CASIO NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Chương III. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
Lý thuyết

H
oc

I.

01

Bài 1. NGUYÊN HÀM

 f  x  dx  F  x   C

1. Nguyên hàm

  f  x  dx  '  f  x  và  f  x  dx  f  x   C

-

 k. f  x  dx  k  f  x  dx  k  0 
  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx

-

3. Bảng nguyên hàm

  1


 u dx 

1

1

 x dx  ln x  C
x

s/

x

 u dx  ln u  C

C

up

 e dx  e

ax
 a dx  ln a  C
 cos xdx  sin x  C

/g

ro

x

1

 sin

2

x

.c

x

dx  tan x  C

ok

2

dx   cot x  C

bo

1

om

 sin xdx   cos x  C
 cos

a2
x x a2  x2
 a  x dx  2 arcsin a  2  C
dx
1
ax
 a 2  x 2  2a ln a  x  C
x 2
a
2
2
2
2
2
 x  a dx  2 x  a  2 ln x  x  a  C
2

 e dx  e
u

u

C

au
 a dx  ln a  C
 cos udx  sin u  C
u

 sin udx   cos u  C
1

 cos

2

u

1

 sin


2

u
1

dx  tan u  C
dx   cot u  C
 arcsin

x
C
a

a x
dx
1

x
 a 2  x 2  a arctan a  C
dx
2
 x 2  k  ln x  x  k  C
2

2

w

w

w

.fa

ce

2

u 1
C
 1

iL

x 1
C
 1

Ta


 x dx 

ie

 kdx  kx  C  k  const 

uO
nT
hi
D

ai

2. Tính chất

Hoàng Văn Bình
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

4. Các phương pháp tìm nguyên hàm
a. Phương pháp đổi biến số

 f t  dt  F t   C  F u  x   C

H
oc

Đặt t  u  x   dt  u '  x  dx . Khi đó

01

 f  x  dx  F  x   C thì  f u  x  .u '  x  dx  F u  x   C

Nếu

Dạng 1: Đặt biến thường



x

 f  x  .xdx đặt t  x
n 1





 f  cot x  dx đặt t  cot x





f  ln x 
dx đặt t  ln x
x



 f  e  e dx đặt t  e

x
n 1

f  sin x  cos xdx đặt t  sin x

uO
nT
hi
D

 x dx đặt t 

ie





f

 f  tan x  dx đặt t  tan x

x

x

Ta





iL

  f  ax  b  dx đặt t  ax  b

s/

  f  cos x  sin xdx đặt t  cos x

ro
/g
om

.c


 a2  x2

 x  a tant
1


 

2
2
 x  a cot t
 a x
 1
 2
 a  x2

up

Dạng 2: Đặt lượng giác:

ce

bo

ok

 a2  x2
 x  a sin t

 

1
 x  a cos t
 2
2
 a x

w

w

.fa

a

 x2  a2
x



sin t
 

1
 2
x  a
2
x

a


cos t

w

ai

Cách đặt biến:

Sau khi tìm được nguyên hàm theo t thì ta thay ngược lại vào f  x  .
b. Phương pháp nguyên hàm từng phần

Hoàng Văn Bình
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

x


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Cho hai hàm số u  u  x  và v  v  x  liên tục và có đạo hàm trên đoạn  a; b thì khi đó ta có

 udv  uv   vdu

01

Cách làm: đặt theo quy tắc: “nhất loga – nhì đa – thức tam – lượng tứ mũ”

dx

H
oc

c. Dạng nguyên hàm hữu tỉ
1

-

Nguyên hàm dạng:

 ax  b  a ln ax  b  C

-

Nguyên hàm dạng:

 ax

-

Nguyên hàm dạng:

P  x
 G  x  dx



Nếu Q  x  là tích các nghiệm đơn Q  x    x  x1  x  x2  ...  x  xn  thì ta tách


ai

Nếu Q  x  là tích các nghiệm đơn và nghiệm bội giả sử như Q  x    x  x1  x  x2  x  x3  thì ta
n

Ta



An 
A2
 ... 
 dx
x  x2
x  xn 

iL

1

uO
nT
hi
D

 A1

x  x1
dx
1

ln
 C với   0
 bx  c a  x1  x2  x  x2

ie

P  x

 G  x  dx    x  x

2

s/

tách

ro

Nếu Q  x  là tích các nghiệm đơn và một tam thức bậc hai vô nghiệm giả sử

/g



up

 A
P  x
Bn 1
Bn 
A2
B1
B2
1

d
x





...



