Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (NCKH)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ & QTKD

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

PHƢƠNG PHÁP LẶP ĐƠN ĐIỆU
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN

Mã số: ĐH2015-TN08-09

Chủ nhiệm đề tài: ThS. NGÔ THỊ KIM QUY

THÁI NGUYÊN, NĂM 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ & QTKD
s

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

PHƢƠNG PHÁP LẶP ĐƠN ĐIỆU
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN

Mã số: ĐH2015-TN08-09

Xác nhận của cơ quan chủ trì đề tài

Chủ nhiệm đề tài

ThS. Ngô Thị Kim Quy

THÁI NGUYÊN, NĂM 2018


i

DANH SÁCH CÁC THÀNH VIÊN THAM GIA ĐỀ TÀI
Họ và tên

Đơn vị công tác

Nội dung nghiên cứu

ThS. Ngô Thị Kim Quy

ĐH Kinh tế và QTKD-ĐHTN

Chủ nhiệm đề tài

TS. Nguyễn Thị Ngân

ĐH Sư phạm-ĐHTN

Thành viên nghiên cứu

ThS. Nguyễn Thanh Hường

ĐH Khoa học-ĐHTN

Thành viên nghiên cứu

ĐƠN VỊ PHỐI HỢP CHÍNH
Tên đơn vị

Họ tên người đại diện

Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ VN

GS.TS. Đặng Quang Á

Trường Đại học Sư phạm - ĐH Thái Nguyên

TS. Nguyễn Thị Ngân


ii

Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1. Phương pháp lặp đơn điệu sử dụng nguyên lý cực đại đối với một số
phương trình eliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. Phương pháp sai phân hữu hạn và nguyên lý cực đại đối với phương
trình sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.1. Dạng chính tắc của phương trình sai phân . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Nguyên lý cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13
16

1.3. Một số định lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.3.1.
1.3.2.
1.3.3.
1.3.4.

Định lý điểm bất động Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Định lý điểm bất động Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Định lý điểm bất động Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18
19
20
21

1.4. Hàm Green đối với một số bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Chương 2. Phương pháp lặp giải một số bài toán biên phi tuyến đối
với phương trình vi phân thường cấp bốn . . . . . . . . . 25
2.1. Phương pháp lặp mức liên tục giải một số bài toán biên đối với
phương trình vi phân thường cấp bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2. Nghiên cứu sự hội tụ và tính đơn điệu của lời giải số bài toán biên
đối với phương trình vi phân thường cấp bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Chương 3. Phương pháp lặp giải một số bài toán biên phi tuyến đối
với phương trình đạo hàm riêng cấp bốn . . . . . . . . . 49
3.1. Phương pháp lặp mức liên tục giải một số bài toán biên đối với
phương trình đạo hàm riêng cấp bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.1.1. Bài toán tuyến tính đối với phương trình đạo hàm riêng 50


iii

3.1.2. Bài toán phi tuyến đối với phương trình đạo hàm riêng

58

3.2. Nghiên cứu sự hội tụ của lời giải số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

Kết luận chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74


iv

Danh sách hình vẽ
2.1
2.2

Đồ thị nghiệm xấp xỉ của Ví dụ 2.1. . . . . . . . . . . . . . . 46
Đồ thị nghiệm xấp xỉ của Ví dụ 2.2. . . . . . . . . . . . . . . 47


v

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
1. Thông tin chung
Tên đề tài: Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi
tuyến
Mã số: ĐH2015–TN08–09
Chủ nhiệm đề tài: ThS. Ngô Thị Kim Quy
Tổ chức chủ trì: Trường Đại học Kinh tế và QTKD - Đại học Thái Nguyên
Thời gian thực hiện: 24 tháng (từ tháng 9/2015 đến tháng 9/2017)
2. Mục tiêu
Mục tiêu của đề tài là sử dụng phương pháp lặp đơn điệu hoặc kết hợp nó với
các phương pháp khác để thiết lập định tính và đặc biệt là phương pháp giải số
một số bài toán đối với phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm
riêng cấp bốn phát sinh từ các lĩnh vực cơ học, vật lý.

