Cấu trúc tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân Affine

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC




NGUYỄN QUANG NGỌC




CẤU TRÚC TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60. 46. 36





LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC




NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. TẠ DUY PHƢỢNG

Thái Nguyên - 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1
MỤC LỤC
Trang
Lời nói đầu
Chƣơng 1 Bất đẳng thức biến phân
§1 Bất đẳng thức biến phân và các bài toán liên quan
1.1 Bất đẳng thức biến phân
1.2 Bài toán tối ưu một mục tiêu
1.2.1 Tối ưu hàm một biến
1.2.2 Tối ưu hàm nhiều biến
1.3 Phương trình suy rộng
1.3.1 Hệ phương trình (hệ phương trình trong
n

)
1.3.2 Phương trình suy rộng
1.4 Bài toán bù
1.5 Phép chiếu
1.6 Điểm bất động
§2 Tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
§3 Bất đẳng thức biến phân véctơ
§4 Tính liên thông của tập nghiệm trong bài toán bất đẳng thức biến phân
véctơ

Chƣơng 2 Bất đẳng thức biến phân affine
§1 Bất đẳng thức biến phân affine
1.1 Bất đẳng thức biến phân affine………………………………………….
3-4
5
5
5
6
6
7
15
15
16
17
20
23
24
28

33
36
36
36
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2
1.2 Bất đẳng thức biến phân véctơ affine………………………… ……….
1.3 Bất đẳng thức biến phân véctơ affine yếu…………………….…… …
1.4 Bất đẳng thức biến phân affine phụ thuộc tham số……………………
§2 Tính bị chặn và tính liên thông của tập nghiệm và tập nghiệm yếu trong bài

toán bất đẳng thức biến phân vectơ affine……………………… ………
§3 Bài toán tối ưu đa mục tiêu phân thức tuyến tính và bài toán tối ưu đa mục
tiêu toàn phương lồi ……
3.1 Bài toán tối ưu véctơ……………………………………………………
3.2 Bài toán tối ưu vectơ phân thức tuyến tính (LFVOP)
3.3 Bài toán tối ưu véctơ hàm toàn phương lồi (QVOP)……………… …
§4 Một số ví dụ tính tập nghiệm trong bài toán tối ưu đa mục tiêu phân thức
tuyến tính
4.1 Thí dụ 1…………………………………………………………… ….
4.2 Thí dụ 2…………………………………………………………………
4.3 Thí dụ 3…………………………………………………………………
4.4 Thí dụ 4…………………………………………………………………
4.5 Thí dụ 5…………………………………………………………………
4.6 Thí dụ 6…………………………………………………………………
4.7 Thí dụ 7…………………………………………………………………
Kết luận
Tài liệu tham khảo

39
40
40

42

55
55
57
68

70

70
72
75
78
81
84
88
94
95
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

3
LỜI NÓI ĐẦU
Bản thân bất đẳng thức biến phân là một đối tượng toán học được nghiên cứu độc
lập. Hơn nữa, bất đẳng thức biến phân còn chứa đựng trong nó hoặc có liên quan đến
rất nhiều bài toán khác của toán học và của thực tế (bài toán tối ưu, bài toán bù, bài
toán cân bằng, hệ phương trình suy rộng, ), vì vậy nó thu hút sự quan tâm của nhiều
nhà toán học trên thế giới cũng như ở Việt Nam trong mấy chục năm qua. Một trong
những vấn đề cần trả lời khi nghiên cứu bất đẳng thức biến phân là vấn đề về sự tồn tại
nghiệm và các tính chất của tập nghiệm (tính đóng, tính compact, tính liên thông, tính
co rút, tính ổn định của tập nghiệm theo tham số, ).
Một trong những lớp bài toán bất đẳng thức biến phân được nghiên cứu nhiều nhất
là lớp bài toán bất đẳng thức biến phân affine. Tuy là lớp bài toán bất đẳng thức biến
phân đơn giản nhất, nhưng bất đẳng thức biến phân affine là một trong những lớp bài
toán có cấu trúc đặc thù và chứa một số lớp bài toán quan trọng (tối ưu véc tơ hàm
phân thức tuyến tính, tối ưu hàm toàn phương, ). Nghiên cứu bất đẳng thức biến phân
affine cũng làm sáng tỏ nhiều vấn đề của bất đẳng thức biến phân tổng quát.
Luận văn này cố gắng trình bày một số khái niệm và kết quả liên quan đến sự tồn
tại và tính chất tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân, đặc biệt là bất đẳng thức biến
phân affine.