dx
n 1
n
 G  x    x  x1 x  x2 x  x3  x  x 2
 x  x3 
 x  x3  
3


om

 x  x1  x  x2   x2  px  q  ,   p 2  4q  0

thì ta tách

P  x

 A1

 G  x  dx    x  x

1

-


a  x  đặt x  a tant
a
x  a  đặt x 
cos t

ok

bo

2

2

2

2


ax 
Nguyên hàm dạng R  x,
 đặt x  a cos 2t
a  x 


w

w

w

-

ce

-


Nguyên hàm dạng R  x,
Nguyên hàm dạng R  x,

 x  a sin t
Nguyên hàm dạng R x, a 2  x 2 đặt 
 x  a cos t

.fa

-

.c

d. Dạng nguyên hàm vô tỉ

-


ax  b
ax  b 
Nguyên hàm dạng R  x, n
 đặt t  n
cx  d
cx  d 


Hoàng Văn Bình
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01



A2
Bx  C 
 2
dx
x  x2 x  px  q 


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

-

Nguyên hàm dạng R 

1

 ax  b   x
n

2

 x 

đặt t 

1
ax  b

e. Dạng nguyên hàm lượng giác

m, n chẵn thì dùng công thức hạ bậc



m lẻ thì đặt u  sin x , n lẻ thì đặt u  cos x

H
oc



f. Một số dạng tích phân đặc biệt
Cho hàm số f  x  liên tục là hàm chẵn trên  a; a  thì ta có

a

 f  x  dx  2 f  x  dx .

uO
nT
hi
D

-

a

a

-

Cho hàm số f  x  liên tục là hàm lẻ trên  a; a  thì ta có

a

 DB

om

P  x

 Q  x

x X

trong đó bậc của P  x   Q  x  . Ta thực hiện phép chia đa thức. Áp dụng phương

.c

 Dạng

0

/g

1. Tích phân hữu tỉ

0

ro

d
 DA
dx



up

II. Sử dụng máy tính cầm tay
Bấm máy tính như sau:

2

f  sin x  dx   f  cos x  dx .

Ta

Cho hàm số f  x  liên tục trên 0;  thì ta có
 2



s/

-

iL


2

a
f  x
dx

 a x  1 0 f  x  dx .



ie

Cho hàm số f  x  liên tục là hàm chẵn trên   ;  thì ta có
 

0

 f  x  dx  0 .

a

-

ok

pháp r100

Ta giả sử Q  x    x  x1  x  x2  x  x3  (nhiều hay ít hơn cũng làm tương tự):

ce

bo

P  x
A
B
C



 R  x  trong đó R  x  là biểu thức dư của phép chia.
Q  x  x  x1 x  x2 x  x3

.fa




P  x
d 
 A  

dx   x  x2  x  x3   x  x1



P  x
d 

Tìm  B  
.

dx   x  x1  x  x3   x  x2



P  x
C  d 


dx   x  x1  x  x2   x  x3


w
w
w

ai

Nguyên hàm dạng  sin n x.cos xmdx

01

 m, n  

-

Hoàng Văn Bình
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

P  x
d 
A
B
C 
sử dụng cách tách 100





dx   x  x1  x  x2  x  x3  x  x1 x  x2 x  x3  x  100

aX  b

d
 X  x1  X  x2  
dx 

H
oc

Cách 1. Bấm:

A
B
ax  b

cần tách đưa về dạng
x  x1 x  x2
 x  x1  x  x2 

x X

uO
nT
hi
D

r X  x1  A
r X  x2  B
Cách 2. Bấm:

aX  b
.  X  x1 

 X  x1  X  x2 

ie

r X  x1  0, 0000001  A

s/

Ta

d  ax  b 


dx  x  x2  x  x1

up

d  ax  b 


dx  x  x1  x  x2

ro


A 

Cách 3: Bấm 
B 




iL

r X  x2  0, 0000001  B

ok

.c

x2  2x  6
x2  2x  6
A
B
C




3
2
x  7 x  14 x  8  x  1 x  2  x  4  x  1 x  2 x  3

bo

X 2  2X  6

d
 X  1 X  2  X  4  
dx 

ce

Bấm:

x2  2 x  6
thành các phân thức tối giản
x3  7 x 2  14 x  8

om

VD. Tách F  x  

/g

Cả ba cách trên nếu tìm nguyên hàm đều cho dạng: A ln x  x1  B ln x  x2  C .

F  x 

01

 Dạng f  x  

ai

Tìm R  x  

x X

w

w

w

.fa

r X  1 hệ số A  3

r X  2 hệ số B  7
Hoàng Văn Bình
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

ai

H
oc

01

r X  4 hệ số C  5

dx
x 1

3

3t 2
dt
1 t

3t 2
t 1

s/

Thực hiện phép chia bằng máy tính:

ie

Đặt t  3 x  1  3t 2 dt  dx  

iL

 1

Ta

VD. Tính

uO
nT
hi
D

x2  2x  6
3

7
5



Vậy F  x   3
2
x  7 x  14 x  8 x  1 x  2 x  3

3t 2
 3t
t

.c

om

/g

ro

Nhập màn hình: r X  100 ta được

up

Ta nhẩm lấy hệ số cao nhất của tử chia cho mẫu ta được

300
được hệ số tự do là 3 .
101

w

.fa

ce

bo

Sửa màn hình:

ok

Ta để ý vì bậc tử chia bậc mẫu ra bậc nhất nên ta tách

w

w

Ta được

Vậy

3
3

101 t  1

3t 2
3

3t 2 3t 2
 3t  3 


 3t  3ln 1  t  C
t 1
1 t
t 1 2

Hoàng Văn Bình
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

2

2

VD. Tính nguyên hàm
Ta biến đổi:

1  2sin x
dx
3
x  cos 4 x

 2sin x.cos

1  2sin x

1  2sin x cos x
1  2sin x cos x
1
dx  
dx  
.
dx
3
4
3
4
x  cos x
2sin x cos x  cos x
2 tan x  1 cos 4 x

 2sin x.cos

uO
nT
hi
D

ai

1
 2 tan x
2
1
tan 2 x  1  2 tan x
  cos x

. 2 dx  
d  tan x 
2 tan x  1
cos x
2 tan x  1
Ta thực hiện phép chia đa thức tử chia cho mẫu:
Đặt X  tan x 

X 2  2X 1
2X 1

iL

ie

X2 1
 X
Ta chia bậc cao nhất của tử cho mẫu ta được
2X 2

ro

up

s/

Ta

Nhập màn hình: r X  100

/g

Vì thương của phép chia là bậc 1, mà hạng tử chứa bậc 1 đã là

1
X nên tiếp theo ta sẽ được
2

om

150 3

201 4

ce

bo

ok

.c

Sửa màn hình: r X  100

1
1
1
 .
804 4 2 X  1

.fa

Tách

w

w

w

Vậy ta được thương là

01

 3 3 x  1  3ln 1  3 x  1  C

H
oc



3 3  x  1

1
3 1
1
1
3 1
1
X  .

 tan x   .
2
4 4 2X 1 2
4 4 2 tan x  1

3 1
1
1
3
1
1

2
Suy ra   tan x   .
 d  tan x   tan x  tan x  ln 2 tan x  1  C
4 4 2 tan x  1 
4
4
8
2

Ta thực hiện
Hoàng Văn Bình
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

 Tách phân thức

ax  b a
K
 
cx  d c cx  d

a



K

ax
 Kc ln cx  d
c

H
oc

ax  b

 cx  d dx    c  cx  d  dx 

ai

2x 1
2x 1

VD. Tách F  x  

uO

nT
hi
D

Khi đó:

01

 aX  b a 
   cX  d  CALC X  10 K
Nhập máy tính: 
 cX  d c 

2x 1
K
 1
2x 1
2x 1
 2x 1 
 1  2 x  1 r x  10  K  2
Bấm 
 2x 1 

ie

2x 1
2
 1
2x 1
2x 1

iL

Vậy F  x  

x

 x  1 x  1

2

thành các phân thức tối giản

x

 x  1 x  1

2



A
B
C


x  1 x  1  x  12

om

Ta có

/g

ro

VD. Phân tích hàm số F  x  

up

s/

Ta

 Tách phân thức dạng:
 A
P  x
Bn 1
Bn 
A2
B1
B2
1
d
x






...



dx
n 1
n
 G  x    x  x1 x  x2 x  x3  x  x 2

x

x
x

x




3
3
3



ok

x

d 

2
x  1  x  1 


dx 

bo

Bấm:

.c

Ta sẽ tìm được A, C dễ hơn tìm B

x X

.fa

ce

Tìm A r X  1 ta được A 

w

w

w

Để tìm C ta bấm

x

 x  1  x  1
2

r X  1, 00001 ta được C 

1
4

 x  1

2

1
2

Hoàng Văn Bình
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

 x  1  x  1

 x  1

2

r X  1, 00001 ta được

đem chia cho x 1

xấp xỉ

uO
nT
hi
D

B

1
4

x

 x  1 x  1

2



1
1
1


4  x  1 4  x  1 2  x  12

1
vậy
4

ie

Vậy F  x  

1
2

ai

sau đó trừ đi

01

x
2

H
oc

Để tìm B ta bấm:

1
thành các phân thức tối giản
x 1

VD. Tách F  x  

up

3

ro

1
A
Bx  C

 2
x 1 x 1 x  x  1

1
d 3
 x  1
dx 

1
3

x 1

ok

Tìm Bx  C ta có:



om

Tìm hệ số A bấm

/g

3

.c

F  x 

s/

Ta

iL

Bài này khá phức tạp vì tìm B không r được như bình thường. Các bạn chú ý theo dõi kỹ chỗ
tìm B : khi r được kết quả nào thì trừ cho phần nguyên của số đó. Rồi đem chia cho mẫu của
phân thức ta cần tìm hệ số.

ce

bo

1 2
 x  x  1   Bx  C  x  1 1 2
1
1

Bx  C
3



  x  x  1   Bx  C  x  1  1
x 3  1 3  x  1 x 2  x  1
x3  1
3

1 2
 x  x  1
3
. Đến đây để tìm B, C ta vào hệ w2 nhập hàm bên r x  i
x 1

w

w

w

.fa

 Bx  C 

1

Vậy Bx  C 

1
2
x
3
3

Hoàng Văn Bình
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

1
2
x
1
1
3
Vậy F  x   3

 3
x  1 3( x  1) x 2  x  1

01

III. Ví dụ

C. F  x   2 x  2  C

1

D. F  x   x3  2 x 2  x  C
3

x3
 x 2  x  C . Chọn B.
3

Ta có:  f  x dx    x 2  2 x  1 dx   x 2 dx   2 xdx   1dx 

A. ln x  ln x 2  C

1
B. ln x   C
x

iL

s/

ro

/g

C.

om

1

1

1
ln 5 x  1  C
5

1

.c

 ax  b dx  a ln ax  b  C
1

ok

 5x  1 dx  5 ln 5x  1  C

bo

Áp dụng:

.fa

A.

ce

VD. Tìm nguyên hàm của f  x    3  x  là:
 3  x 

C

w

w

C. 4  3  x   C

w

4

5

5

5

Ta có:  u dx 

1
D. ln x   C
x

1
là
5x  1

B.  ln 5 x  1  C

1

ln 5 x  1  C
5

Ta có:

1
C
x

1 
1
1
1
dx   dx   2 dx  ln x   C
2 
x
x
x


 f  x dx    x  x

VD. Nguyên hàm của hàm số f  x  
A.

