Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (tt)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ & QTKD

BÁO CÁO TÓM TẮT
ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

PHƢƠNG PHÁP LẶP ĐƠN ĐIỆU
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN

Mã số: ĐH2015-TN08-09

Chủ nhiệm đề tài: ThS. NGÔ THỊ KIM QUY

THÁI NGUYÊN, NĂM 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ & QTKD
s

BÁO CÁO TÓM TẮT
ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

PHƢƠNG PHÁP LẶP ĐƠN ĐIỆU
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN

Mã số: ĐH2015-TN08-09

Xác nhận của cơ quan chủ trì đề tài

Chủ nhiệm đề tài

ThS. Ngô Thị Kim Quy

THÁI NGUYÊN, NĂM 2018


i

DANH SÁCH CÁC THÀNH VIÊN THAM GIA ĐỀ TÀI
Họ và tên

Đơn vị công tác

Nội dung nghiên cứu

ThS. Ngô Thị Kim Quy

ĐH Kinh tế và QTKD-ĐHTN

Chủ nhiệm đề tài

TS. Nguyễn Thị Ngân

ĐH Sư phạm-ĐHTN

Thành viên nghiên cứu

ThS. Nguyễn Thanh Hường

ĐH Khoa học-ĐHTN

Thành viên nghiên cứu

ĐƠN VỊ PHỐI HỢP CHÍNH
Tên đơn vị

Họ tên người đại diện

Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ VN

GS.TS. Đặng Quang Á

Trường Đại học Sư phạm - ĐH Thái Nguyên

TS. Nguyễn Thị Ngân


ii

Mục lục

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1. Phương pháp lặp đơn điệu sử dụng nguyên lý cực đại đối với một số phương

trình eliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Phương pháp sai phân hữu hạn và nguyên lý cực đại đối với phương trình sai
phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Một số định lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.4. Hàm Green đối với một số bài toán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Chương 2. Phương pháp lặp giải một số bài toán biên phi tuyến đối với
phương trình vi phân thường cấp bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1. Phương pháp lặp mức liên tục giải một số bài toán biên đối với phương trình vi
phân thường cấp bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2. Nghiên cứu sự hội tụ và tính đơn điệu của lời giải số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Chương 3. Phương pháp lặp giải một số bài toán biên phi tuyến đối với
phương trình đạo hàm riêng cấp bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1. Phương pháp lặp mức liên tục giải một số bài toán biên đối với phương trình
đạo hàm riêng cấp bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.1. Bài toán tuyến tính đối với phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . 11
3.1.2. Bài toán phi tuyến đối với phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . 12
3.2. Nghiên cứu sự hội tụ của lời giải số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Kết luận chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15


iii

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
1. Thông tin chung
Tên đề tài: Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi
tuyến
Mã số: ĐH2015–TN08–09
Chủ nhiệm đề tài: ThS. Ngô Thị Kim Quy
Tổ chức chủ trì: Trường Đại học Kinh tế và QTKD - Đại học Thái Nguyên
Thời gian thực hiện: 24 tháng (từ tháng 9/2015 đến tháng 9/2017)
2. Mục tiêu
Mục tiêu của đề tài là sử dụng phương pháp lặp đơn điệu hoặc kết hợp nó với
các phương pháp khác để thiết lập định tính và đặc biệt là phương pháp giải số
một số bài toán đối với phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm
riêng cấp bốn phát sinh từ các lĩnh vực cơ học, vật lý.
3. Tính mới và sáng tạo
Trong đề tài chúng tôi đưa ra phương pháp khác khi nghiên cứu tính giải được
và phương pháp lặp giải bài toán biên phi tuyến, trong đó, thiết lập được sự
tồn tại duy nhất nghiệm và một số tính chất đối với nghiệm của các bài toán
dưới các điều kiện dễ kiểm tra; đề xuất phương pháp lặp giải bài toán và chứng
minh sự hội tụ của phương pháp; đưa ra một số ví dụ minh họa cho khả năng
ứng dụng của các kết quả lý thuyết.
4. Kết quả nghiên cứu
- Nghiên cứu phương pháp lặp giải một số phương trình vi phân thường phi
tuyến và phương trình đạo hàm riêng cấp bốn.
- Thiết lập được sự tồn tại duy nhất nghiệm và xây dựng phương pháp số hữu

hiệu giải một số bài toán biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp
bốn. Các điều kiện đặt ra để đảm bảo sự tồn tại, duy nhất nghiệm và sự hội tụ
của phương pháp số dễ kiểm tra. Các kết quả thu được có khả năng ứng dụng
trong tính toán dầm đàn hồi trên nền đàn hồi dưới tác động của tải trọng phi
tuyến với các điều kiện phức tạp tại hai đầu mút.


