:
D
π
+ kπ, k∈Z }
Em hãy cho biết miền giá trị và = R\ {x =
2
miền xác định của hàm số y = tanx.
Miền giá trị của hàm số y = tanx là T = R.

Hướng dẫn học sinh giải phương
trình lượng giác tổng quát tanx = a.
Đặt tanα = a.
Ta có (4) ⇔ tanx = tanα
⇔ x = α + kπ , k ∈ Z
Em hãy cho biết nghiệm của các Nhận xét:
Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình

Trang 14


Trường THPT Nguyễn Chí Thanh

Giáo án Đại số và giải tích 11

HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY

HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ
π
phương trình lượng giác đặc biệt sau:
tanx = 1 ⇔ x = + kπ , k ∈ Z
4
tanx = 1; tanx = -1; tanx = 0.
3π
+ kπ , k ∈ Z
tanx = - 1 ⇔ x =
4
tanx = 0 ⇔ x = kπ, k ∈Z

Ta xét các ví dụ sau.
- Hướng dẫn học sinh giải phương
trình lượng giác ở ví dụ bên.
Học sinh lên bảng giải các ví dụ này.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a. tan(2x + 3) = 5.
b. tan(x + 1) = cotα.
 3π

π

− x  = tan  − 2 x 
c. tan 
 5



3



Tổng quát:
Qua định nghóa và các ví dụ ở trên tanu = tanv ⇔ u = v + kπ , k ∈ Z
các em có những nhận xét gì? Với u,
v là các hàm theo biến x.
Ngoài công thức nghiệm theo đơn vị
radian thì ta có công thức nghiệm
tanx = tanα0
nào nữa của phương trình lượng giác ⇔ x = α 0 + k180 0 , k ∈ Z
cơ bản tanx = a với (tanα0 = a) .
Hay: tanx = a
⇔ x = arctan a + kπ, k ∈Z

Tiết 9

....../...../0
7

Hoạt động 4:
Hàm số y = cotx xác định khi x ≠ kπ, k ∈Z
5. Phương trình cotx = a
(4).
Em hãy cho biết hàm số y = cotx xác
định khi nào?
Miền xác định của hàm số y = cotx laø:
D = R \ {kπ, k∈Z }
Em hãy cho biết miền giá trị và
Miền giá trị của hàm số y = cotx là T = R.

miền xác định của hàm số y = cotx.

Hướng dẫn học sinh giải phương
trình lượng giác tổng quát cotx = a.
Đặt cotα = a.
Ta coù (4) ⇔ cotx = cotα
⇔ x = α + kπ , k ∈ Z
Em hãy cho biết nghiệm của các Nhận xét:
phương trình lượng giác đặc biệt sau:
Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình

Trang 15


Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY

cotx = 1; cotx = -1; cotx = 0.

Giáo án Đại số và giải tích 11
HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ
π
cotx = 1 ⇔ x = + kπ , k ∈ Z
4
3π
+ kπ , k ∈ Z
cotx = - 1 ⇔ x =
4

cotx = 0 ⇔ x =

π
2

+ kπ, k ∈Z

Ta xét các ví dụ sau.
- Hướng dẫn học sinh giải phương
trình lượng giác ở ví dụ bên.
Học sinh lên bảng giải các ví dụ này.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
 3π

− 2x  .
a. cotgx = cotg 
 4

π

b. cotg  2 x +  = tg ( x + 2 )
3


Qua định nghóa và các ví dụ ở trên Tổng quát:
các em có những nhận xét gì? Với u, cotu = cotv ⇔ u = v + kπ , k ∈ Z
v là các hàm theo biến x.
Ngoài công thức nghiệm theo đơn vị
radian thì ta có công thức nghiệm
nào nữa của phương trình lượng giác
cơ bản cotx = a với (cotα0 = a) .

cotx = cotα0
⇔ x = α 0 + k180 0 , k ∈Z
Hay: cotx = a
⇔ x = arc cot a + kπ , k ∈ Z