Ta

1

C. ln x 

up

Ta có:

1 1

là
x x2

ie

VD. Nguyên hàm của hàm số f  x  

ai

1
B. F  x   x3  x 2  x  C
3

1 3
x  2x  x  C
3

uO
nT
hi
D

A. F  x  

H
oc

VD. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x 2  2 x  1

B.

3  x 
5

5

C

D. 4  3  x   C
5

u 1
C
 1

Hoàng Văn Bình
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

D. ln 5x  1  C


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

 3  x 

dx 

 3  x 
5

5

C

VD. Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  

1
3
và thỏa mãn F    0. Tính
x  3x  2
2
2

A  B  0
 A  1
 A  B x  2A  B  
A
B
1



 

x 1 x  2
 x 1 x  2 
 x 1 x  2 
2 A  B  1  B  1

1
1
dx  
dx   ln x  1  ln x  2  C
x 1
x2

ie

Ta có  

Ta

iL

3
f    0  C  0 . Vậy f  3   ln 2 .
2

1

1

1

  x  a  x  b dx  b  a ln
ax  b

xb
 C hay tổng quát hơn cho trường
xa

ro

1

up

Có thể nhớ nhanh công thức:

s/

Qua ví dụ trên ta lưu ý:

  ax  b  cx  d dx  ad  bc ln cx  d

C

/g

hợp

ai

1

1
A
B



x  3x  2  x  1 x  2  x  1 x  2
2

Đồng nhất thức ta được

D. F  3   ln 2

uO
nT
hi
D

Ta có: f  x  

C. F  3  2ln 2

B. F  3  2ln 2

A. F  3  ln 2

H
oc

F  3 .

VD. Xét I   x 3  4 x 4  3 dx. Bằng cách đặt u  4 x 4  3 . Khẳng định nào sau đâu đúng?

.c

B. I 

ok

1 5
u du
4

om

5

A. I 

1
u 5 du

12

bo

Đặt u  4 x 4  3  du  16 x 3dx  x 3dx 

C. I 

1
u 5 du

16

D. I   u 5du

5
du
1
u 5 du.
thay vào I   x 3  4 x 4  3 dx. ta được

16
16

ce

VD. Giả sử F  x    ax2  bx  c  e x là một nguyên hàm của hàm số f  x   x 2e x . Tính S  a  b  c

.fa

A. S  1

B. S  0

C. S  5

w

w

Ta có F '  x    2ax  b  e x  e x  ax 2  bx  c   e x ax 2   2a  b  x  b  c   e x x 2

w

01

Áp dụng:

4

a  1
a  1


2a  b  0  b  2
b  c  0
c  2



Hoàng Văn Bình
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

D. S  2


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Hoặc một cách khác: dựa vào bản chất của nguyên hàm từng phần mà ta có:
Tạm ký hiệu như sau: u ', u '', u ''',... là đạo hàm lần 1, 2, 3 …. Của u  x  . v1 , v2 , v3 ,... là nguyên hàm

01

lần 1,2,3… của v  x  .

Áp dụng: u  x 2  u '  2 x, u ''  2 ; v  ex  v1  e x , v2  e x , v3  e x

uO
nT
hi
D

ai

x2 .e x  2 x.e x  2e x  e x  x 2  2 x  2  vậy ta cũng đã xác định được a, b, c nhanh chóng.

H
oc

Ta có được: uv1  u ' v2  u '' v3  ...  ...

Vậy S  a  b  c  1  2  2  1

ie

Bấm máy tính như sau: y

1

sin 2 x  C
2

up

A.

s/

VD. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   cos 2 x

Ta

iL

Tách: 9802  10000  200  2  x 2  2 x  2  F  x   1  2  2  1. Chọn A.

ro

C. 2sin 2x  C

D. 2sin 2x  C

/g

dt 1
dt
thay vào  cos xdx   cos t  sin t  C
2 2
2

1
sin 2 x  C
2

ok

.c

Thay ngược lại ta được

1
sin 2 x  C
2

om

Đặt t  2 x  dt  2dx  dx 

B.

