Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LÊ THỊ HỒNG HẠNH

BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LÊ THỊ HỒNG HẠNH

BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
GS.TS. Nguyễn Năng Tâm

HÀ NỘI, 2016

Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Tác giả chân thành cảm ơn PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm đã tận tình
hướng dẫn tác giả trong quá trình thực hiện luận văn này.
Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học và các thầy,
cô trong Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã quan tâm
giúp đỡ trong quá trình học tập tại trường.
Tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp ở
Khoa Khoa học cơ bản Trường Cao đẳng Công Nghiệp Hóa Chất đã
tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả.
Phú Thọ, ngày 10 tháng 11 năm 2016
Tác giả luận văn

Lê Thị Hồng Hạnh

i


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Năng
Tâm, luận văn “Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian
Hilbert” được hoàn thành không trùng với bất kỳ công trình khoa học
nào khác.
Trong quá trình hoàn thành luận văn, tôi đã thừa kế những thành tựu
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Phú Thọ, ngày 10 tháng 11 năm 2016
Tác giả luận văn

Lê Thị Hồng Hạnh

ii


Mục lục

Lời cảm ơn

i

Lời cam đoan

ii

MỞ ĐẦU

1

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3. Một số toán tử đặc biệt trong không gian Hilbert . . .

11

1.3.1. Toán tử liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.2. Toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.3. Toán tử chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.3.4. Toán tử đẳng cự . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.4. Bài toán tối ưu trong không gian Hilbert . . . . . . . .

16

iii


2 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert

19

2.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2. Một số định lý về tồn tại nghiệm. . . . . . . . . . . . .

23

2.3. Một số phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến
phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.3.1. Phương pháp nhân tử Lagrange. . . . . . . . . .

33

2.3.2. Thuật toán hiệu chỉnh Tikhonov

. . . . . . . .

35

2.3.3. Thuật toán điểm gần kề . . . . . . . . . . . . .

43

Kết luận

51

Tài liệu tham khảo

52

iv


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bài toán Bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality Problem)
ra đời vào những năm 1960, gắn liền với các công trình của G. Stampacchia, J. L. Lion và G. Fichera, xem [7, 8] và các tài liệu được trích
dẫn trong đó. Hiện nay, bài toán bất đẳng thức biến phân đã được
phát triển thành nhiều dạng khác nhau, chẳng hạn: bất đẳng thức
biến phân véctơ, tựa bất đẳng thức biến phân, giả bất đẳng thức biến
phân, bất đẳng thức biến phân ẩn, bất đẳng thức biến phân suy rộng,
...
Bất đẳng thức biến phân thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà
toán học vì các mô hình của nó chứa nhiều bài toán quan trọng của
một số lĩnh vực khác nhau trong toán học như là trường hợp riêng, ví
dụ: tối ưu hóa, lý thuyết trò chơi, cân bằng Nash, cân bằng mạng giao
thông, ...
Sau khi học và nghiên cứu các môn Giải tích hàm, Bất đẳng thức biến
phân, Lý thuyết tối ưu . . . và với mong muốn hiểu biết sâu hơn về Bất
đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert tôi đã lựa chọn đề tài:
“Bài toán Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert.”
2. Mục đích nghiên cứu

1

Mục đích của luận văn là nghiên cứu về Bất đẳng thức biến phân trong
không gian Hilbert và một số phương pháp giải bài toán Bất đẳng thức
biến phân trong không gian Hilbert.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số kiến thức cơ bản về không gian Hilbert, một số
toán tử đặc biệt và bài toán tối ưu trong không gian Hilbert.
Nghiên cứu về Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert và
một số phương pháp giải bài toán Bất đẳng thức biến phân trong
không gian Hilbert. Luận văn này trình bày một số khái niệm và kết
quả liên quan đến Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert.
Luận văn nghiên cứu 2 nội dung.
Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho việc trình
bày các kết quả chính trong chương tiếp theo. Mục 1.1 trình bày khái
niệm không gian Hilbert. Mục 1.2 trình bày các kiến thức cơ bản về
tập lồi và hàm lồi. Mục 1.3 trình bày một số toán tử đặc biệt trong
không gian Hilbert. Mục 1.4 giới thiệu về bài toán tối ưu trong không
gian Hilbert.
Chương 2 trình bày một số kết quả về tồn tại nghiệm và một số thuật
toán để giải bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert.
Mục 2.1 trình bày định nghĩa và các ví dụ về bất đẳng thức biến phân
không gian Hilbert. Mục 2.2 trình bày một số định lý về sự tồn tại