Luận văn gồm hai Chương.
Mục 1 của Chương 1 trình bày bài toán bất đẳng thức biến phân và các bài toán liên quan.
Mục 2 của Chương 1 trình bày sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân.
Mục 3 của Chương 1 trình bày bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ.
Mục 4 của Chương 1trình bày tính liên thông của tập nghiệm trong bài toán bất đẳng
thức biến phân véctơ.
Chương 2 trình bày hai lớp bất đẳng thức biến phân affine cụ thể.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4
Mục 1 Trình bày định nghĩa và một số định lý về bài toán bất đẳng thức biến phân
affine,véctơ affine,véctơ affine yếu và bất đẳng thức biến phân affine phụ thuộc tham số
Mục 2 Nói về tính bị chặn và liên thông của tập nghiệm và tập nghiệm yếu trong bài
toán bất đẳng thức biến phân véctơ affine
Mục 3 Trình bày bài toán tối ưu đa mục tiêu phân thức tuyến tính và bài toán tối ưu đa
mục tiêu toàn phương lồi
Mục 4 Tính toán một số thí dụ cho bài toán tối ưu đa mục tiêu phân thức tuyến tính
bằng cách đưa về bài toán bất đẳng thức biến phân affine
Các thí dụ trong [8] , [11] và [16] về tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến
phân affine được tính toán chi tiết và trình bày tường minh. Một số thí dụ trước đây
được tính toán dựa theo điều kiện cần và đủ tối ưu (tiêu chuẩn Malivert) trong bài toán
tối ưu đa mục tiêu hàm phân thức tuyến tính. Ở đây chúng tôi trình bày tính toán theo
điều kiện cần và đủ để một điểm là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân affine.
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái
Nguyên, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Tạ Duy Phượng- Viện Toán học. Thông qua
luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới Thầy hướng dẫn, người tận tình chỉ bảo và giúp
đỡ tôi hoàn thành luận văn. Tôi xin cảm ơn Khoa sau đại học, Đại học Khoa học – Đại
học Thái Nguyên, tập thể lớp Cao học Toán K2, bạn bè, và đồng nghiệp về sự quan tâm
giúp đỡ trong quá trình tôi thực hiện luận văn này. Và cuối cùng, xin cảm ơn Gia đình,
vợ và các con đã giúp đỡ, động viên và khích lệ tôi rất nhiều trong thời gian nghiên cứu

học tập.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

5
CHƢƠNG I. BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
§1 BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ CÁC BÀI TOÁN
LIÊN QUAN
1.1 Bất đẳng thức biến phân
Định nghĩa 1.1. Cho
:
nn
F 
là một ánh xạ từ
n

vào
n

và
K
là một tập
nào đó trong
.
n

Bài toán bất đẳng thức biến phân (variational inequality, viết tắt là
VI) được phát biểu như sau.
Tìm
xK



sao cho
 
, 0, .F x x x x K

   
(1.1)
Bất đẳng thức (1.1) cũng thường được viết dưới dạng
   
0, ,
T
F x x x x K

   
(1.1’)
trong đó
,ab
kí hiệu là tích vô hướng của hai véctơ
a
và
b
trong không gian
n

,
còn
T
A
và

T
x
là chuyển vị của ma trận
A
và véctơ
.x
Ta luôn qui uớc véctơ
n
x

là véctơ cột.
Bài toán bất đẳng thức biến phân được xác định bởi ánh xạ
F
và tập
,K
vì vậy, khi
cần làm rõ, ta kí hiệu bài toán bất đẳng thức biến phân là
 
VI , .FK

Các điểm
xK


thỏa mãn (1.1) được gọi là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.1)
hay điểm dừng của ánh xạ
.F
Tập tất cả các điểm
xK



thỏa mãn (1.1) được gọi là
tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.1).
Tập tất cả các nghiệm của bất đẳng thức biến phân được kí hiệu là
 
Sol VI
hoặc
 
 
Sol VI , .FK

Kí hiệu
 
; 0 .
nn
xx

  
Khi ấy
 
; 0 .
nn
xx

   

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

6
Vậy bất đẳng thức

 
, 0,F x x x x K

   
có thể viết dưới dạng
 
( ), \ 0 .F x x x


 

Ngôn ngữ bất đẳng thức biến phân khá thuận tiện, nó có thể thống nhất được nhiều bài
toán, thí dụ, bài toán tối ưu, bài toán cân bằng, phương trình suy rộng… Dưới đây
chúng ta sẽ xét mối liên quan giữa bài toán bất đẳng thức biến phân và các bài toán
khác.
1.2 Bài toán tối ƣu một mục tiêu
1.2.1 Tối ƣu hàm một biến
Trước tiên ta xét hàm một biến nhận giá trị trong
.

