bài tập lớn động lực học công trình

đề bài
Đề số 1/7
Cho sơ đồ kết cấu nh hình vẽ 1
Với các số liệu: S = 2kNS
P =6kN
E = 2,1.104kN/cm2.
J =6660cm4
M = 1kNS2/m(khối lợng)
a = 3m
S1 1

{S} = S 2 = 1 S
S 1
3

Hình 1 : Sơ đồ kết cấu

Yêu cầu:
1.Xác định tần số và dạng dao động riêng.
2.Xác định ma trận xung khai triển theo các dạng dao
động riêng.
3.Xac định véctơ chuyển vị tại các khối lợng.
4.Xác định véctơ lực đàn hồi.
5.Xác định mômen uốn tại A,B theo thời gian.
6.Vẽ đồ thị mômen uốn theo thời gian tại điểm A: M A(t)
trong khoảng thời
1


gian t = 2T1 với T1 là chu kỳ dao động riêng dạng thứ
nhất

Bài làm
1.Xác định tần số và dạng dao động riêng.
Ma trận khối lợng:
2M

0
[M] =

0

0
2M
0

0
0
2M
2M


Ma trận mềm:
11 12

[F] = 21 22
31 32

13
23
33

2

1 0 0


0 1 0




0
0
1




H×nh 2 : BiÓu ®å m«men tr¹ng th¸i ®¬n vÞ
Trong ®ã:
1
1
2
5a 3
(2. .a.a. a  a.a.a) 
EJ
2
3
3EJ
3

1
1
2
2a
.2. .a.a a 
22= (M2) (M2) =
EJ 2
3
3EJ
1
1
2
5a 3
(2. .a.a a  a.a.a) 
33= (M3) (M3) =
EJ
2
3
3EJ
1 1
2
1
5a 3
( .a.a a  .a.a.a) 
12=21 =(M1) (M2) =
EJ 2
3
2
6 EJ

11= (M1) (M1) =

3


1 1
a3
2. .a.a.a
EJ 2
EJ
1 1
1
a3
.a.a. a
= (M2)(M3) =
EJ 2
3
6 EJ

13=31 = (M1) (M3) =
23=32
Vậy

10 5 6

a3
5 4 1
[F] =

6 EJ


6
1
10



Ta có: [F][M]

1
[E] 0
2

10 5 6
u 0 0

3EJ
Ma 3


0
5
4
1

0
u
0

với
u
=


Ma 3 2
3EJ




0 0 u
6 1 10

(*)

10 u
5
6

Ma 3
5
4u
1


0
3EJ

1
10 u
6

10 u
5
6

5
4u
1

0

1
10 u
6


- u3 + 24u2 - 118u +56 = 0
u1= 17,4053
u2= 0,5306
u3= 6,0641
Từ (*) ta có
i =

3EJ
=
Ma 3ui

3
ui

EJ
Ma 3

Thay số vào ta đợc:
1 =

3
u1

3
EJ
=
3
17,4053
a M

EJ
EJ
=0,4196 3
3
a M
a M

2 =

3
u2

3
EJ
=
3
0,5306
a M

EJ
EJ
=2,3778 3
3
a M
a M

3 =

3
u3

3
EJ
=
3
6,0641
a M

EJ
EJ
=0,4947 3

3
a M
a M

Tần số dao động là:
0, 4196

20, 2585

EJ


114,8012
{}= 2,3778 3
=
a M

23,8843
0, 4947



Xác định dạng dao động
4


 1

Ta cã i =  *  víi
 i 

1

4u
1 � ��
5
�
{i } =-[B11] [B1] = - � i
��
�
10  ui � �
6
�1
*

-1

10  ui
�
1
=
�
(10  ui )(4  ui )  1 � 1

1

1 � ��
5
��
�
4  ui � �

6

0, 4378�
�
�
�0,8694

Víi i =1 : {1*} = �

TÝnh t¬ng tù víi {2*} vµ {3*} ta ®îc kÕt qu¶ nh sau:
0, 4378 �
�
�1, 2981 �
�1, 4993 �
�;{2*} = �
�;{3*}= �
�
0,8694
0, 4965
�
�
�1,9053

{1*} = �
VËy ta cã :

� 1 �
� 1 �
� 1 �
�

�
�
�
�
�
{1}= �0, 4378�;{2}= �1, 2981�;{3}= �1, 4993 �
�
�0, 4965�
�
0,8694 �
1,9053�
�
�
�

5


Nªn:
1
1 �
� 1
�
0, 4378 1, 2981 1, 4993 �
[] = �
�
�
�
0,8694


0,
4965

1,9053
�
�

KiÓm tra ®iÒu kiÖn trùc giao:
D¹ng 1 vµ d¹ng 2:
{1}T[M] {2}={1 0.4378

1 0 0 �� 1 �
�
�
�
�
0 1 0�
0.8694}2M �
��1.2981�=
�
�
�
0 0 1�
�
��0.4965

= (1.1 + 0.4378*(-1.2981)*2 + 0.8694*(-0.4965)*2) =
= 6.944*10-5.M
D¹ng 1 vµ d¹ng 3
{1}T[M] {3} ={1 0.4378