2


nghiệm của bài toán này. Mục 2.3 trình bày một số thuật toán để
giải bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert gồm:

phương pháp nhân tử Lagrange, thuật toán hiệu chỉnh Tikhonov, thuật
toán điểm gần kề. Các kết quả chính trong chương này được trình bày
dựa trên cuốn chuyên khảo [7] và bài báo [10].

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu không
gian Hilbert và bài toán Bất đẳng thức biến phân trong không gian
Hilbert.

5. Phương pháp nghiên cứu
Tra cứu, tổng hợp tài liệu tham khảo.

3


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần
thiết cho việc trình bày các kết quả chính trong Chương 2. Mục 1.1
trình bày khái niệm không gian Hilbert. Mục 1.2 trình bày các kiến
thức cơ bản về tập lồi và hàm lồi. Mục 1.3 trình bày một số toán tử
đặc biệt trong không gian Hilbert. Mục 1.4 giới thiệu về bài toán tối
ưu trong không gian Hilbert.

1.1.

Không gian Hilbert

Cho H là không gian véctơ trên trường số thực R.
Định nghĩa 1.1. Một ánh xạ

·, · : H × H → R
(x, y) → x, y

4


được gọi là một tích vô hướng trên H nếu với mọi x, y, z ∈ R và α ∈ N
ta luôn có:
(i) x, y = y, x ;
(ii) αx, y = α x, y ;
(iii) x, y + z = x, y + x, z ;
(iv) x, x ≥ 0,

x, x = 0 khi và chỉ khi x = 0.

Số x, y được gọi là tích vô hướng của x và y. Không gian véctơ H
cùng với một tích vô hướng xác định trên nó được gọi là không gian có
tích vô hướng hay còn gọi là không gian tiền Hilbert và thường được
viết là (H, ·, · ).
Mệnh đề 1.1. Cho (H, ·, · ) là một không gian tiền Hilbert. Khi đó
công thức
x, x

x :=
xác định một chuẩn trên H.

Định nghĩa 1.2. Nếu không gian có tích vô hướng (H, ·, · ) với chuẩn
xác định như trên là một không gian đủ thì ta gọi (H, ·, · ) là một
không gian Hilbert và ký hiệu đơn giản là H.
Ta gọi số chiều của H là số chiều của không gian Hilbert H, ký hiệu

dim H. Nếu dim H < ∞ thì ta nói H là hữu hạn chiều, trái lại ta nói
H là vô hạn chiều.
Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H
là không gian Hilbert con của không gian H.
5


Ví dụ 1.1. Lấy H = Rn , với x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ H
biểu thức

n

x, y :=

xi yi
i=1

xác định một tích vô hướng trên không gian Rn và với chuẩn
x :=

x, x .

Khi đó Rn trở thành không gian Hilbert hữu hạn chiều.
Ví dụ 1.2. Ký hiệu l2 là không gian véctơ các dãy số x = (xn ) sao
∞

|xn |2 hội tụ ∀x = (xn ) ∈ l2 , ∀y = (yn ) ∈ l2 ta đặt

cho chuỗi số
n=1

∞

x, y :=

xn yn .

(1.1)

n=1

Dễ dàng thấy hệ thức (1.1) thỏa mãn các điều kiện tích vô hướng.
Không gian l2 với chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng (1.1)
∞

|xn |2 , x = (xn ) ∈ l2

x =
n=1

là một không gian đủ và không gian véctơ l2 cùng với tích vô hướng
(1.1) là một không gian Hilbert.
Định lý 1.1. (Bất đẳng thức Cauchy- Schawatz) Cho H là không gian
tiền Hilbert. Ta luôn có bất đẳng thức sau:
| x, y | ≤ x . y

∀x, y ∈ H.

Định lý 1.2. Cho H là không gian Hilbert. Khi đó, ·, · : H × H → R
là một hàm liên tục (theo cả hai biến).