3. Tính mới và sáng tạo
Trong đề tài chúng tôi đưa ra phương pháp khác khi nghiên cứu tính giải được
và phương pháp lặp giải bài toán biên phi tuyến, trong đó, thiết lập được sự
tồn tại duy nhất nghiệm và một số tính chất đối với nghiệm của các bài toán
dưới các điều kiện dễ kiểm tra; đề xuất phương pháp lặp giải bài toán và chứng
minh sự hội tụ của phương pháp; đưa ra một số ví dụ minh họa cho khả năng
ứng dụng của các kết quả lý thuyết.
4. Kết quả nghiên cứu
- Nghiên cứu phương pháp lặp giải một số phương trình vi phân thường phi
tuyến và phương trình đạo hàm riêng cấp bốn.
- Thiết lập được sự tồn tại duy nhất nghiệm và xây dựng phương pháp số hữu
hiệu giải một số bài toán biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp
bốn. Các điều kiện đặt ra để đảm bảo sự tồn tại, duy nhất nghiệm và sự hội tụ
của phương pháp số dễ kiểm tra. Các kết quả thu được có khả năng ứng dụng


vi

trong tính toán dầm đàn hồi trên nền đàn hồi dưới tác động của tải trọng phi
tuyến với các điều kiện phức tạp tại hai đầu mút.
5. Sản phẩm
5.1 Sản phẩm khoa học
01 bài báo quốc tế ISI, 03 bài báo khoa học trong nước.
1. Dang Quang A, Ngo Thị Kim Quy (2017), "Existence results and iterative
method for solving the cantilever beam equation with fully nolinear term", Nonlinear Analysis: Real World Applications, 36 , pp. 56-68.
2. Ngô Thị Kim Quy, Nguyễn Thị Thu Hường, Phạm Thị Linh (2015), "Sai số
và sự hội tụ của phương pháp đơn điệu đối với các bài toán giá trị biên elliptic
nửa tuyến tính cấp bốn", Tạp chí Khoa học và Công nghệ - ĐH Thái Nguyên,
Tập 143, số 13/3, tr. 93-97.
3. Ngô Thị Kim Quy, Nguyễn Thị Thu Hường (2015), "Phương pháp nghiệm

trên và nghiệm dưới giải bài toán giá trị biên bốn điểm cấp bốn", Tạp chí Khoa
học và Công nghệ - ĐH Thái Nguyên, Tập 144, số 14, tr. 187-191.
4. Ngô Thị Kim Quy, Nguyễn Thị Thu Hường, Đồng Thị Hồng Ngọc, Hoàng
Thanh Hải (2016), "Sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán giá trị biên phi
tuyến cấp 4”, Tạp chí Khoa học và Công nghệ - ĐH Thái Nguyên, Tập 159, số
14, tr. 197-200.
5.2 Sản phẩm đào tạo
02 luận văn thạc sĩ
+ Tên luận văn “Phương trình tích phân" , bảo vệ năm 2016. Học viên cao
học: Lienphone Cheuchouthor. Giáo viên Hướng dẫn: TS. Nguyễn Thị Ngân –
Trường Đại học Sư phạm – ĐH Thái Nguyên.
+ Tên luận văn: “Tính giải được của một hệ phương trình cặp tích phân Fourier”,
bảo vệ năm 2016. Học viên cao học: Lê Thị Tuyết Nhung. Giáo viên hướng dẫn:
TS. Nguyễn Thị Ngân – Trường Đại học Sư phạm – ĐH Thái Nguyên.


vii

01 đề tài sinh viên nghiên cứu khoa học
Tên đề tài “Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic” .
Sinh viên: Ngô Mai Anh.
Giáo viên Hướng dẫn: TS. Nguyễn Thị Ngân.
Bảo vệ năm 2016, Xếp loại: Xuất sắc
6. Phương thức chuyển giao, địa chỉ ứng dụng, tác động và lợi ích
mang lại của kết quả nghiên cứu
- Đề tài nghiên cứu phương pháp lặp giải một số bài toán phát sinh từ cơ học
và vật lý.
- Kết quả nghiên cứu có thể được ứng dụng trong giảng dạy và nghiên cứu khoa
học cho sinh viên ngành Toán.

viii

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS
1. General infomations
Project title: Monotone iterative method for solving some nonlinear boundary
value problems.
Code number: ĐH2015–TN08–09
Coordinator: Ngo Thi Kim Quy
Implementing institution: TN-University of Economics and Business Administation.
Duration: from 9/2015 to 9/2017
2. Objective(s)
The objectives of the project are the development of efficient methods for solving some problems for the fourth order elliptic problems arising from mechanics,
physics and other fields of science and technology. These problems include: The
problems for the biharmonic equations in bounded domains and the boundary
value problems for nonlinear fourth order differential equations.
3. Creativeness and innovativeness
In this project, we propose a novel method for investigating the solvability and
iterative method for nonlinear boundary value problems.
4. Research results
- We study methods for solving some nonlinear fourth order differential equations and partial differential equations.
- The existence and uniqueness of solution and effective numerical methods
for solving some boundary problems for the fourth order nonlinear differential
equations. The conditions required to ensure the existence, uniqueness and convergence of the numerical method should be easy to test. The obtained results
are applicable to the calculation of elastic beams on elastic foundation under the
influence of nonlinear loads with complex conditions at the ends.