iv

5. Sản phẩm
5.1 Sản phẩm khoa học
01 bài báo quốc tế ISI, 03 bài báo khoa học trong nước.
1. Dang Quang A, Ngo Thị Kim Quy (2017), "Existence results and iterative
method for solving the cantilever beam equation with fully nolinear term", Nonlinear Analysis: Real World Applications, 36 , pp. 56-68.
2. Ngô Thị Kim Quy, Nguyễn Thị Thu Hường, Phạm Thị Linh (2015), "Sai số
và sự hội tụ của phương pháp đơn điệu đối với các bài toán giá trị biên elliptic
nửa tuyến tính cấp bốn", Tạp chí Khoa học và Công nghệ - ĐH Thái Nguyên,
Tập 143, số 13/3, tr. 93-97.
3. Ngô Thị Kim Quy, Nguyễn Thị Thu Hường (2015), "Phương pháp nghiệm
trên và nghiệm dưới giải bài toán giá trị biên bốn điểm cấp bốn", Tạp chí Khoa
học và Công nghệ - ĐH Thái Nguyên, Tập 144, số 14, tr. 187-191.
4. Ngô Thị Kim Quy, Nguyễn Thị Thu Hường, Đồng Thị Hồng Ngọc, Hoàng
Thanh Hải (2016), "Sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán giá trị biên phi
tuyến cấp 4”, Tạp chí Khoa học và Công nghệ - ĐH Thái Nguyên, Tập 159, số
14, tr. 197-200.
5.2 Sản phẩm đào tạo
02 luận văn thạc sĩ
+ Tên luận văn “Phương trình tích phân" , bảo vệ năm 2016. Học viên cao
học: Lienphone Cheuchouthor. Giáo viên Hướng dẫn: TS. Nguyễn Thị Ngân –
Trường Đại học Sư phạm – ĐH Thái Nguyên.

+ Tên luận văn: “Tính giải được của một hệ phương trình cặp tích phân Fourier”,
bảo vệ năm 2016. Học viên cao học: Lê Thị Tuyết Nhung. Giáo viên hướng dẫn:
TS. Nguyễn Thị Ngân – Trường Đại học Sư phạm – ĐH Thái Nguyên.
01 đề tài sinh viên nghiên cứu khoa học
Tên đề tài “Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic” .
Sinh viên: Ngô Mai Anh.
Giáo viên Hướng dẫn: TS. Nguyễn Thị Ngân.


v

Bảo vệ năm 2016, Xếp loại: Xuất sắc
6. Phương thức chuyển giao, địa chỉ ứng dụng, tác động và lợi ích
mang lại của kết quả nghiên cứu
- Đề tài nghiên cứu phương pháp lặp giải một số bài toán phát sinh từ cơ học
và vật lý.
- Kết quả nghiên cứu có thể được ứng dụng trong giảng dạy và nghiên cứu khoa
học cho sinh viên ngành Toán.


vi

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS
1. General infomations
Project title: Monotone iterative method for solving some nonlinear boundary
value problems.
Code number: ĐH2015–TN08–09
Coordinator: Ngo Thi Kim Quy
Implementing institution: TN-University of Economics and Business Administation.
Duration: from 9/2015 to 9/2017

2. Objective(s)
The objectives of the project are the development of efficient methods for solving some problems for the fourth order elliptic problems arising from mechanics,
physics and other fields of science and technology. These problems include: The
problems for the biharmonic equations in bounded domains and the boundary
value problems for nonlinear fourth order differential equations.
3. Creativeness and innovativeness
In this project, we propose a novel method for investigating the solvability and
iterative method for nonlinear boundary value problems.
4. Research results
- We study methods for solving some nonlinear fourth order differential equations and partial differential equations.
- The existence and uniqueness of solution and effective numerical methods
for solving some boundary problems for the fourth order nonlinear differential
equations. The conditions required to ensure the existence, uniqueness and convergence of the numerical method should be easy to test. The obtained results
are applicable to the calculation of elastic beams on elastic foundation under the
influence of nonlinear loads with complex conditions at the ends.
5. Products
- Scientific producst: 04 articles published scientific journals.


vii

- Training products: 01 master thesis, 01 research project of undergraduate students.
5.1 Scienctific products
1. Dang Quang A, Ngo Thị Kim Quy (2017), "Existence results and iterative
method for solving the cantilever beam equation with fully nolinear term", Nonlinear Analysis: Real World Applications, 36 , pp. 56-68.
2. Ngo Thi Kim Quy, Nguyen Thi Thu Huong, Pham Thi Linh (2015), "Error and convergence of a monotone method for fourth-order semilinear elliptic
boundary value problems", Journal of Science and Technology - Thai nguyen
University, 143(13/3), pp. 93-97.
3. Ngo Thi Kim Quy, Nguyen Thi Thu Huong (2015), "The method of upper and
lower solutions for fourth-order four-point boundary value problems", Journal

of Science and Technology - Thai nguyen University, 144(14), pp. 187-191.
4. Ngo Thi Kim Quy, Nguyen Thi Thu Huong, Dong Thi Hong Ngoc, Hoang
Thanh Hai (2016), "Existence and uniqueness of solutions of fourth order nonlinear boundary value problems", Journal of Science and Technology - Thai nguyen
University, 159(14), pp. 197-200.
5.2 Training results
02 master thesis, 01 research project of undergraduate students.
6. Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits
of the study findings
- The project study iterative method for solving some problems arising from
mechanics and physics.
- The project can be applied in teaching and scientific research at universities,
colleges, vocational school training in mathematics.