6


Định nghĩa 1.3. Cho không gian Hilbert H, x, y ∈ H và tập con
M ⊂ H, M = ∅. Ta nói:
Phần tử x gọi là trực giao với phần tử y và viết là x⊥y nếu x, y = 0.
Phần tử x ∈ H gọi là trực giao với tập M , nếu x⊥y (∀y ∈ M ) và ký
hiệu x⊥M.
Từ định nghĩa ta có thể suy ra tính chất đơn giản sau:
1. 0⊥ x ∀x ∈ X;
2. x⊥y ⇒ y⊥x;
3. x⊥{y1 , y2 , . . . , yn } ⇒ x⊥(α1 y1 + α2 y2 + . . . + αn yn ), n ∈ N∗ , với mọi
αi ∈ R, i = 1, . . . , n;
4. x⊥yn với mọi n ∈ N và yn → y khi n → ∞ thì x⊥y.
Định nghĩa 1.4. Cho H là không gian Hilbert, tập M ⊂ H. Phần bù
trực giao của M , kí hiệu là
M ⊥ := {x ∈ H : x⊥y, ∀y ∈ M }.

1.2.

Tập lồi

Định nghĩa 1.5. Cho hai điểm a, b ∈ H.
(i) Một đường thẳng đi qua a, b là tập hợp có dạng:
{x ∈ H : x = αa + βb, α, β ∈ R, α + β = 1}.

7


(ii) Đoạn thẳng nối hai điểm a, b trong H có dạng:

{x ∈ H : x = αa + βb, α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1}.
Định nghĩa 1.6. Một tập D được gọi là tập affin nếu D chứa đường
thẳng đi qua hai điểm bất kỳ x, y ∈ D, tức là
∀x, y ∈ D, ∀λ ∈ R ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ D.
Mệnh đề 1.2. Tập D = ∅ là tập affin khi và chỉ khi nó có dạng
D = M + a với M là một không gian con của H và a ∈ H. Không gian
M được xác định duy nhất và được gọi là không gian con song song
của D.
Định nghĩa 1.7. Thứ nguyên (hay chiều) của một tập affin D là thứ
nguyên của không gian con song song với D và được ký hiệu là dim D.
Định nghĩa 1.8. Siêu phẳng trong không gian H là một tập hợp các
điểm có dạng
{x ∈ H : aT x = α},
trong đó a ∈ H là một véctơ khác 0 và α ∈ R.
Định nghĩa 1.9. Cho a ∈ H là một véctơ khác véctơ không và α ∈ R.
Tập {x : aT x ≥ α} gọi là nửa không gian đóng.
Định nghĩa 1.10. Một tập D được gọi là tập lồi nếu với mọi a, b ∈ D
và mọi λ ∈ [0; 1], ta có :
λa + (1 − λ)b ∈ D.
8


Ví dụ 1.3. Tập rỗng là tập lồi.
+ Toàn bộ không gian là tập lồi.
+ Các không gian con là các tập lồi.
+ Các tam giác, hình tròn trong mặt phẳng là các tập lồi.
+ Quả cầu C = {x | x ≤ 1} là tập lồi.
Định lý 1.3. Tập lồi đóng với phép giao, phép cộng, phép nhân với một
số thực; tức là nếu C và D là hai tập lồi trong H thì C ∩ D, λC + βD
cũng là các tập lồi.

Định nghĩa 1.11. Ta nói x là tổ hợp lồi của các điểm (véctơ) x1 , . . . , xk
nếu

k

k

λj xj , λj ≥ 0 (j = 1, . . . , k),

x=
j=1

λj = 1.
j=1

Mệnh đề 1.3. Tập hợp D là lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi
của các điểm của nó; tức là D lồi khi và chỉ khi
k

∀k ∈ R, ∀λ1, , . . . , λk ∈ D ⇒

λj xj ∈ D.
j=1

Định nghĩa 1.12. Một tập được gọi là tập lồi đa diện nếu nó là giao
hữu hạn các nửa không gian đóng.
Như vậy, theo định nghĩa tập lồi đa diện là tập nghiệm của một hệ
hữu hạn các bất phương trình tuyến tính. Dạng tường minh của tập
lồi đa diện được cho như sau:
C := {x ∈ H | aj , x ≤ bj , j ∈ I, |I| < +∞}.