ix

5. Products
- Scientific producst: 04 articles published scientific journals.
- Training products: 01 master thesis, 01 research project of undergraduate students.
5.1 Scienctific products
1. Dang Quang A, Ngo Thị Kim Quy (2017), "Existence results and iterative
method for solving the cantilever beam equation with fully nolinear term", Nonlinear Analysis: Real World Applications, 36 , pp. 56-68.
2. Ngo Thi Kim Quy, Nguyen Thi Thu Huong, Pham Thi Linh (2015), "Error and convergence of a monotone method for fourth-order semilinear elliptic
boundary value problems", Journal of Science and Technology - Thai nguyen
University, 143(13/3), pp. 93-97.
3. Ngo Thi Kim Quy, Nguyen Thi Thu Huong (2015), "The method of upper and
lower solutions for fourth-order four-point boundary value problems", Journal
of Science and Technology - Thai nguyen University, 144(14), pp. 187-191.
4. Ngo Thi Kim Quy, Nguyen Thi Thu Huong, Dong Thi Hong Ngoc, Hoang
Thanh Hai (2016), "Existence and uniqueness of solutions of fourth order nonlinear boundary value problems", Journal of Science and Technology - Thai nguyen
University, 159(14), pp. 197-200.
5.2 Training results
02 master thesis, 01 research project of undergraduate students.
6. Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits
of the study findings
- The project study iterative method for solving some problems arising from
mechanics and physics.
- The project can be applied in teaching and scientific research at universities,
colleges, vocational school training in mathematics.


1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài

Nhiều bài toán trong vật lý, cơ học và một số lĩnh vực khác thông qua mô
hình hóa toán học dẫn đến việc giải các bài toán biên đối với phương trình vi
phân (thường và đạo hàm riêng) cùng với các điều kiện biên Dirichlet, điều kiện
biên Neumann, điều kiện biên Robin hay điều kiện biên hỗn hợp. Trong những
năm gần đây, người ta quan tâm rất nhiều đến các bài toán biên phi tuyến (phi
tuyến trong phương trình, phi tuyến trong điều kiện biên hoặc cả hai) do nhu
cầu phát triển của các lĩnh vực vật lý, cơ học, sinh học,... Một trong các phương
pháp khá phổ biến nghiên cứu định tính (sự tồn tại, duy nhất) của nghiệm là
phương pháp sử dụng các định lý điểm bất động và phương pháp đơn điệu.
Các bài toán giá trị biên đối với phương trình phi tuyến cấp bốn với các điều
kiện biên khác nhau đã được nghiên cứu trong một số bài báo trong những năm
gần đây. Sự tồn tại nghiệm của các bài toán này được thiết lập nhờ sử dụng lý
thuyết bậc Leray-Schauder [38] hoặc Định lý điểm bất động Schauder trên cơ sở
sử dụng phương pháp đơn điệu với nghiệm dưới và nghiệm trên [16], [18], [19],
[33] hoặc giải tích Fourier (Fourier analysis) [25]. Trong tất cả các bài báo nêu
trên, công cụ cơ bản để nghiên cứu tính đơn điệu của các dãy hàm và sự hội tụ
của chúng là nguyên lý cực đại thích hợp cho từng loại bài toán. Ở đây cần phải
nói rằng nguyên lý cực đại đối với các phương trình tuyến tính đơn giản với các
điều kiện biên cơ bản đã có trong cuốn sách chuyên khảo nổi tiếng [39], song đối


2

với các bài toán phức tạp hơn cần có nguyên lý cực đại phù hợp. Trong các bài
báo này, điều kiện về tính bị chặn của hàm vế phải hoặc về bậc tăng trưởng của
nó tại vô cùng là không thể thiếu được.
Khác với cách tiếp cận của các tác giả khác trong các bài báo nêu trên cũng
như cách tiếp cận đối với các phương trình vi phân cấp bốn phi tuyến trong
[13], [30], chúng tôi đưa bài toán ban đầu về phương trình toán tử đối với hàm
vế phải ϕ = f . Xét trong miền bị chặn xác định, chúng tôi chứng minh được

toán tử đối với ϕ dưới một số điều kiện dễ kiểm tra của hàm f trong miền bị
chặn được chỉ ra là toán tử co. Theo nguyên lý ánh xạ co, ta chỉ ra bài toán ban
đầu có duy nhất nghiệm và sự hội tụ của phương pháp lặp tìm nghiệm xấp xỉ.
Tính dương của nghiệm và tính đơn điệu của dãy lặp cũng được chỉ ra. Các ví
dụ được đưa ra, trong đó nghiệm chính xác của bài toán đã biết hoặc chưa biết
để minh họa cho các kết quả lý thuyết thu được.
Với phương trình đạo hàm riêng, xét bài toán