1

Mở đầu

1. Tính cấp thiết của đề tài
Nhiều bài toán trong vật lý, cơ học và một số lĩnh vực khác thông qua mô
hình hóa toán học dẫn đến việc giải các bài toán biên đối với phương trình vi
phân (thường và đạo hàm riêng) cùng với các điều kiện biên Dirichlet, điều kiện
biên Neumann, điều kiện biên Robin hay điều kiện biên hỗn hợp. Trong những
năm gần đây, người ta quan tâm rất nhiều đến các bài toán biên phi tuyến do
nhu cầu phát triển của các lĩnh vực vật lý, cơ học, sinh học,... Một trong các
phương pháp khá phổ biến nghiên cứu định tính của nghiệm là phương pháp sử
dụng các định lý điểm bất động và phương pháp đơn điệu.
Các bài toán giá trị biên đối với phương trình phi tuyến cấp bốn với các điều
kiện biên khác nhau đã được nghiên cứu trong một số công trình trong những
năm gần đây. Sự tồn tại nghiệm của các bài toán này được thiết lập nhờ sử

dụng lý thuyết bậc Leray-Schauder hoặc định lý điểm bất động Schauder trên
cơ sở sử dụng phương pháp đơn điệu với nghiệm dưới và nghiệm trên, hoặc giải
tích Fourier. Trong tất cả các công trình nêu trên công cụ cơ bản để nghiên cứu
tính đơn điệu của các dãy hàm và sự hội tụ của chúng là nguyên lý cực đại thích
hợp cho từng loại bài toán. Trong các công trình này điều kiện về tính bị chặn
của hàm vế phải hoặc về bậc tăng trưởng của nó tại vô cùng là không thể thiếu
được.
Khác với cách tiếp cận của các tác giả khác trong các bài báo nêu trên, chúng
tôi đưa bài toán ban đầu về phương trình toán tử đối với hàm vế phải ϕ = f .
Xét trong miền bị chặn xác định, chúng tôi chứng minh được toán tử đối với ϕ
dưới một số điều kiện dễ kiểm tra của hàm f trong miền bị chặn được chỉ ra là


2

toán tử co. Theo nguyên lý ánh xạ co, ta chỉ ra bài toán ban đầu có duy nhất
nghiệm và sự hội tụ của phương pháp lặp tìm nghiệm xấp xỉ. Tính dương của
nghiệm và tính đơn điệu của dãy lặp cũng được chỉ ra. Các ví dụ được đưa ra,
trong đó nghiệm chính xác của bài toán đã biết hoặc chưa biết để minh họa cho
các kết quả lý thuyết thu được. Phương pháp này còn có thể áp dụng với một
số phương trình đạo hàm riêng.
Mặc dù nhiều thành tựu quan trọng đã đạt được trong việc nghiên cứu và
tìm lời giải của các bài toán biên phi tuyến, song sự phát triển của các lĩnh vực
ứng dụng như cơ học, vật lý, sinh học,. . . luôn đặt ra các bài bài toán mới với
sự phức tạp trong phương trình cũng như điều kiện biên. Chính vì thế mục đích
của đề tài là sử dụng phương pháp đơn điệu hoặc kết hợp nó với các phương
pháp khác chẳng hạn như phương pháp sử dụng các định lý điểm bất động để
thiết lập định tính và đặc biệt là phương pháp giải số một số bài toán đối với
phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng cấp 4 nảy sinh
trong lý thuyết uốn của dầm (1 chiều) và bản (2 chiều). Đó là lí do vì sao chúng

tôi chọn đề tài: "Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến".

2. Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu của đề tài
Mục tiêu của đề tài là xây dựng phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài
toán biên phi tuyến đối với phương trình vi phân thường và phương trình đạo
hàm riêng cấp bốn.

3. Đối tượng, phạm vi, phương pháp nghiên cứu

3.1. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu một số bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân, phương
trình đạo hàm riêng cấp bốn.


3

3.2. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất nghiệm và phương pháp giải một số
bài toán biên phi tuyến đối với phương trình vi phân, phương trình đạo hàm
riêng cấp bốn.

3.3. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng cách tiếp cận đưa các bài toán biên phi tuyến về phương trình toán
tử đối với hàm vế phải, cùng với các công cụ của toán giải tích, giải tích hàm, lý
thuyết phương trình vi phân, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và một
số tính chất đối với nghiệm của một số bài toán biên. Các tính toán số minh
họa cho tính hữu hiệu của phương pháp đề xuất được thực hiện bằng ngôn ngữ
lập trình Matlab.

4. Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của đề
tài gồm 3 chương:
Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị và kết quả bổ trợ bao gồm một
số kiến thức cơ bản về phương pháp đơn điệu, nguyên lý cực đại, các định lý
điểm bất động và cách tìm hàm Green. Các kiến thức cơ bản và kết quả thu
được trong chương 1 sẽ đóng vai trò rất quan trọng, làm nền tảng cho các kết
quả sẽ được trình bày trong chương 2 và chương 3.
Chương 2 trình bày phương pháp lặp giải một số bài toán biên phi tuyến đối
với phương trình vi phân thường cấp bốn.
Chương 3 trình bày phương pháp lặp giải một số bài toán biên phi tuyến đối
với phương trình đạo hàm riêng cấp bốn.


4

Chương 1
Một số kiến thức bổ trợ

1.1.

