Một PP ren luyen tư duy học toan cho hoc sinh Lơp 5

Bài toán*:
Đúng ghi Đ, sai ghi S:
a) Diện tích các hình thang AMCD,
MNCD, NBCD bằng nhau.
b) Diện tích hình thang AMCD bằng
3
1

diện tích hình chữ nhật ABCD.
(Bài 3, SGK, Toán 5, trang 94)
- Nếu thay đổi vị trí của M và N trên cạnh AB
chúng ta có các bài toán tơng tự và khó hơn chút
xíu sau:
Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD, có AB =
9cm. Trên cạnh AB lần lợt lấy hai điểm M và N
sao cho MN=3cm. Hãy so sánh S
MNCD
và S
ABCD
.
Bài 2: Trên cạnh AB của hình chữ nhật
ABCD lần lợt lấy hai điểm M và N sao cho MN=
3
1
AB. Hãy so sánh S
MNCD
và S
ABCD
. (H
2

)
Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh
AB lần lợt lấy hai điểm M và N sao cho MN=
3
1
AB, trên cạnh AD lần lợt lấy hai điểm P và Q sao
cho PQ =
3
1
AD. (H
3
)
Hãy so sánh S
MNCD
, S
PQCD
với S
ABCD
.
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD. Trên
cạnh AB lần lợt lấy hai điểm M và N sao cho
MN=
3
1
AB, trên cạnh AD lần lợt lấy hai điểm P
và Q sao cho PQ =
3
1
AD. (H
4

)
Hãy so sánh S
MNCD
, S
PQCD
với S
ABCD
.
A
M
N
B
P
Khai thác và phát triển bài toán
trong sách giáo khoa Toán 5 mới.

Lê Trọng Châu

Các bài toán so sánh độ dài đoạn thẳng, so sánh diện tích luôn là đề tài thú vị
và hấp dẫn đối với những ngời yêu Toán. Trong thực tế giải toán chúng ta thờng gặp
những bài toán hình học đơn giản, quen thuộc nhng nghiên cứu kỹ chúng ta thấy rằng
chứa đựng trong đó những điều thú vị.
ở bài viết này chúng ta cùng tìm hiểu và trao đổi xung quanh một bài toán
hình học trong chơng trình Toán 5 mới. Hy vọng thông qua bài viết này giúp các em
học sinh có thêm đợc một số kinh nghiệm nhỏ trên con đờng chinh phục những bài
toán khó..

*Nhận xét:
(H
1

)
a) Quan sát ba hình thang AMCD, MNCD, NBCD chúng ta thấy rằng chúng
có: đáy nhỏ AM = MN = NB = 3cm, chung đáy lớn CD, chiều cao bằng chiều rộng
của hình chữ nhật ABCD. Nên từ đây chúng ta dễ dàng kết luận đợc a) là Đ.
b)Ta có S
ABCD
= CD x AD, còn S
AMCD
= S
ABCD
S
MBC
.
Dễ thấy: S
MBC
=
6
2
S
ABCD
=
3
1
S
ABCD
, Suy ra S
AMCD
= S
ABCD
- S

MBC
=
3
2
S
ABCD
.
Từ đây chúng ta cũng dễ dàng kết luận đợc câu b) là S.
Và tơng tự chúng ta cũng chứng tỏ đợc: S
AMCD
= S
MNCD
= S
NBCD
=
3
2
S
ABCD


1
(H
1
)
(H
2
)
A 3cm M 3cm N 3cm B
D (H

1
) C
(H
1
c
A M N
B
P
Q
D
c
(H
3
)
A M 3cm N
B
D
c
(H
2
)
OM ON S
OMN

OC OD S
OCD
C
D
Q
(H

4
)
A M N
B
I
O

K


D
C
MN
AB
MN
AB
Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh
AB lần lợt lấy hai điểm M và N sao cho MN=
3
1
AB. MC cắt ND tại O. Hãy tính các tỷ số sau :
OD
ON
OC
OM
;
và
S
OMN
S

OCD
S
OMN
S
OCD
Bài 7: Cho hình chữ nhật ABCD (H
6
).
Trên cạnh AB lần lợt lấy hai điểm M và N sao
cho AM = MN = NB. MC cắt ND tại O. Qua
điểm O kẻ đờng thẳng song song với AB đờng
thẳng này lần lợt cắt AD tại P, cắt DM tại Q; cắt
NC tại I; cắt BC tại K. Chứng tỏ rằng: PQ = QO
= OI = IK
A M N
B
f
p q i
k
e
G O J




Việc giải các bài toán 1, 2, 3 là hoàn toàn tơng tự nh
Bài toán*
. Các bạn thử trình
bày bài giải các bài toán trên thử xem.
Từ Bài 2 ta đã biết đợc tỷ số =