1
1
sin  ax  b   C ;  sin  ax  b dx   sin  ax  b   C
a
a

bo

Ta có công thức nhanh:  cos  ax  b dx 

VD. Cho a, b là hai số thực thỏa mãn F  x    a cos x  b sin x  e x là nguyên hàm của hàm số

.fa

ce

f  x   e x cos x . Tính P  a  b
B. 1

C. 4

D. 3

w

w

w

A. 2

Đây là dạng nguyên hàm lặp lại, vì khi ta nguyên hàm hai lần sẽ quay lại đề bài ban đầu.

u '   sin x, u ''   cos x
u  cos x

Đặt 
(ở đây có một quy ước nhỏ là v1 , v2 là nguyên hàm)


x
x
dv  e dx v1  e dx

Hoàng Văn Bình
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

1
1

Ta có I  cos x.e x  sin x.e x   e x cos xdx  2 I  e x  cos x  sin x   I  e x  cos x  sin x 
2
2


1
 S  a  b 1
2

01

Vậy a  b 

ai

eax
 a cos bx  b sin bx   C

a 2  b2

eax
 e sin bxdx  a 2  b2  a sin bx  b cos bx   C
ax

 xe

A. ab 

1
4

2x

dx  axe2 x  be2 x  C  a, b 
B.

ab 

 .Tính ab

1
4

C. ab 

1
8

D. ab 

ie

VD. Biết

uO
nT
hi
D

ax
 e cos bxdx 

H
oc

Ta có công thức giải nhanh:

Ta

iL

du  dx
u  x

Đặt 

1 2x
2x

dv  e dx v  e

2

ro

up

s/

1

a

1
x
1
x
1

2
 ab  
Ta có: e 2 x   e 2 x dx  e 2 x  e 2 x  C  
2
2
2
4
8
b  1


4

199 200  1 2 x 1 x 1
1


    a.b 
4
4
4 4 2 4
8

bo

Tách:

ok

.c

om

/g

Bấm máy tính như sau:

ce

VD. Cho F  x  

w

w

w

.fa

f '  x  ln x .

f  x
1
. Tìm nguyên hàm của hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
3
3x
x

ln x
1
 2 C
3
x
5x

A.

ln x
1
 2 C

3
x
5x

B.

C.

ln x
1
 2 C
3
x
3x

D. 

ln x
1
 2 C
3
x
5x

Hoàng Văn Bình
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

1
8

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

f  x 1
1
 4  f  x  3
x
x
x

 f '  x  ln xdx  ln x. f  x   

01



H
oc

Xét nguyên hàm

1

u  ln x
 du  dx
x

f '  x  ln xdx đặt 
 dv  f '  x  dx
v  f  x 



f  x
ln
1
dx  3  3  C
x
x 3x

A. F ( x)  e x  x 2 

3
2

B. F ( x)  2e x  x 2 

C. F ( x)  e x  x 2 

5
2

D. F ( x)  e x  x 2 

ie

 2 x  dx  e x  2 x 2  C

3
3
1

1
 e0  02  C   C  . Vậy F ( x)  e x  x 2 
2
2
2
2

s/

F  0 

x

1
2

iL

 e

1
2

Ta

Ta có:

3
. Tìm F  x  .
2

uO
nT
hi
D

VD. Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e x  2 x thỏa mãn F  0  

ai

F ' x 

up

VD. Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f '  x    x  1 e x và

B. 3

/g

A. 0

ro

Tính a  b

 f  x  dx   ax  b  e

C. 2

x

 C với a, b  .

D. 1

.c

Đặt  F ''  x   f '  x 

om

Ta có F  x    ax  b  e x  C là nguyên hàm của f  x  và f '  x    x  1 e x

ok

 f '  x  dx    x  1 e dx  xe

bo

x

 f  x  dx   xe dx   x 1 e

x

 C  f  x

C

ce

x

x

.fa

Vậy a  1, b  1  a  b  0

w

w

w

VD. Tìm nguyên hàm của hàm số

A. ln x 2 

1
C
x

2 x3  1
 x  x3  1 dx bằng

B. ln x 2 

1

C
x

C. ln x 

1
C
x2

Hoàng Văn Bình
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

D. ln x 

1
C
x2


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

2 x3  1
A Bx 2

 3
x  x 3  1 x x  1

hệ số A  1

r X  1, 0000001

hệ số B  3

2 x3  1
1 3 x 2

 3
x  x 3  1 x x  1

s/

x3  1
1
 C  ln x 2   C
x
x

up

  ln x  ln x3  1  C  ln

Ta

iL

d  x3  1
 1 3x 2 
2 x3  1
1
Khi đó: 

dx     3  dx   dx   3
x
x 1
x  x3  1
 x x 1 

ie

Suy ra:

uO
nT
hi
D

ai

r X  0, 000001

H
oc

01

Sử dụng phương pháp tách

om

/g

ro

Bấm máy trực tiếp: qy

sin x

cos x

  2  sin x 

.fa

Ta có:

C

bo

 2  sin x 

2

ce

A.

ok

.c

VD. Tìm nguyên hàm f  x  của hàm số f '  x  

2

dx  

B.

cos x

 2  sin x 

1
C
2  cos x

d  2  sin x 

 2  sin x 

2



w
w

C.

1

C
2  sin x

D.

sin x
C
2  sin x

1
 C . Chọn C
2  sin x

VD. Giả sử một nguyên hàm của hàm số f  x  

w

2

x2
1  x3





1

x 1 x



2

có dạng a 1  x3 

Tính a  b
A. 2

B.

8
3

C. 2

Hoàng Văn Bình
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

D.