Phương pháp lặp đơn điệu sử dụng nguyên lý cực đại đối
với một số phương trình eliptic

Một trong các phương pháp khá phổ biến nghiên cứu định tính của nghiệm
và xây dựng nghiệm gần đúng của bài toán là phương pháp đơn điệu. Phương
pháp đơn điệu sử dụng nghiệm trên và nghiệm dưới đối với bài toán biên phi
tuyến đã thu hút sự chú ý của các nhà nghiên cứu trong những năm gần đây.
Phương pháp này phổ biến vì nó không chỉ đưa ra cách chứng minh các định lý
tồn tại mà còn dẫn đến các kết quả so sánh khác nhau, đó là kĩ thuật hiệu quả
để nghiên cứu các tính chất định tính của nghiệm.

Ý tưởng chung của phương pháp này là xuất phát từ hai hàm α và β tương
ứng được gọi là nghiệm dưới (lower solution) và nghiệm trên (upper solution)
của bài toán, người ta xây dựng nhờ quá trình lặp hai dãy hàm αk và βk hội tụ
đơn điệu từ hai phía tới các hàm u và u thỏa mãn điều kiện
α ≤ α1 ≤ α2 ≤ ... ≤ αk ≤ ... ≤ u ≤ u ≤ ... ≤ βk ≤ ... ≤ β2 ≤ β1 ≤ β.

Trong trường hợp u = u bài toán có nghiệm duy nhất trong dải < α, β >, nếu
khác, bài toán có nghiệm cực trị dưới và nghiệm cực trị trên.

1.2.

Phương pháp sai phân hữu hạn và nguyên lý cực đại đối
với phương trình sai phân

Một trong những phương pháp số phổ biến được sử dụng rộng rãi trong xấp
xỉ nghiệm của phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng là phương
pháp sai phân hữu hạn. Các phương pháp sai phân hữu hạn tìm nghiệm xấp xỉ


5

của phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng tại các nút lưới bằng
cách thay thế đạo hàm bằng các công thức sai phân. Khi đó phương trình vi
phân và phương trình đạo hàm riêng được rời rạc thành hệ phương trình đại
số tuyến tính. Trong chương này chúng tôi trình bày phương pháp sai phân cho
phương trình elliptic cấp hai. Các đánh giá và phân tích được dựa trên nguyên
lý cực đại.

1.3.

Một số định lý điểm bất động

Phần này trình bày ba định lý điểm bất động là nền tảng cơ bản được sử
dụng phổ biến trong các bài toán ứng dụng là: Định lý điểm bất động Banach,
định lý điểm bất động Brouwer, định lý điểm bất động Schauder.

1.4.

Hàm Green đối với một số bài toán

Hàm Green có ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu về bài toán giá trị biên.
Đặc biệt, sự tồn tại và duy nhất nghiệm của lớp các bài toán giá trị biên cấp
bốn được thiết lập. Các kĩ thuật trong không gian Banach vẫn được sử dụng,
nhưng sự tồn tại của hàm Green là công cụ chính chỉ ra sự tồn tại và duy nhất
nghiệm.
Kết luận Chương 1

Chương 1 đã trình bày một số kiến thức cơ bản về phương pháp đơn điệu,
nguyên lý cực đại, các định lý điểm bất động và cách tìm hàm Green đối với
một số bài toán. Đây sẽ là những kiến thức và kết quả rất quan trọng làm nền
tảng cho các nghiên cứu sẽ được trình bày trong Chương 2 và Chương 3 của đề
tài.


6

Chương 2
Phương pháp lặp giải một số bài toán biên phi tuyến
đối với phương trình vi phân thường cấp bốn

Các bài toán giá trị biên đối với phương trình phi tuyến cấp bốn với các điều
kiện biên khác nhau đã được nghiên cứu trong một số công trình trong những
năm gần đây. Sự tồn tại nghiệm của các bài toán này được thiết lập nhờ sử dụng
lý thuyết bậc Leray-Schauder hoặc định lý điểm bất động Schauder trên cơ sở
sử dụng phương pháp đơn điệu với nghiệm dưới và nghiệm trên hoặc giải tích
Fourier. Trong các công trình này điều kiện về tính bị chặn của hàm vế phải
hoặc về bậc tăng trưởng của nó tại vô cùng là không thể thiếu được. Nhận thấy
các điều kiện trên là rất nặng nề và phức tạp cho sự tồn tại nghiệm. Khác với
cách tiếp cận của các tác giả khác, chúng tôi đưa bài toán ban đầu về phương
trình toán tử đối với hàm vế phải ϕ = f . Xét trong miền bị chặn xác định, chúng
tôi đã giải phóng được các điều kiện hạn chế trong các bài báo trên.

2.1.