Cho
 
:;f a b  
là một hàm số khả vi trên
 
;,ab
nghĩa là tồn tại đạo hàm tại mọi
điểm
 
0

;x a b
và tồn tại đạo hàm từ bên phải
( ): lim ( )
xa
f a f x





và tồn tại đạo
hàm từ bên trái
( ): lim ( ).
xa
f a f x






Điểm
x

được gọi là điểm cực tiểu (điểm tối ưu) của
f
nếu
 
;
( ) min ( ).

x a b
f x f x




Kí hiệu
 
;
min ( )
x a b
fx

là giá trị cực tiểu của hàm số
f
trên
 
;.ab

Khi đó theo điều kiện cần cực trị Fermat ta có
 Nếu
 
;x a b


thì
( ) 0.fx




 Nếu
xa


thì
( ) 0.fa




 Nếu
xb


thì
( ) 0fb



.
Cả ba trường hợp này có thể viết gọn lại như sau.
Mệnh đề 1.1. Điểm
x

là điểm cực tiểu của
f
trên
 
;ab

thì
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

7
 
 
( ) 0, ; .f x x x x a b


   

Thí dụ 1.1
Cho hàm số
2
( ) 2 3.y f x x x   


a) Tìm
[ 2;2]
min ( )
x
fx


Trên đoạn
[ 2;2]
thì
[ 2;2]
min ( )
x

fx


1 25
48
f

   


và
1
0
4
f






b) Tìm
[1;5]
min ( )
x
fx


Trên đoạn
[1;5]

thì
[1;5]
min ( ) (1) 0
x
f x f


và
 
1 5 0f


.
c) Tìm
[ 4; 1]
min ( )
x
fx
  

Trên đoạn
[ 4; 1]
thì
[ 4; 1]
min ( ) ( 1) 2
x
f x f
  
   
và

 
1 3 0f

   
.
1.2.2 Tối ƣu hàm nhiều biến
Cho
:fK 
là một ánh xạ từ tập
n
K  
vào
,

1
( ) ( , , ).
n
f x f x x

Xét bài toán tối ưu: Tìm
 
min ( ): .f x x K
(1.2)
Định nghĩa 1.2. Nếu điểm
xK


được gọi là điểm cực tiểu địa phương của bài toán
tối ưu (1.1) nếu tồn tại một lân cận
()Ux


của điểm
x

sao cho
( ) ( )f x f x


với mọi
( ).x K U x



Giả sử
 
 
12
, , ,
n
f x f x x x
có đạo hàm riêng
()fx
12
( ) ( ) ( )
, , ,
n
f x f x f x
x x x

  


  


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

8
theo mọi biến tại mọi điểm
.
n
xK
Đặt
 
: ( ).F x f x
Khi ấy với mỗi
xK

thì
()
n
fx
hay
:.
n
FK 

Mệnh đề 1.2. Giả sử
n
K  
là một tập lồi, đóng, khác rỗng. Nếu

xK


là điểm
cực tiểu địa phương của bài toán tối ưu (1.2) trên
K
thì
 
, 0, .F x x x x K

   
(1.3)
Điều kiện (1.3) được gọi là điều kiện cần cực trị của bài toán tối ưu (1.2).
Chứng minh
Giả sử
xK


là điểm cực tiểu địa phương của
.f
Lấy bất kì một điểm
,xK

.xx


Do
K
là tập lồi nên đoạn thẳng
;xx




nằm trong
,K
tức là
 
 
: 0;1 .
t
x x t x x K t
 
     

Đặt
 
: 0;1uK
là hàm số xác định bởi
 
t
t u t x

Với mỗi
x
cố định ta xét hàm số
 
: 0;1

 
xác định bởi

    
 
 
 
.
t
t t f u t f x f x t x x


    

Khi đó

là hàm hợp của hai hàm khả vi
f
và
u
nên

cũng là hàm khả vi trên
 
0;1

và nếu
f
đạt cực tiểu tại
x

thì


đạt cực tiểu tại
0.t 
Theo điều kiện cần cực tiểu
cho bài toán tối ưu hàm một biến ta có
 
  
' 0 grad 0, .f x x x x K



    

Đặt
     
: grad .F x f x f x  
Khi đó
xK


là điểm cực tiểu của
f
thì
 
, 0, .F x x x x K

   

Mệnh đề chứng minh xong.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

9
Nhận xét 1.1. Như vậy, tập các điểm dừng của bài toán tối ưu (1.2) chính là nghiệm
của bài toán bất đẳng thức biến phân (1.1). Hơn nữa, theo Mệnh đề dưới đây, nếu
 
fx
là hàm lồi trên
K
thì ta có điều ngược lại.
Mệnh đề 1.3. Cho
K
là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong
.
n

Nếu
 
fx
là hàm lồi
khả vi trên
K
và
xK


là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (1.1) thì
x


cũng là nghiệm của bài toán tối ưu (1.2).
Chứng minh

Vì
 
fx
là hàm lồi trên
K
nên ta có
 
   
( ) , .
T
f x f x f x x x x K
  
     

Vì
xK


là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (1.1) nên ta có
 
( ) 0, .
T
f x x x x K

    