8
3

b
.
1 x


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

x2
1 x

Tính



3

2
2
2
2
dt   t  C1 
1  x3  A 

3
3
3
3

1

x 1 x

Vậy a  b  

dx

dx đặt t  1  x3  2tdt  3x 2 dx

dx  





2

01

1 x

3

x 1 x

H
oc





1



2

dx  2

1

1  x 

2





d 1 x 

ai



x2

1  x3

dx  

2
 C2  B  2
1 x

uO

nT
hi
D

Tính

x2

f  x dx  



Ta có

8
3

ie

VD. Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   2 x , thỏa mãn F  0  

22017  1
ln 2

2x
C
Ta có F  x    2 dx 
ln 2

C. T 

22017  1
ln 2

D. T 

22018  1
ln 2

om

/g

1
2x
 C  0  F  x 
ln 2
ln 2

ro

up

x

Mà F  0  

Ta

B. T  22017.2018

s/

A. T  1009.

iL

thức T  F  0   F 1  F  2   ...  F  2017 

1
. Tính giá trị biểu
ln 2

20
2
21
22017
1 1  22018 22018  1


 ... 


ln 2 ln 2 ln 2
ln 2 ln 2 1
ln 2

.c

T  F  0   F 1  F  2   ...  F  2017  

2x
ln 2

ta được

bấm gán vào A, lấy A trừ đi

w

.fa

ce

bo

Bấm: qi

ok

Bấm máy: ta cũng biến đổi để ra được F  x  

w

w

đáp án đã rút gọn

. Chọn D.
Hoàng Văn Bình

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Bài 2. TÍCH PHÂN
Lý thuyết

01

I.

H
oc

1. Tích phân
b

 f  x  dx  F  b   F  a 
2. Tính chất
b

Tích phân của tổng thì bằng tổng các tích phân:
b

b

a

a

c

a

a

b

b

s/

 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx
c

up



b

b

f  x  dx   f  t  dt   f  y  dy...

ro

b

a

Ta

a

Tính bất biến của tích phân:

a

iL

 f  x  dx  0

Chèn điểm c   a; b  vào cận ta có:

b

ie

 kf  x  dx  k  f  x  dx

a

Tích phân tại một điểm bằng 0:

b

  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx
a

Có thể đưa hằng số ra ngoài tích phân:

uO
nT
hi
D

ai

a

a

/g

a

om

II. Sử dụng máy tính cầm tay

a

.c

Sử dụng chức năng y để tính tích phân.

ok

III. Ví dụ

bo

1. Tích phân dạng hàm

VD. Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên 1; 4 và thỏa mãn f 1  1,

w
w

w

Ta có:

B. 3

4

4

1

1

 f '  x  dx  f  x 

 f '  x  dx  2 . Giá trị f  4 là
1

ce

.fa

A. 2

4

C. 4

D. 1

 f  4   f 1  2  f  4   3.

VD. Cho hàm số f  x  liên tục trên

và F  x  là nguyên hàm của f  x  , biết

9

 f  x  dx  9 và
0

F  0   3 . Tính F  9 
Hoàng Văn Bình
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

A. – 6

B. – 12

C. 12

D. 6

b

Ta có

 f  x  dx  F b   F  a  từ đó ta có thể tính được một yếu tố khi biết hai yếu tố còn lại.

01

a

 f  x  dx  9  F 9  F  0  F 9  9  3  6 . Chọn D.
0
4

ai

VD. Cho hàm số f  x  liên tục trên  1; 4 , f  4   2017,  f '  x  dx  2016 . Tính f  1

uO
nT
hi
D

1

A. f  1  3

H
oc

9

D. f  1  2

C. f  1  1

B. f  1  1

4

 f '  x  dx  f  4   f  1  2017  f  1  2016  f  1  1 . Chọn B.

Ta có:

1

ie

VD. Cho hàm số f  x  liên tục trên  1; 2 và F  x  là nguyên hàm của f  x  , biết

 f  x  dx  1 và

1

B. 0

C. 3

D. 1

s/

A. 2

Ta

iL

F  1  1 . Tính F  2 

2



5

/g

2

om

2

2

D. I  40

C. I  36

B. I  34

A. I  32

2

f  x  dx  10 . Tính I    2  4 f  x  dx

ro

5

VD. Cho hàm số f  x  thỏa mãn

up

Chọn A.

2

2

5

5

5

2

.c

Từ I    2  4 f  x  dx   2dx  4 f  x   2 x  4 f  x   6  40  34
5

ok

5

bo

Hoặc
b

K

 f  x  dx K  f  x   b  a

ce

Mẹo:

a

.fa

5

w

w

w

Áp dụng:

 f  x  dx  10  f  x  
2

10
3

10 

I    2  4 f  x dx    2  4.   34
3
5
5
2

2

VD. Cho hàm số f  x  thỏa mãn

10

6

2

10

0

2

0

6

 f  x  dx  7 và  f  x  dx  3 . Tính I   f  x  dx   f  x  dx

Hoàng Văn Bình
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

A. I  10
b

c

b

a

a

c

 f  x  dx   f  x  dx   f  x dx

01

Áp dụng tính chất

D. I  4

C. I  7

B. I  4

Ta có:
10

2

6

10

2

10

2

10

0

0

2

6

0

6

0

6





2

4

 f  y  dy.

f  t  dt  4 . Tính I 

2

2

A. – 5

ai

4

f  x  dx  1,

uO
nT
hi
D

2

VD. Cho

B. – 3

C. 3

4

2

4

2

4

2

2

2

2

2

H
oc

 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  7   f  x  dx  3   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  4

D. 5

VD. Tính F '  0  của hàm số F  0    cos tdt

 x  0 .

iL

x2

ie

 f  y  dy   f  y  dy   f  y  dy    f  x  dx   f t  dt  1  4  5

B. – 2

C. 2

D.