9


Định nghĩa 1.13. Một tập C ⊂ H được gọi là nón nếu
∀x ∈ C, ∀λ ≥ 0 ⇒ λx ∈ C.
Một nón được gọi là nón lồi nếu nó là nón và là một tập lồi.
Định nghĩa 1.14. Cho D là một tập lồi và f : D → R ∪ {+∞}. Hàm
f được gọi là lồi trên D nếu
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ D, 0 < λ < 1;
lồi chặt nếu
f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ D, 0 < λ < 1.
Hàm f lõm (lõm chặt) nếu −f là lồi (lồi chặt).
Ví dụ 1.4. Các hàm sau đây đều lồi:
1. Hàm a-phin. f (x) := aT x + a, trong đó a ∈ H, α ∈ R.
2. Hàm tựa. Hàm dưới đây được gọi là hàm tựa của một tập lồi C tại
y:
sC (y) := sup y, x .
x∈C

3. Hàm khoảng cách. Cho C là lồi đóng, hàm khoảng cách từ điểm x
đến tập C được định nghĩa bởi
dC (x) := min x − y .
y∈C

4. Hàm chuẩn:
f (x) := x = (x21 + . . . + x2n )1/2 .
10


Định lý 1.4. Cho f và g là hai hàm lồi trên tập lồi C và D tương

ứng. Khi đó, với mọi α, β ≥ 0 các hàm số αf + βg, max{f, g} cũng
lồi trên C ∩ D.
Một hàm lồi có thể không liên tục tại một điểm trên biên miền xác
định của nó, tuy nhiên nó liên tục tại mọi điểm trong tập đó.
Định lý 1.5. Một hàm lồi f xác định trên tập lồi D thì f liên tục tại
mọi điểm trong của D.

1.3.

Một số toán tử đặc biệt trong không gian
Hilbert

1.3.1.

Toán tử liên tục

Định nghĩa 1.15. Giả sử H và H là hai không gian Hilbert. Ánh xạ
A : H → H được gọi là một ánh xạ tuyến tính, hoặc là toán tử tuyến
tính, hay gọi tắt là toán tử nếu:
1, (∀x, y ∈ H) : A(x + y) = Ax + Ay;
2, (∀x ∈ H)(∀α ∈ R) : A(αx) = αAx.
Cho một toán tử A.
Tập {Ax | x ∈ H} gọi là ảnh của A và ký hiệu là R(A) hoặc RanA.
Tập {x ∈ H | Ax = 0} được gọi là hạt nhân của A và ký hiệu là N (A)
hoặc KerA.
11


Định nghĩa 1.16. Cho H và H là hai không gian Hilbert. Toán tử
tuyến tính A : H → H được gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số α ≥ 0

sao cho
Ax ≤ α x

∀x ∈ X.

(1.2)

Định nghĩa 1.17. Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian
Hilbert H vào không gian Hilbert H . Hằng số α ≥ 0 nhỏ nhất thỏa
mãn hệ thức (1.2) gọi là chuẩn của toán tử A và ký hiệu là A .
Từ định nghĩa dễ thấy chuẩn của toán tử có các tính chất:
1. (∀x ∈ H) Ax ≤ A x ;
2. (∀ε > 0)(∃xε ∈ H) sao cho ( A − ε) xε < Axε .
Định lý 1.6. Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian Hilbert H vào
không gian Hilbert H . Các mệnh đề sau là tương đương:
(i) A liên tục;
(ii) A liên tục tại mọi điểm x0 ∈ H;
(iii) A liên tục tại 0;
(iv) A bị chặn.
Định lý 1.7. Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian Hilbert H vào
không gian Hilbert H . Nếu toán tử A liên tục thì
A = sup Ax
x ≤1

hoặc là,
A = sup Ax .
x =1

12

Định nghĩa 1.18. Giả sử H không gian Hilbert và A : H → H là
toán tử tuyến tính. Véc tơ x = 0 được gọi là véctơ riêng của A ứng với
giá trị riêng λ, nếu
Ax = λx,
hay là
(A − λI)x = 0.
Định nghĩa 1.19. Giả sử A là toán tử tuyến tính bị chặn trong không
gian Hilbert H. Số λ được gọi là thuộc phổ của A hay một giá trị phổ
của A nếu không tồn tại toán tử ngược bị chặn (A − λI)−1 . Tập tất
cả các giá trị phổ của A được gọi là phổ của A, ký hiệu là σ(A).
Định nghĩa 1.20. Toán tử tuyến tính liên tục A : H → H được gọi
là toán tử eliptic, nếu tồn tại α > 0 sao cho Ax, x ≥ α x 2 , ∀x ∈ H.