Suy ra
 
 
,f x f x x K


  
hay
x

là nghiệm của bài toán tối ưu (1.2).
Như vậy, trong trường hợp
 
fx
là hàm lồi khả vi trên
K
thì bài toán bất đẳng thức
biến phân (1.1) và bài toán tối ưu (1.2) là tương đương.
Dưới đây ta sẽ xét câu hỏi: Với điều kiện nào thì bài toán bất đẳng thức biến phân (1.1)
có thể đưa về bài toán tối ưu (1.2)?
Kí hiệu
 
,M n n
là tập hợp các ma trận vuông cấp
.n
Trước tiên ta đưa vào các định
nghĩa sau.
Định nghĩa 1.3. Ma trận
 
,A M n n
được gọi là nửa xác định dương trên
n

nếu nó thỏa mãn điều kiện
0x Ax



với mọi
.
n
x

Định nghĩa 1.4. Ma trận
 
,A M n n
được gọi là ma trận xác định dương trên
n

nếu nó thoả mãn các điều kiện sau
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

10
0
T
x Ax 

, 0.
n
xx  

Thí dụ 1.2
Ma trận
1 0 1
0 1 0
0 1 1

A






là ma trận xác định dương trên
3
.

Thật vậy
Xét
T
x Ax 

1
1 2 3 2
3
1 0 1
( , , ) 0 1 0
0 1 1
x
x x x x
x












1
1 2 3 1 3 2
3
( , , )
x
x x x x x x
x
  







2 2 2
1 2 2 3 1 3 3
x x x x x x x    

22
2
3 3 3
12
0.

2 2 2
x x x
xx
   
     
   
   

Với mọi
3
(0,0,0) .x 

Mặt khác
0
T
x Ax 
3
1
3
2
2
3
0
2
0
2
0
2
x
x

x
x
x





  







1
2
3
0
0
0
x
x
x











A
là ma trận xác định dương trên
3
.

Thí dụ 1.3
Ma trận
01
10
M





là ma trận nửa xác định dương trên
2
.

Thật vậy
1
12
2
01
( , )

10
T
x
x Mx x x
x









1
2 1 2 1 1 2
2
( , ) 0,
x
x x x x x x
x

     


2
.x

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

11
Ta có
0,
T
x Mx 

2
.x


M
là ma trận nửa xác định dương trên
2
.

Thí dụ 1.4
Ma trận
1 0 1
0 1 2
1 0 1
A







là ma trận nửa xác định dương trên
3

.

Thật vậy,

11
1 2 3 2 1 3 2 1 2 3 2
33
1 0 1
( , , ) 0 1 2 ( , , 2 )
1 0 1
T
xx
x Ax x x x x x x x x x x x
xx

   

   

     
   


   

   


2 2 2
1 1 3 2 1 3 2 3 3

2x x x x x x x x x     

2 2 2
1 2 2 3 3
2x x x x x   


 
2
2
1 2 3
0,x x x   

3
.x

Ta có
 
2
1
1
2
23
23
0
0
0
0
T
x

x
x Ax
xx
xx





  







Nghĩa là
33
0 (0, , ).
T
x Ax x x x   


A
là ma trận nửa xác định dương trên
3
.

Thí dụ 1.5

Ma trận
1 0 0 0
0 1 0 0
2 0 2 0
0 0 2 1
A







là ma trận nửa xác định dương trên
4
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

12
Thật vậy,
11
22
1 2 3 4 1 3 2 3 4 4
33
44
1 0 0 0
0 1 0 0
( , , , ) ( 2 , ,2 2 , )
2 0 2 0

0 0 2 1
T
xx
xx
x Ax x x x x x x x x x x
xx
xx
   

   

   

   
   

   


   

2 2 2 2
1 1 3 2 3 3 4 4
2 2 2x x x x x x x x     

 
2
22
1 3 2 3 4
( ) 0,x x x x x     

4
.x

Ta có
 
2
13
31
2
22
2
34
34
0
0 0 0
( ) 0
T
xx
xx
x Ax x x
xx
xx






    









Nghĩa là
1 1 1
0 ( ,0, , ).
T
x Ax x x x x   

Vậy
A
là ma trận nửa xác định dương trên
4
.

Định nghĩa 1.5. Ma trận
A
được gọi là xác định dương mạnh trên
n

nếu tồn
tại một số dương
0



sao cho
2
T
x Ax x


với mọi
.
n
x

Trong nhiều bài toán thực tế, ta phải xét trường hợp ma trận
()Av
phụ thuộc vào
v

trên một tâp
S
nào đó. Vì vậy định nghĩa ma trận xác định dương còn được mở rộng
hơn như sau.
Định nghĩa 1.3’. Ma trận vuông
n
chiều
 
( ) ( ) , , 1, ,
ij
A v a v i j n
phụ
thuộc vào
n

vS
được gọi là nửa xác định dương trên
S
nếu
( ) 0
T
x A v x 
với mọi
n
x
và với mọi
.vS

Ma trận
()Av
được gọi là xác định dương trên
S
nếu
( ) 0
T
x A v x 
với mọi
,
n
x

