Đáp Án Đề Thi HSG Tỉnh Nghệ An 08-09 ( Bảng A)

Sở Gd&Đt Nghệ an
Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS
Năm học 2008 - 2009
hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức
(Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang)
Môn: toán - bảng A
----------------------------------------------
CâuNội dungĐiểm14,5a/Cho A = k
4
+ 2k
3
- 16k
2
- 2k +15 với k Z
Vì k Z ta xét các trờng hợp:
TH1: k chẵn A = k
4
+ 2k
3
- 16k
2
- 2k +15 là một số lẻ
A không chia hết cho 2
A không chia hết cho 16 (loại) (1)
1,0
TH2: k lẻ, ta có:
A = k
4
+ 2k
3
- 16k

2
- 2k +15 = (k
2
- 1)(k
2
+ 2k - 15)
= (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5)
Do k lẻ k - 1; k + 1; k - 3; k + 5 đều chẵn
A = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5)
M
2.2.2.2 = 16 (thoả mãn) (2)
Từ (1) và (2)

với k Z mà k lẻ thì A luôn chia hết cho 161,0
0,5b/Đặt A = a
2
+ b
2
+ c
2
. Do tích a.b chẵn nên ta xét các trờng hợp sau:TH1: Trong 2 số
a, b có 1 số chẵn và 1 số lẻ.
Không mất tính tổng quát, giả sử a chẵn, b lẻ
a
2

M
4; b
2
: 4 d 1 a

2
+ b
2
: 4 d 1
a
2
+ b
2
= 4m + 1 (m N)
Chọn c = 2m a
2
+ b
2
+ c
2
= 4m
2
+ 4m + 1 = (2m + 1)
2
(thoả mãn) (1)1,0TH2: Cả 2 số
a, b cùng chẵn.
a
2
+ b
2

M
4 a
2
+ b

2
= 4n (n N)
Chọn c = n - 1 a
2
+ b
2
+ c
2
= n
2
+ 2n + 1 = (n + 1)
2
(thoả mãn) (2)
Từ (1) và (2) ta luôn tìm c Z thoả mãn bài toán.1,025,5a/Giải phơng trình x
2
- x -
2 1 16x 2+ =
. ĐKXĐ:
1
x
16

Khi đó phơng trình x
2
- x =
2( 1 16x 1)+ +
Trang 1/4
Đặt:
1 16x 1 2y+ + =
(

1
y
2

)
1 + 16x = 4y
2
-4y + 1 4y
2
- 4y = 16x y
2
- y = 4x (*)
Ta có:
2
2
y y 4x
(x y)(x y 3) 0
x x 4y

=

+ + =

=


x y
1 1
x y 3 0 (loại vì x - và y )
16 2

=




+ + =

Với x = y thay vào (*) x
2
- x = 4x
x
2
- 5x = 0 x(x - 5) = 0

=


=

x 5 (thoả mãn)
x 0 (loại)
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là: x = 5
0,25
0,5
1,25
0,5
0,25
0,25b/Cho x, y thoả mãn:

+ + =

+ =


3 2
2 2 2
x 2y 4y 3 0 (1)
x x y 2xy 0 (2)
Từ (1) x
3
= -2y
2
+ 4y -3 x
3
= -2(y
2
- 2y + 1) - 1
x
3
= -2(y - 1)
2
- 1 -1 với y x
3
-1 x -1 (*)
Trang 2/4
Tõ (2) ⇒ x
2
(y
2

+ 1) = 2y ⇔ x
2
=
≤
+
2
2y
1
y 1
víi ∀ y
⇒ x
2
≤ 1 ⇔ | x | ≤ 1 ⇔ -1 ≤ x ≤ 1 (**)
Tõ (*) vµ (**) ⇒ x = -1 thay vµo (2) ta ®îc:
y
2
- 2y + 1 = 0 ⇔ (y - 1)
2
= 0 ⇔ y = 1
⇒ (x, y) = (-1, 1) (tho¶ m·n)
⇒ Q = x
2
+ y
2
= (-1)
2
+ 1
2
= 2
1,0

1,0
0,533,0§Æt
+ =
1 1
x
a b
;
+ =
1 1
y
b c
;
+ =
1 1
z
c a
⇒ (x, y, z > 0)
⇒ P = (3 + x)(3 + y)(3 + z)
= 27 + 3(xy+ yz + zx) + 9(x + y+ z) + xyz
≥
2
3
3
27 9 (xyz) 27 xyz xyz+ + +
(*)
L¹i cã:
1 1 1 1 1 1 8
xyz
a b b c c a abc
   

= + + + ≥
 ÷ ÷ ÷
   
(v× a, b, c > 0)
mµ
3 3
3 1
a b c 3 abc abc
2 2
≥ + + ≥ ⇒ ≥
⇒
≤ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ≥
1 8 8
abc 64 xyz 64
8 abc abc
Thay vµo (*) ta ®îc:
23
3
P 27 9 64 27 64 64≥ + + +
= 27 + 144 + 108 + 64 = 343
DÊu "=" cã khi a = b = c =
1
2
⇒ P
min
= 343 Khi a = b = c =
1
2

1,5

Trang 3/4
0,75
0,5
0,25
45,5a/XÐt ∆COM vµ ∆CED cã:

= =




0
ˆ ˆ
O E 90
ˆ
C chung
⇒ ∆COM ∆CED (g-g)
⇒
=
CO OM
CE ED
(1)
Do AB, CD lµ 2 ®êng kÝnh vu«ng
gãc víi nhau ⇒
= =
0
1 1
ˆ ˆ
E A 45
XÐt ∆AMC vµ ∆EAC cã:


= =




0
1 1
ˆ ˆ
E A 45
ˆ
C chung
⇒ ∆AMC ∆EAC (g-g) ⇒
=
AC AM
CE AE
mµ
AC 2 CO=
(do ∆ACO vu«ng c©n t¹i O)
⇒
= =
AM 2 CO 2 OM
AE CE ED
(do (1))
⇒ AM.ED =
2
OM.AE (§PCM)
1,0
1,0
Trang 4/4

S
S
N
M
D
C
O
B
A
E
1
1
1,0b/Tơng tự câu a ta có:
BON BEA
=
BO ON
BE EA
BND BDE
= =
DN BD 2BO
DE BE BE

DN 2 ON
DE EA
=
ON DN ON EA
EA DN
2 DE 2 DE
= =
Từ câu a ta có: AM.ED =

2
.OM.AE
=
OM ED
AM
2 EA

=
OM ON 1
.
AM DN 2
mà
+ = =
OM ON OM ON 1
2 . 2 2
AM DN AM DN 2
Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi:
= = =
OM ON ED EA
ED EA
AM DN
2EA 2ED
E là điểm chính giữa cung nhỏ AD
Vậy giá trị nhỏ nhất của
+ =
OM ON
2
AM DN
E là điểm chính giữa của cung nhỏ AD
0,5

0,5
0,5
1,051,5Không mất tính tổng quát, giả sử
Trang 5/4
S
S
K
H
A
B
C
A
1
B
1
C
1