Phương pháp lặp mức liên tục giải một số bài toán biên
đối với phương trình vi phân thường cấp bốn

Các định lý điểm bất động và phương pháp đơn điệu được sử dụng trong
nghiên cứu định tính và phương pháp giải cho nhiều bài toán phi tuyến cấp bốn
với các điều kiện biên khác nhau.
Xét bài toán giá trị biên đối với phương trình vi phân thường cấp bốn
u(4) (x) = f (x, u(x), u (x)),

0 < x < 1,
(2.1)

u(0) = u(1) = u (0) = u (1) = 0.

trong đó f : [0, 1] × R2 là hàm liên tục. Bài toán này mô tả sự uốn của dầm trên

7

nền đàn hồi với hai đầu mút được gối-tựa đơn giản trong trạng thái cân bằng.
Bài toán đã thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả vì nó có ý nghĩa quan trọng
trong cơ học. Sau đây, chúng tôi trình bày một số công trình quan trọng liên
quan đến bài toán này. Đầu tiên, chúng tôi đề cập đến bài báo của Aftabizadeh
năm 1986. Trong bài báo này, tác giả thiết lập sự tồn tại nghiệm với giả thiết
về sự giới nội của hàm f (x, u, v) trong toàn miền [0, 1] × R2 . Tính duy nhất của
nghiệm được chứng minh nếu thêm các giả thiết liên quan đến đạo hàm riêng
của f theo u và v. Tiếp theo, năm 1997, Ma et al. bằng phương pháp đơn điệu,
khi biết trước nghiệm dưới và nghiệm trên đã xây dựng hai dãy hàm đơn điệu
hội tụ tới các nghiệm cực trị của bài toán. Ở đó các tác giả thu nhận được kết
quả với giả thiết hàm f (x, u, v) đơn điệu tăng theo biến u và đơn điệu giảm theo
biến v trong dải được xác định bởi nghiệm dưới và nghiệm trên. Sau đó, vào
năm 2004, khi nghiên cứu bài toán (2.1), Bai et al. độc lập với Ma et al. cũng
xây dựng hai dãy hàm đơn điệu hội tụ tới các nghiệm cực trị của bài toán bằng
cách xét phương trình tương đương
u(4) (x) − au (x) + bu(x) = f (x, u(x), u (x)) − au (x) + bu(x)

trong đó a, b là các hằng số dương được chọn phù hợp. Ý tưởng đó cũng được
sử dụng trong bài báo gần đây của Li (2010). Tác giả sử dụng nguyên lý cực
đại phát triển phương pháp lặp đơn điệu với sự có mặt của các nghiệm trên và
nghiệm dưới, thiết lập được sự tồn tại và duy nhất nghiệm nhờ giới hạn của các
dãy xấp xỉ từ hai phía. Cần nhấn mạnh rằng, trong phương pháp đơn điệu, giả
thiết tìm được nghiệm dưới và nghiệm trên luôn luôn cần thiết nhưng việc tìm
chúng nói chung không dễ dàng.
Công trình của Li et al. năm 2013, xét bài toán giá trị biên đối với phương
trình vi phân cấp bốn đầy đủ
u(4) (t) = f (t, u(t), u (t), u (t), u (t)),

0 < t < 1,
(2.2)

u(0) = u(1) = u (0) = u (1) = 0,

trong đó f : [0, 1] × R4 → R là liên tục.


8

Bài báo đã thiết lập sự tồn tại nghiệm của bài toán dưới hạn chế về điều kiện
tăng trưởng của hàm f (x, u, y, v, z) theo mỗi biến tại ∞.
Năm 2016, Li xét bài toán giá trị biên cấp bốn đầy đủ
u(4) (x) = f (x, u(x), u (x), u (x), u (x)),

0 < x < 1,
(2.3)

u(0) = u (0) = u (1) = u (1) = 0.

Bài toán là mô hình của dầm côngxôn (cố định ở bên trái và tự do ở bên phải),
trong đó f : [0, 1] × R4 → R là liên tục. Một vài điều kiện trên f được đặt ra đảm
bảo sự tồn tại nghiệm dương của bài toán. Điều kiện đưa ra là hàm f (x, u, y, v, z)
tăng trưởng siêu tuyến tính hoặc dưới tuyến tính theo các biến u, y, v, z . Trong
trường hợp siêu tuyến tính, điều kiện Nagumo hạn chế điều kiện tăng trưởng
của f theo y và z . Kết quả này được chứng minh bằng việc sử dụng lý thuyết
của chỉ số điểm bất động trong nón rất phức tạp.
Khác với cách tiếp cận của các tác giả khác trong các công trình nêu trên,
chúng tôi đưa bài toán ban đầu về phương trình toán tử đối với hàm vế phải

ϕ(x) = f (x, u(x), u (x), u (x), u (x)). Xét trong miền bị chặn xác định, chúng tôi

đã giải phóng được các điều kiện hạn chế trong các bài báo trên. Chúng tôi
chứng minh được toán tử đối với ϕ dưới một số điều kiện dễ kiểm tra của hàm
f trong miền bị chặn được chỉ ra là toán tử co. Theo nguyên lý ánh xạ co, ta

chỉ ra bài toán ban đầu có duy nhất nghiệm và sự hội tụ của phương pháp lặp
tìm nghiệm xấp xỉ. Tính dương của nghiệm và tính đơn điệu của dãy lặp cũng
được chỉ ra. Trong bài báo chúng tôi còn đưa ra nhiều thí dụ, trong đó nghiệm
chính xác của bài toán đã biết hoặc chưa biết để minh họa cho các kết quả lý
thuyết thu được.
Trong bài báo đăng tạp chí Nonlinear Anal. RWA gần đây (2017), chúng tôi
cũng xét bài toán (2.3) nhưng theo phương pháp đưa bài toán về phương trình
toán tử đối với hàm vế phải và xét trong miền bị chặn chúng tôi đã giải phóng
được các điều kiện tăng trưởng trong đó có điều kiện Nagumo. Chúng tôi chỉ
ra các thí dụ mà không thỏa mãn điều kiện trong bài báo của Li (2016) đưa ra
nhưng theo lý thuyết chúng tôi đưa ra khẳng định được sự duy nhất nghiệm của


9

bài toán. Hơn nữa, các điều kiện chúng tôi đưa ra đơn giản hơn và dễ kiểm tra.