Baøi 1: Giải các phương trình sau:
6. Bài tập:

a. sin2x =

2
.
2

b. cos(2x + 250) = −
Tiết 10

Gọi đứng tại chỗ đọc đề bài tập

....../...../0
7

Hướng dẫn học sinh giải các phương
trình ở bài tập bên, em hãy cho biết:
2
= sin?
2
2
−

= cos?
2

Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình

c. cot(4x + 2) =

2
2

− 3

d. tan(2x + 150) =

3
2

2
π
= sin
2
4
2
3π
−
= cos
2
4
3
= tan α

Ta đặt −
2

− 3 = cot

π
6

Trang 16


Trường THPT Nguyễn Chí Thanh

Giáo án Đại số và giải tích 11

HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY
−

3
= tan?
2

− 3 = cot?

Từ đó áp dụng cách giải của từng
phương trình cụ thể để tìm nghiệm
của phương trình, cần lưu ý tới diều
kiện của từng phương trình cụ thể.
* Gọi môït học sinh lên bảng giải và
các học sinh khác lấy giấy nháp làm,

so sánh với bài làm trên bảng và rút
ra nhận xét.
* Uốn nắn, sửa chữa, bổ sung những
chổ hay mắc phải sai lầm và thiếu
sót.

HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ

Giải:
a. sin2x =

2
.
2

⇔ sin2x = sin

4

π

2 x = 3 + k 2π ,
⇔
2 x = π − π + k 2π ,

3


π


 x = 6 + kπ ,
⇔
 x = π + kπ ,

3


k ∈Z
k ∈Z

1
, với − π < x <
2
π
π
3, − 2
2

* Uốn nắn, sửa chữa, bổ sung những
chổ hay mắc phải sai lầm và thiếu
sót.

π.

Giải:
b. Ta có: cos(2x + 1) =

* Gọi môït học sinh lên bảng giải và
các học sinh khác lấy giấy nháp làm,

so sánh với bài làm trên bảng và rút
ra nhận xét.

k ∈Z

2
, -1200 < x < 1200
2

a. sin(2x + 150) =

Giải tương tự với các phương trình b,
c, d.
c. cot(3x + 2) =

Hướng dẫn học sinh giải các phương
trình sau.
- Khi tìm nghiệm tổng quát của các
phương trình này ta cần chú ý tới các
điều kiện cho sẵn ⇒ x.
- với đk -1200 < x < 900 ⇒ x.

k ∈Z

Bài 2: Giải các phương trình sau:

b. cos(2x + 1) =

Gọi đứng tại chỗ đọc đề bài taäp

π

1
2

⇔ cos(2x + 1) = cos

π
3

π


2 x + 1 = 3 + k 2π ,
⇔
2 x + 1 = − π + k 2π ,

3


π 1

 x = 6 − 2 + kπ ,
⇔
 x = − π − 1 + kπ ,

6 2


k ∈Z

k ∈Z
k ∈Z
k ∈Z

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là:
1 π
1 5π
1 5π 
 1 π
;− +

S = − − ; − + ; − −
 2

6

2

6

2

6

2

Bài 3: giải các phương trình sau:
a. sin(2x + 1) = sin(x + 3).
b. sin3x = cos2x.
c. sin4x + cos5x = 0

d. tan(3x + 2) + cot2x = 0.

Giải tương tự với các phương trình a,
Giải:
c.
d. ta có điều kiện:
Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình

Trang 17

6 


Trường THPT Nguyễn Chí Thanh

Giáo án Đại số và giải tích 11

HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY

Gọi đứng tại chỗ đọc đề bài tập

HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ

π

2 + 3x ≠ + kπ , k ∈ Z

2

 2 x ≠ kπ , k ∈ Z

 π 2 π

Hướng dẫn học sinh giải các phương
x≠ 6 − 3+ k 3, k∈ Z

trình sau.
⇔ 
- Ta xét câu d. các câu a, b, c. thì ta
x≠ kπ , k∈ Z
áp dụng cách giải tương tự.