0x 
và với mọi
.vS

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

13
Ma trận
()Av
được gọi là xác định dương mạnh trên
S
nếu tồn tại một số dương
0


sao cho
2
()
T
x A v x x


với mọi
n
x
và với mọi
.vS

Vì ma trận
 
1
( ) ( )
2
T

M v M v
là một ma trận đối xứng nên giá trị riêng của nó là
những số thực. Kí hiệu
()v

là giá trị riêng nhỏ nhất của
 
1
( ) ( ) .
2
T
M v M v

Khi ấy
1) Ma trận
()Av
là nửa xác định dương trên
S
khi và chỉ khi
( ) 0v


với mọi
.vS

2) Ma trận
()Av
là xác định dương trên
S
khi và chỉ khi

( ) 0v


với mọi
.vS

3) Ma trận
()Av
là xác định dương mạnh trên
S
khi và chỉ khi
( ) 0v


với mọi
.vS

Ta đã biết rằng, nếu một hàm lồi hai lần khả vi trên tập lồi đóng
K
thì đạo hàm bậc hai
của nó là một ma trận đối xứng xác định dương. Định lí dưới đây chỉ ra rằng, điều
ngược lại cũng đúng: ―cho trước một ánh xạ
:
n
FK 
có đạo hàm là ma trận đối
xứng nửa xác định dương thì tồn tại một hàm lồi có đạo hàm bằng chính hàm
.F
‖
Định lí 1.1. Giả sử tập

n
K  
và
:
n
FK 
là hàm khả vi liên tục trên
K
và ma trận
Jacobian
()Fx
là đối xứng và nửa xác định dương trên
.K
Khi ấy tồn tại hàm lồi
:
n
f 
sao cho
( ) ( )f x F x
với mọi
xK
và nếu
xK


là nghiệm của bất
đẳng thức biến phân (1.1) thì
xK



là nghiệm của bài toán tối ưu (1.2).
Chứng minh
Do ma trận Jacobian
()Fx
là đối xứng trên
K
nên theo định lí Green ta có
( ) ( ) ,
T
f x F x dx

trong đó

là tích phân đường. Do
()Fx
là nửa xác định
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

14
dương trên
K
nên
()fx
là hàm lồi trên
.K
Kết luận của Định lí được suy ra từ Mệnh
đề 1.2.
Như vậy, bài toán tối ưu có thể đưa về bất đẳng thức biến phân. Ngược lại, bất đẳng
thức biến phân
VI( , )FK

cũng có thể phát biểu lại như một bài toán tối ưu lồi chỉ khi
điều kiện đối xứng và nửa xác định dương của ma trận
()Fx
được thỏa mãn. Điều
này nói lên rằng, bài toán bất đẳng thức biến phân nói chung rộng hơn bài toán tối ưu,
bởi vì nó chứa cả trường hợp hàm
()Fx
có ma trận Jacobian không đối xứng.
Nhận xét 1.2. Trong trường hợp
n
K  
thì ta có điều kiện cần cực trị cho bài toán
tối ưu không có hạn chế sau đây.
Hệ quả 1.1. Nếu
n
x


là điểm cực tiểu địa phương của bài toán (1.2) khi
n
K  

thì
 
0.Fx



Chứng minh
Giả sử

n
x


là điểm cực tiểu địa phương của bài toán (1.2) khi
n
K  
thì theo
Định lí 1.1 ta có
 
, 0, .
n
F x x x x

   

Thay
()x x F x


và
()x x F x


vào bất đẳng thức trên ta được
 
, ( ) 0F x F x


và

 
, ( ) 0,F x F x



hay
2
( ) ( ), ( ) 0.F x F x F x
  


Suy ra
( ) 0.Fx



Nhận xét 1.3. Hệ quả 1.1 vẫn đúng khi
int .xK


Thật vậy, ta có
Hệ quả 1.2. Nếu
intxK


là điểm cực tiểu địa phương của bài toán tối ưu (1.2) thì
 
0.Fx



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

15
Chứng minh
Giả sử
intxK


là điểm cực tiểu địa phương của bài toán tối ưu (1.2) thì theo Định lí
1.1 ta có
 
, 0, .F x x x x K

   

Do
intxK


nên tồn tại lân cận
()U x K


và số
0


sao cho
( ) ( )x x F x U x K


  
   
và
( ) ( ) .x x F x U x K

  
   

Thay
()x x F x



và
()x x F x



vào bất đẳng thức
 
,0F x x x



ta được
 
, ( ) 0F x F x




và
 
, ( ) 0,F x F x



hay
2
( ) ( ), ( ) 0.F x F x F x
  


Suy ra
( ) 0.Fx



1.3 Phƣơng trình suy rộng
1.3.1 Hệ phƣơng trình (phƣơng trình trong
n

)
Xét ánh xạ
:,
nn
F 
tức là
 
1

( ) , ,
n
F x F x x

Xét phương trình
( ) 0Fx
trong
n

(hệ
n
phương trình
n
ẩn)
 