1 0 0 �� 1 �
�
�
�
�
0 1 0�
0.8694}2M �
��1.4993 �=
�
�
0 0 1�
1.9053�
�
��

= -1.4856.10-4 M

6


Dạng 2 và dạng 3
{2}T[M] {3} ={1 -1.2981

1 0 0 1




0 1 0

0.4965}2M
1.4993 =


0 0 1
1.9053



= -5.1976.10-4 M
Ta thấy điều kiện trực giao thoả mãn
2.Xác định ma trận xung khai triển theo các dạng dao
động riêng.
Ta có
1


1 S
{S} =

1,5

T

i S
M i
Từ công thức: S i T
i M i

Thay số vào ta đợc:

1.4079



{S1}= 0,6163S

1.2239

-0,3557



{S2}= 0, 4619 S

0,1767

0, 0631


{S3}= -0,0945 S

0,1238


Ta có ma trận xung khai triển nh sau:
1, 4079 0,3557 0, 0631


0, 6163 0, 4619 0, 0945
[Sktr]=

S

1, 2239 0,1767
0,1238



Kiểm tra theo hàng:
S1= S11+ S12+ S13=
= 0,9891S
S2= S21+ S22+ S23=
=0,9835S

( 1, 4079 0,3557 0, 0631 )S =
( 0, 6163 + 0, 4619 - 0, 0945 )S =

S3= S31+ S32+ S33= ( 1, 2239 + 0,1767 + 1,1238 )S =
=1,5224S

7


3.Xác định véctơ chuyển vị tại các khối lợng.
Từ công thức {y(t)}=[M]-1[Sktr][kai(t)] với kai(t) = sinit/i
Nên ta có:
2M

0
{y(t)}=

0

0
2M
0

1

1, 4079 0,3557 0, 0631 sin 1t / 1
0




0, 6163 0.4619 0, 0945
sin 2t / 2
0
S


1, 2239 0,1767
0,1238
2M

sin 3t / 3


0, 03475sin 1t 0.00155sin 2t 0, 00132sin 3t

{y(t)} = 0, 01521sin 1t 0, 00201sin 2t 0, 00198sin 3t MS

0, 03021sin 1t 0, 00077 sin 2t 0, 00259sin 3t

( Với các giá trị 1; 2 ; 3 đã xác định ở trên )

4. Xác định véctơ lực đàn hồi.
Từ công thức {Pđ(t)}=[Sktr][ki(t)] với ki(t) = isinit
Nên ta có:
1, 4079 0,3557 0, 0631 1 sin 1t




0, 6163 0, 4619 0, 0945
{Pđ(t)}= S
2 sin 21t



1, 2239 0,1767
0,1238

3 sin 3 t
28,5219sin 1t 40,8348sin 2t 1,5071sin 3t


= 12, 4853sin 1t 53, 0267 sin 2t 2.2571sin 3t S

24, 7944sin 1t 20, 2854sin 2t 2,9569sin 3t

5. Xác định mômen uốn tại A, B theo thời gian.
Tại A:
MA(t)={MA1 MA2 MA3}{Pđ(t)} =
={0

0

28,5219sin 1t 40,8348sin 2 t 1,5071sin 3t


a} 12, 4853sin 1t 53,0267sin 2t 2, 2571sin 3t S

24,7944sin 1t 20, 2854sin 2t 2,9569sin 3t


= (24,7944*a*sin1t + 20,2854*a* sin2t +
2,9569*a*sin3t)S
Tại B:
MB(t) = {MB1 MB2 MB3}{Pđ(t)} =
= {a

a

28,5219sin 1t 40,8348sin 2 t 1,5071sin 3t


0} 12, 4853sin 1t 53,0267sin 2t 2, 2571sin 3t S

24,7944sin 1t 20, 2854sin 2t 2,9569sin 3t


= (41,0072*a* sin 1t + 12,1919 *a*sin 2t - 3,7642*a* sin

3t)S
6.Vẽ đồ thị mômen uốn theo thời gian tại điểm A: M A(t)
trong khoảng thời gian t = 2T 1 với T1 là chu kỳ dao động
riêng dạng thứ nhất

8


2

2

Ta cã T1=  = 20, 2585  0,31015 s
1
 t = 2T1= 0,6203 (s)
MA1(t) = MA1.P®1(t) = 0
MA2(t) = MA2.P®2(t) = 0
MA3(t) = MA3.P®3(t) =
= 24, 7944sin 1t  20,2854sin 2t  2,9569sin 3t
MA(t)={MA1 MA2 MA3}{P®(t)} =
= (24,7944sin1t + 20,2854 sin2t + 2,9569sin3t)S
(kNm)
Tõ ®ã ta vÏ ®îc ®å thÞ m«men uèn t¹i A theo thêi gian nh
h×nh 6 díi ®©y

H×nh 3 - §å thÞ m«men uèn theo thêi gian t¹i ®iÓm A do
P®1(t) g©y ra

9


H×nh 4 - §å thÞ m«men uèn theo thêi gian t¹i ®iÓm A do
P®2(t) g©y ra

H×nh 5 - §å thÞ m«men uèn theo thêi gian t¹i ®iÓm A do
P®3(t) g©y ra

10


H×nh 6 - §å thÞ m«men uèn theo thêi gian t¹i ®iÓm A

11