∆(k(x)∆u) = f (x, u, ∆u), (x ∈ Ω),
B[u] = g1 (x), B[k∆u] = g2 (x), (x ∈ ∂Ω),
trong đó ∆ là toán tử Laplace và B là toán tử biên tuyến tính cho bởi

B[w] = w

(loại Dirichlet)

hoặc

B[w] =

∂w
+ β(.)w,
∂ν

β(x) ≥ 0 trên ∂Ω,

(loại Neumann hoặc Robin)

với ∂/∂ν là ký hiệu đạo hàm theo hướng pháp tuyến ngoài trên ∂Ω.
Trong [44, 45, 46, 47], tác giả Wang đã sử dụng phương pháp đơn điệu với

nghiệm trên, nghiệm dưới chỉ ra sự tồn tại nghiệm của bài toán. Tác giả cũng
nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp đơn điệu, đánh giá sai số và phân tích
tính ổn định của phương pháp lặp đưa ra.


3

Với trường hợp đơn giản hơn, xét bài toán

∆2 u = f (x, u, ∆u),
u = 0,

∆u = 0,

x ∈ Ω,
x ∈ Γ,

trong đó Ω là miền bị chặn đơn giản trong R2 , với biên trơn Γ, ∆ là toán tử
Laplace, ∂/∂ν ký hiệu đạo hàm theo hướng pháp tuyến ngoài Γ. Với bài toán

∆2 u + c∆u = f (x, u),
u = 0,

∆u = 0,

x ∈ Ω,
x ∈ Γ,

đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả. Dưới đây chúng tôi đề cập đến một số bài
báo.

Trước tiên là bài báo của Dunninger [17], trong đó nhờ nguyên lý cực đại tác
giả đã thiết lập được sự duy nhất nghiệm của bài toán. Sau đó vào năm 2007,
Liu and Wang [28] bằng một phiên bản biến thể của Định lý qua núi (Mountain
Pass Theorem) đã chứng minh được sự tồn tại nghiệm không tầm thường của
bài toán trong trường hợp c = 0 với một số điều kiện của hàm f (x, t). Năm
2008, An và Liu [14] đã thiết lập sự tồn tại nghiệm không tầm thường của bài
toán với c < λ1 . Năm 2014, trong bài báo [22], Hu và Wang thêm vào một số
giả thiết, tác giả nghiên cứu sự tồn tại nghiệm không tầm thường của bài toán
nếu 0 < l < Λ1 , Λ1 < l <= ∞ hoặc l = Λ1 . Gần đây, kết quả thú vị về sự
tồn tại nghiệm đổi dấu cũng như tính dương và âm của nghiệm của bài toán đã
thu được trong [27].
Cần nhấn mạnh rằng các kết quả tồn tại nghiệm của bài toán trong cả hai
trường hợp c = 0 và c = 0 đã được thiết lập bởi phương pháp biến phân. Những
kết quả này có tính chất lý thuyết thuần túy và không có các ví dụ về sự tồn
tại nghiệm.
Ngoài phương pháp biến phân nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán giá
trị biên phi tuyến còn có phương pháp hiệu quả khác thiết lập sự tồn tại và duy


4

nhất nghiệm. Đó là phương pháp nghiệm trên, nghiệm dưới. Phương pháp này
đã được sử dụng với bài toán giá trị biên elliptic cấp bốn trong [36]. Trong bài
báo này, xét bài toán

∆(a(x)∆u) = f (x, u, ∆u),
α1 (x)

x ∈ Ω,

∂u
∂(a∆u)
+ β1 (x)u = h1 (x), α2 (x)
+ β2 (x)(a∆u) = h2 (x),
∂ν
∂ν

x∈Γ
(1)

bằng phương pháp nghiệm trên và dưới, Pao đã chứng minh sự tồn tại và duy
nhất nghiệm của bài toán với giả thiết hàm f (x, u, v) thỏa mãn điều kiện
Lipschitz theo u, v và đơn điệu theo u trong dải định nghĩa bởi nghiệm dưới và
nghiệm trên và một số điều kiện khác liên quan đến a(x) và các đạo hàm riêng
của f (x, u, v). Trong bài báo tiếp theo [37], tác giả đã đưa bài toán ban đầu
về cặp bài toán của u và v = −a∆u sau đó áp dụng xấp xỉ sai phân cho cặp
bài toán này. Một số sơ đồ lặp đơn điệu như Picard, Gauss-Seidel và lặp Jacobi
đều hội tụ đơn điệu tới nghiệm duy nhất của hệ các phương trình sai phân được
đưa ra. Kỹ thuật đơn điệu này được phát triển hơn trong các bài báo của Wang
[44, 45, 46, 47], trong đó có một số ví dụ minh họa cho hiệu quả của sơ đồ lặp.
Khác với các phương pháp trên, trong bài báo [9], tác giả Đặng Quang Á
đưa bài toán về phương trình toán tử đối với hàm vế phải và chứng minh toán
tử có tính chất co. Điều này đảm bảo sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài
toán và sự hội tụ của phương pháp lặp đề xuất. Phương pháp lặp này đưa bài
toán ban đầu về dãy các bài toán giá trị biên với phương trình Poisson mà có
thể dễ dàng giải bằng các thuật toán số hiệu quả sẵn có. Tính ứng dụng của
cách tiếp cận này và hiệu quả của phương pháp lặp được minh họa qua một số
ví dụ, trong đó chỉ ra lợi thế về tốc độ hội tụ của phương pháp tác giả đưa ra
so với các phương pháp gần đây của Wang trong [46], [47].
Mặc dù nhiều thành tựu quan trọng đã đạt được trong việc nghiên cứu và