1.3.2.

Toán tử liên hợp

Định nghĩa 1.21. Cho toán tử tuyến tính bị chặn A từ không gian
Hilbert H vào không gian Hilbert H . Toán tử B từ không gian Hilbert
H vào không gian Hilbert H gọi là toán tử liên hợp với toán tử A,
nếu
Ax, y = x, By , ∀x ∈ H, ∀y ∈ H .
Toán tử liên hợp B được ký hiệu là A∗ .

13


Định nghĩa 1.22. Toán tử tuyến tính bị chặn A từ không gian Hilbert
H vào chính nó gọi là tự liên hợp nếu

Ax, y = x, Ay , ∀x, y ∈ H.
Toán tử tự liên hợp còn gọi là toán tử đối xứng.
Định lý 1.8. Giả sử A là toán tử tuyến tính liên tục trong không gian
Hilbert phức H. Khi đó, A tự liên hợp khi và chỉ khi (∀x ∈ H) Ax, x
là số thực.
Hệ quả 1.1. Giả sử A là toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert
H. Khi đó, mọi giá trị riêng λ của A là số thực.
Định lý 1.9. Cho toán tử tuyến tính bị chặn A từ không gian Hilbert
H vào không gian Hilbert H . Khi đó tồn tại toán tử A∗ liên hợp với
toán tử A từ không gian H vào không gian H.
Định lý 1.10. Cho toán tử tuyến tính bị chặn A từ không gian Hilbert
H vào không gian Hilbert H . Khi đó toán tử liên hợp A∗ với toán tử
A cũng là toán tử tuyến tính bị chặn và A∗ = A .
Định nghĩa 1.23. Cho A là toán tử tuyến tính liên tục từ không gian
Hilbert H vào không gian Hilbert H . Khi đó:
(i) Tập hợp
A−1 (0) = {x ∈ H : Ax = 0}
được gọi là không gian con của A và ký hiệu N (A).
(ii) Tập hợp
A(X) = {y ∈ H : y = Ax, x ∈ H}
14


được gọi là miền giá trị của A và ký hiệu R(A).
Định lý 1.11. Giả sử H và H là các không gian Hilbert. A : H → H
là toán tử tuyến tính liên tục. Khi đó,
H = N (A) ⊕ R(A∗ ), H = N (A∗ ) ⊕ R(A).
Với A ⊕ B là tổng trực tiếp của A và B.

1.3.3.

Toán tử chiếu

Định lý 1.12. Cho M là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian
Hilbert H. Khi đó, với mỗi x ∈ H tồn tại duy nhất y ∈ M sao cho
x − y = inf{ x − z |z ∈ M }.
Ta ký hiệu d(x, M ) = inf{ x − z |z ∈ M }.
Định lý 1.13. Giả sử M là không gian con đóng của không gian
Hilbert H. Khi đó, với mỗi phần tử x ∈ H được biểu diễn một cách
duy nhất dưới dạng x = y + z, trong đó y ∈ M và z ∈ M ⊥ được gọi là
hình chiếu trực giao của x lên M .
Định nghĩa 1.24. Theo định lý trên, mọi x ∈ H đều biểu diễn được
duy nhất dưới dạng x = y + z với y ∈ M, z ∈ M ⊥ . Như vậy H =
M ⊕ M ⊥.
Ánh xạ P : H → M , xác định P (x) = y với x = y + z ∈ M ⊕ M ⊥ ,
được gọi là phép chiếu trực giao từ H lên M .

15


Định nghĩa 1.25. Phép chiếu trực giao P từ không gian Hilbert H
lên không gian con đóng M = {0} là một toán tử tuyến tính liên tục.

1.3.4.

Toán tử đẳng cự

Định nghĩa 1.26. Cho H và H là hai không gian Hilbert và toán tử
tuyến tính A : H → H sao cho Ax = x với ∀x ∈ H. Khi đó A
được gọi là toán tử đẳng cự.