2

* Đặt điều kiện để phương trình có
Ta có: tan(3x + 2) + cot2x = 0
nghóa.
⇔ tan(3x + 2) = - cot2x
* Đưa phương trình về dạng phương
⇔ tan(3x + 2) = cot(-2x)
trình cơ bản nhờ áp dụng tính chất
π
các cung (góc) liên quan đặc biệt để
⇔ tan(3x + 2) = tan(
+ 2x)
2
chuyển cotg thành tg.
π
⇔ 3x + 2 =
+ 2x + kπ, k ∈ Z.
* Áp dụng công thức nghiệm của

2
phương trình tan để suy ra nghiệm
π
⇔x=
- 2 + kπ, k ∈ Z.
của phương trình.
2
* Gọi môït học sinh lên bảng giải và Vậy phương trình đã cho có nghiệm:
các học sinh khác lấy giấy nháp làm,
π
x=
- 2 + kπ, k ∈ Z.
so sánh với bài làm trên bảng và rút
2
ra nhận xét.
Bài 4: Giải các phương trình sau:
* Uốn nắn, sửa chữa, bổ sung những
a. 2sinx + 2 sin 2 x = 0
chổ hay mắc phải sai lầm và thiếu
b. sin22x + cos3x = 1.
sót.
c. tg5x.tgx = 1.
2π
x
d. sin2(
+ 5x) = cos2(
+ π)
5

4

Gọi đứng tại chỗ đọc đề bài tập
Giải:

Hướng dẫn học sinh giải phương
trình câu c bài 4.
Đặt điều kiện để cho phương trình
có nghóa.
Ta biến đổi phương trình tg5x.tgx =
1 ⇒ cotg5x = tgx và các bước giải
phương trình còn lại ta giải tương tự
câu d. bài 3.
* Gọi môït học sinh lên bảng giải và
các học sinh khác lấy giấy nháp làm,
so sánh với bài làm trên bảng và rút
Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình

 π
 x ≠ 2 + kπ , k ∈ Z
b. Điều kiện: 
x≠ π + kπ , k∈ Z
 10 5
1

Ta coù: tg5x.tgx = 1 ⇔ tg5x. cot gx = 1
π

− x
2




⇔ tg5x = cotgx ⇔ tg5x = tg 

π

− x  + kπ, k ∈ Z.
2


⇔ 5x = 
⇔x=

π

12

+k

π
6

, k ∈ Z.
Trang 18


Trường THPT Nguyễn Chí Thanh

Giáo án Đại số và giải tích 11

HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY

ra nhận xét.
* Uốn nắn, sửa chữa, bổ sung những
chổ hay mắc phải sai lầm và thiếu
sót.

HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:
π
π
x=
+ k , k ∈ Z.
12

d. Ta có: sin2(

6

2π
x
+ 5x) = cos2(
+ π)
5
4

⇔
1
4π  1 


x

1 − cos10 x + 5  = 2 1 + cos 2 + 2π 
2





Hướng dẫn học sinh giải phương ⇔ cos − 10 x − 4π  = cos x + 2π 




5 

2

trình d. bài 4.
4π
x

* Áp dụng công thức hạ bậc naâng
−10 x − 5 = 2 + 2π + k 2π , k ∈ Z
cung.
⇔ 
−10 x − 4π = − x − 2π + k 2π , k ∈ Z
* Áp dụng cung góc có liên quan đặc


5
2

biệt, rút gọn phương trình sâu đó áp
4π
4π

k∈Z
dụng công thức nghiệm của phương
 x = − 15 + k 21 ,
trình lượng giác cơ bản ⇒ nghiệm ⇔  12π
4π
x =
+k
,
k∈Z

của phương trình lượng giác.
95
19

* Gọi môït học sinh lên bảng giải và Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:
các học sinh khác lấy giấy nháp làm, 
4π
4π
k∈Z
 x = − 15 + k 21 ,
so sánh với bài làm trên bảng và rút

ra nhận xét.

 x = 12π + k 4π ,
k∈Z



95

19

* Uốn nắn, sửa chữa, bổ sung những
chổ hay mắc phải sai lầm và thiếu
sót.
Giải tương tự đối với các phương
trình a, c.
thuộc:

v. Cũng cố – dặn dò: Giáo viên nhắc lại các kiến thức cơ bản cần nhớ và yêu cầu học sinh học

– Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.
– Biểu diễn được nghiệm trên đường tròn lượng giác.
– Về nhà học nghiên cứu và học thuộc các khái niệm, các tính chất, phương pháp giải các
dạng bài tập để vận dụng vào giải tất cả các bài tập còn lại ở trong sách giáo khoa (thuộc phần này).

Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình

Trang 19


Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
Tiết 11 → 16.

Lớp 11B3 – 11B11

Giáo án Đại số và giải tích 11
Ngày soạn:
/ /2007
Ngày giảng:
/ /2007

§3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC ĐƠN GIẢN.

I. Mục đích yêu cầu: Giúp cho học sinh nắm được:
Về kiến thức:
– Nắm được định nghóa và cách giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng
giác. Một số dạng phương trình lượng giác qui về dạng phương trình lượng giác bậc nhất.
– Nắm được định nghóa và cách giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
Một số dạng phương trình lượng giác qui về dạng phương trình lượng giác bậc hai.
– Nắm được dạng và cách giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.
– Nắm được cách giải một số dạng phương trình lượng giác khác.
Về kỹ năng:
– Sau khi học song bài này học sinh phải thực hiện giải thành thạo các loại phương trình
lượng giác ngoài phương trình lượng giác cơ bản.
– Vận dụng được phương pháp và giải thành thạo phương trình lượng giác bậc nhất, bậc
hai đối với một hàm số lượng giác, phương trình bậc nhất đối với sinx và cos.
Về thái độ:
– Phân biệt rõ các khái niệm cơ bản và vận dụng trong từng trường hợp cụ thể.
– Xây dựng tư duy logíc, linh hoạt, biết quy lạ về quen.
– Học sinh tự giác, tích cực trong học tập, học tập nghiêm túc, cẩn thận trong làm bài tập,
tỉ mỉ trong giải bài tập.
II/ Chuẩn bị bài của giáo viên và học sinh:
Giáo viên:

– Chuẩn bị các câu hỏi gợi mở, giáo án,...
– Cần chuẩn phiếu học tập. Tài liệu hướng dẫn dạy học toán lớp 11, sách giáo viên Đại
số và giải tích lớp 11.
Học sinh:
– Cần ôn tập lại các kiến đã học về lượng giác ở lớp 10 (cung góc liên quan đặc biệt,
công thức lượng giác,...)
– Đọc bài và nghiên cứu trước ở nhà, giải các bài tập trong sách giáo khoa. Chuẩn bị một số
dụng cụ như thước kẻ, bút chì, bút, vở, sách,....
III/ Phương pháp: Hỏi đáp – Thuyết trình – Đặt vấn đề.
VI/ Tiến trình bài giảng:
1. Ổn định tổ chức: Kiểm tra só số, ...
2. Bài cũ:
Câu hỏi 1: Cho phương trình lượng giác 2.cosx = m.
(1)
a. Giải phương trình (1) khi m = 3
b. Với những giá trị nào của m thì phương trình (1) có nghiệm.
Câu hỏi 2: Phương trình tanx = n (n ∈ R) luôn có nghiệm với mọi n. Đúng hay sai?
Vì sao?
Câu hỏi 3: Khi biết một nghiệm của phương trình lượng giác thì ta biết được tất cả
các nghiệm còn lại của phương trình lượng giác. Đúng hay sai? Vì sao?
3. Bài mới:
Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình

Trang 20


Trường THPT Nguyễn Chí Thanh

Giáo án Đại số và giải tích 11

NỘI DUNG
Tiết 11 I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT
/ /07 HÀM SỐ LƯNG GIÁC.

HOẠT ĐỘNG THẦY TRÒ

? Phương trình bậc nhất là gì?