tìm lời giải của các bài toán biên phi tuyến, song sự phát triển của các lĩnh vực


5

ứng dụng như cơ học, vật lý,. . . luôn đặt ra các bài bài toán mới với sự phức tạp
trong phương trình cũng như điều kiện biên. Đây là hướng nghiên cứu thu hút
được sự quan tâm chú ý của các nhà Toán học trên thế giới. Chính vì thế, đề
tài đặt mục đích sử dụng phương pháp đơn điệu hoặc kết hợp nó với các phương
pháp khác để thiết lập định tính và đặc biệt là phương pháp giải số một số bài
toán đối với phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng cấp 4
nảy sinh trong lý thuyết uốn của dầm (1 chiều) và bản (2 chiều). Đó là lí do vì
sao chúng tôi chọn đề tài: "Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán

biên phi tuyến".

2. Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu của đề tài
Mục tiêu chung của đề tài là đưa ra phương pháp lặp đơn điệu giải một số
bài toán biên phi tuyến đối với phương trình vi phân thường và phương trình
đạo hàm riêng cấp bốn. Mục tiêu cụ thể như sau:
- Sử dụng phương pháp lặp đơn điệu hoặc kết hợp nó với các phương pháp khác
để thiết lập định tính và đặc biệt là phương pháp giải số một số bài toán đối
với phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng cấp bốn nảy
sinh trong lý thuyết uốn của dầm (1 chiều) và bản (2 chiều).
- Nghiên cứu phương pháp đơn điệu cho phương trình phi tuyến cấp 4 với một
số loại điều kiện biên tuyến tính hoặc phi tuyến. - Mở rộng kết quả sang phương
trình cấp 4 đạo hàm riêng. - Nghiên cứu tương tự rời rạc của các bài toán đó và
các phương pháp số hữu hiệu hiện thực hóa chúng.

3. Đối tượng, phạm vi, phương pháp nghiên cứu

3.1. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu một số bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân, phương
trình đạo hàm riêng cấp bốn.


6

3.2. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất nghiệm và phương pháp giải một số
bài toán biên phi tuyến đối với phương trình vi phân, phương trình đạo hàm
riêng cấp bốn.

3.3. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng cách tiếp cận đưa các bài toán biên phi tuyến về phương trình toán
tử đối với hàm vế phải, cùng với các công cụ của toán giải tích, giải tích hàm, lý
thuyết phương trình vi phân, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và một
số tính chất đối với nghiệm của một số bài toán biên. Các tính toán số minh họa
cho tính hữu hiệu của phương pháp đề xuất được thực hiện bằng ngôn ngữ lập
trình Matlab. Sử dụng công cụ đại số tuyến tính và giải tích hàm nghiên cứu hệ
phương trình đại số được dẫn đến. Thực hiện tính toán trên máy tính điện tử
để kiểm tra sự hội tụ của các thuật toán đã được nghiên cứu bằng lý thuyết và
nghiên cứu bằng thực nghiệm những thuật toán chưa chứng minh được bằng lý
thuyết.

4. Cấu trúc của đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của đề
tài gồm 2 chương:
Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị và kết quả bổ trợ bao gồm một
số kiến thức cơ bản về phương pháp đơn điệu, nguyên lý cực đại, phương pháp
sai phân, các định lý điểm bất động và cách tìm hàm Green. Các kiến thức cơ

bản và kết quả thu được trong Chương 1 sẽ đóng vai trò rất quan trọng, làm
nền tảng cho các kết quả sẽ được trình bày trong Chương 2 và Chương 3.
Chương 2 trình bày phương pháp lặp giải một số bài toán biên phi tuyến đối
với phương trình vi phân thường cấp bốn.


7

Chương 3 trình bày phương pháp lặp giải một số bài toán biên phi tuyến đối
với phương trình đạo hàm riêng cấp bốn.


