Đáp Án Đề Thi HSG Tỉnh Nghệ An 08-09 ( Bảng B)

Sở Gd&Đt Nghệ an
Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS
Năm học 2008 - 2009
hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức
(Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang)
Môn: toán - bảng B
----------------------------------------------
CâuNội dungĐiểm14,5a/
2,5Cho A = k
4
+ 2k
3
- 16k
2
- 2k +15 với k Z
Vì k Z ta xét các trờng hợp:
TH1: k chẵn A = k
4
+ 2k
3
- 16k
2
- 2k +15 là một số lẻ
A không chia hết cho 2
A không chia hết cho 16 (loại) (1)
1,0
TH2: k lẻ, ta có:
A = k
4
+ 2k
3

- 16k
2
- 2k +15 = (k
2
- 1)(k
2
+ 2k - 15)
= (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5)
Do k lẻ k - 1; k + 1; k - 3; k + 5 đều chẵn
A = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5)
M
2.2.2.2 = 16 (thoả mãn) (2)
Từ (1) và (2) với k Z mà k lẻ thì A luôn chia hết cho 161,0
0,5b/
Gọi tử số của phân số là
abc
(0 < a 9, 0 b 9, 0 c 9, a, b, c N)
nên phân số đó có dạng P =
abc 90a 9c 90a
10 10 100
a b c a b c a

= + + =
+ + + +
suy ra P
max
= 100 khi b = c = 0, 0 < a 9, a N
2,025,5a/
Trang 1/4
3,0Giải phơng trình x

2
- x -
2 1 16x 2+ =
. ĐKXĐ:
1
x
16

Khi đó phơng trình x
2
- x =
2( 1 16x 1)+ +
Đặt:
1 16x 1 2y+ + =
(
1
y
2

)
1 + 16x = 4y
2
-4y + 1 4y
2
- 4y = 16x y
2
- y = 4x (*)
Ta có:
2
2

y y 4x
(x y)(x y 3) 0
x x 4y

=

+ + =

=


x y
1 1
x y 3 0 (loại vì x - và y )
16 2
=




+ + =

Với x = y thay vào (*) x
2
- x = 4x
x
2
- 5x = 0 x(x - 5) = 0

=

=

x 5 (thoả mãn)
x 0 (loại)
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là: x = 5
0,25
2,25
0,5
b/
Trang 2/4
2,5Ta có :
2 2 2
9 ( ) 9
3 ( ) 3
x y xy x y xy
x y xy x y xy

+ + = + =


+ + = + + =

(x + y)
2
+ (x + y) 12 = 0
3
4
+ =

+ =

x y
x y
Nếu x + y = 3
x 0
y 3
x + y = 3 x y 3
Hệ đã cho
x + y + xy = 3 xy 0
x 3
y 0

=



=
+ =






=
=

=



Nếu x + y = -4
Hệ đã cho
+ =



=

x y 4
xy 7
(hệ vô nghiệm)
Vậy hệ phơng trình đã cho có 2 nghiệm (x; y) = (0; 3), (3; 0)
1,0
1,0
0,5
33,0 áp dụng bất đẳng thức:
+ +
+ +
1 1 1 9
A B C A B C
(với A, B, C > 0)
với x, y, z > 0 ta có:
+ +

+ +
1 1 1 9
xy yz zx xy yz zx

+
+ + + +
2 2 2
1 9
P
x y z xy yz zx

+ + +
+ + + + + + + + +
2 2 2
1 1 1 7
P ( )
x y z xy yz zx xy yz zx xy yz zx

+
+ + + + + + +
2 2 2
9 7
x y z 2xy 2yz 2zx xy yz zx
=
2 2 2
9 7 9 21
30
xy yz zx
(x y z) (x y z) (x y z)
+ +

+ +
+ + + + + +
(Do 3(xy + yz + zx) (x + y + z)
2
và x + y + z = 1)
Du "=" xy ra khi v ch khi và
= = =
1
x y z
3
Trang 3/4
Vậy P
min
= 30
⇔ = = =
1
x y z
3
1,0
1,0
1,0
45,5a/
3,0XÐt ∆COM vµ ∆CED cã:

= =




0

ˆ ˆ
O E 90
ˆ
C chung
⇒ ∆COM ∆CED (g-g)
⇒
=
CO OM
CE ED
(1)
Do AB, CD lµ 2 ®êng kÝnh vu«ng
gãc víi nhau ⇒
= =
0
1 1
ˆ ˆ
E A 45
XÐt ∆AMC vµ ∆EAC cã:

= =




0
1 1
ˆ ˆ
E A 45
ˆ
C chung

⇒ ∆AMC ∆EAC (g-g) ⇒
=
AC AM
CE AE
mµ
AC 2 CO=
(do ∆ACO vu«ng c©n t¹i O)
⇒
= =
AM 2 CO 2 OM
AE CE ED
(do (1))
⇒ AM.ED =
2
OM.AE (§PCM)
Trang 4/4
S
S
N
M
D
C
O
B
A
E
1
1
1,0
1,0

1,0b/
2,5T¬ng tù c©u a ta cã:
∆BON ∆BEA ⇒
=
BO ON
BE EA
∆BND ∆BDE ⇒
= =
DN BD 2BO
DE BE BE
⇒
DN 2 ON
DE EA
=
ON DN ON EA
EA DN
2 DE 2 DE
⇒ = ⇒ =
Tõ c©u a ta cã: AM.ED =
2
.OM.AE ⇒
=
OM ED
AM
2 EA
⇒
=
OM ON 1
.
AM DN 2

mµ
+ ≥ = =
OM ON OM ON 1
2 . 2 2
AM DN AM DN 2
DÊu "=" xÈy ra khi vµ chØ khi:
= ⇔ = ⇔ =
OM ON ED EA
ED EA
AM DN
2EA 2ED
⇔ E lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung nhá AD
Trang 5/4
S
S