Phương trình có dạng at + b = 0, với a
≠ 0. được gọi là phương trình bậc nhất
Khi thay biến của phương trình bậc nhất bằng đối với biến t.
những biểu thức sinx, cosx, tanx, cotx. Thì ta
được phương trình lượng giác bậc nhất đối với
một hàm số lượng giác.
Vậy em hãy nêu định nghóa phương trình lượng
giác đối với một hàm số lượng giác.
1. Định nghóa:
Phương trình bậc nhất đối với một
hàm số lượng giác là phương trình có
dạng: at + b = 0. Trong đó a, b là các
Phương trình bậc nhất đối với một hàm số hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các
lượng giác là phương trình có dạng: at + b = 0. hàm số lượng giác (sinx, cosx, tanx,
Trong đó a, b là các hằng số (a ≠ 0) và t là một cotx).
trong các hàm số lượng giác (sinx, cosx, tanx,
cotx).
Nêu các dạng cụ thể của phương trình lượng
giác bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

2. Cách giải:
– Hướng dẫn học sinh hình thành cách giải

phương trình lượng giác bậc nhất đối với một
hàm số lượng giác.
– Ta xét phương trình (1) còn các phương trình
(2); (3) và (4) thì ta giải tương tự.
– Biến đổi phương trình (1) về dạng phương
trình lượng giác cơ bản bằng cách nào?

– Sau khi chuyển đổi thì ta được phương trình
nào?
– Em có nhận xét gì về dạng phương trình (*)

Dạng:

a.cosx + b = 0.
a.sinx + b = 0.
a.tanx + b = 0.
a.cotx + b = 0.
Trong đó: a ≠ 0.

(1)
(2)
(3)
(4)

Chuyển b sang vế phải và đổi đấu sau
đó chia cả hai vế của phương trình cho
a.
Ta được: (1) ⇔ cosx = −

b

a

Đây là dạng phương trình lượng giác
cơ bản đối với hàm số lượng giác cosx
= a.

Em hãy nêu cách giải phương trình lượng giác
Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình

(*)

Trang 21


Trường THPT Nguyễn Chí Thanh

Giáo án Đại số và giải tích 11

NỘI DUNG

HOẠT ĐỘNG THẦY TRÒ

cơ bản cosx = a.

phương pháp giải phương trình lượng
giác cơ bản dạng cosx = a.
* Nếu a > 1 thì phương trình (2) vô
nghiệm.
* Nếu a ≤ 1 thì phương trình (2) có
nghiệm.

Đặt cosα = a.
Ta coù (2) ⇔ cosx = cosα
⇔

– Ta coù cách giải của phương trình:
+b=0
(1)
Cách giải:
Ta có: (1) ⇔ a.cosx = – b ⇔ cosx = −

x =α + k 2π, k ∈Z
x = − + k 2π, k ∈Z
α


a.cosx

b
a

(*)

Đây là phương trình lượng giác cơ bản mà ta
đã biết cách giải.
Khi giải phương trình lượng giác mà gặp
phương trình có chứa hàm số lượng giác là hàm
số tan (hoặc cot) thì ta cần phải làm gì trước khi
Ta phải tìm điều kiện để phương trình
giải phương trình.
có nghóa.

Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 1: Giải phương trình lượng giác.
a.

2 cos( 2 x + 3) −

2
=0
2

* Hướng dẫn học sinh áp dụng cách giải phương
trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác để
tìm nghiệm của phương trình ở bên.

Giải:
a.

2 cos( 2 x + 3) −

⇔ cos(2x + 3) =

2
=0
2

1
2

⇔ cos(2x + 3) = cos

π
3

π

k ∈Z
2 x + 3 = 3 + k 2π ,
⇔ 
2 x + 3 = − π + k 2π , k ∈ Z

3

π 3

k ∈Z
 x = 6 − 2 + kπ ,
⇔ 
 x = − π − 3 + kπ , k ∈ Z

6 2


π
+ kπ , k ∈ Z .
2
3 .tanx + 1 = 0
b.
(1’)
Hướng đẫn: Để giải phương trình này ta cần Ta có: (1’) ⇔ 3 .tanx = –1
tiến hành các bước:

Điều kiện: x ≠

Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình

Trang 22


Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
NỘI DUNG

– Tìm điều kiện để phương trình có nghóa.
– Đưa phương trình (1’) về dạng phương trình
lượng giác cơ bản rồi áp dụng cách giải phương
trình lượng giác cơ bản để làm.