8

Chương 1
Một số kiến thức bổ trợ
Chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị, kết quả bổ trợ cần thiết
cho các chương tiếp theo được tham khảo từ các tài liệu [35], [40], [43], [48].

1.1.

Phương pháp lặp đơn điệu sử dụng nguyên lý
cực đại đối với một số phương trình eliptic

Một trong các phương pháp khá phổ biến nghiên cứu định tính (sự tồn tại,
duy nhất) của nghiệm và xây dựng nghiệm gần đúng của phương trình đạo hàm
riêng là phương pháp đơn điệu. Phương pháp đơn điệu sử dụng nghiệm trên và
nghiệm dưới đối với bài toán biên phi tuyến đã thu hút sự chú ý của các nhà
nghiên cứu trong những năm gần đây. Phương pháp này không chỉ đưa ra cách
chứng minh các định lý tồn tại mà còn dẫn đến các kết quả so sánh khác nhau,

đó là kĩ thuật hiệu quả để nghiên cứu các tính chất định tính của nghiệm. Tính
đơn điệu của dãy lặp cũng hữu dụng khi nghiên cứu các nghiệm số của bài toán
giá trị đầu và giá trị biên.
Ý tưởng chung của phương pháp này là xuất phát từ hai hàm α và β tương
ứng được gọi là nghiệm dưới (lower solution) và nghiệm trên (upper solution)
của bài toán, người ta xây dựng nhờ quá trình lặp hai dãy hàm αk và βk hội tụ
đơn điệu từ hai phía tới các hàm u và u thỏa mãn điều kiện

α ≤ α1 ≤ α2 ≤ ... ≤ αk ≤ ... ≤ u ≤ u ≤ ... ≤ βk ≤ ... ≤ β2 ≤ β1 ≤ β.


9

Trong trường hợp u = u bài toán có nghiệm duy nhất trong dải < α, β >, nếu
khác, bài toán có nghiệm cực trị dưới và nghiệm cực trị trên.
Công cụ cơ bản để nghiên cứu tính đơn điệu của các dãy hàm và sự hội tụ
của chúng là nguyên lý cực đại thích hợp cho từng loại bài toán. Ở đây, cần phải
nói rằng nguyên lý cực đại đối với các phương trình tuyến tính đơn giản với các
điều kiện biên cơ bản đã có trong cuốn sách chuyên khảo nổi tiếng [39], song đối
với các bài toán phức tạp hơn cần có nguyên lý cực đại phù hợp.
Trong xây dựng các dãy đơn điệu với bài toán giá trị biên phi tuyến sử dụng
phương pháp nghiệm trên và dưới, yêu cầu cơ bản là dãy lặp phải được xác định.
Sự tồn tại của dãy đơn điệu cho các phương trình elliptic dựa trên bài toán giá
trị biên tuyến tính dạng

− Lu + c(x)u = q(x)

trong Ω,
(1.1)

Bu = h(x)

trên ∂Ω,

trong đó L và B là các toán tử cho bởi
n

n
2

Lu =

aij (x)∂ u/∂xi ∂xj +
i,j=1

bj (x)∂u/∂xj ,
j=1

(1.2)

Bu = α0 (x)∂u/∂ν + β0 (x)u.
L là toán tử elliptic đều trong Ω, các hệ số của chúng và c thuộc C α (Ω). L
là toán tử elliptic đều hiểu theo nghĩa ma trận aij (x) là đối xứng, xác định
dương trong Ω. Để đảm bảo tồn tại lớp nghiệm ta giả sử rằng Ω là lớp C 2+α và

α0 , β0 ∈ C 1+α (∂Ω) với α0 = 0, β0 > 0 hoặc α0 > 0, β0 ≥ 0 trên ∂Ω.
Sơ đồ lặp đơn điệu cho các bài toán giá trị biên elliptic dựa trên bổ đề về tính
dương suy ra từ nguyên lý cực đại sau.

Định lý 1.1. [35] Giả sử w ∈ C 2 (Ω) thỏa mãn bất phương trình

−Lw + cw ≥ 0 trong Ω,

(1.3)

trong đó c ≡ c(x) ≥ 0 và giới nội trong Ω. Nếu w đạt cực tiểu không dương


10

m0 tại một điểm trong Ω thì w ≡ m0 . Hơn nữa, nếu x0 ∈ ∂Ω là điểm cực
tiểu của w thì ∂w/∂ν < 0 tại x0 trừ khi w = m0 trong Ω.
Dựa trên kết quả của định lý trên ta suy ra bổ đề về tính dương, bổ đề này
đóng vai trò cơ bản trong nghiên cứu bài toán giá trị biên elliptic phi tuyến.