2

s/

A. 0

Ta

0

x2

ro

/g

t  0
y  0

Đổi cận tích phân: 
2
y  x
t  x

up

Đặt y  t  2 ydy  dt

x

om

Ta được: F  x    cos tdt   2 y cos ydy
0

0

x

ok

.c

u  2 y

du  2dy

Đặt 
dv  cos ydy v  sin y
x

x

x

0

0

0

bo

Ta có: 2 y sin y  2 sin ydy  2 y sin y  2 cos y

 2 x sin x  2 cos x  2  F  x 

ce

0

.fa

Ta có f '  x   2 x cos x  f  0   0

w

w

w

VD. Cho hàm số f  x  liên tục trên

 f  x  dx  2. Khẳng đinh nào sau đây sai?

2
2

A.

4

và thỏa mãn



f  2 x  dx  1

1

3

B.



3

f  x  1  2

2

C.



f  2 x  dx  2

1

Hoàng Văn Bình
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

6

D.

1
f  x  2  dx  1
2 0


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

4

Ta có:

2

1

 f  x  dx  2  f  x   4  2  3

2

H
oc

01

Bấm:

uO
nT
hi
D

ai

Đáp án A.

Đáp án B

ie

Đáp án D

Ta

iL

Chọn C vì ở câu A ta đã loại được C.

B.

2
3

up

4
3

C.

2

 f  x  dx.
0

4
3

D. 2

ro

A.

s/

VD. Cho f  x  liên tục trên  0; 2 thỏa mãn f  x   2 f  2  x   2 x. Tính

2

/g

Cách 1:

2

2

2

2

0

0

0

0

om

Từ f  x   2 f  2  x   2 x   f  x  dx  2 f  2  x  dx   2xdx  4  3 f  x  dx  4   f  x  dx 
0

.c

Cách 2:

bo

ok

Chọn x  1 thay vào f  x   2 f  2  x   2 x  f 1  2 f 1  2

ce

 3 f 1  2  f 1 

2

2

2

2
2
4
4

  f 1dx   dx    f  x  dx 
3
3
3
3
0
0
0

f  x
1 1  2 x dx  4 trong đó y  f  x  là hàm số chẵn trên 1;1 . Khi đó
1

w

w

w

.fa

VD. Cho
A. 2

B. 16

C. 4

Vì y  f  x  là hàm số chẵn nên ta chọn f  x   x 2 . Bấm máy như sau:

Hoàng Văn Bình
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

1

 f  x  dx

1

D. 8

bằng

4
3


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

1

 f  x  dx  4.2  8

01

Ta thấy tích phân sau gấp đôi tích phân trước, suy ra
5

và

 1  2 f  x  dx  15 . Tính I 

A. 10

Ta có:

B. 5

C. 30

 f  x  dx

5

15
2

uO
nT
hi
D

0

5

ai

VD. Cho f  x  là hàm số chẵn, liên tục trên

H
oc

1

D.

5

5

5

5

5

0

0

0

0

5

 1  2 f  x  dx  1 dx  2 f  x dx  15   f  x  dx  5   f  x  dx  5.2  10

s/

Ta

iL

ie

Bấm máy tính:

up

VD. Cho hàm số y  f  x  liên tục và nhận giá trị dương trên  0;   thỏa mãn f 1  1,

ro

f  x   f '  x  3x  1 , với mọi x  0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

f  x



om

2
2
2
3 x  1  C  ln f  x  
3x  1  C  f  x   e 3
3
3

3 x 1  C

ok

d  f  x 

bo



f ' x
f ' x
1
1


dx  
dx
f  x
3x  1 f  x 
3x  1

.c

Từ f  x   f '  x  3x  1 

C. 3  f  5  4

/g

B. 2  f  5  3

A. 4  f  5  5

ce

2
4
.4 
4
3
 f  5  e 3  3, 794
Ta có f 1  1  C 
3

.fa

Chọn C.

w

w

w

Cách khác:



5
5
f ' x
f ' x
1
1
4
dx  
dx  
dx  
dx 
f  x
f  x
3
3x  1
3x  1
1
1

Hoàng Văn Bình
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

D. 1  f  5  2


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01





4
f  5 4
  f  5  e 3
f 1 3

5

 ln
1

A. I  0
Từ

1

1

0

0

 x  f '  x   2 dx  f 1 . Tính I   f  x  dx

VD. Cho hàm số f  x  thỏa mãn

B. I  1
1

1

1

0

0

0

0

 x  f '  x   2 dx  f 1   x. f '  x  dx   2xdx  f 1   x. f '  x  dx  f 1  1
1

Xét

D. I  2

C. I  1

1

01

f  x

4
 ln f  x 
3

H
oc

1



 x. f '  x  dx
0

1

0

0

ie

1
1


u  x
du  dx
Đặt 

 xf  x    f  x  dx

0
0

dv  f '  x  dx 
v  f  x 

1

Ta

1

s/

  x  1 f '  x  dx  10 và 2 f 1  f  0  2 . Tính

up

0

B. I  8

C. I  12

1

I   f  x  dx
0

D. I  8

ro

A. I  12

iL

 f 1   f  x  dx  f 1  1   f  x  dx  1 . Chọn B
VD. Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn

ai



d  f  x 

uO
nT
hi
D

5

om

/g

1
1


u  x  1
du  dx

Đặt 

  x  1 f  x    f  x  dx  10

0
0
dv  f '  x  dx 
v  f  x 

1

1

0

ok

0

.c

 2 f 1  f  0    f  x  dx  10   f  x  dx  8

bo

2. Tích phân bình thường

ce

Sau khi tìm nguyên hàm bằng các phương pháp. Ta áp dụng công thức của tích phân để tính giá

trị tích phân.

.fa

Bấm máy trực tiếp y.

w

w

w

3. Tích phân chống máy tính cầm tay
Đây là một dạng bài rất hay, tuy nhiên khả năng ra các bài toán về bản chất tích phân vẫn là dạng
bài được ra nhiều hơn. Các cách thường áp dụng cho tích phân chống máy tính cầm tay: giải hệ
phương trình bậc nhất, Table, mũ hóa,….

Hoàng Văn Bình
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Về nguyên tắc cơ bản: cần lưu trước tích phân vào biến nhớ. Thường thì các ẩn là số nguyên hoặc
hữu tỉ.



A. 3

 a, b   . Tính

B. 9

4a  b.
C. 7

D. 5

4 ln x  1
dx  A
x
2

1

ai



nên máy tính báo số nguyên mới nhận. Với

ro

up

s/

Ta

K  9 ta được

iL

Lần lượt thử với các đáp án, vì đề bài nói a, b 

ie

a ln 2 2  b ln 3  A
Giải hệ phương trình 
với K là các đáp án.
 4a  b  K

uO
nT
hi
D

Gán

/g

Vậy a  2, b  1  4a  b  9.

4

cos x
1
 sin x  cos x dx  a  4 ln b  0  a  1,1  b  3, a, b  

om

VD. Cho

.c

0

ok

1
2

B.

1
4

C.

Tính tích ab.

1
6

bo

A.

w

w

w

.fa

ce

Gán tích phân vào A


4

01

VD. Cho

H
oc

4 ln x  1
dx  a ln 2 2  b ln 2
x
2

1

cos x
1

dx  a  ln b  a 
Từ 
sin x  cos x
4
0

1
A  ln b
4
(rút a theo b )



Hoàng Văn Bình
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

D.

1
8


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

1
A  ln x
4
Vào w7 Coi hàm của ta là y 
, do 1  b  3 nên ta chọn START 1 END 3 STEP 0,25

uO
nT
hi
D

ai

H
oc

01



3

dx
 a ln 2  b ln 3  c ln 5
x

2

B. – 2

x
3

iL
S  a bc.

C. 2

D. 0

dx
 A . Khi đó A  a ln 2  b ln 3  c ln 5  ln 2a  ln 3b  ln 5c
x

2

/g

4

Gán

 a, b, c   . Tính

ro

A. 6

Ta

x

s/

4

VD. Biết

1
1
1
hay b  2, a   ab  .
8
8
4

up

Ta được x  2, y  0,125 

ie

Ta thấy tại 2

om

Sử dụng tính chất a  eln a  ln e a ta có: ln e A  ln  2a3b5c   e A  2a3b5c

ce

bo

ok

.c

Bấm:

16 24

 24.31.55 (Sử dụng chức năng FACT)
tách
15 3.5

.fa

Vậy a  4, b  c  1  S  a  b  c  2

x2  x  1
b
3 x  1 dx  a  ln 2 với a, b là các số nguyên. Tính a  2b

w

5

w

w

VD. Biết
A. – 2

B. 5

C. 2

Gán tích phân vào A
Hoàng Văn Bình
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

D. 10


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

01

b
b
b
 A  a  ln  e A a   2e Aa  b
2
2
2

H
oc

Ta có: A  a  ln

uO
nT
hi
D

ai

Sử dụng w7 nhập hàm số START – 9, END 9, STEP 1

iL

ie

Vậy a  8, b  3  a  2b  2 . Chọn C.
e

ln x
dx  a e  b với a, b  . Tính P  a.b
x
1

Ta



B. P  8

D. P  8

C. P  4

up

A. P  4

s/

VD. Biết

om

/g

ro

Lưu tích phân vào A

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c

Ta có A  a e  b  A  a e  b Sử dụng w7 nhập hàm số START – 9, END 9, STEP 1

Vậy a  2; b  4  P  a.b  8 . Chọn B
5

VD. Cho tích phân: I  
4

x3  2
dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5  d ln 7
x4  5x2  4

 a, b, c, d   . Tìm

Hoàng Văn Bình
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

a , b, c , d .