3
1
mà AB = CD nên =
3
1
.
Vậy thì các tỷ số bằng bao nhiêu ?
Nên từ hớng suy nghĩ này chúng ta có bài toán khó hơn các bài toán trên nh sau:

*Hớng giải:
(H
5
)
a) Tính :
OD
ON
OC
OM
;
:
- Ta có: MN=
3
1
AB nên S
MNC
=
3
1
S
ABC

. Và S
CDM
= S
CDA
=S
ABC
=
2
1
S
ABCD
.
Suy ra S
MNC
=
3
1
S
CDM
. Hai tam giác MNC và CDM có chung cạnh đáy MC nên nếu kẻ
DI MC và NK MC , ( vuông góc) ta có:
3
1
=
DI
NK
.
- Hai tam giác OMN và OMD có chung cạnh đáy OM mà
3
1

=
DI
NK
nên S
OMN
=
3
1
S
OMD
.
Từ đây ta suy ra đợc
3
1
=
OD
ON
. Tơng tự ta cũng có
3
1
=
OC
OM
.
b) Tính = ?
- Ta có:
3
1
=
OC

OM
, suy ra S
OMD
=
3
1
S
OCD
mà S
OMN
=
3
1
S
OMD
nên ra S
OMN
=
3
1
x
3
1
S
OCD
.
Hay =
3
1
x

3
1
=
9
1
.
Từ cách giải bài toán 5 này bạn đọc thử sức mình với hai bài toán sau:
Bài 6: Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AB lần lợt lấy hai điểm M và N sao
cho MN=
3
1
AB. MC cắt ND tại O. Tính diện tích hình thang MNCD và diện tích
hình chữ nhật ABCD biết S
OCD
= 30cm
2
.

2
và
S
OMN
S
OCD
(H
5
)
S
OMN
S

OCD
Đây là bài toán tơng đối khó đối với các em học sinh tiểu học nhng chúng ta có thể
giải theo hớng sau:
+ Ta có: S
AMD
= S
MND
; S
PMD
= S
AMD
S
MNO
= S
MND
S
MNO
= S
OMD
Kẻ PE MD, OF MD, suy ra PE = OF. Hai tam giác PQD và QOD có diện tích bằng
nhau vì có chung đáy QD và đờng cao PE = OF. Từ đây ta suy ra đợc PQ = QO. Tơng tự
ta cũng có OI = IK. (1)
+ Ta có: S
MOD

= S
NOC
. Để chứng tỏ OQ = OI, chúng ta có thể kẻ MG PK, NJ PK. Khi
đó ta có S
MOD

= S
MOQ
+S
DOQ
=
2
1
(OQxMG + OQxPD)=
2
1
OQx(MG + PD)=
2
1
OQx AD.
và S
NOC
= S
NOI
+ S
COI
=
2
1
(OIxNJ + OIxKC) =
2
1
OIx(NJ + KC) =
2
1
OI x BC.

Suy ra:
OI
OQ
BCOI
ADOQ
=
ì
ì
2
1
2
1
mà S
MOD

= S
NOC

nên
1
=
OI
OQ
hay OQ = OI. (2)
Từ (1) và (2) ta có PQ = QO = OI = IK
ở bài tập 1, 2, 3, 5, 6, 7 chúng ta mới xét trờng hợp ABCD là hình chữ nhật nhng
trong trờng hợp ABCD là hình bình hành thì bài toán vẫn đúng. Trong trờng hợp ta
chia cạnh AB của hình chữ nhật thành 4,5,6,...đoạn thẳng bằng nhau và áp dụng hớng
phát triển trên chúng ta có thể xây dựng đợc nhiều bài toán tơng tự nh các bài đã nêu
trên.

Chẳng hạn: Cho hình chữ nhật ABCD, trên cạnh AB lần lợt lấy 2 điểm M và N
sao cho 4 x MN = AB. Hãy so sánh: a)S
mncd
với S
ABCD
; b) OM với OC.
Trên đây là một hớng khai thác và phát triển xung quanh một bài toán trong sách
giáo khoa toán 5 mới. Để những vấn đề nêu trên đợc đầy đủ hơn, cụ thể hơn, đề nghị
các em học sinh và bạn đọc tiếp tục phát triển thêm. Đặc biệt là trình bày bài giải các
bài toán trên một cách chi tiết, đồng thời tìm ra nhiều lời giải hấp dẫn hơn để chúng
ta cùng trao đổi, đúc rút kinh nghiệm.
3
S
MOD
S
NOC
(H
6
)
Chúc các bạn thành công !