Bổ đề 1.1. [35] Giả sử c, β0 là các hàm không âm giới nội không đồng
thời bằng không. Nếu w ∈ C 2 (Ω) thỏa mãn

− Lw + cw ≥ 0

trong Ω,

α0 ∂w/∂ν + β0 w ≥ 0

trên ∂Ω,

(1.4)

thì w ≥ 0 trong Ω. Hơn nữa, w > 0 trong Ω trừ khi w ≡ 0.
Để phát triển phương pháp đơn điệu, ta cần các khái niệm nghiệm trên và

dưới.
Xét bài toán giá trị biên elliptic

−Lu = f (x, u)

trong Ω

Bu = h(x)

trên ∂Ω.

(1.5)

Để phát triển sơ đồ lặp đơn điệu cho bài toán (1.5) ta cần chọn phép lặp ban
đầu phù hợp. Nghiệm trên, nghiệm dưới của bài toán được định nghĩa như sau.
Hàm u ∈ C α (Ω) ∩ C 2 (Ω) được gọi là nghiệm trên của bài toán (1.5) nếu

−Lu ≥ f (x, u)

trong Ω
(1.6)

B u ≥ h(x)

trên ∂Ω.

Tương tự, hàm u ∈ C α (Ω) ∩ C 2 (Ω) được gọi là nghiệm dưới của bài toán (1.5)
nếu nó thỏa mãn các bất phương trình ngược lại trong (1.6).
Trong định nghĩa trên ta giả sử đạo hàm pháp tuyến ngoài ∂ u
˜/∂ν tồn tại tại

mọi điểm x ∈ ∂Ω. Cặp nghiệm trên và dưới được gọi là có thứ tự nếu u ≥ u
trong Ω.
Với bất kì cặp nghiệm trên và dưới có thứ tự u, u, ta kí hiệu < u, u > là dải


11

các hàm u ∈ C(Ω) sao cho u ≤ u ≤ u trong Ω.
Giả sử f thỏa mãn một phía điều kiện Lipshitz

f (x, u1 ) − f (x, u2 ) ≥ −c(x)(u1 − u2 )

(1.7)

với u ≤ u2 ≤ u1 ≤ u và c là hàm không âm giới nội trong Ω.
Thêm hàm c(u) vào cả hai vế của phương trình trong (1.5) và đặt

F (x, u) = c(x)u + f (x, u)

(1.8)

Bài toán (1.5) trở thành

− Lu + c(x)u = F (x, u)

trong Ω,
(1.9)

Bu = h(x)

trên ∂Ω.

Với điều kiện (1.7), F (x, u) không giảm đơn điệu theo u với u ∈< u, u >.
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử c ∈ C α (Ω), nên F (x, u) là hàm
Ho
¨lder liên tục trong Ω× < u, u >. Do đó, với bất kì u(0) ∈ C α (Ω) ta có thể
xây dựng dãy u(k) từ quá trình lặp

− Lu(k) + cu(k) = F x, u(k−1)

trong Ω,
(1.10)

Bu

(k)

= h(x)

trên ∂Ω,

với tương ứng u(0) = u và u(0) = u.
Kí hiệu hai dãy này là

u(k) và u(k) tương ứng gọi chúng là dãy nghiệm

trên và dưới.
Bổ đề sau chỉ ra hai dãy được hoàn toàn xác định.

Bổ đề 1.2. [35] Giả sử f thỏa mãn điều kiện (1.7), c ≥ 0 và không đồng

nhất bằng không khi β0 ≡ 0. Khi đó các dãy nghiệm trên và dưới u(k) ,
u(k) được hoàn toàn xác định.
Bổ đề trên đòi hỏi c không đồng nhất bằng không khi β0 ≡ 0. Yêu cầu này
đảm bảo với mỗi k bài toán tuyến tính (1.10) có nghiệm duy nhất. Vì điều kiện
(1.7) thỏa mãn với bất kì c ≥ c luôn có thể tìm được hàm không tầm thường c
trong (1.10). Bổ đề sau chỉ ra tính chất đơn điệu của dãy nghiệm trên và dưới.


12

Bổ đề 1.3. [35] Giả sử các giả thiết trong Bổ đề 1.2 thỏa mãn. Khi đó
các dãy nghiệm trên và dưới có tính chất đơn điệu

u ≤ u(k) ≤ u(k+1) ≤ u(k+1) ≤ u(k) ≤ u trong Ω

(1.11)

với mọi k . Hơn nữa, với mỗi k , u(k) và u(k) là các nghiệm trên và dưới sắp
thứ tự.
Bổ đề (1.3) chỉ ra các giới hạn

lim u(k) (x) = u(x), lim u(k) (x) = u(x)

k→∞

k→∞

(1.12)

tồn tại và thỏa mãn quan hệ u ≤ u ≤ u ≤ u trong Ω.

Định lý sau chỉ ra giới hạn của nghiệm của bài toán (1.5).