Giáo án Đại số và giải tích 11
HOẠT ĐỘNG THẦY TRÒ
1
⇔ tanx = −
3
 π
⇔ tanx = tan  − 
 6
π
⇔ x = − + kπ , k ∈ Z
6

3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất
đối với một hàm số lượng giác.

Ví dụ 2: Giải phương trình lượng giác.
a. 3cosx – sin2x = 0.
sin2x =2.sinx.cosx.
Hướng dẫn:
? Em hãy cho biết sin2x = ?
Vậy em hãy áp dụng công thức này, để đưa Giải:
phương trình: 3cosx – sin2x = 0. về tích các thừa Ta có: 3cosx – sin2x = 0
⇔ 3cosx – 2sinx.cosx = 0
số bằng 0 với mỗi thừa số là một phương trình
⇔ cosx(3 – 2sinx) = 0
bậc nhất đối với một hàm số lượng giác rồi áp
cos x = 0

dụng cách giải.
⇔ 3 −2 cos x = 0

* Gọi môït học sinh lên bảng giải và các học
(1)
cos x = 0
sinh khác lấy giấy nháp làm, so sánh với bài

3
⇔ cos x =
( 2)
làm trên bảng và rút ra nhận xét.
2

π
Ta có: (1) ⇔ x = x = + kπ , k ∈ Z
* Giáo viên uốn nắn, sửa chữa, bổ sung những

2
chổ hay mắc phải sai lầm và thiếu sót.
3
Ta có: (2) vô nghiệm (vì > 1 )
2

Kết kuận nghiện của phương trình.

b. cos(x + 300) + 2sin2(350) = 1.
Hướng dẫn:
? Em hãy nêu công thức hạ baäc sin2x = ?

sin 2 x =

1 − cos 2 x
2

1 – 2.sin2x = cos2x.
Giải:
2
Ta có: cos(x + 300) + 2sin2(350) = 1
? Em hãy nêu công thức 1 – 2.sin x = ?
⇔ cos(x + 300) = 1 – 2sin2(350)
⇔ cos(x + 300) = cos700
Vậy em hãy áp dụng công thức này, để đưa
⇔
phương trình: cos(x + 300) + 2sin2(350) = 1. Veà
x + 30 0 = 70 0 + k 360 0
phương trình lượng giác cơ bản để giải tìm 
, k ∈Z

0
0
0
x + 30 = −70 + k 360

nghiệm của phương trình.
x = 40 0 + k 360 0
* Gọi môït học sinh lên bảng giải và các học
⇔ x = −100 0 + k 360 0 , k ∈Z


sinh khác lấy giấy nháp làm, so sánh với bài
làm trên bảng và rút ra nhận xét.
* Giáo viên uốn nắn, sửa chữa, bổ sung những Kết kuận nghiện của phương trình.
chổ hay mắc phải sai lầm và thiếu sót.
c. 8.cosx.sinx.cos2x = 3
Hướng dẫn: Làm tương tự như câu a.
d. (sinx + 1)((2cos2x – 3 ) = 0.
Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình

Trang 23


Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
NỘI DUNG

Giáo án Đại số và giải tích 11
HOẠT ĐỘNG THẦY TRÒ

Học sinh về nhà làm.

Tiết 12
...../..../07

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT
HÀM SỐ LƯNG GIÁC.

? Phương trình bậc hai là gì?

Phương trình có dạng: at2 + bt + c = 0,
với a ≠ 0. được gọi là phương trình bậc
hai đối với biến t.

Khi thay biến của phương trình bậc hai bằng
những biểu thức sinx, cosx, tanx, cotx. Thì ta
được phương trình lượng giác bậc hai đối với
một hàm số lượng giác.
Vậy em hãy nêu định nghóa phương trình lượng Phương trình bậc hai đối với một hàm
giác bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
số lượng giác là phương trình có dạng:
1. Định nghóa:
at2 + bt + c = 0. Trong đó a, b, c là các
hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các
hàm số lượng giác (sinx, cosx, tanx,
Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng cotx).
giác là phương trình có dạng:
at 2 + bt +
c = 0. Trong đó a, b, c là các hằng số (a ≠ 0) và
t là một trong các hàm số lượng giác (sinx,
cosx, tanx, cotx).

b. Dạng:
Nêu các dạng cụ thể của phương trình lượng
asin2x + bsinx + c = 0.
(1)
2
giác bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
acos x + bcosx + c = 0.
(2)
2
atan x + btanx + c = 0.
(3)
2
acot x + bcotx + c = 0.
(4)
Trong đó: a ≠ 0.