2.2.

Nghiên cứu sự hội tụ và tính đơn điệu của lời giải số

Chúng tôi đưa ra phương pháp lặp và chứng minh sự hội tụ của phương
pháp. Bài toán giá trị biên ban đầu được đưa về bài toán tìm nghiệm của dãy
bài toán giá trị đầu và bài toán giá trị cuối với phương trình vi phân thường cấp

hai. Chú ý rằng các hàm vế phải của hai bài toán này chỉ phụ thuộc vào biến x,
nên nghiệm xấp xỉ của bài toán thực chất là xấp xỉ các tích phân xác định. Do
đó có thể xây dựng lược đồ sai phân với độ chính xác cấp cao mặc dù hàm vế
phải của bài toán là các hàm rời rạc xác định trên các lưới điểm. Để thực nghiệm
số của phương pháp lặp chúng tôi sử dụng công thức Simpson với độ chính xác
cấp bốn cho các bài toán giá trị đầu và bài toán giá trị cuối với phương trình
vi phân thường cấp hai trên lưới đều ω h = {xi = ih, i = 0, 1, ..., N ; h = 1/N }. Với
các hàm lưới trên ω h ta sử dụng chuẩn u

ωh

= max |u(xi )|. Các ví dụ đưa ra
0≤i≤N

minh họa cho hiệu quả của phương pháp.
Kết luận Chương 2

Trong Chương 2 chúng tôi đã trình bày áp dụng một số phương pháp trong
Chương 1 khi nghiên cứu các bài toán biên phi tuyến đối với phương trình vi
phân thường cấp bốn, trong đó các vấn đề về tồn tại, duy nhất và tính dương của
nghiệm được thiết lập cho một số dạng phương trình phi tuyến cụ thể bằng các
công cụ của giải tích phi tuyến, trong đó ý tưởng đưa các bài toán của phương
trình cấp bốn phi tuyến về dãy các bài toán cấp hai tuyến tính dễ giải là ý tưởng
rất tự nhiên. Đặc biệt, chúng tôi đưa ra cách tiếp cận khác khi nghiên cứu định
tính bài toán biên mà không cần đến điều kiện tăng trưởng tại vô cùng, điều
kiện Nagumo,.. của hàm vế phải. Các ví dụ được đưa ra minh họa cho hiệu quả
của phương pháp này.


10

Chương 3
Phương pháp lặp giải một số bài toán biên phi tuyến
đối với phương trình đạo hàm riêng cấp bốn

Trong khoảng hai chục năm trở lại đây các bài toán biên đối với phương
trình elliptic cấp bốn phi tuyến mà tiêu biểu là phương trình song điều hòa phi
tuyến đã được sự quan tâm rất lớn của các nhà toán học lý thuyết cũng như
ứng dụng, các nhà cơ học và tin học. Lý do đơn giản vì chúng là mô hình toán
học của nhiều hiện tượng cơ học và vật lý như sự uốn của bản dưới tác động
của tải trọng phi tuyến hoặc trên nền đàn hồi phi tuyến. Trước đó, lý thuyết và
phương pháp tính toán cho các bài toán tuyến tính đã được phát triển khá đầy
đủ. Nhiều phần mềm tính toán cho bản và vỏ đã được xây dựng và đưa vào sử
dụng.
Tuy nhiên, các bài toán elliptic cấp bốn phi tuyến được nghiên cứu chưa
nhiều cả về định tính lẫn định lượng. Một trong các phương pháp khá phổ biến
nghiên cứu định tính (sự tồn tại, duy nhất) của nghiệm là phương pháp sử dụng
các định lý điểm bất động, phương pháp đơn điệu, phương pháp lặp. Trong đó
các vấn đề về tồn tại, duy nhất và tính dương của nghiệm được thiết lập cho
một số dạng phương trình phi tuyến cụ thể bằng các công cụ của giải tích phi
tuyến.


11

3.1.

3.1.1.

Phương pháp lặp mức liên tục giải một số bài toán biên

đối với phương trình đạo hàm riêng cấp bốn

Bài toán tuyến tính đối với phương trình đạo hàm riêng

Giả sử Ω là một miền mở, liên thông, bị chặn trong Rn (n ≥ 2) và giả thiết
∂Ω là biên Lipschitz. Toán tử Laplace ∆u của một hàm trơn u : Ω → R có dạng
n

∆u :=
i=1

∂ 2u
∂x2i

Toán tử đa điều hòa được Định nghĩa đệ quy bởi
∆m u = ∆(∆m−1 u),

m = 2, 3, ...