Định lý 1.2. [35] Giả sử
(1.5) và giả sử f thỏa mãn
nghiệm u, uk hội tụ đơn
Hơn nữa, u ≤ u ≤ u ≤
< u, u > thì u ≤ u∗ ≤ u.

u, u là các nghiệm trên và dưới có thứ tự của
(1.7). Khi đó uk hội tụ đơn điệu từ trên tới
điệu từ dưới tới nghiệm u, và u, u ∈ C 2+α (Ω).
u trong Ω, và nếu u∗ là nghiệm bất kì trong

Trong mối quan hệ u ≤ u∗ ≤ u, các hàm u và u thường được gọi là các
nghiệm cực đại và nghiệm cực tiểu của (1.5). Nghiệm cực đại và nghiệm cực tiểu
này phụ thuộc vào cặp nghiệm trên, nghiệm dưới được xét.

1.2.

Phương pháp sai phân hữu hạn và nguyên lý
cực đại đối với phương trình sai phân

Một trong những phương pháp số phổ biến được sử dụng rộng rãi trong xấp
xỉ nghiệm của phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng là phương
pháp sai phân hữu hạn. Các phương pháp sai phân hữu hạn tìm nghiệm xấp xỉ
của phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng tại các nút lưới bằng
cách thay thế đạo hàm bằng các công thức sai phân. Khi đó phương trình vi
phân và phương trình đạo hàm riêng được rời rạc thành hệ phương trình đại

13

số tuyến tính. Trong chương này chúng tôi trình bày phương pháp sai phân cho
phương trình elliptic cấp hai. Các đánh giá và phân tích được dựa trên nguyên
lý cực đại.

1.2.1.

Dạng chính tắc của phương trình sai phân

Ta xây dựng lược đồ sai phân giải bài toán Dirichlet cho phương trình
Poisson:

p

∆u =

∂ 2u
= −f (x),
2
∂x
α
α=1

x ∈ Ω,

(1.13)

với điều kiện biên

u|Γ = µ(x),
trong đó x = (x1 , x2 , ..., xp ), Ω là miền hữu hạn p chiều với biên Γ.
Ta xây dựng lược đồ sai phân của toán tử Laplace trong mặt phẳng x =

(x1 , x2 ) :
∂ 2u ∂ 2u
Lu = ∆u = 2 + 2 =
∂x1 ∂x2

2

Lα u

(1.14)

α=1

với

∂ 2u
Lα u = 2
∂xα
1
(u(x1 − h, x2 ) − 2u(x1 , x2 ) + u(x1 + h, x2 )) .
h21
1
L2 u ≈ ux2 x2 = 2 (u(x1 , x2 − h) − 2u(x1 , x2 ) + u(x1 , x2 + h)) .
h2
Ký hiệu Λu = ux1 x1 + ux2 x2 . Ta có
L1 u ≈ ux1 x1 =

Λu − ∆u = O(|h|2 ),

|h|2 = h21 + h22 .

Trong miền chữ nhật Ω = {0 ≤ x1 ≤ l1 , 0 ≤ x2 ≤ l2 }, xét lưới đều với
bước lưới h1 , h2 .
Ký hiệu

ωh = {(x1 , x2 ) : x1 = i1 h1 , x2 = i2 h2 ,

1 ≤ i1 ≤ N1 −1, 1 ≤ i2 ≤ N2 −1},


14

γh là tập các điểm biên.
Giả sử f (x) là hàm liên tục. Xét lược đồ sai phân



Λy = −f (x),

x ∈ ωh ,


y(x) = µ(x),

x ∈ γh ,

(1.15)

trong đó

Λy = yx1 x1 + yx2 x2 .
Tính sai số xấp xỉ.
Đặt z = y − u, trong đó y là nghiệm của (1.14), u là nghiệm của (1.13). Suy
ra y = z + u.
Từ đó ta có Λ(z + u) = −f (x).
Xét bài toán



Λz = −ψ trên ωh ,

(1.16)


z = 0 trên γh ,
trong đó

ψ = Λu + f = Λu − Lu + Lu + f
(1.17)
2

= Λu − Lu = O(h ).
Với miền phức tạp (biên cong), bước lưới h1 , h2 . Tập các nút trong ωh = {xi =

(i1 h1 , i2 h2 ) ∈ Ω}.
Tập các điểm biên theo hướng xα là các giao điểm của biên Γ với các đường

(iα)

thẳng xα

= iα hα (α = 1, 2). Ký hiệu γh,α . Khi đó tập tất cả các nút biên là
γh = γh1 + γh2 .

Tập tất cả các nút trong và nút biên ký hiệu bởi

ω h = ωh + γh .
Phân loại chi tiết các điểm trong

Điểm không chính quy (Nút sát biên) : Là nút có ít nhất một nút lân cận là