2. Cách giải:
– Hướng dẫn học sinh hình thành cách giải
phương trình lượng giác bậc nhất đối với một
hàm số lượng giác.
– Ta xét phương trình (1) còn các phương trình
(2); (3) và (4) thì ta giải tương tự.
– Để giải phương trình (1) ta cần đặt ẩn phụ như Đặt ẩn phụ t = sinx, với điều kiện là
t ≤ .
1
thế nào? Có điều kiện không?
2
– Khi đó phương trình (1) trở thành phương trình Phương trình (1) ⇒ at + bt + c = 0.
nào?
– Em hãy giải phương trình at2 + bt + c = 0 tìm

nghiệm t và so sánh với điều kiện.
– Khi nghiệm t thoả điều kiện thì phương trình t
= sinx là phương trình lượng giác cơ bản ta đã

Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình

Trang 24


Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
NỘI DUNG

Giáo án Đại số và giải tích 11
HOẠT ĐỘNG THẦY TRÒ

biết cách giải.
– Em hãy nêu cách giải phương trình lượng gác Phương pháp giải pương trình lượng
cơ bản t = sinx
giác cơ bản dạng sinx = a.
* Nếu a > 1 thì phương trình (1) vô
nghiệm.
* Nếu a ≤ 1 thì phương trình (1) có
nghiệm.
Đặt sinα = a.
Ta có (1) ⇔ sinx = sinα
⇔

k ∈Z
x = α + k 2π,
x = π −α + k 2π, k ∈Z



– Ta có cách giải của phương trình:
asin2x + bsinx + c = 0. (a ≠ 0).
Cách giải:
1
Bước 1: Đặt t = sinx, với điều kiện là t ≤ .
2
Bước 2: Ta có: (1) ⇒ at + bt + c = 0.
Giải được nghiệm t1, t2 so sánh với điều kiện
(nếu có).
1
Bước 3: Giả sử t1; t2 thoả điều kiện t ≤ thì
t1 = sin α

ta giải t = sin α
2
⇒ nghiệm x của phương trình (1).
Khi giải phương trình lượng giác mà gặp
phương trình có chứa hàm số lượng giác là tan Khi giải phương trình lượng giác mà
gặp phương trình có chứa hàm số
(hoặc cot) thì ta cần phải làm gì?
lượng giác là tan (hoặc cot) thì ta cần
đặt điều kiện để cho phương trình có
nghóa rồi mới giải.

Tiết 13

Ta xét ví dụ sau: Giải phương trình sau:
sin2x - 5sinx - 6 = 0

(1)
* Hướng dẫn học sinh áp dụng cách giải Giải:
t ≤ .
1
phương trình bâïc hai đối với một hàm số lượng Đặt t = sinx, với điều kiện:
2
Ta có:
t - 5t - 6 = 0.
giác để tìm nghiệm của phương trình ở bên.
(chọ
t
1
 =− n)
⇔  =6
t

(Loại)
* Gọi môït học sinh lên bảng giải và các học
Với t = - 1 mà t = sinx
sinh khác lấy giấy nháp làm, so sánh với bài
⇒ sinx = -1
làm trên bảng và rút ra nhận xét.
3π
* Giáo viên uốn nắn, sửa chữa, bổ sung những ⇒ x = + k 2π , k ∈ Z
2
chổ hay mắc phải sai lầm và thiếu sót.
3. Phương trình đưa về dạng phương trình bậc
Các hằng đẳng thức lượng giác cơ
hai đối với một hàm số lượng giác:
bản: * sin2α + cos2α = 1.

? Em hãy nêu các hằng đẳng thức lượng giác cơ
1
* 1 + tg2α =
.
bản?
cos 2 α

Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình

Trang 25