 
11
1
, , 0;

, , 0.
n
nn
F x x
F x x








(1.4)
Dễ dàng thấy rằng
x

là nghiệm của phương trình (1.4) khi và chỉ khi
x

là nghiệm
của bất đẳng thức biến phân
VI( , ).
n
F 

Thật vậy, giả sử
x

là nghiệm của phương trình (1.4), tức là
( ) 0.Fx


Khi ấy ta có

 
, 0, .
n
F x x x x

   

Chứng tỏ
x

là nghiệm của bất đẳng thức biến phân
VI( , ).
n
F 

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

16
Ngược lại, nếu
x

là nghiệm của bất đẳng thức biến phân
VI( , )
n
F 
thì ta có
 
, 0, .
n
F x x x x

   
Chọn
()x x F x


ta được

   
,0F x F x



hay
     
2
, 0.F x F x F x
  
   

Suy ra
( ) 0Fx


hay
x

là nghiệm của phương trình (1.4).
1.3.2 Phƣơng trình suy rộng
Trong mục trên ta đã thấy, có thể coi nghiệm của bất đẳng thức biến phân
VI( , )
n
F 

như là nghiệm của (hệ) phương trình
( ) 0.Fx
Nhiều bài toán dẫn đến tìm nghiệm của
phương trình không nhất thiết là trên toàn không gian. Khi ấy ta có khái niệm phương

trình suy rộng sau đây.
Cho tập lồi đóng
n
K  
và ánh xạ
:.
n
FK 
Tìm điểm
n
x


thỏa mãn bao
hàm thức

0 ( ) ( ).
K
F x N x


(1.5)
Bao hàm thức (1.5) được gọi là phương trình suy rộng. Điểm
n
x


thỏa mãn bao
hàm thức (1.4) được gọi là nghiệm của phương trình suy rộng (1.5).
Ở đây

()
K
Nx


là nón pháp tuyến (normal cone)

của tập lồi
K

tại điểm
n
x


được xác định bởi công thức


 
**
, , 0 , ;
()
, .
n
K
x x x x x K x K
Nx
xK





     








Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

17
Nãn ph¸p tuyÕn
*
* *
F ( )
*
F ( )
TËp låi ®ãng K

Giả sử
 
 
Sol VI , ,x F K


tức là
( ), 0F x x x



với mọi
,xK
hay
( ), 0.F x x x

  
Chứng tỏ
( ) ( )
K
F x N x


hay
0 ( ) ( ).
K
F x N x



Chứng tỏ
x

là nghiệm của

phương trình suy rộng (1.5).
Ngược lại, nếu
x


là nghiệm của phương trình suy rộng (1.5) thì
xK


và
0 ( ) ( ),
K
F x N x


tức là
( ) ( )
K
F x N x


hay
( ), 0F x x x

  
với mọi
.xK
Suy ra
x

thỏa mãn bất đẳng thức biến phân (1.1).
Như vậy, về mặt hình học, bất đẳng thức biến phân (1.1) nói rằng, nếu
x

là nghiệm

của bất đẳng thức biến phân (1.1) thì véctơ
()Fx

phải ―vuông góc‖ với tập chấp nhận
được
K
theo nghĩa véctơ
()Fx


luôn tạo với véctơ
xx


một góc tù với mọi
,xK
hay
()Fx


phải nằm trong nón pháp tuyến của tập
K
tại điểm
.x


1.4 Bài toán bù
Bất đẳng thức biến phân cũng chứa bài toán bù như là trường hợp riêng khi tập lồi đóng
K
là một nón.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

18
Cho nón lồi đóng
n
K  
và ánh xạ
:.
n
FK 
Bài toán bù phi tuyến (nonlinear
complementary problem, viết tắt là NCP hoặc
NCP( )K
) được phát biểu như sau.
Tìm
n
x


thỏa mãn điều kiện
, ( ) , ( ), 0,x K F x K F x x
    
  
(1.6)
với
 
: , , 0
n
K v v x x K


    
được gọi là nón đối ngẫu dương của nón
.K

Mệnh đề 1.4. Giả sử
K
là nón lồi đóng. Khi ấy
n
x


là nghiệm của bài toán bất đẳng
thức biến phân
VI( , )FK
khi và chỉ khi nó là nghiệm của bài toán bù phi tuyến (1.6).
Chứng minh
Giả sử
xK