Với m = 2, ta có ∆2 u = ∆(∆u) (Toán tử song điều hòa).
Với m = 3, ta có ∆3 u = ∆(∆2 u) (Toán tử tam điều hòa).
Phương trình đạo hàm riêng cấp cao mà tiêu biểu là phương trình song điều
hòa và phương trình kiểu song điều hòa là các lớp phương trình mô tả nhiều bài
toán trong cơ học, vật lý, kỹ thuật,...
Nhiều bài toán cơ học, chẳng hạn như bài toán về độ võng của bản mỏng
dưới tác động của tỉ trọng, các bài toán về lý thuyết đàn hồi phẳng, các bài toán
về dòng chảy, ... dẫn đến việc giải phương trình song điều hòa
∆2 u = f,

(3.1)

trong đó ∆ là toán tử Laplace trên một miền nào đó với các điều kiện biên.
Gần đây, nhiều phương pháp mới hữu hiệu cho việc giải phương trình (3.1) đã
được nghiên cứu và phát triển trong các công trình của nhiều nhà toán học như
phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân, phương pháp phương
trình tích phân biên và phần tử biên. Các phương pháp này rời rạc hóa phương
trình vi phân và dẫn đến việc giải hệ đại số tuyến tính. Một số nhà nghiên cứu
đã rời rạc hóa bài toán Dirichlet của phương trình (3.1) như phương pháp phổ
Galerkin sử dụng hàm cơ sở là các đa thức đặc biệt. Các phương pháp gần đúng
giải tích cũng được các tác giả sử dụng để giải phương trình song điều hòa như
phương pháp bình phương cực tiểu, phương pháp nghiệm cơ bản.


12

Các phương trình kiểu song điều hòa
∆2 u + bu = f,
∆2 u − a∆u + bu = f,

(b > 0)

(3.2)

(a > 0, b > 0)

(3.3)

mô tả sự uốn của bản trên nền đàn hồi cũng đã được Benzine (1988) giải bằng
phương pháp tích phân biên, Bjorstad và Bjorn (1997) sau khi rời rạc hóa (3.3)
với điều kiện biên u =

∂u
= 0 bằng phương pháp phổ Galerkin dựa trên đa thức.
∂n

Phải nói rằng ý tưởng đưa các bài toán đối với phương trình cấp hai phức tạp
về dãy các bài toán cấp hai đơn giản hơn và đưa các bài toán đối với phương trình
cấp bốn về dãy các bài toán đối với phương trình cấp hai là các ý tưởng chung
rất tự nhiên và đã được phát triển bởi nhiều tác giả như Abramov, Glowinski,
Palsev, Đặng Quang Á.
Một trong các phương pháp khá phổ biến nghiên cứu định tính (sự tồn tại,
duy nhất) của nghiệm và xây dựng nghiệm gần đúng là phương pháp đơn điệu.
Phương pháp đơn điệu sử dụng nghiệm trên và nghiệm dưới đối với bài toán
biên phi tuyến đã thu hút sự chú ý của các nhà nghiên cứu trong những năm
gần đây. Phương pháp này phổ biến vì nó không chỉ đưa ra cách chứng minh các
định lý tồn tại mà còn dẫn đến các kết quả so sánh khác nhau, đó là kĩ thuật
hiệu quả để nghiên cứu các tính chất định tính của nghiệm. Tính đơn điệu của
dãy lặp cũng hữu dụng khi nghiên cứu các nghiệm số của bài toán giá trị đầu
và giá trị biên.

3.1.2.

Bài toán phi tuyến đối với phương trình đạo hàm riêng

Xét bài toán giá trị biên elliptic nửa tuyến tính cấp bốn dạng
∆(k(x)∆u) = f (x, u, ∆u), (x ∈ Ω),
(3.4)
B[u] = g1 (x), B[k∆u] = g2 (x), (x ∈ ∂Ω).

trong đó ∆ là toán tử Laplace và B là toán tử biên tuyến tính cho bởi

B[w] = w

(loại Dirichlet)


13

hoặc
B[w] =

∂w
+ β(.)w,
∂ν

β(x) ≥ 0 trên ∂Ω,

(loại Neumann hoặc Robin)

với ∂/∂ν là ký hiệu đạo hàm theo hướng pháp tuyến ngoài trên ∂Ω.
Tác giả Wang đã sử dụng phương pháp đơn điệu với nghiệm trên, nghiêm
dưới chỉ ra sự tồn tại nghiệm của bài toán. Tác giả cũng nghiên cứu sự hội tụ
của phương pháp đơn điệu, đánh giá sai số và phân tích tính ổn định của phương
pháp lặp đưa ra.
Với trường hợp đơn giản hơn của phương trình (3.4), xét bài toán
∆2 u = f (x, u, ∆u),

x ∈ Ω,
(3.5)

u = 0,

∆u = 0,

x ∈ Γ,

trong đó Ω là miền bị chặn đơn giản trong R2 , với biên trơn Γ, ∆ là toán tử
Laplace, ∂/∂ν ký hiệu đạo hàm theo hướng pháp tuyến ngoài Γ. Trường hợp đặc
biệt của phương trình (3.5), tức là, bài toán
∆2 u + c∆u = f (x, u),

x ∈ Ω,
(3.6)

