Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG_1

BÀI TẬP ĐẠI SỐ - BDHSG 8
(Chia hết:Số nguyên và đa thức)
1/ Cho đa thức P(x) =
4 3 2
2 7 2 13 6x x x x− − + +
a) Phân tích P(x) thành nhân tử.
b) CMR
( )
6P x M
với mọi
x Z
∈
.
2/ a) Cho
2
3 2
4 4
2 4 8
a a
A
a a a
+ +
=
+ − −
. b) Cho B =
3 2
3 2
2 1
2 2 1
n n
n n n

+ −
+ + +

1. Rút gọn A . 1. Rút gọn B.
2.Tìm
a Z
∈
để A là số nguyên. 2. Tìm
n Z
∈
để B là số nguyên.
3/ Tìm số tự nhiên n để n
3
-3n
2
- 3n -1 chia hết cho n
2
+n + 1.
4/ Tìm số dư trong phép chia của biểu thức
( ) ( ) ( ) ( )
1 3 5 7 2002x x x x+ + + + +
cho
2
8 12x x+ +
.
5/ Cho x, y, z là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR:
a)
( )
2
2 2 2 2 2

4 0x y x y z− + − 〉
. c)
2
a b c
b c c a a b
+ + 〈
+ + +
.
b)
2 2 2 2 2 2 3 3 3
0x y y z z x zx yz xy x y z+ + + + + − − − 〉
.
6/ a) CMR:
3 2
( 11 6 6) 6a a a+ − − M
với
a Z
∈
.
b)CMR: Tổng lập phương 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 9.
7/ Cho a, b là 2 số nguyên. CMR:
a) Nếu a chia cho 13 dư 2 và b chia cho 13 dư 3 thì a
2
+ b
2
chia hết cho 13.
b) 10a
2
+ 5b
2

+12ab + 4a – 6b +13
≥
0. Dấu “=” xảy ra khi nào?
8) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR:
a)
( )
2 2 2
2ab bc ca a b c ab bc ca+ + ≤ + + 〈 + +
.
b) Nếu
( ) ( )
2
3a b c ab bc ca+ + = + +
thì tam giác đó là tam giác đều.
9/ Xác định đa thức bậc ba sao cho khi chia đa thức ấy lần lượt cho các nhị thức ( x -1), (x – 2), (x
– 3) đều có số dư là 6 và tại x = - 1 thì đa thức nhận giá trị tương ứng là – 18.
10/ CMR:a) 21
30
+ 39
21
chia hết cho 45.
b) 8351
634
+ 8241
142
chia hết cho 26.
11/ Cho biểu thức:
4 3
4 3 2
1

2 1
x x x
A
x x x x
+ + +
=
− + − +
.
a) Rút gọn A.
b) Chứng tỏ rằng A không âm với mọi giá tri của x.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị tương ứng của x khi đó.
12/ Tìm số có 2 chữ số mà bình phương của nó bằng lập phương của tổng các chữ số của nó.
13/ Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp, biết tích của chúng là 57120.
14/ CMR: A = n
8
+ 4n
7
+ 6n
6
+ 4n
5
+n
4
chia hết cho 16 với mọi n là số nguyên.
15/ CMR: Với mọi n
∈
Z, n chẵn, ta có số n
3
+ 20n luôn chia hết cho 48.
16/ Cho A(x) = 8x

2
– 26x + m và B(x) = 2x – 3. Tìm m để A(x) chia hết cho B(x).
17/ Cho đa thức bậc 2: P(x) = ax
2
+ bx + c . Tìm a, b, c biết P(0) = 26; P(1) = 3; P(2) = 2000.
18/ CMR: a) 11
10
– 1 chia hết cho 100.
b) 9.10
n
+18 chia hết cho 27.
c) 16
n
– 15n – 1 chia hết cho 225.
19/ CMR: x
3
+ y
3
– z
3
+ 3xyz chia hết cho x + y – z . Tìm thương của phép chia.
20/ CMR: a) Đa thức x
2001
+ x
2000
+…+ x + 1 chia hết cho đa thức x
181
+ x
180
+ … + x + 1.

b)Đa thức x
9999
+ x
8888
+ x
7777
+ … + x
1111
+ 1 chia hết cho đa thức x
9
+ x
8
+ … + x + 1.
21/ Xác định giá trị của a và b để: 6x
4
– 7x
3
+ ax
2
+ 3x +2 chia hết cho đa thức x
2
– x + b.