là nghiệm của bài toán (1.1), tức là
( ), 0F x x x


với mọi
.xK

Do
K
là nón lồi đóng nên với mọi

vK
ta có
.x v K


Thay
x
trong bất đẳng
thức
( ), 0F x x x


bởi
xv


ta được,
 
( ), 0F x x v x
  
  
hay
( ), 0F x v


đúng với mọi
.vK
Chứng tỏ
( ) .F x K




Mặt khác, cũng vì
K
là nón và
xK


nên
1
2
xK


và
2.xK


Thay
x
trong bất
đẳng thức
( ), 0F x x x


bởi
1
2
x


hoặc
2x

ta được,
1
( ), 0
2
F x x x
  

và
( ),2 0F x x x
  

hay
1
( ), 0
2
F x x


và
( ), 0.F x x


Chứng tỏ
( ), 0F x x


hay

xK


là nghiệm của bài toán bù phi tuyến (1.6).
Ngược lại, giả sử
xK


là nghiệm của bài toán bù phi tuyến (1.6). Khi ấy vì
()F x K


nên
( ), 0F x x


với mọi
xK
và
( ), 0.F x x


Suy ra
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

19
( ), ( ), ( ), ( ), 0F x x x F x x F x x F x x
     
    
với mọi

.xK
Chứng tỏ
xK


là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (1.1).
Trường hợp đặc biệt, khi
n
K

 
thì
.
n
K


 
Bài toán bù phi tuyến trở thành: Tìm
n
x



sao cho
()
n
Fx




và
( ), 0.F x x



Kí hiệu
 
1
, ,
T
n
n
x x x
  


và
   
 
1
( ) , , .
T
n
n
F x F x F x
  



Khi ấy đẳng thức
( ), 0F x x


trở thành
1
( ), ( ) 0.
n
ii
i
F x x F x x
   



Do
0
i
x



và
 
0
i
Fx


với mọi

1,2, ,in
nên đẳng thức
( ), 0F x x


tương đương với
( ) 0
ii
F x x


với mọi
1,2, , ,in
tức là tất cả các tọa độ của hai vectơ
x

và
()Fx


phải bù nhau (tích của chúng bằng 0, hay nếu đại lượng này khác không thì đại lượng
kia phải bằng không). Điều này giải thích tên gọi của bài toán bù.
Ta cũng có một chứng minh khác cho sự tương đương của bài toán bù và bài toán bất
đẳng thức biến phân khi
n
K

 
như sau.
Mệnh đề 1.4’. Giả sử

.
n
K

 
Khi ấy
n
x


là nghiệm của bài toán bất đẳng thức
biến phân
VI( , )
n
F


khi và chỉ khi nó là nghiệm của bài toán bù phi tuyến
NCP( ).
n



Chứng minh
Giả sử
n
x




là nghiệm của bài toán
VI( , ),
n
F


tức là
( ), 0F x x x


với mọi
.
n
x


Vì
n
x



nên
,
n
i
xe




trong đó
 
0, ,0,1,0, ,0
T
i
e 
(tọa độ thứ
i

bằng 1, tất cả các tọa độ khác bằng 0). Thay
n
i
x x e


  
vào bất đẳng thức
( ), 0,F x x x


ta được
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

20
     
1
( ), ( ), 0
n
i i i i
i

F x F x e F x x e x F x x x
      

      


với mọi
1, , .in
Vậy
( ) 0Fx


hay
 
.
n
Fx




Thay
2
n
xx



vào bất đẳng thức
( ), 0F x x x



ta được
( ), 0.F x x



Thay
0x 
vào bất đẳng thức
( ), 0F x x x


ta được
( ), 0.F x x


Vậy
( ), 0.F x x


Chứng tỏ
n
x



là nghiệm của bài toán bù
NCP( ).
n




Đảo lại, nếu
n
x



là nghiệm của bài toán bù phi tuyến
NCP( )
n


thì
( ), 0F x x


và
( ), 0F x x


với mọi
.
n
x


Suy ra
( ), ( ), ( ), ( ), 0F x x x F x x F x x F x x

     
    
với mọi
,
n
x


hay
n
x



là nghiệm của bất đẳng thức biến phân
( ), 0.F x x x



Mệnh đề được chứng minh.
1.5 Phép chiếu
Bổ đề 1.1. Giả sử
K
là một tập lồi đóng trong
.
n

Khi ấy với mỗi
n
x

tồn tại duy
nhất điểm
xK


sao cho
x x x y

  
với mọi
.yK

Điểm
x

được gọi là hình chiếu vuông góc của
x
trên
K
và kí hiệu
( ) argmin
K
yK
x P x x y


  
.
Chứng minh
Giả sử

n
x
là điểm cần tìm hình chiếu. Chọn một điểm bất kì
.wK
Kí hiệu
:r x w
và
( ): [ , ]B x B x r
là hình cầu đóng tâm
x
bán kính
.r
Giả sử
1
()K K B x
là giao của tập
K
với hình cầu đóng tâm
x
bán kính
.r
Do
K
là tập
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

21
lồi đóng nên
1
K

là tập lồi compact. Hàm
2
( ):g y x y
liên tục trên tập compact
1
K

nên theo định lí Vaierstrrass,
()gy
đạt cực tiểu trên
1
K
tại điểm
1
,xK


tức là
2
2
x x x y

  
hay
x x x y

  
với mọi
1
.yK

Do
x x x w r x z

     
với mọi
1
\z K K
nên
x

cũng là điểm cực tiểu của
hàm
2
()g y x y
trên
.K
Do
2
()g y x y
là hàm lồi chặt trên tập lồi
K
nên
cực tiểu
x

là duy nhất.