Định nghĩa 1.27. Nếu A là toán tử đẳng cự và là toàn ánh thì A
được gọi là toán tử Unita.
Định lý 1.14. Cho H và H là hai không gian Hilbert và A : H → H
là toán tử tuyến tính. Lúc đó các mệnh đề sau là tương đương:
(i) A là toán tử đẳng cự;
(ii) A liên tục và A∗ · A = IX (IX là toán tử đồng nhất trong H);
(iii) A bảo toàn tích vô hướng: Ax1 , Ax2 = x1 , x2

1.4.

∀x1 , x2 ∈ H.

Bài toán tối ưu trong không gian Hilbert

Bài toán 1.1. Cho ϕ : H → R là hàm khả vi Fréchet trên tập mở Ω
chứa K. Xét bài toán :
(P )

min{ϕ(x) : x ∈ K}.

16

(1.3)


ϕ là hàm mục tiêu và K là tập ràng buộc.
Tập nghiệm của bài toán (P ) là
Sol(P ) := {¯
x ∈ K | ϕ(x) ≥ ϕ(¯
x), ∀x ∈ K}.

Tập nghiệm địa phương của bài toán (P ) là
Loc(P ) := {¯
x ∈ K | ∃ε > 0 sao cho ϕ(x) ≥ ϕ(¯
x), ∀x ∈ K ∩ B(¯
x, ε)}
Định lý 1.15. (Quy tắc Fermat) Nếu x¯ ∈ Loc(P ), thì
∇ϕ(¯
x), x − x¯ ≥ 0, ∀x ∈ K.

(1.4)

Ngược lại, nếu K, ϕ lồi và x¯ ∈ K thỏa (1.4) thì x¯ ∈ Sol(P ).
Chứng minh. (⇒) Do x¯ ∈ Sol(P ) nên tồn tại ε > 0 sao cho
ϕ(x) ≥ ϕ(¯
x), ∀x ∈ K ∩ B(¯
x, ε).
Lấy x ∈ K tùy ý, chọn t ∈ (0, 1) sao cho xt = x¯ + t(x − x¯) ∈ B(¯
x, ε).
Khi đó xt ∈ K ∩ B(¯
x, ε). Ta có
ϕ(xt ) ≥ ϕ(¯
x),
hay là
ϕ(¯
x + t(x − x¯)) − ϕ(¯
x) ≥ 0.
Chia hai vế của bất đẳng thức cho t > 0 ta thu được
ϕ(¯
x + t(x − x¯)) − ϕ(¯
x)

≥ 0.
t
Cho t ↓ 0 ta có
∇ϕ(¯
x), x − x¯) ≥ 0.
17


(⇐) Giả sử x¯ ∈ Kvà thỏa mãn (1.4). Lấy x ∈ K. Do tính lồi của K,
ta có xt = tx + (1 − t)¯
x ∈ K với t ∈ [0, 1].
Do ϕ là lồi nên
ϕ(xt ) ≤ tϕ(x) + (1 − t)ϕ(xt )
hay là
ϕ(xt ) − ϕ(¯
x)
≤ ϕ(x) − ϕ(¯
x).
t
Cho t ↓ 0 ta thu được
∇ϕ(¯
x), x − x¯) ≤ ϕ(x) − ϕ(¯
x).
Do (1.4) nên ϕ(x) − ϕ(¯
x) ≥ 0. Vì vậy, ϕ(x) ≥ ϕ(¯
x), ∀x ∈ K. Điều đó
có nghĩa là x¯ ∈ Sol(P ).

18

Chương 2
Bất đẳng thức biến phân trong
không gian Hilbert
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kết quả về sự tồn tại
nghiệm của các bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert. Sau đó,
chúng tôi trình bày một số phương pháp giải bài toán bất đẳng thức
biến phân như: Phương pháp nhân tử Lagrange, Thuật toán hiệu chỉnh
Tikhonov, Thuật toán điểm gần kề.

2.1.

Định nghĩa và ví dụ

Định nghĩa 2.1. [4] (Bất đẳng thức biến phân) Cho H là một không
gian Hilbert với tích vô hướng là ·, · và chuẩn tương ứng là · . Cho
K ⊂ H là một tập lồi đóng, khác rỗng và F : K → H.

19