u = 0,

∆u = 0,

x ∈ Γ,

đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả. Cần nhấn mạnh rằng các kết quả tồn tại
nghiệm của bài toán (3.6) trong cả hai trường hợp c = 0 và c = 0 đã được thiết
lập bởi phương pháp biến phân. Những kết quả này có tính chất lý thuyết thuần
túy và không có các thí dụ về sự tồn tại nghiệm.
Ngoài phương pháp biến phân nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán giá
trị biên phi tuyến còn có phương pháp hiệu quả khác thiết lập sự tồn tại và duy
nhất nghiệm. Đó là phương pháp nghiệm trên, nghiệm dưới. Phương pháp này
đã được Pao sử dụng với bài toán giá trị biên elliptic cấp bốn. Xét bài toán
∆(a(x)∆u) = f (x, u, ∆u),

x ∈ Ω,

∂(a∆u)
∂u
+ β1 (x)u = h1 (x), α2 (x)
+ β2 (x)(a∆u) = h2 (x),
α1 (x)
∂ν
∂ν

(3.7)
x∈Γ

bằng phương pháp nghiệm trên và dưới, Pao đã chứng minh sự tồn tại và duy
nhất nghiệm của bài toán với giả thiết hàm f (x, u, v) thỏa mãn điều kiện Lipschitz


14

theo u, v và đơn điệu theo u trong dải định nghĩa bởi nghiệm dưới và nghiệm trên
và một số điều kiện khác liên quan đến a(x) và các đạo hàm riêng của f (x, u, v).

3.2.

Nghiên cứu sự hội tụ của lời giải số

Để giải số bài toán (3.7), Pao (2011) đã đưa bài toán ban đầu về cặp bài
toán của u và v = −a∆u sau đó áp dụng xấp xỉ sai phân cho cặp bài toán này.
Một số sơ đồ lặp đơn điệu như Picard, Gauss-Seidel và lặp Jacobi đều hội tụ
đơn điệu tới nghiệm duy nhất của hệ các phương trình sai phân được đưa ra. Kỹ
thuật đơn điệu này được phát triển hơn trong các công trình của Wang trong

đó có một số thí dụ minh họa cho hiệu quả của sơ đồ lặp.
Khác với các phương pháp trên, năm 2016, tác giả Đặng Quang Á đã đề xuất
cách tiếp cận khác nghiên cứu tính giải được và nghiệm số của bài toán (3.5).
Cụ thể, tác giả đưa bài toán về phương trình toán tử đối với hàm vế phải và
chứng minh toán tử có tính chất co. Điều này đảm bảo sự tồn tại và duy nhất
nghiệm của bài toán và sự hội tụ của phương pháp lặp đề xuất. Phương pháp
lặp này đưa bài toán ban đầu về dãy các bài toán giá trị biên với phương trình
Poisson mà có thể dễ dàng giải bằng các thuật toán số hiệu quả sẵn có. Tính
ứng dụng của cách tiếp cận này và hiệu quả của phương pháp lặp được minh
họa qua một số thí dụ, trong đó chỉ ra lợi thế về tốc độ hội tụ của phương pháp
tác giả đưa ra so với các phương pháp gần đây của Wang.
Kết luận Chương 3

Trong chương 3, chúng tôi đã trình bày các phương pháp khá phổ biến nghiên
cứu định tính (sự tồn tại, duy nhất) nghiệm của phương trình đạo hàm riêng,
trong đó các vấn đề về tồn tại, duy nhất và tính dương của nghiệm được thiết
lập cho một số dạng phương trình phi tuyến cụ thể bằng các công cụ của giải
tích phi tuyến. Cách tiếp cận mới trong chương 2 cũng áp dụng thành công khi
nghiên cứu bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng. Trong đó, phương
pháp lặp tìm nghiệm cũng được chỉ ra và đánh giá sự hội tụ của phương pháp.


15

KẾT LUẬN CHUNG

Đề tài nghiên cứu một số phương pháp giải các bài toán biên đối với phương
trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng cấp bốn. Đặc biệt, bằng cách
tiếp cận khác đó là đưa bài toán ban đầu về phương trình toán tử đối với hàm
vế phải, xét trong miền giới nội, chúng tôi đã không cần đến các điều kiện tăng

trưởng tại vô cùng của hàm vế phải, điều kiện Nagumo... Các kết quả chính của
đề tài bao gồm:
• Thiết lập được sự tồn tại duy nhất nghiệm và một số tính chất đối với

nghiệm của bài toán dưới các điều kiện dễ kiểm tra.
• Xây dựng phương pháp lặp giải bài toán và chứng minh sự hội tụ của

phương pháp.
• Đưa ra một số ví dụ minh họa cho khả năng ứng dụng của các kết quả lý

thuyết.
Hướng phát triển
• Nghiên cứu giải bài toán biên phi tuyến đối với phương trình vi phân cấp

cao hơn với các điều kiện biên phong phú khác.
• Nghiên cứu giải bài toán biên phi tuyến đối với phương trình đạo hàm

riêng cấp bốn và cấp cao hơn với một số loại điều kiện biên.
• Ứng dụng các phương pháp đối với một số mô hình bài toán cơ học và vật

lý.