*
TËp låi ®ãng K
K ho¶ng c¸ ch min

*
Lµ h×nh chiÕu cña trªn tËp K

Định lí 1.2. Giả sử
K
là một tập lồi đóng trong
.
n

Khi ấy
()
K
x P x


khi và chỉ khi
,0x x y x

  
với mọi
yK
hay
,,x y x x y x
  
  
với mọi
.yK

Chứng minh
Nhắc lại rằng

()
K
x P x


là điểm cực tiểu của hàm
2
()g y x y
trên
.K
Từ điều
kiện cần tối ưu (1.3) suy ra
( ), 0, .g x y x y K

    

Vì
 
( ) 2g x x x

   
nên ta có
 
2 , 0,x x y x y K

     

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

22

hay
,0x x y x

  
với mọi
.yK



K
0
K
P
**
*
*
K
0
K
P
*
**
*
*
*
K
T
( ) ,
0,
*

*
ý nghÜa h×nh häc cña
Ví i
K
P
K
P
*
*
Vµ

Hệ quả 1.3. Giả sử
K
là một tập lồi đóng trong
.
n

Khi ấy phép chiếu
:
n
K
PK
là toán tử không giãn, tức là
( ) ( )
KK
P x P x x x

  
với mọi
,.

n
xx


(1.7)
Chứng minh
Giả sử
,,
n
xx



()
K
x P x


và
( ).
K
x P x




Từ Định lí 1.2 ta có
,0x x y x

  

và
,0x x y x

  
  
với mọi
.yK

Đặt
yx



trong bất đẳng thức
,0x x y x

  
và
yx


trong bất đẳng thức
,0x x y x

  
  
ta được:
,0x x x x
  


  
và
, 0.x x x x
  
  
  

Hay
,0x x x x
  

  
và
, 0.x x x x
  
  
  

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

23
Cộng hai bất đẳng thức trên ta được
 
 
,0x x x x x x
   
  
    
hay
, , .x x x x x x x x

     
   
    

Từ bất đẳng thức trên và bất đẳng thức Schwarz ta có
2
, , .x x x x x x x x x x x x x x
         
      
         

Vậy
( ) ( ) .
KK
P x P x x x

  

Bất đẳng thức (1.7) chứng minh xong.
Các tính chất của phép chiếu rất có lợi trong nghiên cứu định tính cũng như trong xây
dựng thuật toán khi nghiên cứu các bài toán thực tế.
1.6 Điểm bất động
Giả sử
I
là ánh xạ đồng nhất trên
n

, tức là
()I x x
với mọi

.
n
x

Quan hệ giữa Bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán tìm điểm bất động của một
ánh xạ
:T K K
được mô tả bởi định lí sau.
Định lí 1.3. Giả sử
K
là một tập lồi đóng trong
.
n

Khi ấy
xK


là nghiệm của
bài toán bất đẳng thức biến phân
VI( , )FK
khi và chỉ khi với mọi
0


điểm
x

là
điểm bất động của ánh xạ

( ): ,
K
P I F K K


tức là
( ( )) .
K
P x F x x

  





Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

24
§2 TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
Mệnh đề dưới đây chỉ ra rằng, nghiệm địa phương của bài toán
 
VI
cũng là nghiệm
toàn cục của bài toán này.
Kí hiệu
 
,Bx



là hình cầu đóng tâm
*
x
bán kính
.


Mệnh đề 1.5. Nếu
x


là nghiệm địa phương của bài toán
 
VI ,
tức là, nếu tồn tại
0


sao cho

( ), 0,F x y x



 
,,y B x


  

(1.8)
thì
Sol(VI).x



Chứng minh
Giả sử tồn tại một số
0


sao cho (1.8) được thỏa mãn.
Với mỗi
y
tồn tại
 
0;1t

để
: ( )
t
z x t y x

  

thuộc tập
 
.,Bx





Theo (1.8) ta có
 
0 ( ), ( ), ( ), .
t
F x z x F x t x t F x y xy
     
   

Suy ra
( ), 0,F x y x



.y 
Do vậy
Sol(VI).x



Định lí 1.4. (Hartman-Stampachia, xem [7], Định lý 3.1 chương1, trang 12)
Nếu
n

là tập lồi, compact, khác rỗng và
:
n
F 
là một ánh xạ liên tục thì

bài toán

(VI)
có nghiệm.
Định lý 1.4 được chứng minh nhờ định lí điểm bất động Brouwer.
Ta nhận thấy rằng Định lí 1.4 đòi hỏi tập

phải là tập compact. Điều này không phải
lúc nào cũng được thỏa mãn trong các bài toán thực tế. Với các điều kiện bức